【文档说明】山西大学附属中学2023届高三下学期5月月考 数学答案和解析.docx，共(24)页，2.327 MB，由小赞的店铺上传

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数学答案一．选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（5分）已知aR，i为虚数单位，若3aii−+为实数，则(a=)A．3−B．13C．3D．13−【分析】求出()(3)31(3)3(3)(3

)10aiaiiaaiiii−−−−−+==++−，再由3aii−+为实数，能求出a．【解答】解：()(3)31(3)3(3)(3)10aiaiiaaiiii−−−−−+==++−，由于3aii−+为实数，则30a+=，所以3a=−，故选：A．【点评】本题主要考

查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．2．（5分）如图所示的Venn图中，A、B是非空集合，定义集合AB为阴影部分表示的集合．若{|21Axxn==+，nN，4}n„，{2B=，3，4，5，6，7}，则(AB=)A．{2，4，

6，1}B．{2，4，6，9}C．{2，3，4，5，6，7}D．{1，2，4，6，9}【分析】分析可知{|()ABxxAB=，()}xAB，求出集合A、AB、AB，即可得集合AB．【解答】解：由Venn图可知，{|()ABxxAB=，()

}xAB，因为{|21Axxn==+，nN，4}{1n=„，3，5，7，9}，{2B=，3，4，5，6，7}，则{1AB=，2，3，4，5，6，7，9}，{3AB=，5，7}，因此，{1AB=，2，4，6，9}．故选：D．3．已知函数()fx同时满足性质：①()()fxfx−

=；②当1x，2(0,1)x时，1212()()0fxfxxx−−，则函数()fx可能为()A．2()fxx=B．1()()2xfx=C．()cos4fxx=D．()(1||)fxlnx=−【分析】①()()fx

fx−=说明()fx为偶函数，②121212()(),(0,1),0fxfxxxxx−−，说明函数在(0,1)上单调递减，再逐项分析即可．【解答】解：①()()fxfx−=说明()fx为偶函数，②121212()(),(0,1),

0fxfxxxxx−−，说明函数在(0,1)上单调递减．A不满足②，B不满足①，C不满足②，因为()cos4fxx=在(0,)4单调递减，在(,1)4单调递增．对于D，满足①，当(0,1)x，()(1)fxlnx=−，单调

递减，也满足②．故选：D．4.（5分）我国古代数学家赵爽所使用的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如图①，是一个“勾股圆方图”，设DGa=，DHb=，GHc=；在正方形EFGH中再作四个全等的直角三角

形和一个小正方形IJKL，且//KEAD，如图②．若3ab=，且HFHEHJ=+，则(+=)A．74B．169C．1912D．2916【分析】根据向量的加减法运算法则，13HFHEELLFHEEKHJ=++=++，13EKHKHEHJHE=−=−

，化简得到21039HFHEHJ=+．【解答】解：因为13HFHEELLFHEEKHJ=++=++，13EKHKHEHJHE=−=−，所以111210()33339HFHEEKHJHEHJHEHJHEHJ=++=+−+=+，所以21016399+=+=，

故选：B．5.某人同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则椭圆22221yxab+=的离心率32e…的概率是()A．536B．16C．14D．13【分析】由32e…得222314bea=−…，从而12ba„，掷两颗骰子得到点数(,)ab共有36个基本事件，利用列举法求出其中满

足12ba„的基本事件有9个，由此能求出椭圆22221yxab+=的离心率32e…的概率．【解答】解：由32e…得222314bea=−…，所以12ba„，掷两颗骰子得到点数(,)ab共有36个基本事件，其中满足12ba„的基本事件有：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,

2)，(5,1)，(5,2)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，共9个，故椭圆22221yxab+=的离心率32e…的概率为91364p==．故选：C．6.2021年春节联欢晚会以“共圆小康梦，欢乐过大年”为主题，突出时代性、人民性、创新性，节目内容丰富多彩，呈现形式新颖多样，某

小区的5个家庭买了8张连号的门票，其中甲家庭需要3张连号的门票、乙家庭需要2张连号的门票，剩余的3张随机分到剩余的3个家庭即可，则这8张门票分配到家庭的不同方法种数为()A．48B．72C．120D．240【分析】这8张连号的门票不妨设为1，

