【文档说明】河南省普通高中2020届高三5月高考适应性练习数学（理）试题 【精准解析】.doc，共(28)页，2.262 MB，由小赞的店铺上传

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2020年河南省普通高中毕业班高考适应性练习数学（理科）参考公式：椎体的体积公式：13VSh=（其中S为锥体的底面积，h为锥体的高）．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的．1.已知i是虚数单位，z是复数z的共轭复数，若2izi+=，则z=（）A.12i−B.12i+C.2i+D.2i−【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算，可求12zi=−，再根据复数与共轭复数的关系，即可求出结果.【详解】

因为()22212iiiziii++===−，所以12zi=+.故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算和共轭复数的概念，属于基础题.2.设集合12Axx=−，2,0,2xByyx==，则下列选项正确的是（）A.(

)1,3AB=B.)1,4AB=C.(1,4AB=−D.0,1,2,3,4AB=【答案】C【解析】【分析】先化简集合,AB，结合选项进行判断.【详解】因为1213Axxxx=−=−，2

,0,214xByyxyy===，所以)1,3AB=，(1,4AB=−.故选：C【点睛】本题主要考查集合的运算，把集合化为最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.3.某科研型企业，每年都对应聘入围的大学生进行体检，其中一项重要指标就是身高与体重比，其中每年入围大学生体

重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）基本都具有线性相关关系，根据今年的一组样本数据()()1,,2,,50iixyi=，用最小二乘法建立的回归方程为ˆ0.8385.71yx=−，则下列结论中不正确的是（

）A.y与x具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心(),xyC.若某应聘大学生身高增加1cm，则其体重约增加0.83kgD.若某应聘大学生身高为170cm，则可断定其体重必为55.39kg【答案】D【解析】【分析】根据线性回归方程分析，

x的系数为正则正相关；线性回归方程必过样本中心点；利用线性回归方程分析数据时只是估计值，与真实值存在误差.【详解】由于线性回归方程中x的系数为0.83，因此y与x具有正的线性相关关系，故A正确；线性回归方程必过样本中心点(),xy，故B正确；由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1cm，其体重

约增加0.83kg，故C正确；当某大学生的身高为170cm时，其体重估计值是55.39kg，而不是具体值，故D不正确.故选：D【点睛】本题考查两变量间的相关关系、线性回归方程，属于基础题.4.“0m=

”是“直线0xym+−=与圆()()22112xy−+−=相切”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】试题分析：若0m=，则圆()()22112xy−+−=的圆心(1,1)，到直线0xy+=的距离为2，等于半

径，此时圆与直线相切，充分性成立；若直线0xym+−=与圆()()22112xy−+−=相切，则圆心到直线距离为|11|22m+−=，解得0m=或4，所以必要性不成立.故选：B.考点：直线与圆的位置关系、充分必要条件．5

.已知向量()3,1a=，()1,3bm=−r，若向量a，b的夹角为锐角，则实数m的取值范围为（）A.()13,−+B.()133,++C.()()13,133133,−+++D.()()13,133133,++++【答案】C【解析】【分析】先

由向量的夹角为锐角，由向量数量积，求出13m−，再由向量a，b共线时，求出133m=+，进而可求出结果.【详解】因为()3,1a=，()1,3bm=−r，所以()313abm=−+；因为向量a，b的夹角为锐

角，所以有()3130m−+，解得13m−.又当向量a，b共线时，()3310m−−=，解得：133m=+，所以实数m的取值范围为()()13,133133,−+++.故选：C.【点睛】本题主要考查由向量夹角的范围求参数范围，熟记向量数量积的坐标表示，以

及向量共线的坐标表示即可，属于常考题型.6.设函数()sin3cosfxxx=+，0,2x，若01a，则方程()fxa=的所有根之和为（）A.43B.2C.83D.73【答案】D【解析】【分析】先进行化简函数()fx，利用三角

函数的对称性进行求解即可．【详解】∵()2sin3fxx=+，0,2x，∴()2,2fx−，又01a，∴方程()fxa=有两根1x，2x，由对称性得1233322xx

+++=，解得1273xx+=.答案：D【点睛】本题考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，考查数形结合的能力，属于基础题.7.若对任意正数x，不等式22214axx++恒成立，则实数a的取值范围为（）A.)0,+B.1,4−+

