【文档说明】湖南省邵阳市第二中学2025届高三上学期8月月考试题 数学 Word版含解析.docx，共(30)页，1.440 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-88d89138be9f6ac864d0755428f03beb.html

以下为本文档部分文字说明：

邵阳市第二中学2022级高三第一次月考数学试卷时间：120分钟满分：150分一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若非空集合A,B满足AB，U

为全集，则下列集合中表示空集的是（）A.AB；B.AB；C.AB；D.AB．2.sin40°(tan10°－√3)＝A.－12B.－1C.32D.－333.已知函数112yfx=+的定义域是2,4，则函

数()()()ln2fxgxx=−的定义域为（）A.()2,3B.(2,3C.()(2,33,6D.()(2,33,44.下列求导数计算错误．．的是（）A.211xx=−B.222eexxxxx−=C.()ln1lnxxx=+D.()21tancosxx=

5.苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550-1617）发明的对数及对数表（如下表），为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间.即就是任何一个正实数N可以表示成10(110,Z)nNaan=，则(lglg0l1)gNnaa=+，这样我们可以知道N的

位数.已知正整数31M是35位数，则M的值为（）N23451112131415lgN0.300.480.600701.041.081.111.151.18A.3B.12C.13D.146.一家商店使用一架两臂不等长天平称黄金．一位顾客到店里购买

10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄.的金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的

黄金（）附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有1122mLmL=，其中1m、2m分别左、右盘中物体质量，1L、2L分别为左右横梁臂长．A.等于10gB.小于10gC.大于10gD.不确定7.如图，在ABCV中，已知2,5,60,,ABACBACBCA

C===边上的两条中线,AMBM相交于点P，求MPN的余弦值．（）A.69191B.49191C.59191D.791918.已知直线ykxb=+是曲线2(1)yxa=−+的切线，也是曲线ln1yax=−的切线，则k的最大值是（）A2eB.4eC.2eD.4e

二､多选题（本题共三小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知函数()3113fxxx−=−，则（）A.()fx有一个零点B.()fx的极小值为53

−C.()fx的对称中心为()0,1D.直线=1yx−−是曲线()yfx=的切线10.设点D是ABCV所在平面内一点，O是平面上一个定点，则下列说法正确的有（）A.若2133ADABAC=+，则D是B

C边上靠近B的三等分点B.若coscosABACADABBACC=+，（R且0），则直线AD经过ABCV垂心C.若ADxAByAC=+，且x，Ry，12xy+=，则BCD△是ABCV面积的一半为.的D.若平面内一动点P满足ABACOP

OAABAC=++，（R且0），则动点P的轨迹一定通过ABCV的外心11.设函数()()sin0gxx=向左平移5个单位长度得到函数()fx，已知()fx在0,2上有且只有5个零点，则下列结论正确

的是（）A.()fx的图象关于直线2x=对称B.在()0,2上，方程()1fx=的根有3个，方程()1fx=−的根有2个C.()fx在0,10上单调递增D.的取值范围是1229,510三､填空题（本大题共3小题，

每小题5分，共15分）12.出入相补是指一个平面（或立体）图形被分割成若干部分后面积（或体积）的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定

理.在下面两个图中，若ACb=，()BCaba=，ABc=，图中两个阴影三角形的周长分别为1l，2l，则12llab++的最小值为________.13.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间0t=时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，

B两点的距离()cmd表示成()st的函数，则d=______其中0,60t.14.如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，P点在正方形内（含边界），且APAB→→=．①若BPAB→→=，

则APBP→→的值是_______；②若向量ACDEAP→→→=+，则+的最小值为________．四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.在ABC中，内角,,ABC的对边分别为𝑎,�

�,𝑐，且(12sinsincos)sincosBACbaCB−=．（1）求ba的值；（2）若6a=，点D是线段BC上的一点，CADBAD=，DADC=，求cosC的值．16.如图所示，正方形11AADD与矩形ABCD所在平面互相垂直，2

2ABAD==，点E为AB的中点.（1）求证：1//BD平面1ADE；（2）在线段AB上是否存在点M，使二面角1DMCD−−的平面角的大小为π4？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由.17.已知函

数()()e1lnxfxaxxx=−−+，其导函数为()fx.（1）若()fx在()1,+不是单调函数，求实数a的取值范围；（2）若()0fx在()1,+恒成立，求实数a的最小整数值.()2e7.3918.已知函数()2.fxxxa=−+（1）当