2，3，4，5，6，7，8，先考虑3张连号的门票的选法共有6种情况，再考虑2张连号的门票的选法．最后考虑剩余的3张随机分到剩余的3个家庭的选法共有33A种．利用加法与乘法原理可得这8张门票不同的分配方法的种数．【解答】解：这

8张连号的门票不妨设为1，2，3，4，5，6，7，8，先考虑3张连号的门票的选法共有6种情况：(1，2，3)，(2，3，4)，(3，4，5)，(4，5，6)，(5，6，7)，(6，7，8)，再考虑2张连号的门票的选法：对于：(1，2，3)，

(2，3，4)，(3，4，5)，分别有4，3，3种选法；利用对称性可得：对于(4，5，6)，(5，6，7)，(6，7，8)分别有3，3，4种选法．最后考虑剩余的3张随机分到剩余的3个家庭的选法共有33A种．利用加法与乘法原理可得这8张门票分配到家

庭的不同方法种数33(433)2120A=++=种．故选：C．7．若31()626lnaalna=−，271()727lnlnbblnb−=，141(2)2()8ccc−=，则()A．abcB．bacC．cbaD．acb【

分析】运用对数运算将a、b、c化简，构造函数()2fxxlnx=，运用导数研究函数的单调性比较大小，进而求得结果．【解答】解：由362lnalna=−，得112(2)66alnaln=，由2772ln

lnblnb−=．得112(2)77blnbln=，由14(2)2cc−=，得112(2)88clncln=．设函数()2fxxlnx=，则2()2212fxlnxxlnxx=+=+，令()0fx=，则12xe=，当1(0,)2xe

时，()0fx，()fx单调递减，当1(,)2xe+时，()0fx，()fx单调递增，又因为111108762e，所以111()()()678fff，又因为1()()6faf=，1()()7fbf=，1()()8fcf=，所以f（a）f（b）f（

c），又因为16a，17b，18c，所以a，b，c均大于12e，又因为()fx在1(,)2e+上单调递增，所以abc．故选：A．8．（5分）已知正三棱柱111ABCABC−的底面边长23AB=，其外接球的表面积为20，D是11BC的中点，点P是线段1AD上的动点，过BC且

与AP垂直的截面与AP交于点E，则三棱锥ABCE−的体积的最大值为()A．332B．32C．3D．32【分析】根据外接球的表面积求解球半径，利用正三棱柱的外接球球心位置结合勾股定理可得棱柱的高，进而根据点E的轨迹在以AF为直径的圆上，即可确定点E到底面ABC距离的最大值，最后利用体积公式求解即可

．【解答】解：外接球的表面积为20，可得外接球半径为5．因为正三棱柱柱111ABCABC−的底面边长23AB=，所以11133322ADABAB===，所以△111ABC的外接圆半径为1223rAD==

，设三棱柱的侧棱长为h，则有22()52hr+=，解得2h=，即侧棱12AAh==，设BC的中点为F，作出截面如图所示，因为AP⊥，EF，所以AEEF⊥，所以点E在以AF为直径的圆上，当点E在弧A

F的中点时，此时点E到底面ABC距离的最大，且最大值为1133232222AF==，因为DFAF，所以此时点P在线段1AD上，符合条件，所以三棱锥ABCE−的体积的最大值为21113333(23)323242

ABCAFS==．故选：A．二．选择题：本小题4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知二项式1()2nxx−的展开式中各项系数之和是1128，则下列说法

正确的有()A．展开式共有7项B．二项式系数最大的项是第4项C．所有二项式系数和为128D．展开式的有理项共有4项【分析】利用赋值法求出n的值，然后结合二项式系数的性质以及通项逐项判断．【解答】解：令1x=可得：11()2128n=，解得7n=，故该二项式为71()2xx−，故展开式中共718+=

项，故A错误；二项式系数最大的项为中间的第4、5项，故B错误；所有二项式系数之和为72128=，故C正确；展开式的通项为732171()2kkkkTCx−+=−，0k=，1，2，，7，当1k=，3，5，7时，为有理项，故D正确．故选：CD．10．（5分）已知函数()sin()cos()