C.1,4+D.1,2+【答案】B【解析】【分析】由题意得出2222144xaxxx+=++，利用基本不等式求得24xx+的最大值，可得出关于a的不等式，由此可解得实数a的取值范围.【详解】依题意得当0x

时，2222144xaxxx+=++恒成立，又因为4424xxxx+=，当且仅当2x=时取等号，所以24xx+的最大值为12，所以1212a+，解得14a−，因此，实数a的取值范围为1,4−+.故选：B.【点睛】本题考查利用

基本不等式恒成立求参数，考查计算能力，属于基础题.8.某地一重点高中为让学生提高遵守交通的意识，每天都派出多名学生参加与交通相关的各类活动.现有包括甲、乙两人在内的6名中学生，自愿参加交通志愿者的服务工作这6名中学生中2人被分配到学校附近路口执勤，2人被分配

到医院附近路口执勤，2人被分配到中心市场附近路口执勤，如果分配去向是随机的，则甲、乙两人被分配到同一路口的概率是（）A.15B.25C.35D.45【答案】A【解析】【分析】结合排列、组合求得把6名同学平均分配到三个不同

的路口分配种数，再求得甲、乙两人被分配到同一路口种数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，把6名同学平均分配到三个不同的路口，共有222364233390CCCAA=种分配方案，其中甲、乙两人被分配到同一路口有123418CC=种可

能，所以甲、乙两人被分配到同一路口的概率为181905=.故选：A.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及排列组合的应用，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.9.已知函数()22ln33fxxx=−+，其中x表示不大于x的最大整数（如1.61=，2

.13−=−），则函数()fx的零点个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】构造函数()22lngxx=与()33hxx=−，作出图象，结合图象得出两函数的交点个数，即可求解.【详解】设函数()22lngxx=，()33hxx=−，则()()222l

n()2lngxxxgx−=−==，所以函数()gx为定义域上的为偶函数，作出函数()22lngxx=与()33hxx=−的图象，如图所示，当10x−时，()6hx=−，结合图象，两函数有1个交点，即1个零点；当01x时，(

)3hx=−，结合图象，两函数有1个交点，即1个零点；当1x=时，()()0gxhx==，两函数有1个交点，即1个零点；当23x时，()3hx=，()4ln24ln3gx，此时两函数有1个交点，即1个零点，综上可

得函数()22ln33fxxx=−+共4个零点.故选：D.【点睛】本题主要考查了函数的零点个数的判定，以及函数的图象的应用，其中解答中构造新函数，作出函数的图象，结合两个函数的图象的交点个数进行判定是解答的关键，着重考查构造思想，以及数形结合思想的应用，属于

中档试题.10.已知过双曲线22:184xyC−=的左焦点F的直线l与双曲线左支交于点A，B，过原点与弦AB中点D的直线交直线433x=−于点E，若AEF为等腰直角三角形，则直线l的方程可以为（）A.()322230xy+−+=

B.()322230xy−++=C.()322230xy+−−=D.()322230xy+++=【答案】A【解析】【分析】先由题意，得()23,0F−，设():232lxmym=−，()11,Axy，()22,Bxy，将直线l的方程代入双曲线C的方程，消去x，根据韦达定

理，以及题中条件，得到224323,22mDmm−−，求得直线OD的方程为2myx=，求出4323,33Em−−，推出EFl⊥，得到EFAF=，根据题意，求出()322m=−，即可得出结果.【详解】由22:184xyC−=得其左焦点为()23,0F−，则由题意可设

():232lxmym=−，代入双曲线C的方程，消去x，整理得()2224340mymy−−+=.设()11,Axy，()22,Bxy，由根与系数的关系，得122432myym+=−，∴1222322yymm+=−，()1212

24323222myyxxm++=−=−，即224323,22mDmm−−∴直线OD的方程为2myx=.令433x=−，得233ym=−，即4323,33Em−−，∴直线EF的斜率为230343233mm−−−=−−+，∴EFl⊥，则必有EFAF=，

即()()222221114423133mxymy+=++=+，解得1233y=.又2211184xy−=，∴1463x=−，∴()322m=−，从而直线l的方程为()322230xy+−+=或()322230xy−−+=.故选：A.