2a=时，求()fx的单调增区间；（2）若12,[0,2]xx，使()()122fxfx−，求实数a的取值范围．19.如果数列{}na满足：1230naaaa+++=+且()12313N,naaaann

++++=，则称{}na为n阶“归化”数列.（1）若某3阶“归化”数列{}na是等差数列，且单调递增，写出该数列的各项；（2）若某11阶“归化”数列{}na是等差数列，求该数列的通项公式；（3）若{}na为n阶“归化”数列，

求证12311111.2322naaaann++++−邵阳市第二中学2022级高三第一次月考数学试卷时间：120分钟满分：150分一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若非空集

合A,B满足AB，U为全集，则下列集合中表示空集的是（）A.AB；B.AB；C.AB；D.AB．【答案】D【解析】【分析】根据venn图，对各个选项逐一分析，即可求得正确答案.【详解】根据venn可以看出

对A，ABA=；对B，ABB=；对C，AB；对D，AB=.故选：D2.sin40°(tan10°－√3)＝A.－12B.－1C.32D.－33【答案】B【解析】【分析】利用三角函数的切化弦及化一公式、诱导公

式化简即可求解．【详解】解：sin40(tan103)−sin10sin40(3)cos10=−sin103cos10sin40?cos10−=132sin40(sin10cos10)22cos10−=2sin40sin

(1060)cos10−=2sin40sin50cos10−=sin40cos402cos10−=sin801cos10=−=−故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的切化弦及化一公式、诱导公式的综合应用．3.已知函数112yfx=+

的定义域是2,4，则函数()()()ln2fxgxx=−的定义域为（）A.()2,3B.(2,3C.()(2,33,6D.()(2,33,4【答案】A【解析】【分析】由函数定义域的概念及复合函数定义域的求解方法运算求解即可.【详解】因为函数

112yfx=+的定义域是2,4，所以24x，所以12132x+，所以函数()fx的定义域为2,3，所以要使函数()()()ln2fxgxx=−有意义，则有232021xxx−−，解得23x，所

以函数()()()ln2fxgxx=−的定义域为()2,3.故选：A.4.下列求导数计算错误．．的是（）A.211xx=−B.222eexxxxx−=C.()ln1lnxxx=+D.()21tancosxx=【答案】B【解析】【分析】利用导数的运算法则

及简单复合函数求导法则计算即可．【详解】解：A．1211()()xxx−==−，正确，不符合题意；B．22222ee2()e(e)exxxxxxxxxx−−==，错误，符合题意；C．(ln)ln(ln)ln1xxxxxxx=+=+，正确，不符合题意；D．

22222sin(sin)cossin(cos)cossin1(tan)()coscoscoscosxxxxxxxxxxxx−+====，正确，不符合题意．故选：B．5.苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550-1617）发明的对数及对数表（如下表），为当时的天文学家处理“大数”的

计算大大缩短了时间.即就是任何一个正实数N可以表示成10(110,Z)nNaan=，则(lglg0l1)gNnaa=+，这样我们可以知道N的位数.已知正整数31M是35位数，则M的值为（）N23451112131415lgN0.300.480.60

0701.041.081.111.151.18A.3B.12C.13D.14【答案】C【解析】【分析】根据所给条件列出不等式，结合对数的运算即可求解.【详解】由题意可知3431351010M,两边同时取对数可得3431lg

35M，所以3435lg3131M，故3435lg3131M，则1.09lg1.13M，由表中数据可知13M=,故选：C6.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放.在天

平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（）附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有1122mLmL=，其中1m、2m分别为左

、右盘中物体质量，1L、2L分别为左右横梁臂长．A.等于10gB.小于10gC.大于10gD.不确定【答案】C【解析】【分析】设天平左臂长1x，右臂长2x，且12xx，根据已知条件求出1a、2a的表达式，利用基本不等式比较12aa+与10的大小关系

，即可得出结论.【详解】设天平左臂长1x，右臂长2x，且12xx，设天平右盘有1a克黄金，天平左盘有2a克黄金，所以11221255xaxaxx==，所以1125xax=，2215xax=，则12121221215555210xxx

xaaxxxx+=+=．故选：C．7.如图，在ABCV中，已知2,5,60,,ABACBACBCAC===边上的两条中线,AMBM相交于点P，求MPN的余弦值．（）A.69191B.49191C.59191D.7