(0)36fxxx=++−，将()fx图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数()gx的图象，若()gx在(0,)12上恰有一个极值点，则的取值可能是()A．1B．3C．5D．7【分析】化简得()2sin()3fxx

=+，进而得()2sin(2)3gxx=+，0，由题意可得32632+„，即可得的范围，结合选项即可得答案．【解答】解：因为1331()sin()cos()sincoscossinsin3cos2sin()3622223fxxxxxxxxxx

=++−=+++=+=+，又因为将()fx图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数()gx的图象，所以()2sin(2)3gxx=+，0，当(0,)12x时，2(33x+，)63+，又因为(

)gx在(0,)12上恰有一个极值点，所以32632+„，解得17„，故选：BCD．11.已知x，yR，0x，0y，且2xyxy+=，则8yex−的可能取值为()（参考数据：1.13e，1.23

.321)eA．54B．32C．1e−D．e【分析】根据题意化简得到844yyeexy−=+−，令4()4,(1,)ygyeyy=+−+，求得()gy单调递增，结合(1.1)0g，(1.2)0g，得到存在0(1.1,1.2)y，使得0()

0gy=，求得最小值020044()4gyyy=+−，设020044()4fyyy=+−，求得0()fy在(1.1,1.2)上单调递减，进而得到g（2）e，即可求解．【解答】解：由2xyxy+=，可得844xy=−且1y，所

以844yyeexy−=+−，令4()4,(1,)ygyeyy=+−+，可得24()ygyey=−，令24()yhyey=−，可得38()0yhyey=+，()hy为单调递增函数，即()gy单调递增，又1.11.22244(1.1)0,(1

.2)01.11.2gege=−=−，所以存在0(1.1,1.2)y，使得00204()0ygyey=−=，所以0002000444()44,(1.1,1.2)yminggyeyyyy==+−=+−，设020044()4fyyy=+−，则0320084()fyyy

=−−，因为0(1.1,1.2)y，所以0()0fy，所以0()fy在(1.1,1.2)上单调递减，所以019()(1.2)29fyf=，又因为g（2）22ee=−，()gy在0(y，)+上递增，所以D正确．故选：ABC．12．已知直线:ly

kxm=+与椭圆22:134xyC+=交于A、B两点，点F为椭圆C的下焦点，则下列结论正确的是()A．当1m=时，kR，使得||||3FAFB+=B．当1m=时，kR，使||2FAFB+C．当1k=时，mR，使得5||||2FAFB+=D．当1k=时

，mR，6||5FAFB+【分析】对于A，将直线l的方程与椭圆方程联立，求出||AB的取值范围，可求得||||FAFB+的取值范围，可判断A选项；求出线段AB中点的轨迹方程，可求得||FAFB+的取值范围，可判断B选项；将直线l的方程与椭圆方程联立，

利用弦长公式结合△0可求得||||FAFB+的取值范围，可判断C选项；求出线段AB中点的轨迹方程，可求得||FAFB+的最小值，可判断D选项．【解答】解：在椭圆C中，222,3,1abcab===−=，由题意可得(0,1)F−，上焦点记为(0,1)F，对于A选项，设点1(Ax，1)y、2(Bx

，2)y，联立2214312ykxxy=++=，可得22(34)690kxkx++−=，△2223636(34)144(1)0kkk=++=+，由韦达定理可得12122269,3434kxxxxkk+=−=−++，2222121222263612(1)||1()41(

)343434kkABkxxxxkkkk+=++−=+−+=+++244[3,4)34k=−+，所以，||||4||8||(4,5]FAFBaABAB+=−=−，A错；对于B选项，设线段AB的中点为(,)Mxy，由题意可得221122221341

34xyxy+=+=，两式作差可得22221212034xxyy−−+=，因为直线AB的斜率存在，则12xx，所以，121212122423yyyyykxxxxx−+==−−+，整理可得43kyx=−，又因为1ykx=+，消去k可得224330xyy+−=，其中

0y，所以，11221212(,1)(,1)(,2)(2,22)FAFBxyxyxxyyxy+=+++=+++=+，所以，2222222||44(1)4484334841142FAFBxyxyyyyyyyy