【点睛】本题主要考查求双曲线中直线的方程，熟记直线与双曲线的位置关系，以及双曲线的简单性质即可，属于常考题型.11.设nS，nT分别为等差数列na，nb的前n项和，且3245nnSnTn+=+.设点A是直线BC外一点，点P是直线BC上一点，且143

aaAPABACb+=+，则实数的取值为（）A.2825B.325−C.328D.1825−【答案】B【解析】【分析】由3245nnSnTn+=+，结合数列的na与nS的关系，分别求得na，nb的通项公式，进而得到143aab+的

值，再结合向量的共线定理，即可求解.【详解】由题意，nS，nT分别为等差数列na，nb的前n项和，且3245nnSnTn+=+，不妨取232nSnn=+，245nTnn=+，当1n=时，115aS==，当2n时，161nnnaSSn−=−=−，验证得当1n=时上式成立

，综上数列na的通项公式为61nan=−，同理可得，数列nb的通项公式为81nbn=+，则1432825aab+=，又由点P在直线BC上，设BPkBC=，()()1APABBPABkBCABkACABkABkAC=+=+=+−=−+2825ABAC=+，即28125k−

=，325k==−.故选：B.【点睛】本题主要考查了等差数的通项公式及前n项和公式的应用，以及向量共线定理的应用，其中解答中熟记数列中na与nS的关系，求得数列的通项公式，以及共线向量的定理是解答的关键，着重

考查推理与运算能力.12.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积的经验公式为：21212S=弦矢+矢.弧田（如图1阴影部分）由圆弧和其所对弦围成，弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到

弦的距离之差.类比弧田面积公式得到球缺(如图2)近似体积公式：12V=圆面积矢312+矢.球缺是指一个球被平面截下的一部分，厦门嘉庚体育馆近似球缺结构（如图3)，若该体育馆占地面积约为180002m，建筑容积约为3400003m，估计体育馆建筑高度

(单位：m)所在区间为（）参考数据:3321800032608768+=，3341800034651304+=，3361800036694656+=，3381800038738872+=，340180004078

4000+=.A.()32,34B.()34,36C.()36,38D.()38,40【答案】B【解析】分析：根据所给近似体积公式分别计算32,32,36,38,40h=时的体积近似值.详解：设体育馆建筑高度为()hm，则3111800022Vhh

=+，若32h=，则304383V=；若34h=，则325652V=，若36h=，则347328V=，325652340000347328，∴3436h，故选B.点睛：本题通过数学文化引入球缺体积近似

公式，即吸引了学生的眼球，又培养了学生的兴趣，同时培养了学生的爱国情怀，是一道好题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若x，y满足线性约束条件604400xyxyy+−−−，则2zxy=+的最大值为____

__.【答案】12【解析】【分析】由线性约束条件，作出可行域，z的几何意义为直线的截距，移动直线可得经过A点，z取最大值.【详解】由线性约束条件，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，22zxyyxz=+=−+，z的几何意义为直线的截距，作直线2yx=−，平移

该直线，当直线经过点()6,0A时，2zxy=+取得最大值，即maxz26012=+=.故答案为：12【点睛】本题考查了线性规划求直线截距最值问题，考查了数学运算能力和数形结合能力，属于基础题目.14.过抛物线216xy=的焦点F的直线AB被F分成长度为m，n的

两段()mn，请写出一个m，n满足的等量关系式______.【答案】()4mnmn=+【解析】【分析】先由题意，设()11,Axy，()22,Bxy，直线AB的方程为：4ykx=+，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，得到212168yyk+

=+，再由题意，得到128yymn+=+−，121212yymnkxxxx--==--，求得()()2216mnkmn-=+，从而得到()288mnmnmn−+=+−+，求解，即可得出结果.【详解】由题意，()0,4

F，设()11,Axy，()22,Bxy，直线AB的方程为：4ykx=+，由2416ykxxy=+=消去y，得到216640xkx−−=，所以12121664xxkxx+==−，所以()212128168yykxxk+=

++=+，又过抛物线216xy=的焦点F的直线AB被F分成长度为m，n的两段()mn，所以14ym=−，24yn=−，128yymn+=+−，所以121212yymnkxxxx--==--，因此()()()()()()()222222221212121221612816mnmnmnmnkxx

xxyymnxx----====+-+++-，所以()221216888mnyykmnmn−+=+=+=+−+，即()()()2216mnmnmn−=+−+，整理得：()4mnmn=+.故答案为：()4mnmn=

