【文档说明】广东省佛山市南海区2020-2021学年高一上学期学业水平测试数学试题答案.doc，共(13)页，1.155 MB，由小赞的店铺上传

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南海区2023届高一学业水平测试数学试题2020年12月一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，已知全集{1,2,3,4,5}U，集合{1,3,5}A，则图中阴影部分表示的集合是（）A．

{2,4}B．{1,3,5}C．{1,2,3,4,5}D．1．答案：A解析：阴影部分表示的集合是{2,4}UAð．2．命题“2,210Rxx”的否定是（）A．2,210Rxx≤B．2,210Rxx

C．2,210Rxx≤D．2,210Rxx2．答案：C解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，即“,()xDpx”的否定是“,()xDpx”3．下面的图象中可作为函数()yfx的图象的是（）xyOxyOxyOxyO

ABCD3．答案：D解析：根据函数的定义，对于定义域中的任意x，都有唯一确定的y与之对应，故选D．4．设Rx，则“250xx”是“02x”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既

不充分也不必要条件4．答案：B解析：由250xx，解得05x，由于{|02}{|05}xxxx，所以“250xx”是“02x”的必要而不充分条件．5．下列函数中是偶函数，且在(0,)

上单调递增的是（）A．4()fxxB．5()fxxC．1()fxxxD．21()fxx5．答案：A解析：选项B，C是奇函数，选项D是偶函数，但在(0,)上单调递减，只有选项A符合题意．6．函数2xy与2xy的图象（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点

对称D．关于直线yx对称6．答案：C解析：因为(,)xy与(,)xy关于原点对称，所以函数2xy与2xy的图象关于原点对称．7．定义在R上的奇函数()fx满足(1)0f且对任意的正数()abab、，有()()0faf

bab，则不等式()0fxx的解集是（）A．(1,0)(1,)B．(1,0)(0,1)C．(,1)(1,)D．(,1)(0,1)7．答案：C解析：因为任意的正数()abab、，有()()

0fafbab成立，所以函数()fx在(0,)上单调递减，又(1)0f，作出函数()yfx的图象如图所示，由()0fxx可知当0x时，()0fx，当0x时，()0fx．由图可知不等式()0fxx的解集是(,1)(1,)．432

1123422468O118．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”．设Rx，用[]x表示不超过x的最大整数，则[]yx称为高斯函数．例如：[3.5]4，[2.1]2，已知函数()[]fxxx则下列选项中，正确的是（）A．()fx

的最大值为1，没有最小值B．()fx的最小值为0，没有最大值C．()fx没有最大值，没有最小值D．()fx的最大值为1，最小值为08．答案：B解析：函数()[]fxxx的图象如图所示，有图可知，()fx的最小值为0，没有最大值．Oxy1

2341234二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．9．已知幂函数()Ryx的图象过点(3,27)，下列说法正确的是（）A．函数yx

的图象过原点B．函数yx是偶函数C．函数yx是单调减函数D．函数yx的值域为R9．答案：AD解析：将点(3,27)代入yx，得327，解得3，所以3()Ryxx，该函数过原点，是奇函数，在R上单调递增，值域为R，故选AD．10．如图，某池塘里的浮萍面积

y(单位：2m)与时间t(单位：月)的关系式为tyka（Rk，且0k；0a且1a）．则下列说法正确的是（）A．浮萍每月增加的面积都相等B．第6个月时，浮萍的面积会超过230mC．浮萍每月的增长率为1D．

若浮萍面积蔓延到2224m6m,9m,所经过的时间分别为123,,ttt，则1322ttt．10．答案：BCD解析：将(1,1)，(3,4)分别代入tyka，得314kaka，解得12k，2a，

11222tty，过点10,,(1,1),(2,2),(3,4),(4,8),2，浮萍每月增加的面积不相等，当6t时，523230y，每月浮萍的面积是上个月的2倍，增长率为1，O1341ty若浮萍面积

蔓延到2224m6m,9m,所经过的时间分别为123,,ttt，则1124t，2126t，3129t，因为2496，所以312111222(2)ttt，132112(1)ttt

，即1322ttt．11．已知0a，0b，1ab，则（）A．14ab≤B．122abC．22loglog2ab≥D．1114ab≥11．答案：ABD解析：2()14abab≤，当且仅当12ab时取等号，故A正确；因为0a，0b，1ab，所以(1,1

)ab，所以11222ab，选项B正确；22221logloglog()log24abab≤，所以C错误；1111111,4,44abababababab≤≥≥正确，故选ABD12．对任意两个实数,ab，定义,min