+=++=+++=−+++=++，B对；对于C选项，当1k=时，直线l的方程为yxm=+，即xym=−，联立224312xymxy=−+=，可得22784120ymym−+−=，△2226428(412)16(213)0mmm=−−=−，解得77m−，由韦达定理可得212

128412,77mmyyyy−+==，222221111111113||(1)32124|2|24422yyyyFAxyyyy=++=−+++=++=+=+，同理2||22yFB=+，所以，1244747||||44(4,4)2777yymFAFB++=+=+−+，因

为54747(4,4)277−+，所以，当1k=时，mR，使得5||||,2FAFBC+=对；对于D选项，设线段AB的中点为(,)Mxy，由B选项可知，121212122423yyyyyxxxxx−+==−−+，即43yx=−，即430xy+=，由22434312yx

xy=−+=可得377x=，故点M的横坐标的取值范围是3737(,)77−，而点F到直线430xy+=的距离为2233543d==+，由430314xyyx+==−可得123737(,)2577x=−，当且仅当点1216(,)2525M−时，||FAF

B+取最小值65，D错．故选：BC．【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题．三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知等差数列{}na前9项的和为27，108a=，则15a=13．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首

项和公差，由此能求出15a．【解答】解：等差数列{}na前9项的和为27，108a=，9198227ad+=，198ad+=，解得11a=−，1d=，1511411413aad=+=−+=．故答案为：13．14.某市统计高中

生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值(1ixi=，2，3，，100)，经计算10017200iix==，100221100(7236

)iix==+．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布2(,)N，则估计该市高中生身体素质的合格率为97.7%．（用百分数作答，精确到0.1%)参考数据：若随机变量X服从正态分布2(,)N，则()0.6827PX−+剟，(22)0.9545PX−+剟，(33)0

.9973PX−+剟．【分析】计算样本的平均数和方差，由此估计，，再结合参考数据求(60)PX…．【解答】解：因为100个数据1x，2x，3x，，100x的平均值1001172100iixx===，方差10010022222211111()(100)[100(7236)10

072]36100100100iiiisxxxx===−=−=+−=，所以的估计值为72=，的估计值为6=．设该市高中生的身体素质指标值为X，由(22)0.9545PX−+剟，得(72127212)(6084)0.9545PXPX−+=剟剟，1

(22)10.9545(84)(2)(2)22PXPXPXPX−−+−=+=−=，所以1(60)(6084)(84)0.9545(10.9545)0.9772597.7%2PXPXPX=++−=厔?．故答案为：97.7%．15．已知A，B，C，

D，E为抛物线214yx=上不同的五点，抛物线焦点为F，满足0FAFBFCFDFE++++=，则||||||||||(FAFBFCFDFE++++=)A．5B．10C．516D．8516【分析】由题意可得，焦点(0,1

)F，准线为1y=−，由0FAFBFCFDFE++++=，可得123455yyyyy++++=，根据抛物线的定义，可得结论．【解答】解：抛物线214yx=的准线方程为1y=−，焦点坐标为(0,1)．设A，B，C，D，E的纵坐标分别为1y，2y，3y，4y，5y，则0FAFBFCFDFE

++++=，12345111110yyyyy−+−+−+−+−=，123455yyyyy++++=，根据抛物线的定义，可得12345||||||||||1111110FAFBFCFDFEyyyyy++++=+++++++++=，故选：B．16.（5分）已知函数()|||

|eefxlnxlnxxx=++−，则()fx的最小值是2；若关于x的方程()22fxax=+有3个实数解，则实数a的取值范围是．【分析】第一空，由题意可知()2,||,(0)efxmaxlnxxx=，故设(),||egxmaxl

nxx=，作出其图象，数形结合，可得()fx的最小值；第二空，利用导数的几何意义求出直线1yax=+与曲线()ylnxxe=相切时的a的值，将关于x的方程()22fxax=+有3个实数解问题转化为直线1yax=+与曲线()gx的交点问题，数形结合，可得答案．【解答】解：根据e

x与||lnx大小关系（比较ex与||lnx大小的推理见后附），可知()||||2,||,(0)eeefxlnxlnxmaxlnxxxxx=++−=，设(),||egxmaxlnxx=，注意到曲线

eyx=与曲线||ylnx=恰好交于点(,1)Ae，显然，,0(),exegxxlnxxe=„，作出()gx的大致图象如图，可得()gx的最小值是1，从而()fx的最小值是2．由()22fxax=+，得,||1emaxlnxaxx=+．设直线1yax=+