9191【答案】B【解析】【分析】先求三角形中线AM，BN的长度，根据三角形重心的性质求得PA，PB，在PAB中，利用余弦定理求APB的余弦，即为所求结果.【详解】因25cos605ABAC==，24AB=，225AC=.为因为

()12AMABAC=+()212AMABAC=+1394252522=++=12BNACAB=−212BNACAB=−25215442=−+=.由P为ABCV的重心，所以23933PAAM==，22133PBAN==.在PAB中，由余弦定理，得：22

2coscos2PAPBABMPNAPBPAPB+−==39214993921233+−=49191=.故选：B【点睛】关键点点睛：熟悉三角形重心得性质是解决问题得关键.8.已知直线ykxb=+是曲线2(1)yxa=−+的切线，也是曲线ln1y

ax=−的切线，则k的最大值是（）A.2eB.4eC.2eD.4e【答案】B【解析】【分析】设切点分别为211(,(1))xxa−+和22(,ln1)xax−，则()()12fxgxk==，根据题意转化为211n02laxxa+=有

解，设()2112lnhaaaxx+=，求得()11lnln(2)haax=+−，得出函数的单调性和极小值12()exh，结合12()0exh，即可求解.【详解】因为ykxb=+是()2(1)fxxa=−+和()ln1gxax=−的公切线，设切点分别为211(,(1))xxa−+和22(,l

n1)xax−，则()()12fxgxk==，由()2(1)fxxa=−+，可得()2fxx=，则()112kfxx==又由()ln1gxax=−，可得()agxx=，且0x，则()22akgxx==，所以

2211221ln2axxaaxkxxx−+===−，可得211111ln222aaxaxxkaxx−+==−，即211n02laxxa+=，显然1,ax同号，不妨设10,0ax，设()2112lnhaaaxx+=，（其中10,0ax），

可得()11lnln(2)haax=+−，令()0ha=，可得12exa=，当12(0,)exx时，()0ha，()ha单调递减；当12(,)exx+时，()0ha，()ha单调递增，要使得()0ha=有解，则需要12()0

exh，即211111222e()ln0ee2xxxxxh=+即21120exx−+，解得12ex，所以142ekx=，即k的最大值为4e.故选：B.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研

究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若

参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．二､多选题（本题共三小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的

得0分）9.已知函数()3113fxxx−=−，则（）A.()fx有一个零点B.()fx的极小值为53−C.()fx的对称中心为()0,1D.直线=1yx−−是曲线()yfx=的切线【答案】ABD【解析】【分析】对于

A，由函数求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间，再结合零点存在性定理分析判断，对于B，由选项A的得到函数的单调区间分析判断，对于C，令()313hxxx=−，可判断()hx的图象关于原点对称，从而可判断出()fx的对称中心，对于D，利用导数的几何意义分析判断即可.【详解】对于

A，由()3113fxxx−=−，得()()()2111fxxxx=−=+−，令()0fx，得11x−；令()0fx，得1x−或1x，则函数()fx在()1,1−上单调递减，在()(),1,1,−−+上单调递增，且()

()()1510,10,35033fff−=−=−=，所以当1x时，()()10fxf−，当1x时，()fx存在唯一零点，故函数()fx在R上只有一个零点，故A正确；对于B，由选项A可知，函数(

)fx的极小值为()513f=−，故B正确；对于C，令()313hxxx=−，定义域为R，则()()313hxxxhx−=−+=−，所以函数()hx为奇函数，对称中心为()0,0，将函数()hx图象向下平移1个长度单位，得函数()fx的图象，所以()fx的对称中心为()0,1−，

故C错误；对于D，由选项A知，()21fxx=−，令()10fxx=−=，又()01f=−，所以切线方程为()10yx+=−−，即=1yx−−，所以直线=1yx−−是曲线()yfx=在点()0,1−处的切线，故D正确，故选：ABD.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合问题，考查利

用导数解决函数零点问题，考查导数解决函数极问题，考查导数的几何意义，解题的关键是对函数求导，然后由导数的正负求出函数的单调区间，再分析判断，考查计算能力，属于较难题.10.设点D是ABCV所在平面内一点，O是平面上一个定点，则下列说法