+.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的简单应用，熟记抛物线的焦点弦长公式，以及抛物线的简单性质即可，属于常考题型.15.习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键.要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业.2

020年1月8日，人力资源和杜会保障部、财政部、农业农村部印发《关于进一步推动返乡入乡创业工作的意见》.《意见》指出，要贯彻落实党中央、国务院的决策部署，进一步推动返乡入乡创业，以创新带动创业，以创业带动就业，促进农村一、

二、三产业融合发展，实现更充分、更高质量就业.为鼓励返乡创业，某镇政府决定投入“创业资金”和“创业技术培训”帮扶返乡创业人员.预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个等差数列na（单位：万元），每年“创业技术培训”投入为第一年创业资金1a（万元）的3倍，已

知2212200aa+=，则该镇政府帮扶5年累计总投入的最大值为_______万元.【答案】200【解析】【分析】设等差数列na的公差为d，且满足2212200aa+=.则该镇政府帮扶5年累计总投入：()111254553102adaa

a++=+，再利用基本不等式求最值即可.【详解】设等差数列na的公差为d，且满足2212200aa+=.则该镇政府帮扶5年累计总投入：()()()22111121254553102101021022002002adaa

daaaa++=+=++==，当且仅当1210aa==时等号成立.故该镇政府帮扶5年累计总投入的最大值为200万元.故答案为：200【点睛】本题考查了等差数列前n项和公式在实际问题中的应用，也考查了基本不等式求最值的应用，属于基础题.16.函数()2222lnxfxxexax=−−，

若0a=，则()fx在1,2的最小值为_______；当0x时，()1fx恒成立，则a的取值范围是_____.【答案】(1).e(2).(,1−【解析】【分析】将0a=代入，求出函数的导数得出()0

fx恒成立，得到单调性进而得最小值；结合性1xex+可得()2111ax−+，进而可得结果.【详解】当0a=时，∵()222lnxfxxex=−，∴()222222xxfxxexxex=+−.当1x时，()0fx恒成立

，∴()fx在1,2上单调递增.∴()fx在1,2上最小值为()1fe=.又0x时，()1fx恒成立，令()1xgxex=−−,()()100xgxeg=−=,所以()gx在()0,+递增，()()00g

xg=所以1xex+∴()22222ln22ln2lnxxxfxxexaxexax+=−−=−−()2222ln12ln111xxxaxax++−−=−+恒成立，∴1a.故答案为e；(,1−.【点睛】

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与最值，利用导数解决不等式恒成立问题，属于难题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考

题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.在平面中，四边形ABCD满足ABAD⊥，4AB=，25AC=，2BCDBCA=，ABC的面积为4.（1）求BC的长；（2）求ACD△的面积.【答案】（1）2BC=；（2）10.【解析】【分析】（1）由ABC的面积求得sinBAC的

值，进而求得cosBAC，然后在ABC中利用余弦定理可求得BC的长；（2）利用勾股定理得出ABBC⊥，进而推导出DCABCACAD==，可得出ADCD=，过顶点D作AC的垂线，垂足为E，在RtADE△中，利用

正弦定理可求得DE的长，然后利用三角形的面积公式可求得ACD△的面积.【详解】（1）由已知11sin425sin422ABCSABACBACBAC===△，可得5sin5BAC=，又ABAD⊥

，所以0,2BAC，所以225cos1sin5BACBAC=−=.在ABC中，由余弦定理2222cos4BCABACABACBAC=+−=，2BC=；（2）由（1）可得：222ACABBC=+，所以ABBC⊥，故2BACBCA+

=.由ABAD⊥，得2BACCAD+=，所以=BCACAD，.又2BCDBCA=，所以DCABCACAD==，所以ACD△为等腰三角形，即ADCD=.在ACD△中，过顶点D作AC的垂线

，垂足为E，且2ADECAD+=，ADEBAC=，sinsincos2CADADEADE=−=，在RtADE△中，由正弦定理sinsinDEAECADADE=，可得sincos25sinsinAECA