{,},aababbab≤，若2()2fxx，2()2gxx，下列关于函数()min{(),()}Fxfxgx的说法正确的是（）A．函数()Fx是偶函数B．方程()0Fx有两个实数根C．函数()Fx

在(2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减D．函数()Fx有最大值为0，无最小值12．答案：ABD解析：作出函数()yFx的图象如图所示，由图可知，函数()Fx是偶函数，方程()0Fx有两个实数根2，函数()Fx在(2,0)上单调递减，在(0,2)上单调递增．函数()Fx有最大值为

0，无最小值．故选ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．32112345864224O13．求值：124log1616．13．答案：6解析：124log1616246．14．若关于x的不等式220xaxa≤的解集为，则实

数a的取值范围是．14．答案：01a解析：由题意可知，22(2)4440aaaa，解得01a．15．用二分法计算32()22fxxxx的一个正数零点附近的函数值，参考数据如下：(1)2f(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.3

75)0.260f(1.4375)0.162f(1.40625)0.054f那么方程32220xxx的一个近似解（精确度为0.1）可取为．15．答案：1.4解析：(1.375)(1.4375)

0ff，且1.43751.3750.1，故近似解0(1.375,1.4375)x，可取01.4x．16．logax中的x，a要分别满足0x，0a且1a，小明同学不知道为什么，请你帮他解释．1

6．答案：由yax，①，得logaxy②，在①②两式中,ax相同，在①中有0a且1a，又对任意的实数y，0ya，即0x．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）设函数()23fx

x的定义域为集合M，不等式2430xx的解集为N．（1）求集合,MN；（2）求集合MN，MN；（3）写出集合()MN与()MN的关系．17．解析：（1）函数()23fxx的定义域为集合M，由230x≥，…………………………1分得32x≥，32Mxx≥，……………

……………………………………………………………2分由2430xx得3x或1x，{1Nx或3}x，……………………………………………3分（2）32Mxx≥，{1Nx或3}x，{|3}MNxx，…………………………6分312MNxxx

或≥．…………………………………………………………………………8分（3）()()MNMN．…………………………………………………………………………10分18．（本题满分12分）已知()fxx．（1）求证()fx在

[0,)上是增函数；（2）①,Rab，猜想222ab与2ab的大小关系；②证明你的猜想的结论；③求函数21(01)2xxx的最值．18．（1）12,[0,)xx且12xx，………………………………

………………………………1分12121212()()xxfxfxxxxx，…………………………………………………………2分12xx，120xx，120xx．…………………………………………………………4分12()()0fxfx，即12()(

)fxfx，所以()fx在[0,)是增函数……………………………5分（2）①2251,2,22abab，而322ab，知2222abab，当ab时，2222abab，2222a

bab≥．……………………………………………7分方法2：GDFCOAEB如图，点22(,0),(,0)AaBb，点E是AB的中点22,02abE，ACAB，BDAB，EFAB，EF交CD于点G，知222abEF，2abEG．由图知2222abab

≥……………………………………………………………………………7分②2222222()()224abababab………………………………………………………8分22222222()22()0444

abababababab≥．……………………………………9分22222abab≥，02ab，2222abab≥．……………………………………10分③222222122121

(1)11222222xxxxxxxxxxx≥．当且仅当1xx，即12x时等号成立，所以212xx的最小值为12，无最大值．…………12分③解法二：2221111111+=2424442xxxxx≥，当且仅当12x时等号成

立，所以212xx的最小值为12，无最大值．………………………………………………………………12分19．（本题满分12分）若函数()2fxx（1）在给定的平面直角坐标系中画出函数()fx图象；（2）写出函数()fx的值域、单调区间；（3）在①

125x②3x，③2x这三个式子中任选出一个使其等于()hx，求不等式()()fxhx的解集．注：如果选择多个条件分别解答，按第一解答计分．Oxy19．解析：（1）函数图象如图所示：……………………………………5分（2）由图象可得函数

的值域为[0,)，……………………………………6分单调递减区间为(,2)，单调递增区间为[2,)．（3）Oxy①…………………………………………………………10分解1225xx，得5x，由图知原不等式的解集为{|0xx或5}x．………………………12分Ox

yOxy②…………………………………………………………10分由图知原不等式的解集为R．……………………………………………………………………………12分Oxy③……………………………………………………………10分由22

xx，得0x，由图知原不等式的解集为{|0}xx．……………………………12分20．（本题满分12分）人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列政策提供依据．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出

