【文档说明】《九年级数学上册课堂讲义（人教版）》第2讲 一元二次方程的解法（二）——配方法（解析版）.docx，共(12)页，147.520 KB，由管理员店铺上传

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1学科教师辅导教案学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科教师：授课类型TCT授课日期及时段教学内容一元二次方程的解法（二）配方法【学习目标】1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；3

．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.【要点梳理】知识点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用

直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次

项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：（1）配方法解一元二次方

程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式．知识点二、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）

而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定2222()aabbab+=2字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原

式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒

等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．【典型例题】类型一、用配方法解一元二次方程1.用配方法解方程：2x2+3x﹣1=02x2﹣4x﹣3=0；3x2﹣12x﹣3=0.【思路点拨】方程的次项系数不

是1，必须先化成1，才能配方，这是关键的一步．配方时，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，目的是把方程化为的形式，然后用直接开平方法求解．【答案与解析】解：2x2+3x﹣1=0x2+x2+）x+x1=解：∵2x2﹣4x﹣3=0，∴

，∴，∴x﹣1=±，∴．3x2﹣12x﹣3=0，2()(0)mxnPP+=33x2﹣12x=3，x2﹣4x=1，x2﹣4x+4=1+4，（x﹣2）2=5，x﹣2=，x1=2+，x2=2﹣；【点评】一般地，用先配方，再开平方的方法解一元二次方程，应按以下步骤进行：(1)把形如ax2+bx+c=

0(a≠0)的方程中二次项的系数化为1；(2)把常数项移到方程的右边；(3)方程的两边都加“一次项系数一半的平方”，配方得形如(x+m)2=n(n≥0)的方程；(4)用直接开平方的方法解此题．举一反三：【变式】用配方法解方程.(1)x2

-4x-2=0；(2)x2+6x+8=0.(3)【答案】(1)方程变形为x2-4x=2．两边都加4，得x2-4x+4=2+4．利用完全平方公式，就得到形如(x+m)2=n的方程，即有(x-2)2=6．解这个方程，得x-2=或x-2=-．于是，原方

程的根为x=2+或x=2-．(2)将常数项移到方程右边x2+6x=-8．两边都加“一次项系数一半的平方”=32，得x2+6x+32=-8+32，∴(x+3)2=1．用直接开平方法，得x+3=±1，∴x=-2或x=-4

．（3）①当时，此方程有实数解，；②当时，此方程无实数解.类型二、配方法在代数中的应用20xpxq++=222()()22ppxpxq++=−+224()24ppqx−+=240pq−≥221244,22ppqppqxx−+−−−−==240pq−＜20xpxq++=42．若代

数式，，则的值（）Ａ．一定是负数Ｂ．一定是正数Ｃ．一定不是负数Ｄ．一定不是正数【答案】B；【解析】（作差法）．故选Ｂ．【点评】本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.3．用配

方法证明：二次三项式﹣8x2+12x﹣5的值一定小于0．【答案与解析】解：﹣8x2+12x﹣5=﹣8（x2﹣x）﹣5=﹣8[x2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x﹣）2﹣，∵（x﹣）2≥0，∴﹣8（x﹣）2≤0，∴﹣8（x﹣）2﹣＜0，即﹣8x2+12﹣5的值一定小于0．【点评】利用配方法将

代数式配成完全平方式后，再分析代数式值的符号.注意在变形的过程中不要改变式子的值．举一反三：【变式】求代数式x2+8x+17的最小值【答案】x2+8x+17=x2+8x+42-42+17=（x+4）2+1∵（x+4

）2≥0，∴当（x+4）2=0时，代数式x2+8x+17的最小值是1.3.若把代数式x2+2bx+4化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则k﹣m的最大值是．【答案】；【解析】解：x2+2bx

+4=x2+2bx+b2﹣b2+4=（x+b）2﹣b2+4；221078Maba=+−+2251Naba=+++MN−22221078(51)MNabaaba−=+−+−+++2222107851abaaba=+−+−−−−29127aa=−+29

1243aa=−++2(32)30a=−+5∴m=﹣b，k=﹣b2+4，则k﹣m=﹣（b﹣）2+．∵﹣（b﹣）2≤0，∴当b=时，k﹣m的最大值是．故答案为：．【点评】此题考查利用完全平方公式配方，注意代数式的恒等变形．4．已知，求的

值．【思路点拨】解此题关键是把拆成，可配成两个完全平方式．【答案与解析】将原式进行配方，得，即，∴且，∴，．∴．【点评】本题可将原式用配方法转化成平方和等于0的形式，进而求出a．b的值．【变式】（1）的最小值是；（2）