DAEADEDEADEADE===，所以1125251022ACDSACDE===△.【点睛】本题考查三角形中的几何计算，考查利用正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式解三角形，考查计算能力，属于中等题.18.人类非物

质文化遗产是经联合国教科文组织评选确定而列入《人类非物质文化遗产代表作名录》的遗产项目.记录着人类社会生产生活方式、风俗人情、文化理念等，非物质文化遗产蕴藏着世界各民族的文化基因、精神特质、价值观念、心理结构、气质情感等核心因素，是全人类共同的宝贵财富.中国作为东方文明大国，有39个项目入选

，总数位居世界第一.现已知某地市是非物质文化遗产项目大户，有7项人选，每年都有大批的游客前来参观学习，同时也带动了当地旅游经济的发展.某土特产超市对2019年春节期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表：购买金额（元）)0,15)15,30)30,45)

45,60)60,75)75,90购买人数101520152010（1）根据以上数据完成2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为购买金额是否少于60元与年龄有关.不少于60元少于

60元总计年龄大于5040龄小于5018总计（2）为吸引游客，超市推出一种优惠方案，举行购买特产，抽奖赢取非物质文化遗产体验及返现的活动，凡是购买金额不少于60元可抽奖三次，每次中奖概率为P（每次抽奖互不影响，且P的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），每中奖一次体验1次，同时

减免5元；每中奖两次体验2次，减免10元，每中奖三次体验2次，减免15元，若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X（元）的分布列并求其数学期望.附参考公式和数据：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，nabcd=+

++.()20PKk0.1500.1000.0500.0100.0050k2.0722.7063.8416.6357.879【答案】（1）列联表见解析，能在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为购买金额是否少

于60元与年龄有关；（2）分布列见解析，75.【解析】【分析】（1）根据题中数据可得22列联表，再利用2K计算公式得出，即可判断出结论．（2）X可能取值为65，70，75，80，且10201903P+==．利用二项分布列的计算公式即可

得出X的分布列及其数学期望．【详解】解：（1）2×2列联表如下：不少于60元少于60元总计年龄大于50124052龄小于50182038总计306090()229012204018144053.841306

05238247K−==，.因此能在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为购买金额是否少于60元与年龄有关.（2）X的可能取值为65，70，75，80，且10201903P+==.()3331165327PXC

===，()22312270339PXC===，.()21312475C339PX===，()3032880327PXC===.X的分布

列为X65707580P1272949827所以()12865707580752799274EX=+++=.【点睛】本题考查独立性检验、二项分布列的计算公式及其数学期望，考查运算求解能力和应用

意识，属于中档题．19.如图，已知五面体ABCDEF中，四边形BCEF为等腰梯形，//BCAD，ABBC⊥，且2BC=，1BFEFCEAD====，2AB=，平面ABF⊥平面BCEF.（1）证明：ABC

E^；（2）求二面角ADFC−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）53333.【解析】【分析】（1）取BC中点M，连接CF，MF，先由题中条件，得到CFBF⊥，再由面面垂直的性质，以及线面垂直的判定定理，证明AB⊥平面BCEF，进而可得出ABCE^；（2

）先由题意建立空间直角坐标系，分别求出平面ADF和平面DFC的法向量，根据向量夹角公式，求出法向量夹角的余弦值，进而可得出结果.【详解】（1）证明：取BC中点M，连接CF，MF，因为四边形BCEF为等腰梯形，2BC=，1BFEFCEAD

====，所以//CMEF，1CMEF==，所以四边形EFMC为平行四边形，所以ECMF=，三角形BMF为等边三角形，所以60CBF=，30BCF=，90BFC=，即CFBF⊥，又因为CF平面BCEF，平面ABF⊥平面BCEF，平面ABF

平面BCEFBF=，所以CF⊥平面ABF，因为ABÌ平面ABF，所以CFAB⊥，又因为ABBC⊥，BCCFC=，BC平面BCEF，CF平面BCEF，所以AB⊥平面BCEF，又因为CE平面BCEF，所以ABCE^.（2）据

（1）可建立如图所示的空间直角坐标系，所以可求得()0,0,2A，()0,1,2D，31,,022F，()0,2,0C.则31,,222DF=−−，()0,1,0AD=uuur，()0,1,2DC=−.设向量()111,