与曲线()ylnxxe=切于点0(Bx，0)lnx，1yx=，直线1yax=+过定点(0,1)，则000110lnxaxx−==−，解得20xe=，从而2ae−=．由图象可知，若关于x的方程()1gxax=+有3个实数解，则直线1yax=+与曲线()gx有3个交点，

则20ae−，即所求实数a的取值范围是2(0,)e−．故答案为：2；2(0,)e−．附：当01x„时，设()||eehxlnxlnxxx=−=+，则2()0xehxx−=，所以()hx在区间(0，1]上单调递减，从而()hxh（1）0e=，此时||elnx

x；当1x时，设()||eemxlnxlnxxx=−=−，()mx在区间(1,)+上单调递减，所以当1xe时，()mxm（e）0=，即||elnxx；当xe=时，m（e）0=，即||elnxx=；当xe时，()mxm（e）0

=，即||elnxx．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的最值，函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．四．解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）17.记nT为正项数列{}na的前n项积，且11a=，22

a=，2212nnnTTT++=．（1）求数列{}na的通项公式；（2）证明：321124223nnTTTTTT−+++．【分析】（1）由已知可得：2112nnnnTTTT+++=，即212nnaa++=，又212aa=，则数列{

}na是以1为首项，2为公比的等比数列，然后求其通项公式即可；（2）由（1）可得212122112nnnnTTa−−==，即数列211{}2n−是以12为首项，14为公比的等比数列，然后结合等比数列的求和公式求证即可．【解答】（1）解：记nT为正项数

列{}na的前n项积，且11a=，22a=，2212nnnTTT++=，则2112nnnnTTTT+++=，即212nnaa++=，又11a=，22a=，即212aa=，则数列{}na是以1为首项，2为公比的等比数列，即12nna−=；（2）证明：由（1

）可得212122112nnnnTTa−−==，又数列211{}2n−是以12为首项，14为公比的等比数列，即321124211[1()]221224...()1334314nnnnTTTTTT−−+++==−−．【点评】本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了等比

数列的求和公式，属基础题．18.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sincos2sincossinABAAB=−．（1）求sinsinCA的值；（2）若3b=，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得ABC存在且唯一确定，求ABC的面积．条件①

：11cos16B=；条件②：15sin4C=；条件③：ABC的周长为9．【分析】（1）根据三角恒等变换，求解即可得出答案；（2）由（1）得2ca=，若选条件①：利用余弦定理可求得a，c，进而面积公式分析运算；若选条件②：分C为锐角和C为钝角两种情况讨论，利用余弦定理可求a，c，结合

题意分析判断；若选条件③：根据题意可求得a，c，利用余弦定理结合面积公式运算求解，即可得出答案．【解答】解：（1）sincos2sincossinABAAB=−，则2sinsincoscossinsin()sinAABABABC=+=+=，sin2

sinCA=；（2）由（1）得sin2sinCA=，由正弦定理得2ca=，若选条件①：由余弦定理得222cos2acbBac+−=，即2224911416aaa+−=，又0a，解得2a=，则4c=，此时ABC存在且唯一确定，11c

os016B=，则(0,)2B，2315sin1cos16BB=−=，11315315sin2422164ABCSacB===；若选条件②：ca，即CA，若C为锐角，则21cos1sin4CC=−=，由余弦定理22

2cos2abcCab+−=，即2219446aaa+−=，整理得2260aa+−=，且0a，解得32a=，则3c=；若C为钝角，则21cos1sin4CC=−−=−，由余弦定理得222cos2abcCab+−=，即2219446aaa+−−=，整理得2260aa−−=，且0a，解得

2a=，则4c=；综上所述，此时ABC存在但不唯一确定，不合题意；若条件③：由题意得9abc++=，即329aa++=，解得2a=，则4c=，此时ABC存在且唯一确定，由余弦定理得222416911cos0222416acbBac+−+−