正确的有（）A.若2133ADABAC=+，则D是BC边上靠近B的三等分点B.若coscosABACADABBACC=+，（R且0），则直线AD经过ABCV的垂心C.若ADxAByAC=+，且

x，Ry，12xy+=，则BCD△是ABCV面积的一半D.若平面内一动点P满足ABACOPOAABAC=++，（R且0），则动点P的轨迹一定通过ABCV的外心【答案】ABC【解析】【分析】对于A，化简等式成13BDBC=，即可判断；对于B，将等式两边与BC作点乘

，化简得出结果为0即可判断；对于C，利用平面向量基本定理推出三点共线，结合图形和共线向量即得结论；对于D，化简向量等式，利用单位向量作出00ABDC即得菱形，推得APAD=，即得结论.【详解】对于A，由2133ADABAC=+可得，)13311

(3ADABABACACAB=−−=−+，即得13BDBC=，故点D是BC边上靠近B的三等分点，故A正确；对于B，因()coscosABACADABBACC=+，则()()coscoscoscosABACABBCACBCADBCBCABBACCABBAC

C=+=+coscos()()0coscosABBCBACBCCBCBCABBACC−=+=−+=，即ADBC⊥，故直线AD经过ABCV的垂心，即B正确；对于C，因ADxAByAC=+，12xy+=，则222ADxAByAC=+，设2AMAD=，则22AMxABy

AC=+，因221xy+=，故,,MBC三点共线，如图1所示，12DMAM=，故DBC△的BC边上的高是ABCV的BC边上的高的一半，故BCD△是ABCV面积的一半，即C正确；对于D，由()ABACOPOAA

BAC=++可得，()ABACAPABAC=+，如图2，取00,||||ABACABACABAC==，则有00||||1ABAC==，以00,ABAC为两邻边作00ABDC，易知00ABDC是菱形，故AD平分BAC，且00ADABAC=+故得，APAD=，故动点P的轨迹

为BAC的平分线，即动点P的轨迹一定通过ABCV的内心，故D错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：本题主要考查平面向量的线性运算和数量积的应用，属于难题.对于向量等式，要结合图形，和选项的启发，有时从构造平面向量基本定

理的条件入手；有时通过与其他向量的点乘为0判断线线垂直；有时通过两单位向量的和作平行四边形，推得菱形.11.设函数()()sin0gxx=向左平移5个单位长度得到函数()fx，已知()fx在0,

2上有且只有5个零点，则下列结论正确的是（）A.()fx的图象关于直线2x=对称B.在()0,2上，方程()1fx=根有3个，方程()1fx=−的根有2个C.()fx在0,10上单调递增D.的取值范围是1229,

510【答案】CD【解析】【分析】根据函数的零点的个数，求出参数的范围，再判断函数的单调性、对称性和方程根的个数.【详解】由题意，()sin()sin()55fxxx=+=+，的由题意，2x=不一定是函数的对称轴，所以A错误；当[0,2]xÎ时，得[,2]555x

++，故5265+；1229510，所以D正确.因为5265+，则()1fx=的根分别可由52x+=或552x+=或952x+=求出，共有3个根；当115252+时，()1fx=−的根分别可由352x+=或752x

+=求出，共2个根；当112625+时，()1fx=−的根分别可由352x+=或752x+=或1152x+=求出，共3个根；所以B错误；当(0,)10x时，得(,)55105x++，由1229510，

得1149[,)10525100+，所以1052+，此时()fx在(0,)10上单调递增，所以C正确.故选：CD.【点睛】本题重点考查三角函数()sin()fxAx=+的图象与性质

，难度较大，做题时注意利用整体法判断：即通过将x+作为整体，借助sinyx=的图象和性质来进行判断.公众号：高中试卷君三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.出入相补是指一个平面（或立体）图形被分割成若

干部分后面积（或体积）的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理.在下面两个图中，若ACb=，()BCaba

=，ABc=，图中两个阴影三角形的周长分别为1l，2l，则12llab++的最小值为________.【答案】212+【解析】【分析】根据图形中的相似关系先表示出12ll+，然后利用基本不等式求解出最小值.【详解】如图1，易知BDEV∽A

CB△，且BDCDBCba=−=−，所以1lBDbaACbabc−==++，所以()1balabcb−=++；如图2，易知GFH∽ACB△，且FGa=，所以2lFGaACbabc==++，所以()2alabcb=++，所以22221