的最大值是.【答案】（1）；所以的最小值是（2）所以的最大值是9.223730216baab−+−+=4ab−371691416+2291304216baab−++−+=2231024ab−+−=302a−=104b

−=32a=14b=31314422422ab−=−=−=−222222333152632(3)323()()32()2222xxxxxxx+−=+−=++−−=+−152−22222245(4)5

(422)5(2)9xxxxxxx−++=−−+=−−+−+=−−+6【巩固练习】一、选择题1.用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣10=0时，下列变形正确的为（）A．（x+3）2=1B．（x﹣3）2=1C．（x+3）2=19D．（x﹣3）2=192．

下列各式是完全平方式的是（）A．B．C．D．3．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（）A．3B．-3C．D．以上都不对4．用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是（）A．（a-2）2+1B．（a+2

）2-1C．（a+2）2+1D．（a-2）2-15．把方程x2+3=4x配方，得（）A．（x-2）2=7B．（x+2）2=21C．（x-2）2=1D．（x+2）2=26．用配方法解方程x2+4x=10的根为（）A．2±B．-2±C．-2+D．2-二、填空题

7．（1）x2+4x+=（x+）2；（2）x2-6x+=（x-）2；（3）x2+8x+=（x+）2.8．若，那么m＝________．9．若是一个完全平方式，则m的值是________．10．求代数式2x2-7x+2的最小值为.11．当x=时，代数式﹣x2﹣2x有最大值，其最大值为．1

2．已知a2+b2-10a-6b+34=0，则的值为．三、解答题13.用配方法解方程（1）（2）14.已知a2+b2﹣4a+6b+13=0，求a+b的值．15．已知a，b，c是△ABC的三边，且．(1)求a

，b，c的值；(2)判断三角形的形状．【答案与解析】一、选择题1．【答案】D；277xx++244mm−−211216nn++222yx−+310141010223(2)1xmxx++=−−226xxm++221233xx+=2226810500abcabc++−−−+=7【解析】方

程移项得：x2﹣6x=10，配方得：x2﹣6x+9=19，即（x﹣3）2=19，故选D．2．【答案】C；【解析】．3.【答案】C；【解析】若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m2=9,解得m=；4.【答案】A；【解析】a2-4a+5=a2-4a+22-22+5=（a-2）2+1；5.【答案】

C；【解析】方程x2+3=4x化为x2-4x=-3，x2-4x+22=-3+22，（x-2）2=1.6.【答案】B；【解析】方程x2+4x=10两边都加上22得x2+4x+22=10+22，x=-2±.二、填空题7．【答案】（

1）4；2；（2）9；3；（3）16；4.【解析】配方:加上一次项系数一半的平方.8．【答案】-4；【解析】，∴．9．【答案】±3；【解析】．∴.10．【答案】-；【解析】∵2x2-7x+2=2（x2-x）+2=2（x-）2-≥-

，∴最小值为-，11．【答案】-1,1【解析】∵﹣x2﹣2x=﹣（x2+2x）=﹣（x2+2x+1﹣1）=﹣（x+1）2+1，∴x=﹣1时，代数式﹣x2﹣2x有最大值，其最大值为1；故答案为：﹣1，1．【解析】-3x2+5x+1=-3（x-）2+

≤，•∴最大值为．12．【答案】4.【解析】∵a2+b2-10a-6b+34=0∴a2-10a+25+b2-6b+9=0∴（a-5）2+（b-3）2=0，解得a=5，b=3，211216nn++214n

=+31422343xmxxx++=−+4m=−2239m==3m=3387274338338338563712371237128∴=4．三、解答题13.【答案与解析】（1）x2-4x-1=0x2-4x+2

2=1+22(x-2)2=5x-2=x1=x2=(2)14.【答案与解析】解：∵a2+b2﹣4a+6b+13=0，∴a2﹣4a+4+b2+6b+9=0，∴（a﹣2）2+（b+3）2=0，∴a﹣2=0，b+3=0，∴a=2，b=﹣3，∴a+b=2﹣3=﹣1．15.【答案与解析】（1）由，得又，

，，∴，，，52+52-5221233xx+=226xx+=2132xx+=222111()3()244xx++=+2149()416x+=1744x+=132x=22x=−2226810500abcabc++−−−+=222(3)(4)(5)0abc−+−+−=2(3)0a−2