===，则(0,)2B，2315sin1cos16BB=−=，11315315sin2422164ABCSacB===．19.已知双曲线C的两焦点在坐标轴上，且关于原点对称．若双曲线C的实轴长为2

，焦距为23，且点(0,1)P−到渐近线的距离为33．（1）求双曲线C的方程；（2）若过点P的直线l分别交双曲线C的左、右两支于点A、B，交双曲线C的两条渐近线于点D、(ED在y轴左侧）．记ODE和

OAB的面积分别为1S、2S，求12SS的取值范围．【分析】（1）利用双曲线的实轴长，焦距，结合点(0,1)P−到渐近线的距离为33．求解双曲线方程即可．（2）设出直线方程，求出DE距离，联立直线与双曲线方程，求解AB

距离，求解面积的比值，推出范围即可．【解答】解：（1）由22a=，223c=知21a=，23c=，22b=，故双曲线C的方程为2212yx−=或2212xy−=．由点(0,1)P−到渐近线的距离为aa，知双曲

线方程为2212yx−=．（2）设:1lykx=−，1(Ax，1)y，2(Bx，2)y．由12ykxyx=−=可得12Dxk=−；由12ykxyx=−=−，可得12Exk=+．22211221||1|||2|22kDEkkkk+=+−=−−+由22122ykxxy=−

−=得22(2)230kxk−+−=，12222kxxk+=−−，12232xxk=−−．2222121221223||1()4|2|kkABkxxxxk+−=++−=−．由ODE和OAB的高相等，可122||1||3SDESABk==−，由22222041

2(2)0302kkkk−+−−−，得22k−，所以23(1k−，3]，123[,1)3SS．【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用，双曲线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．20．（12分）如图，在四棱锥PABCD−中，1PAAD==

，2PBBD==，3AB=，60BDC=，且BDBC⊥．（1）若//BE平面PAD，证明：点E为棱PC的中点；（2）已知二面角PABD−−的大小为60，当平面PBD和平面PCD的夹角为时，求证：43

．【分析】（1）找到面PBC与面PAD的交线，利用线面平行，得到线线平行，进而证明点E为棱PC的中点．（2）建立空间直角坐标系，利用两平面的法向量公式求出平面PBD和平面PCD的夹角，进而利用三角函数的

性质求出的范围．【解答】证明：（1）222ABADBD+=，222ABPAPB+=，ABAD⊥，ABPA⊥，在直角三角形BAD中，60BDA=，又60BDC=，BD为ADC的平分线，延长CB，DA交

于点F，连接PF，在CDF中，BDBC⊥，CDF是等腰三角形，点B是CF的中点，直线//BE平面PAD，过BE的平面PFC与平面PAD的交线为PF，//BEPF，B是CF的中点，E是PC的中点；（2）证明：由（1）可得，BAAD⊥，BAPA⊥，ADPAA=

，AD，PA平面PAD，PAD为二面角PABD−−的平面角，60PAD=，又1PAAD==，PAD为正三角形，又BAAD⊥，BAPA⊥，ADPAA=，AD，PA平面PAD，故BA⊥平面PA

D，BA平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，取AD的中点为O，连OP，则OPAD⊥，OP⊥平面ABCD，如图建立空间直角坐标系，则1(,0,0)2A，1(,3,0)2B，5(,23,0)2C−，1(,0,

0)2D−，3(0,0,)2P，13(,0,),(1,3,0),(2,23,0)22DPBDDC==−−=−，设111222(,,),(,,)mxyznxyz==分别为平面PBD和平面PCD的法向量，则11

111302230mDPxzmBDxy=+==−−=，取11y=−，则(3,1,1)m=−−，2222130222230nDPxznDCxy=+==−+=，取21y=，则(3,1,1)n=−，3cos,||||5mnm

nmn==，132coscoscos,cos32524===在(0,)2范围内单调递减，平面PBD和平面PCD所成夹角满足43．21.21．为了精准地找到目标人群，更好地销售新能源

汽车，某4S店对近期购车的男性与女性各100位进行问卷调查，并作为样本进行统计分析，得到如下列联表(40,):mmN„购买新能源汽车（人数）购买传统燃油车（人数）男性80m−20m+女性60m+40m−（1）当0m=时，将样本中购买传统燃油