,axyz=为平面ADF的一个法向量，则00aDFaAD==，即11113120220xyzy−−==，所以令2z=，则43,0,23a=；设向量()222,,bxyz=为平面DFC的法向量，则00bDF

bDC==，即2222231202220xyzyz−−=−=，令2z=，则()23,2,2b=，所以533cos,33ababab==，又二面角ADFC−−的平面角为钝角，所

以二面角ADFC−−的余弦值为53333−.【点睛】本题主要考查证明线线垂直，以及求二面角的余弦值，熟记线面、面面垂直的性质定理，灵活运用空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型.20.已知圆()22:316Cxy−+=，点()3,0G−，P是圆C上一动点，若线段PG的垂直平分线和CP

相交于点M.（1）求点M的轨迹方程E.（2）已知直线():0lykxmm=+交曲线E于A，B两点.①若射线BO交椭圆221164xy+=于点Q，求ABQ△面积的最大值；②若OAOB⊥，OD垂直AB于点D，求点D的轨迹方程.【答案】（1）2214xy+=；（2）①ABQ面积的最大值为3

；②2242555xyx+=.【解析】【分析】（1）根据题意，化简得4GMMCPMMCGC+=+=，再结合椭圆的定义即可取得点M的轨迹方程；（2）①当BO所在直线斜率存在时，设BO的方程为ynx=，得到Q到直线l的距离是点O到直线l距离的3倍，

联立方程组2214ykxmxy=++=，利用根与系数的关系和弦长公式，以及点到直线的距离公式，求得OABS的表示，利用基本不等式，求得OABS面积的最大值；当BO所在直线斜率不存在时，设l的方程为1ykx=+，联立

方程组，结合面积公式和基本不等式，求得OABS的最大值，即可得到结论；②由①和OAOB⊥，化简得到()22415km+=，进而得到255OD=，结合圆的定义，即可求解.【详解】（1）由圆()22:316Cxy−+=，可

得圆心(3,0)C，半径4r=，因为234GC=，所以点G在圆C内，又由点M在线段PG的垂直平分线上，所以GMPM=，所以4GMMCPMMCGC+=+=，由椭圆的定义知，点M的轨迹是以G，C为焦点的椭圆，其中2a=，

3c=，2431b=−=，所以点M的轨迹方程为2214xy+=.（2）①当BO所在直线斜率存在时，设BO所在直线方程为ynx=，由2214ynxxy=+=，可得22414Bxn=+，同理221614Qxn=+，21QBxx=，所以2OQO

B=，即Q到直线l的距离是点O到直线l距离的3倍，设()11,Axy，()22,Bxy，联立2214ykxmxy=++=，可得()()222418410kxkmxm+++−=.由得22410km+−，且122841kmxxk+=−+，()21224141mx

xk−=+，则()222221212241411441kkmABkxxxxk++−=++−=+，又由O到直线l的距离21mdk=+，∴()2222222222221414141221214141412OABmmmkmkkmmSkkk+−+−++==−=+++△.当且仅

当222214141mmkk=−++，即22241mk=+时等号成立.故ABQ△面积的最大值为33OABS=△.当BO所在直线斜率不存在时，假设()0,1B，则()0,2Q−，l的方程为1ykx=+（其中0k）.联立22114ykx

xy=++=，得()224180kxkx++=，则2841Akxk−=+.∴2112121231241224ABQAkSBQxkkk====++△，综上可得，ABQ面积的最大值为3.②由①知122841kmxxk+=−+，()21224141mxxk−=+，又因为

OAOB⊥，所以0OAOB=，即12120xxyy+=，即()()2212121212(1)()0xxkxmkxmkxxkmxxm+++=++++=，代入解得()22415km+=，又2||2551mODk==+，所以点D的轨迹是以O为圆心，半径为255的圆（

去掉x轴上的两个点），故点D的轨迹方程为2242555xyx+=.【点睛】本题主要考查椭圆的定义及标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆

方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．21.已知函数()()xfxxexR−=.（1）判断函数()fx的单调性；（2）若方程()2

2310fxaa+−+=有两个不同的根，求实数a的取值范围；（3）如果12xx，且()()12fxfx=，求证：()12lnln2xx+.【答案】（1）在(),1−上单调递增，在()1,+上单

