【文档说明】考点49 合情推理与证明（原卷版）-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）.docx，共(11)页，313.420 KB，由管理员店铺上传

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考点49合情推理与证明一．合情推理(1)归纳推理①定义：从个别事实中推演出一般性的结论，称为归纳推理(简称归纳法)．②特点：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类

比推理(简称类比法)．②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．(3)合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．二．演绎推理(1)演绎推理由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法

称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——一般性的原理；②小前提——特殊对象；③结论——揭示了一般原理与特殊对象的内在联系．三．直接证明(1)定义：直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法．(2)一般形式

本题条件已知定义已知公理已知定理⇒A⇒B⇒C⇒…⇒本题结论．(3)综合法①定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法常称为综合法．②推证过程知识理解已知条件⇒…⇒…⇒结论(4)分析法①定义：从问题的结论出

发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法常称为分析法．②推证过程结论⇐…⇐…⇐已知条件四．间接证明(1)常用的间接证明方法有反证法、同一法等．(2)反证法的基本步骤①反设——假设命

题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果．③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．考向一推理【例1】（2021·河南）有一个三

段论推理：“等比数列中没有等于0的项，数列na是等比数列，所以0na”，这个推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的【举一反三】1．（2021·河南高二月考（文））已知函数()cossin

fxxx=−，()fx为()fx的导函数，定义1()()fxfx=，21()()fxfx=，…，()1()()nnfxfxn+=N，经计算，1()sincosfxxx=−−，2()coss

infxxx=−+，3()sincosfxxx=+，…，照此规律，则2021()fx=（）A．cossinxx−+B．cossinxx−C．sincosxx+D．sincosxx−−2．（2021·全国高三月考（理））某电视综艺节目中，设置了如下游戏环节：工作人员分别在四位嘉宾甲、乙、丙、丁的后背

贴上一张数字条，数字是1或2中的一个，每人都能看到别人的号码，但看不到自己后背的号码.丁问：“你们每人看到几个1、几个2？”甲说：“我看到三个1.”乙说：“我看到一个2和两个1.”丙说：“我看到三个2.”三个回答中，只有号码是1的嘉宾说了假话，则号码为2的嘉宾有（）A．乙

B．甲、乙C．丁D．乙、丁考向分析3．（2021·安徽省泗县第一中学）将正奇数按如图所示规律排列，则第31行从左向右的第3个数为（）351715131191921232527172931A．1915B．1917C．1919D．1921考向二证明【例2】（2020·

全国高三专题练习（理））已知a，b∈R，a>b>e(其中e是自然对数的底数)，用分析法求证：ba>ab.【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习（文））已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a，b，c>0.2．（2020·全国高三专题练习（文））

已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0<x<c时，f(x)>0.（1）证明：1a是f(x)＝0的一个根；（2）试比较1a与c的大小．3．（2020·全国高三专题练习

（理））已知a>5，求证：5a−－32aa−−－a..1．（2021·河南高二月考（理））请阅读下列材料：若两个正实数1a，2a，满足22122aa+=，求证：122aa+„．强化练习证明：构造函数()()2212()fxxaxa=−+−()212222xaax=−+

+，因为对一切实数x，恒有()0fx…，所以Δ0„，即()2124160aa+−„，所以122aa+„．根据上述证明方法，若n个正实数1a，2a，，na，满足222122naaan+++=，你能得到的结论是（）A．12naaan+++„B．1222nnaaa+++„C．12na

aan+++„D．122naaan+++„2．（2021·河南）在等差数列na中，若20200a=，则有等式12124039nnaaaaaa−+++=+++（4039n且nN）成立，类比上述性质，在等比数列nb中，若20211b=，则有（）A．1212404

1nnbbbbbb−=（4041n且nN）B．12124040nnbbbbbb−=（4040n且nN）C．12124041nnbbbbbb−+++=+++（4041n且nN）D．12124040nnbbbbb

b−+++=+++（4040n且nN）3．（2021·河南）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点(2,1)A−，且法向量为(1,2)n→=−的直线（

点法式）方程为1(2)2(1)0xy−−++=，化简得240xy−−=．类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点(1,1,2)B−−，且法向量为(1,2,1)m→=−的平面的方程为（）A．210xyz+++=B．210xy

z−−−=C．210xyz++−=D．210xyz+−−=4．（2021·全国=测试）如图所示，4个小动物换座位，开始时鼠，猴，兔，猫分别坐1，2，3，4号座位，如果第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，第3次前后排动物互换座位，…，

这样交替进行下去，那么第2014次互换座位后，小兔坐在（）号座位上．A．1B．2C．3D．45．（2021·贵溪市实验中学）“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸被称为“十天干”，子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未

､申､酉､戌､亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子､乙丑､丙寅､……､癸酉､甲戌､己亥､丙子､……､癸未､甲申､乙酉

､丙戌､……､癸巳､……，共得到60个组合，周而复始，循环记录.已知1894年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2021年是“干支纪年法”中的（）A．庚子年B．辛丑年C．己亥年D．戊戌年6．（2021·全国单元测试）已知26

=22464+−−，53=25434+−−，71=27414+−−，102=210424−+−−−，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为（）A．8=24(8)4nnnn−+−−−B．1(1)5=2(1