222112llabcababababababab+++++==+=++++++221121abab=+++,又因为222abab+，所以2221abab+≤，当且仅当ab=时取等号，所以121211112llab+

+=+++，所以最小值为212+，故答案为：212+.13.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间0t=时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离()cmd表示成()st

的函数，则d=______其中0,60t.【答案】πt10sin60,0,60t【解析】【分析】可以求出π30tAOB=，从而由余弦定理可以得到π521cos30td=−，由余弦的二倍角

公式即可化简得πt10sin60.【详解】如图，πt2π=6030tAOB=；在AOBV中，由余弦定理得，由[0t，60]知，πsin060t…2222πππππt5525cos52(1cos)5

2112sin52sin10sin3030606060ttttABd==+−=−=−−==故答案为：πt10sin60．14.如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点

，P点在正方形内（含边界），且APAB→→=．①若BPAB→→=，则APBP→→的值是_______；②若向量ACDEAP→→→=+，则+的最小值为________．【答案】①.12##0.5②.12##0.5【解析】【分析】①由题知ABP是边

长为1的等边三角形，进而根据向量数量积求解即可；②考虑到该题为高一题目，不能使用导数，故提供了另一种解法，法二仅供参考.法一：结合图像，作AFDE→→=，连接PF，设1PFACC=，利用1ACC、、三点共线可得1ACAFtAPt→→→=+，又1PCF、、三点共

线，故可得1t+=，因此只需要考虑t值最大的情况即可得到+的最小值.法二：由题知点P的轨迹为以A为圆心，AB为半径的圆在正方体ABCD内的圆弧部分，进而建立直角坐标系，设点()cos,sin,0,2P

,再利用向量坐标运算得2sin2cos3,2cossin2cossin−==++，进而构造函数，利用导数研究函数最值即可得答案.【详解】解：①因为APAB→→=，BPAB→→=，所以ABP是边长为1的等边三角形，所以1cos,11cos32APBPA

PBPAPBP===②法一：如图，作AFDE→→=，连接PF，设1PFACC=，由于1ACC、、共线，不妨设1ACtAC=，又ACDEAP→→→=+故1tADttttCACEAPDEAPAFAPt→→→→→→→→==+=+=+

，又由于1PCF、、共线，所以1tt=+，故1t+=，结合图像可知，当PB、两点重合时，PFAC、交于2C处，此时t值最大，易知//BCAG，故1max2ACAGtACBC===，故()minmax112t=+=.

..法二：因为APAB→→=，所以点P的轨迹为以A为圆心，AB为半径的圆在正方体ABCD内的圆弧部分，所以以点A为坐标原点，如图建立坐标系，因为正方体ABCD的边长为1，所以设点()cos,sin,0,2P，()()()10,0,1,1

,0,1,,02ACDE，所以由ACDEAP→→→=+得()()11,1,1cos,sin2=−+，所以11cos21sin=+=−+，解得2sin2cos3,2coss

in2cossin−==++，所以2sin2cos32sin2cos32cossin2cossin2cossin−−++=+=+++，令()2sin2cos33sin31,0,2cossin2cossin2f−++==−+

++，所以()()266sin3cos',0,22cossinf+−=+因为0,2απ，所以66sin3cos0+−，所以()()266sin3cos'02cossinf+−=+区

间0,2απ恒成立，所以函数()f在区间0,2单调递增，所以()min23122f−+==，所以+的最小值为12.故答案为：12；12..【点睛】本题考查向量坐标运算，数量积运算，导数求解函数最值，考查运算求解能力，是难题；本题第

二空解题的关键在于灵活利用向量共线的性质与结论，将+转化为1t1ACtAC=，进而考虑特殊位置点即可；而法二，将利用了导数的知识，根据题意设点()cos,sin,0,2P，进而利用坐标运算得2sin2cos3,2

cossin2cossin−==++，再结合函数性质求解最值即可.四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.在ABC中，内角,,ABC的对边分别为𝑎,

𝑏,𝑐，且(12sinsincos)sincosBACbaCB−=．（1）求ba的值；（2）若6a=，点D是线段BC上的一点，CADBAD=，DADC=，求cosC的值．【答案】（1）36ba=在（2）3cos3C

=【解析】【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换即可求解；（2）由,ADBADC的面积比值得ABBDACCD=（角平分线定理），设(0)ABBDmmACCD==，则3ABm=，61mBDm=+，61CDm=+，再通过余弦定理列

