【文档说明】第09讲 高考难点突破一：圆锥曲线的综合问题（定点问题） (精讲）（原卷版）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）.docx，共(17)页，813.368 KB，由管理员店铺上传

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第09讲高考难点突破一：圆锥曲线的综合问题（定点问题）(精讲）目录第一部分：典型例题剖析题型一：椭圆中的定点问题角度1：椭圆中的直线过定点问题角度2：椭圆中存在定点满足某条件问题题型二：双曲线中的定点问题角度1：双曲线中的直线过定点问题角度2：双曲线存在定点满

足某条件问题题型三：抛物线中的定点问题角度1：抛物线中的直线过定点问题角度2：抛物线存在定点满足某条件问题第二部分：高考真题感悟题型一：椭圆中的定点问题角度1：椭圆中的直线过定点问题典型例题例题1．（2022·江西上饶·高二期末（文））

已知椭圆22221(0)xyabab+=的一个顶点为()0,1D，离心率为32.(1)求椭圆的方程：(2)过椭圆右焦点且斜率为()0kk的直线m与椭圆相交于两点,AB，y轴交于点E，线段AB的中点为P，直线l过点E且垂直于OP（其中O为原点），证明直线l过定点.第一部分：典型例题

剖析例题2．（2022·北京市十一学校高二期末）已知椭圆C：22221xyab+=（0ab）右焦点为(),0Fc，()0,Bb为椭圆的上顶点，O为坐标原点，π6FBO=且FBO△的周长为33+.P是椭圆上一动点，M是直线4x=上一点，且直线//PMx轴.(1)求椭圆C的方程：(2

)记直线PF与椭圆另一交点为Q，直线QM是否过x轴上一定点？若是，求出该定点：若否，请说明理由.例题3．（2022·安徽·合肥工业大学附属中学高二期末）已知椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率为22，一个焦点1F与抛物线242yx=−的焦点重合．(1)求

椭圆C的方程；(2)若直线:lykxm=+交C于,AB两点，直线1FA与1FB关于x轴对称，证明：直线l恒过一定点．同类题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习）椭圆22143xy+=，过点()1,0F的直线AB和CD相互垂直（斜率存在），MN、分别是AB和CD的中点．求证

：直线MN过定点．2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆22143xy+=，点()4,0P，过点P作椭圆的割线PAB，C为B关于x轴的对称点．求证：直线AC恒过定点．3．（2022·陕西·千阳县中学高三阶段练习（文

））椭圆:M22221(0)xyabab+=的左顶点为(2,0)A−，离心率为32.(1)求椭圆M的方程；(2)已知经过点3(0,)2斜率存在的直线l交椭圆M于,BC两点，D是直线4x=−上一点.若ADBC=，求直线l的方

程.4．（2022·陕西汉中·高二期末（文））在平面直角坐标系xOy中，已知点()4,0A−，()4,0B，M是一个动点，且直线AM，BM的斜率之积是34−，记M的轨迹为E．(1)求E的方程；(2)若过点()2,0F且不与x轴重合的直线l与E交于P，Q两点，点P关于x

轴的对称点为1P（1P与Q不重合），直线1PQ与x轴交于点G，求点G的坐标．角度2：椭圆中存在定点满足某条件问题典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10xyCabab+=的两焦点分别为()11

,0F−和()21,0F，短轴的一个端点为()0,3．(1)求椭圆C的标准方程和离心率；(2)椭圆C上是否存在一点P，使得12PFPF⊥?若存在，求12PFF△的面积；若不存在，请说明理由．例题2．（2022·北京

市十一学校高二期末）已知椭圆C：22221xyab+=（0ab）的右顶点为()2,0A，且31,2P为其上一点.(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)B是椭圆C上异于左右顶点的一点，线段AB的中垂线交y轴

于点D，且ABD△为等边三角形，求B点横坐标.例题3．（2022·河南许昌·高二期末（文））已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的离心率为5，右焦点F与点()0,25M的连线与其一条渐近线平行.(

1)求双曲线C的方程；(2)经过点F的直线l与双曲线C的右支交于点A､B，试问是否存在一定点P，使OPAOPB=恒成立，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.同类题型归类练1．（2023·全国·高