车的购车者按性剔采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人调查购买传统燃油车的原因，记这3人中女性的人数为X，求X的分布列与数学期望；（2）定义22()(23,23,,)ijijijABKij

ijNB−=剟剟，其中ijA为列联表中第i行第j列的实际数据，ijB为列联表中第i行与第j列的总频率之积再乘以列联表的总频数得到的理论频数．基于小概率值的检验规则：首先提出零假设0H（变量X，Y相互独立，然

后计算2K的值，当2Kx…时，我们推断0H不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过；否则，我们没有充分证据推断0H不成立，可以认为X和Y独立．根据2K的计算公式，求解下面问题：()i当0m=时，依据小概率值0.005=的独立性检验，请分析性别与是否喜爱购买新

能源汽车有关；（ⅱ）当10m时，依据小概率值0.1=的独立性检验，若认为性别与是否喜爱购买新能源汽车有关，则至少有多少名男性喜爱购买新能源汽车？附：0.10.0250.005x2.7065.02

47.879【分析】（1）用分层抽样的方法抽取的购买传统燃油车的6人中，男生有2人，女生有4人，由题意可知X的可能取值为1，2，3，求出对应的概率，得到X的分布列，进而求出()EX；（2）()i根据题中数据

及所给公式计算2K，与参考数据比较即可得出结论；（ⅱ）根据基于小概率值的检验规则及2K的计算公式得到关于m的不等式，再根据m的取值范围以及实际意义即可得解．【解答】解：（1）当0m=时，用分层抽样的方法抽取购买传统燃油车的6人中，男性有2人，女性有4人，由题意可知，X的可能

取值为1，2，3，2124361(1)5CCPXC===，1224363(2)5CCPXC===，34361(3)5CPXC===，X的分布列如下表：X123P153515131()1232555EX=++=．（2）

()i零假设为0:H性别与是否购买新能源汽车独立，即性别与是否购买新能源汽车无关联，当0m=时，2280A=，2270B=，2320A=，230.50.320030B==，3260A=，320.50.720070B==，3340

A=，330.50.320030B==，22222222223233232333322220.00622233233()()()()(8070)(2030)(6070)(4030)9.5247.87970307030ABABABABKxBBBB−−−

−−−−−=+++=+++，根据小概率值0.005=的独立性检验，我们推断0H不成立，即认为性别与是否购买新能源汽车有关联，此推断犯错误的概率不超过0.005．（ⅱ）222222(8070)(2030)(6070)(4030)2(10)

7030703021mmmmmK−−+−+−−−−=+++=，由题意可知22(10)2.70621m−…，整理得2(10)28.413m−…，又mN，10m，4m„，所以m的最大值为4，又80476−=，至少有76名男性购买新能源汽车．21．在2023年春节期间，为

了进一步发挥电子商务在活跃消费市场方面的积极作用，保障人民群众度过一个平安健康快乐祥和的新春佳节，甲公司和乙公司在某购物平台上同时开启了打折促销，直播带年货活动，甲公司和乙公司所售商品类似，存在竞争关系．（1

）现对某时间段100名观看直播后选择这两个公司直播间购物的情况进行调查，得到如下数据：选择甲公司直播间购物选择乙公司直播间购物合计用户年龄段1924−岁4050用户年龄段2534−岁30合计是否有99.9%的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关？（2）若小李连续两天每天选择在

甲、乙其中一个直播间进行购物，第一天等可能地从甲、乙两家中选一家直播间购物，如果第一天去甲直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.7；如果第一天去乙直播间购物，那么第二天去甲直播间购物的概率为0.8，求小李第二天去乙直播间购物的概率；（3）元旦期间，甲公司购

物平台直播间进行“秒杀”活动，假设直播间每人下单成功的概率均为(01)pp，每人下单成功与否互不影响，若从直播间中随机抽取五人，记五人中恰有2人下单成功的概率为()fp，求()fp的最大值点0p；参考公式：22()()()()(

)nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++．2K独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值表：2()PKk…0.100.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828【分析】（1）完善列联表，应用卡方公式求卡方值，根据独立检验的基