)4(1)4nnnn+++++−+−C．4=24(1)4nnnn++−+−D．15=2(1)4(5)4nnnn++++−+−7．（2020·全国高三专题练习（理））已知,,(,0)abc−，则下列三个数1ab+，4bc+，9ca+（）A．都不大于-4B．至少有一个不大于-4C

．都不小于-4D．至少有一个不小于-48．（2020·全国高三专题练习（理））用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60B．假设三内角都大于60C．假设三内角至少有一个大于60D．假设三内角至多有两个大于60

9．（2020·全国高三专题练习）命题“对于任意角θ，44cosθsinθcos2θ−=”的证明：“()()44222222cosθsinθcosθsinθcosθsinθcosθsinθcos2θ−=−+=−=”，其过程应用了A．分析法B．综合

法C．综合法、分析法综合使用D．间接证法10（多选）．（2021·河北邯郸市·高三一模）新学期到来，某大学开出了新课“烹饪选修课”，面向2020级本科生开放．该校学生小华选完内容后，其他三位同学根据小华的兴趣爱好对他选择的内容进行猜测．甲说：小华选的不是川菜干烧大虾，选的是烹制中式面食．乙说

：小华选的不是烹制中式面食，选的是烹制西式点心．丙说：小华选的不是烹制中式面食，也不是家常菜青椒土豆丝．已知三人中有一个人说的全对，有一个人说的对了一半，剩下的一个人说的全不对，由此推断小华选择的内容（）A．可能是家常菜青椒土豆丝B．可能

是川菜干烧大虾C．可能是烹制西式点心D．可能是烹制中式面食11．（2021·江苏常州市·高三一模）已知复数z对应的点在复平面第一象限内，甲､乙､丙､丁四人对复数z的陈述如下（i为虚数单位）：甲：2zz+=；乙：23

zzi−=；丙：4zz=；丁：22zzz=.在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z=___________.12．（2021·河南高二月考（理））观察下列不等式：111223++，11113237++++，111142315++++，…，可归纳的一个不等式是111

23++++__________n（nN且1n）．13．（2021·河南）甲、乙、丙三位同学是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙、丙多，但没去过C城市；乙说：我去过某一个城市，但没去过B城市；丙说：

我去过的城市甲和乙都没去过．由此可以判断乙去过的城市为__________．14．（2021·山西高三一模（理））观察下列各式：211121122C−+=，3122211211233CC−++=，41233331112112344CCC−+++=，512344444111121123455

CCCC−++++=，……照此规律，当*nN时，121111231nnnnCCCn++++=+_________________．15．（2021·山东日照市·高三一模）为了贯彻落实习近平总书记在全国教

育大会上的讲话精神，2020年中办、国办联合印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，为落实该文件精神，某中学对女生立定跳远项目的考核要求为：1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分，若某女生训练前的成绩

为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分则该女生经过训练后跳远增加了______米.16．（2021·全国=课时练习）观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律，猜想第n个图中有___________小圆圈.17．（2021·

内蒙古呼和浩特市·高三一模（文））2223sin30sin90sin1502++=，2223sin8sin68sin1282++=.通过观察上述两等式的共同规律，请你写出一个一般性的命题___________.18．（2021·全国高三专题练习）某同学准备

用反证法证明如下一个问题：函数()fx在0,1上有意义，且()()01ff=，如果对于不同的1x、20,1x，都有()()1212fxfxxx−−，求证：()()1212fxfx−.那么他的反设应该是______

__.19．（2020·全国高三专题练习（文））如果aabbabba++，则,ab应满足的条件是__________．20．（2021·全国高三专题练习）小赵、小钱、小孙、小李每人去A、B、C、D四地之一

，去的地方各不相同．小赵说：我去A小钱说：我去B或C或D地；小孙说：我去C地；小李说：我去D地；①代表小赵，②代表小钱，③代表小孙，④代表小李，只有一个人说错了，可能是______．（填写你认为正确的序号）21

．（2021·北京高三专题练习）对于正整数集合12{,,,}nAaaa=（nN，3n），如果去掉其中任意一个元素ia（1,2,,in=）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“和谐集”．（Ⅰ）判断集

合{1,2,3,4,5}是否是“和谐集”（不必写过程）；（Ⅱ）求证：若集合A是“和谐集”，则集合A中元素个数为奇数；（Ⅲ）若集合A是“和谐集”，求集合A中元素个数的最小值．22．（2021·全国高三专题练习）已知f(x)＝ax2＋bx＋c，若a＋c＝0，f(x)在[－1，1]上的最大值为2，最小

值为52−.求证：a≠0且2ba.23．（2020·全国高三专题练习（理））已知a＞0，证明：221aa+－2≥a＋1a－2.24．（2020·全国高三专题练习（文））已知a，b，c是互不相等的非零实数，用反证法证明三个方程220axbxc

++=，220bxcxa++=，220cxaxb++=中至少有一个方程有两个相异实根．25（2020·浙江高三专题练习）已知数列na满足1a=12且1na+=na-2na(n*N)（1）证明：112nnaa+(n*N)；（2）设数列2na的前n

项和为nS，证明112(2)2(1)nSnnn++(n*N).26．（2020·全国高三专题练习）设0ab，用综合法证明：3322ababab++．27．（2020·全国高三专题练习）用综合法证明：如果,0ab，则lglgl

g22abab++.