(4)0b−2(5)0c−30a−=40b−=50c−=9∴，，．（2）∵即，∴△ABC是以c为斜边的直角三角形．【巩固练习】一、选择题1.已知关于x的一元二次方程，用配方法解此方程，配方后的方程是（）A．B．C．D．2

．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（）A．化为B．化为C．化为D．化为3．把一元二次方程x2﹣6x+4=0化成（x+n）2=m的形式时，m+n的值为（）A．8B．6C．3D．24．不论x、y为何实数，代数式的值()A．总小于2B．总不小于7C．为任

何实数D．不能为负数5．已知，则的值等于（）A.4B.-2C.4或-2D.-4或26．若t是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是()A.△=MB.△＞MC.△＜MD.大小关系不能确定二、填空题7．（1）x2-x+=（）2；（2）x2+px+=（）2.8．把代数式

x2﹣4x﹣5化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则4m+k=．9．已知4x2-ax+1可变为（2x-b）2的形式，则ab=_______．10．将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为_______，•所以方程的根为_______

__．11．把一元二次方程3x2-2x-3=0化成3(x+m)2=n的形式是___________；若多项式x2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________.12．已知.则的值为.3a=4b=5c=222345+=222abc+=220xxm−−=2(

1)1xm−=+2(1)1xm+=+22(1)1xm−=+22(1)1xm+=+22990xx−−=2(1)100x−=22740tt−−=2781416t−=2890xx++=2(4)25x+=23420xx−−=221039x−=2224

7xyxy++−+4310三、解答题13.用配方法解方程.(1)3x2-4x-2=0；(2)x2-4x+6=0．14．分解因式．15．当x，y取何值时，多项式x2+4x+4y2﹣4y+1取得最小值，并求出最小值．【答案与解析】一、选择题1．【答案】A；【解析】配方的步骤是：

(1)移项，把常数项移到等号右边；(2)把二次项系数化为1，即在方程两边同时除以二次项系数；(3)配方，在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方．2．【答案】C；【解析】选项C：配方后应为．3．【答案】D；【解析】x2﹣6x=﹣4，∴x2

﹣6x+9=﹣4+9，即得（x﹣3）2=5，∴n=﹣3，m=5，∴m+n=5﹣3=2．故选D．4．【答案】D；【解析】．5．【答案】A；【解析】原方程化简为：（x2+y2）2-2(x2+y2)-8=0,解得x

2+y2=-2或4，-2不符题意舍去.故选A.6．【答案】A.【解析】由t是方程的根得at2+bt+c=0,M=4a2t2+4abt+b2=4a(at2+bt)+b2=b2-4ac=△.故选A.二、填空题三、7．【答

案】（1）；；（2）；.【解析】配方:加上一次项系数一半的平方.8．【答案】﹣1；【解析】x2﹣4x﹣5=x2﹣4x+4﹣4﹣5=（x﹣2）2﹣9，∴m=2，k=﹣9，∴4m+k=4×2﹣9=﹣1．故答案为﹣1．9．【答案】4；【解析】4x2-ax+1=(2x-b)2化为4x2-

ax+1=4x2-4bx+b2,所以解得或所以.44x+2890xx++=2(4)7x+=2222247(1)(2)22xyxyxy++−+=++−+4923x−24p2px+241abb=−=－41

ab==41ab=−=−4ab=1110．【答案】（x-1）2=5；．【解析】方程两边都加上1的平方得（x-1）2=5，解得x=.11．【答案】；2或6.【解析】3x2-2x-3=0化成；即，a=2或6.12.【答案】5；【

解析】原式三、解答题13.【答案与解析】(1)将常数项移到方程右边3x2-4x=2将二次项系数化为1：x2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2配方：(x-)2=直接开平方得：x-=±∴x=∴原方程

的解为x1=，x2=.(2)将常数项移到方程右边x2-4x=-6．两边都加“一次项系数一半的平方”=(-2)2，得15152(-)232aa=−12x2-4x+(2)2=-6+(2)2．(x-2)2=2，用直接开平方法，得x-2=±，∴x

=3或x=．14.【答案与解析】．15.【答案与解析】解：x2+4x+4y2﹣4y+1=x2+4x+4+4y2﹣4y+1﹣4=（x+2）2+（2y﹣1）2﹣4，又∵（x+2）2+（2y﹣1）2的最小值是0，∴x2+4x+4y2﹣4y+1的最小值为﹣4．∴当x=﹣2，y=时有最

小值为﹣4．4222224()22222xxxx+=++−gggg22222(2)(2)(22)(22)xxxxxx=+−=++−+