了自然状态下的人口增长模型：0rtyye，其中t表示经过的时间，0y表示0t时的人口数，r表示人口的年平均增长率．（1）根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数大约分别为5.5亿和6.7亿．根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950195

9年期间的具体人口增长模型．（精确到0.0001）（2）以（1）中的模型作预测，大约在哪一年我国人口总数达到13亿?（参考数据：ln674.2047，ln554.0073，ln132.5649，ln6.71.9021，ln5.51.7

047）20．解析：（1）由题意知05.5y，设1950~1959年期间的我国人口的年平均增长率为r，根据马尔萨斯人口增长模型，当9t时，6.7y，………………………………………………………………2分有96.75.5re即96.7675.555re，………

…………………………………………………3分两边取自然对数得679lnln67ln554.20474.00730.197455r，………………………4分即0.197490.0219r．…………………………………………………………

…………………5分因此，我国在1950~1959年间的具体人口增长模型为0.02195.5,[0,9]tyet．…………………6分（2）将13y代入0.02195.5tye，得0.0219135.5te，…

………………………………………7分即0.0219135.5te，130.0219lnln13ln5.52.56491.70470.86025.5t，从而0.86020.021939.28t．…………………………………………………………………10

分从而195039.281989.28，…………………………………………………………………11分故大约在1990年我国人口总数达到13亿．……………………………………………………………12分注：如果答1989年扣1分．21．（本题满分12分）已知定义域为R的函数21()

22xxfxa是奇函数．（1）求实数a的值；（2）若对任意的[1,2]x，不等式22()(4)0fxmxfx成立，求实数m的取值范围．21．解析：（1）由题意得：函数21()22xxfxa是奇函数，定义域为R．………………………1分(0)0f

，11012a，得1a．…………………………………………………………………3分经检验，1a时，()fx是奇函数．………………………………………………………………………4分（2）21211111()1

21221221222111xxxxxxfx，任取12,xxR，且12xx，则1212211212111111222212212121(21)(21)()()xxxxxxxxfxfx

，121212,22,220xxxxxx，又12(21)(21)0xx，12()()0fxfx，12()()fxfx，故()fx在R上单调递增．………………………………………………………………………6分对任意的xR

，不等式22()(4)0fxmxfx成立，即22()(4)fxmxfx，又因为()fx是奇函数，所以22()(4)fxmxfx，……………………………………………………………………8

分所以2240xmx，即42mxx恒成立，…………………………………………………10分因为422842xx≥（当且仅当2x时等号成立），……………………………………11分所以min4242mxx．………

………………………………………………………………12分22．（本题满分12分）如图，OAB△是边长为2的正三角形，记OAB△位于直线(0)xtt左侧的图形的面积为()ft．（1）求函数()ft解析式；（2）画出函数()yf

t的图象；（3）当函数()()gtftat有且只有一个零点时，求a的值．22．解析：（1）当01t≤时，23()2ftt，………………………………………………………1分当12t≤时，23()3(2)2ftt，…………………………………………

…………………2分当2t时，()3ft，……………………………………………………………………………………3分所以223,0123()3(2),1223,2ttftttt≤≤………………………………………………

…………4分（2）画图象（3分），如图2.521.510.50.51112345O…………………………………………………………7分（3）当12t≤时，直线32yata逆时针旋转时与()ft图象有两个交点，相切时有一个交点，且与射线3(2)

yt无交点．OABxyxt此时233(2)02tat，所以2234203tat，所以2234803a，解得236a或236a．当236a时，22220tt，解得2t在(1,2]内．当236a时，2222

0tt，2t不在(1,2]]内，当01t≤时，23()2gttat，由23()02gttat，解得23at，因为01t≤，所以2013a≤，即302a≤，当32a时，直线yat过点31,2，(2,

3)这两点都在()ft的图象上，当302a时，直线yat与射线3(2)yt有一个交点，当0a≤或236a时，直线yat与()ft的图象无交点，所以236a．…………………………………………………………………………12分另法：设223,0123

()3(2),1223,(2)ttftatatttattgtat≤≤（i）若23()(01)2gttatt≤有唯一零点，则302a≤，（ii）若23()(2)3,122gttatt有唯一零点，则236,236aa

(舍去），（iii）若()3,2gtatt≥有唯一零点，则302a≤．综上所述，当302a≤时，()gt有两个零点．当236a时，函数()()gtftat有且只有一个零点．……………………………………………

……………………………………………………………12分