式即可求解.【小问1详解】因为(12sinsincos)sincosBACbaCB−=，由正弦定理得(12sinsincos)sinsinsincosBACBACB−=，所以212sinsinsinco

ssincossinsin(sincoscossin)BACBACBACBCB=+=+2sinsin()sinsin(π)sinABCAAA=+=−=.即2212sinsinBA=,由正弦定理得2212ba=，又0a、0b，则3

6ba=或36ba=−（舍去）．所以36ba=.【小问2详解】因为CADBAD=，设ABCV中BC边上的高为h，所以11sin2211sin22ADBADCADABBADBDhSSADACCADCDh==，所以ABBDACCD=，设(0)ABBDmmACCD==，由6a=

，36ba=，6BDCDBC+==,所以3b=，则3ABm=，61mBDm=+，61CDm=+,在ABCV中，由余弦定理得222222(3)6(3)cos2236CACBABmCCACB+−+−==，设AC的中点为E，连接DE，如图所示，由DADC=,则DEAC⊥，在RtCED中

，3(1)cos12CEmCCD+==，所以2223(1)(3)6(3)12236mm++−=，解得3m=或4m=−（舍去），所以3cos3C=.16.如图所示，正方形11AADD与矩形ABCD所在平面互相垂直，22ABAD==，点E为A

B的中点.（1）求证：1//BD平面1ADE；（2）在线段AB上是否存在点M，使二面角1DMCD−−的平面角的大小为π4？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，23AM=−【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质得1DD⊥平面ABCD，以D为坐标

原点，1,,DADCDD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，求出平面1ADE的法向量、1BD，利用11BDn⊥可得答案；（2）假设在线段AB上存在点M，设()()001,,002Myy，求出平面1DMC、平面MCD

的一个法向量，由二面角的向量求法可得答案.【小问1详解】平面11AADD⊥平面ABCD，平面11AADD平面ABCDAD=，11,⊥DDADDD平面111,AADDDD⊥平面ABCD，则以D为坐标原点，1,,DADCDD所在直线

分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz−，则()()()()()()110,0,0,0,2,0,1,0,1,0,0,1,1,2,0,1,1,0DCADBE.()()11,0,1,1

,1,0DADE==，设平面1ADE的法向量为𝑛1⃗⃗⃗⃗=(𝑥1,𝑦1,𝑧1)，则111111100nDAxznDExy=+==+=，令11x=，解得：()1111,1,1,1,1yzn=−=−=−−，又()1111,2,1,0BDBDn=−−=，即11BDn⊥，

又1BD平面11//,ADEBD平面1ADE；【小问2详解】假设在线段AB上存在点M，使二面角1DMCD−−的大小为π4.设()()001,,002Myy，则()()011,2,0,0,2,1MCyDC=−−=−.设平面1DMC的一个法向量为(

)2222,,nxyz=，则()222021222020nMCxyynDCyz=−+−==−=，令21y=，解得：()202202,2,2,1,2xyzny=−==−，又平面MCD的一个法向量为()10,0,1DD=−，()2

121222210π22coscos,42212nDDnDDnDDy====−++，即200410yy−+=，解得：023y=−或023y=+（舍去），此时23AM=−，在线段AB上存在点M，使二面角1DMCD−−的平面角的大小为π4，此时23AM=−.17.已知函数()()e

1lnxfxaxxx=−−+，其导函数为()fx.（1）若()fx在()1,+不是单调函数，求实数a的取值范围；（2）若()0fx在()1,+恒成立，求实数a的最小整数值.()2e7.39【答案】（1）(),e−−（2）7−【

解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据题意可知𝑓′(𝑥)在(1,+∞)有变号零点，由此结合函数的单调性，解不等式即可求得答案；（2）法一：采用分离参数法，将原不等式变为即为2elnxaxxxx−+在(1,+∞)恒成立，构造函数()2elnxmxxx

xx=−+，求函数的导数，利用导数求其最小值，即可求得答案；法二：求函数()()e1lnxfxaxxx=−−+的导数，利用导数判断其单调性，求得函数最小值，结合解不等式即可求得答案.【小问1详解】()()()()()22e11e1e111xxxxaxxaxxx

fxaxxxx−+−−+−=−−+==；因为()fx在(1,+∞)不是单调函数，所以𝑓′(𝑥)在(1,+∞)有变号零点；因为10xx−恒成立，令()exgxax=+，则()gx在(1,+∞)有变号零点；因为()()21e0xxgxx−=，所以()gx在(1,+∞