调递减.；（2）1,12；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）先求解导数()fx，通过求解不等式，判断函数单调性；（2）利用单调性求解函数的值域，结合图象变化趋势可得212310,aae−+

−，然后求解不等式可得结果；（3）构造函数()()()11Fxfxfx=+−−，判断单调性得出()()11fxfx+−，结合函数()fx的单调性可得122xx+，从而可证结论.【详解】（1）因为

()xfxxe−=，所以()()1xfxxe−=−，令()0fx可得1x；令()0fx可得1x；所以函数()xfxxe−=在(),1−上单调递增，在()1,+上单调递减.（2）由（1）可得函数(

)xfxxe−=在1x=处取得最大值，()()max11fxfe==，所以函数()xfxxe−=的值域为1,e−，且x→+时，()0fx→；因为方程()22310fxaa+−+=有两个不同的根，所以212310,aae−+−

，即22310aa−+−，21231aae−+−，解得112a.即实数a的取值范围为1,12.（3）证明：由()()12fxfx=，12xx，不妨设12xx，构造函数()()()11Fxfxfx=+−−，(0,1x，则()()()()211110xx

xFxfxfxee+=++−=−，所以()Fx在(0,1x上单调递增，()()00FxF=，也即()()11fxfx+−对(0,1x恒成立.由1201xx，则(110,1x−，所以()()()()()()()1111211211fxfxf

xfxfx+−=−−−==，.即()()122fxfx−，又因为12x−，()21,x+，且()fx在()1,+上单调递减，所以122xx−，即证122xx+.即()12lnln2xx+.【点睛】本题主要考

查导数的应用，利用导数的符号可以判定单调性，利用导数可以研究函数图象的变化趋势，侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.在平

面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos3sinxy==（为参数），直线l的参数方程为1cossinxtayt=+=（t为参数）.（1）求曲线C和直线l的一般方程；（2）已知点

()1,0P，直线l和曲线C交于A，B两点，若125PAPB=，求直线l的一般方程.【答案】（1）22143xy+=；1x=或()tan1yx=−；（2）330xy−−=或330xy+−=.【解析】【分析】（1）由曲线C和直线l的参数方程，消去参数，即可求得曲线C和直

线l的一般方程；（2）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，结合直线参数方程中参数的几何意义，即可求解.【详解】（1）由题意，曲线C的参数方程为2cos3sinxy==（为参数），即cos2sin3xy=

=（为参数），平方相加，可得曲线C的一般方程为22143xy+=，由直线l的参数方程为1cossinxtayt=+=（t为参数）当cos0时，l的直角坐标方程为()tan1yx=−.当cos0=

时，l的直角坐标方程为1x=.（2）将l的参数方程1cossinxtayt=+=（t为参数）代入22143xy+=，整理得()2224sin3cos6cos90tt++−=，设A，B对应的参数为1t，2t，则1222

94sin3costt=−+，∴229124sin3cos5PAPB==+，解得2tan3=，即tan3=或tan3=−，所以直线l的方程为330xy−−=或330xy+−=.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程的互化，以

及直线的参数方程的几何意义的应用，其中解答中熟记直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查推理与运算能力.23.已知函数()2fxxxm=−++.（1）若1m=，求不等式()3fxx的解集；（2）若关于x的不等式()1fx恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】（1）1xx；（2）(),31,−−−+.【解析】【分析】（1）求出函数的两个零点，再利用零点分段法解不等式，即可得到答案；（2）利用绝对值不等式，将()1fx恒成立等价于21m+恒成

立，再解绝对值不等式，即可得到答案；【详解】解：（1）当1m=时，()12,13,1221,2xxfxxxx−−=−−.当1x−时，由()3fxx，得51x，解得15x，所以1x−；当12x−

时，由()3fxx，得33x，解得1x，所以11x−；当2x时，()3fxx，解得1x−，所以无解.综上()3fxx的解集为1xx（2）()222xxmxxmm−+−−+=++，当且仅当()()2

0xxm−+时等号成立，故()1fx恒成立等价于21m+恒成立，由21m+，可得3m−或1m−，所以m的取值范围是(),31,−−−+.【点睛】本题考查零点分段法解绝对值不等式和不等式恒成立求参数，考查分类讨论

思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意讨论的完整性.