本思想得结论；（2）应用独立事件乘方公式、互斥事件概率加法，求小李第二天去乙直播间购物的概率；（3）由题设可得32()10(1)fppp=−，利用导数研究其单调性求(0,1)上的最大值即可．【解答】解：（1）列联表如下：选择甲公司直播间购

物选择乙公司直播间购物合计用户年龄段1924−岁401050用户年龄段2534−岁203050合计6040100所以22100(40302010)5010.828604050503−==，故有99.9%的把

握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关；（2）由题设，小李第二天去乙直播间的基本事件：{第一天去甲直播间，第二天去乙直播间}；{第一天去乙直播间，第二天去乙直播间}，两种情况，所以小李第二天去乙直播间购物

的概率0.5(10.7)0.5(10.8)0.25P=−+−=；（3）由题设，设五人中下单成功的人数为X，则~(5,)Xp，所以232325()(1)10(1)fpCpppp=−=−，令322345()(1)33gppppppp=−=−+−，所以23()(29

125)gppppp=−+−，令23()29125hpppp=−+−，所以2243()9241515()55hpppp=−+−=−−+，()hp开口向下，且在4(0,)5上递增，4(,1)5上递减，又3()(1)05hh==，故3(0,)5上()0hp，

()hp递减；3(,1)5上()0hp，()hp递增；由2()0,(1)05hh==，故2(0,)5上()0hp，即2()0,(,1)5gp上()0hp，即()0gp，所以()gp在2(0,)5上递增，2(,1)5上递减，即()fp在2(0,)5上递增，2(,1)5上递减，

所以2()()5maxfpf=，即025p=．22.已知函数2()(1)fxlnxxmxm=+−+．（1）若()fx单调递减，求m的取值范围；（2）若()fx的两个零点分别为a，b，且2ab，证明：2632abe．（参考

数据：20.69)ln【分析】（1）由已知可得()0fx„在0x时恒成立，由此可得22()maxlnxmx+…，再利用导数求函数2lnxyx+=的最大值，由此可得m的取值范围；（2）令atb=，则1(0,)2t，由已知可得要证明2632abe只需证明(2)521lnttlnt+−，

利用导数求(2)1lntytt=+−的最小值即可证明结论．【解答】解：（1）由2()(1)fxlnxxmxm=+−+得，()22(0)fxlnxmxx=−+，因为()fx单调递减，所以()220fxlnx

mx=−+„在0x时恒成立，所以22lnxmx+…在0x时恒成立，即22()maxlnxmx+…，令2()(0)lnxgxxx+=，则21()lnxgxx−−=，可知10xe时，()0gx，()gx单调递增；1xe时，()0gx，()

gx单调递减，则1xe=时()gx取最大值1()gee=，所以2me…，即2em…，所以m的取值范围是[,)2e+．（2）证明：因为()22(0)fxlnxmxx=−+有两个零点a，b，令()()22(0)xfxlnxm

xx==−+，则1()2xmx=−，当0m„时，()0x，()x单调递增，不符合题意，当0m时，由1()20xmx=−=可得12xm=，当102xm时，()0x，函数()x在1(0,)2m上单调递增，当12xm时，()0x，函

数()x在1(,)2m+上单调递减，由可知0m，1()2102flnmm=−+，要证明2632abe，只需证明2526lnalnbln+−．由已知可得220220lnamalnbmb−+=−+=，化简得2222lnamalnbmb=−=−，

所以2lnalnbmab−=−，22(2)6(2)6(2)61alnlnalnbablnalnbmababaabbb−+=+−=+−=+−−−．令atb=，则1(0,)2t，要证明2526lnalnbln+−，只需证明(2)521lnttlnt+−．令()(2

)1lnthttt=+−，且1(0,)2t，则2231()(1)tlntthtt−−+=−，令2()31uttlntt=−−+，且1(0,)2t，则2232(1)(2)()10ttutttt−−=−+=，则()ut在1(0,)2t时单调递增，故11()()323022u

tuln=+−，故()0ht，则()ht在1(0,)2t时单调递减，所以1()()522hthln=，即(2)521lnttlnt+−，则有2526lnalnbln+−，所以2632abe，即原不等式成

立．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，不等式的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com