三专题练习）已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的左右顶点分别为1(2,0)A−，2(2,0)A，右焦点为F，点3(1,)2T在椭圆上.(1)求椭圆C的标准方程；(2)P为椭圆上不与12,AA重合的任意一点，直线12,APAP分别与直线4x=相交于

点,MN，求证：FMFN⊥.2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆()22122:10xyCabab+=的左右顶点是双曲线222:14−=xCy的顶点，且椭圆1C的上顶点到双曲线2C的渐近线距离为2155

．(1)求椭圆1C的方程；(2)点F为椭圆的左焦点，不垂直于x轴且不过F点的直线l与曲线1C相交于A、B两点，若直线FA、FB的斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若存在这样的定点，则求出该定点的坐

标；若不存在这样的定点，请说明理由．3．（2022·上海中学东校高二期末）已知椭圆的C的方程：22163xy+=．(1)设P为椭圆C异于椭圆左右顶点12AA、上任一点，直线1PA的斜率为1k，直线2P

A的斜率为2k，试证明12kk为定值．(2)求椭圆中所有斜率为1的平行弦的中点轨迹方程．(3)设椭圆上一点(2,1)A，且点M，N在C上，且,AMANADMN⊥⊥，D为垂足．证明：存在定点Q，使得||DQ为定值．4．（2022·上海·格致中学高二期末）已知椭圆2222:1xyCab+=，

过定点(),0Tt的直线交椭圆于,PQ两点，其中()0,ta.(1)若椭圆短轴长为23且经过点31,2−，求椭圆方程；(2)对（1）中的椭圆，若3t=，求OPQ△面积的最大值，并求此时直线PQ的方程；(3)若直线

PQ与x轴不垂直，问：在x轴上是否存在点(),0Ss使得PSTQST=恒成立？如果存在，求出,st的关系；如果不存在，说明理由.题型二：双曲线中的定点问题角度1：双曲线中的直线过定点问题典型例题例题1．（2022·江苏·高二期末）已知双曲

线()2222:10,0xyCabab−=的离心率为2，两条准线间的距离为22.(1)求C的标准方程；(2)斜率为k的直线l过点()1,0，且直线l与C的两支分别交于点A，B，①求k的取值范围；②若D是点B关于x轴的对称点，证明：直线AD过

定点.例题2．（2022·安徽·高二期末）设直线xm=（0m）与双曲线C：223yxm−=的两条渐近线分别交于A，B两点，且OAB（O为坐标原点）的面积为3.(1)求m的值；(2)与坐标轴不垂直的直线l与C交于M，N两点，点M关于x轴的对

称点为M，F为C的右焦点，若M，F，N三点共线，证明：直线l经过x轴上的一个定点.例题3．（2022·广东深圳·高二期末）已知圆M：()22289239xy++=的圆心为M，圆N：()221239xy−+=的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C．(1

)求曲线C的方程；(2)已知点()6,3P，直线l与曲线C交于A，B两点，且0PAPB=，直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．同类题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，动点Р与定点F(2，0)的距离和它到定直

线l：32x=的距离之比是常数233，记P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)设过点A(3，0)两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点M，N(异于点A)，求证：直线MN过定点.2．（2022·山西·怀仁市大地学校高中部高二阶段练习）已知双曲线的离心率为62，且该双曲线经

过点23,2P.(1)求双曲线C：()222210,0xyabab−=方程；(2)设斜率分别为1k，2k的两条直线1l，2l均经过点()2,1Q，且直线1l，2l与双曲线C分别交于A，B两点（A，B异于点Q），若121kk+=，试判断直

线AB是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由.3．（2022·全国·高三专题练习）双曲线()2222:10,0xyCabab−=经过点()2,1P，且虚轴的一个顶点到一条渐近线的距离为63.（1）求双曲线C的方程；（2）过点P的两

条直线1l，2l与双曲线C分别交于A，B两点(A，B两点不与P点重合)，设直线1l，2l的斜率分别为1k，2k，若121kk+=，证明：直线AB过定点.角度2：双曲线存在定点满足某条件问题典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:

1(0,0)xyCabab−=的右焦点为(c,0)F，离心率为2，直线2axc=与C的一条渐近线交于点P，且3PF=．(1)求双曲线C的标准方程；(2)设Q为双曲线C右支上的一个动点在x轴上是否存

在定点M，使得2QFMQMF=？若存在，求出点M的坐标；若不存在请说明理由．例题2．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高三开学考试）已知双曲线：()222210,0xyabab−=，()2,0A，315,22B−−，3

15,22C，()1,0D−，()4,0E五点中恰有三点在上.(1)求的方程；(2)设P是上位于第一象限内的一动点，则是否存在定点()(),00Qmm，使得1π22PQAPAE+=,若存在，求出点Q的坐标；若不存在，

请说明理由.例题3．（2022·上海·高三专题练习）在直角坐标系xOy中，直线2yx=是双曲线2222:1xyCab−=的一条渐近线，点(1,0)A在双曲线C上，设(,)(0)Mmnn为双曲线上的动点，

直线AM与y轴相交于点P，点M关于y轴的对称点为N，直线AN与y轴相交于点Q.（1）求双曲线C的方程；（2）在x轴上是否存在一点T？使得||||TPTQPQ+=，若存在，求T点的坐标；若不存在，说明理由；（3）求M点的坐标，使得MPQ的面积最小.同类题型归类练1．

（2022·全国·高二课时练习）直线l：1ykx=+与双曲线C：2221xy−=交于不同的两点A、B．(1)求实数k的取值范围；(2)若双曲线C的右焦点为F，是否存在实数k，使得AF⊥BF？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．2．（2022·全国·高三专题练习

）已知双曲线方程为2222xyab−=1，F1，F2为双曲线的左、右焦点，离心率为2，点P为双曲线在第一象限上的一点，且满足1PF·2PF=0，|PF1||PF2|＝6．(1)求双曲线的标准方程；(2)过点F2作直线l交双曲线于A、B

两点，则在x轴上是否存在定点Q(m，0)使得QAQB为定值，若存在，请求出m的值和该定值，若不存在，请说明理由．3．（2022·江苏徐州·高二期末）已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左焦点为F，F到C的一条渐近线的

距离为1.直线l与C交于不同的两点P，Q，当直线l经过C的右焦点且垂直于x轴时，233PQ=.(1)求C的方程；(2)是否存在x轴上的定点M，使得直线l过点M时，恒有PFMQFM=？若存在，求出点M的坐标；若不存在，

请说明理由.题型三：抛物线中的定点问题角度1：抛物线中的直线过定点问题典型例题例题1．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知点()1,Mpp−在抛物线()2:20Cypxp=上.(1)求抛物线C的方程；(2)过点M作斜率分别为12

,kk的两条直线12,ll，若12,ll与抛物线C的另一个交点分别为,AB，且有122kk+=，探究：直线AB是否恒过定点？若是，求出该定点；若否，说明理由.例题2．（2022·陕西西安·三模（理））已知抛物线()2:20Cypxp=上的点()()4,0Gtt到其准线

的距离为5．不过原点的动直线交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，点M在准线l上的射影为N．(1)求抛物线C的方程；(2)当1NANB=时，求证：直线AB过定点．例题3．（2022·全国·高三专题练习）已知线

段AB是抛物线24yx=的弦，且过抛物线焦点F.(1)过点B作直线与抛物线对称轴平行，交抛物线的准线于点E，求证：AOE、、三点共线(O为坐标原点)；(2)设M是抛物线准线上一点，过M作抛物线的切线，切点为11AB、.求证：（

i）两切线互相垂直；（ii）直线11AB过定点，请求出该定点坐标.同类题型归类练1．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）已知抛物线C：22ypx=（0p），直线21xy=+交抛物线C于A，B两点，且三角形

OAB的面积为23（O为坐标原点）.(1)求实数p的值；(2)过点D（2，0）作直线L交抛物线C于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为P'.证明：直线P'Q经过定点，并求出定点坐标.2．（2022·湖北武

汉·高二期末）已知动圆M过定点()2,0A，且在y轴上截得的弦长为4，圆心M的轨迹为曲线L．(1)求L的方程；(2)已知点()3,2B−−，()2,1C，P是L上的一个动点，设直线PB，PC与L的另一交点分别为E，F，求证：当P点在L上运动时，直线EF恒过一个定点，并求出这

个定点的坐标．3．（2022·江西景德镇·高二期末（文））已知抛物线C：()220ypxp=的焦点为F，过焦点F且垂直于x轴的直线交C于H，I两点，O为坐标原点，OHI的周长为458+．(1)求抛物线C的方程；(2)过点F作抛物线C的两条互相垂直的弦AB，DE，设弦AB，DE的中点分别为

P，Q，试判断直线PQ是否过定点？若过定点．求出其坐标；若不过定点，请说明理由．4．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））已知抛物线()220ypxp=的焦点为F，过焦点F斜率为3的直线交抛物线于A、B两点（点A在第一象限），交抛物线准线于G，且满足83BG=．(1)求抛物线的

标准方程；(2)已知C，D为抛物线上的动点，且OCOD⊥，求证直线CD过定点P，并求出P点坐标；(3)在（2）的条件下，求PCPD的最大值．角度2：抛物线存在定点满足某条件问题典型例题例题1．（2022·内蒙古赤峰·高二期末（文））已知抛物线

()2:20Cypxp=的焦点为F，过点()2,0A的直线l交C于M，N两点，当l与x轴垂直时，4MN=．(1)求C的方程：(2)在x轴上是否存在点P，使得OPMOPN=恒成立（O为坐标原点）？若存在求出坐标，若不存在说明理由．例题2．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（文））已知直

线:10lxky−−=与抛物线2:2(0)Nypxp=交于A，B两点，当直线lx⊥轴时，||4AB=.(1)求抛物线N的标准方程；(2)在x轴上求一定点C，使得点(2,0)Mp到直线AC和BC的距离相等.例题3．（2022·贵州铜仁·高二期末（理））已知F为抛物线2:2(

0)Cypxp=的焦点，过F的动直线交抛物线C于,AB两点．当直线与x轴垂直时，||4AB=．(1)求抛物线C的方程；(2)设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线l相交于点M，抛物线C上存在点P使得直线,,PAPMPB的斜率成等差数

列，求点P的坐标．同类题型归类练1．（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）已知曲线2:2(0)Cypxp=的焦点为F，曲线C上有一点()0,Qxp满足2QF=.(1)求抛物线C的方程；(2)过原点作两条相互垂直的直线交曲线C于

异于原点的两点,AB，直线AB与x轴相交于N，试探究x轴上存在一点是否存在异于N的定点M满足AMANBMBN=恒成立.若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由.2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知抛物线2:2(0)Expyp=的焦点为F，过F的直线交抛物线E于1122(,),(,

)AxyBxy两点，11AFy=+．(1)求抛物线E的标准方程；(2)在x轴的正半轴上是否存在点P，连接PA，PB分别交抛物线E于另外两点C，D，使得4ABCD=？并说明理由．3．（2022·江苏省苏州

实验中学高二阶段练习）已知抛物线2:8Cyx=，点()(),00Maa，直线l过点M且与抛物线C相交于,AB两点．(1)当a为变量时，P为抛物线C上的一个动点，当线段MP的长度取最小值时，P点恰好在抛物线C的顶点处，请指出此时M点运动的轨迹；(2)当a为定值时，在x轴

上是否存在异于点M的点N，对任意的直线l，都满足直线,ANBN关于x轴对称?若存在，指出点N的位置并证明，若不存在请说明理由.4．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）已知抛物线2:4Exy=的焦点为F，过F的直线交抛物线E于A、B两点.

(1)当直线AB的斜率为1时，求弦AB的长度AB；(2)在x轴的正半轴上是否存在一点P，连接PA，PB分别交抛物线E于另外两点C、D，使得//ABCD且4ABCD=？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理

由.第二部分：高考真题感悟1．（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过()30,2,,12AB−−两点．(1)求E的方程；(2)设过点()1,2P−的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MT

TH=．证明：直线HN过定点．