)单调递增，因为()1ega=+，当x的值趋近正无限大时，exx趋近于正无限大，a为待定的参数，故()gx趋近于正无限大，故只需e0a+，即ea−，所以实数a的取值范围是(),e−−.【小问2详解】（法一）令()1ln(1)xxx

x=−+，因为()110xx=−在(1,+∞)恒成立，所以𝜑(𝑥)在(1,+∞)单调递减，所以()()10x=，所以()0fx在(1,+∞)恒成立，即为2elnxaxxxx−+在(1,+∞)恒成立，令()2elnxmxxxxx=−+，则

()()()222eln12ln1lnxmxxxxxxxxxxx=−+−+−−−+()()()22e1ln2lnxxxxxxxx=−−+−+，令()ln2hxxx=−+，则()110hxx−=在(1,+∞)恒成立，所以ℎ(𝑥)在(1,+

∞)单调递减；因为()()110,4ln420hh==−；所以ℎ(𝑥)有唯一零点0x，且()0200001,4,ln2,eexxxxx=−=当()01,xx时，ℎ(𝑥)>0，即()0mx，所以()mx在()01,x单调递增；当𝑥∈(𝑥0,+∞)时，ℎ(𝑥)<0，即(

)0mx，所以()mx在()0,x+单调递减；所以()()0220max02200000000ee()e7.39ln2xxmxmxxxxxxxxx====−−−+−+−；所以实数a的最小整数值

为7−.（法二）()()e1xxaxfxx−+=由（1）得，当ea−≥时，()fx在(1,+∞)上单调递增，所以()()1e0fxf=成立.当ea−时，存在()01,x+，使得()00e0,xfxax==−当(

)01,xx时，𝑓′(𝑥)<0，当𝑥∈(𝑥0,+∞)时，𝑓′(𝑥)>0，所以()fx在()01,x上单调递减，在()0,x+上单调递增；所以()()()000min0000e()1ln1ln2lnexxxfxfxaxxaaaax==−−+=−−+=−−−

，令()2ln0aa−−−得()ln2a−；解之得2eea−−.综上，2e7.39a−−，所以实数a的最小整数值为7−.【点睛】方法点睛：解决不等式恒成立问题，常用方法有：（1）将原不等式变形整理，分离参数，继而构造函数，转化为求解函数的最值问题解决；（2）直接构造函

数，求导数，求解函数的最值，使得最小值恒大于(或大于等于)0或恒小于（或小于等于）0，解不等式即可.18.已知函数()2.fxxxa=−+（1）当2a=时，求()fx的单调增区间；（2）若12,[0,2]xx，使()()122fxfx−，求实数a的取

值范围．【答案】（1）单调递增区间为(),1−和()2,+（2）(,1)(22,)−+【解析】【分析】（1）根据已知及分段函数，函数的单调性与单调区间的计算，求出()fx的单调增区间；（2）根据已知及二次函数的性质求最值，结合不等式和绝对值不等式的计算

求出实数a的取值范围．【小问1详解】当2a=时，()2222,22222,2xxxfxxxxxx−+=−+=−++，2x时，()fx单调递增，2x时，()fx在(),1−上单调递增，在()1,2上单调递减，所以()fx的单调递增区间为(),1−和()2,

+，【小问2详解】12,[0,2]xx，使()()122fxfx−所以()()12max2fxfx−，即()()maxmin2fxfx−，①当2a时，()22fxxax=−++，对称轴2ax=，(i)当12

2a即24a时，()2max224aafxf==+，()()min02fxf==，所以()20224aaff−=，所以22a或22a−，因为24a，所以224a，(

ii)当22a即4a时，()()max222fxfa==−，()()min02fxf==，所以()()20242ffa−=−，3a，因为4a，所以4a，②当0a时，()22fxxax=−+，

对称轴02ax=，所以()()max262fxfa==−，()()min02fxf==，所以()()20422ffa−=−，1a，所以0a，③当02a时，()222,02,2xaxxafxxaxax−++=−+，因为()()()min02fxffa===，因

为()220124aaff−=，所以2af不可能是函数的最大值，所以()()max262fxfa==−，所以()()20422ffa−=−，所以01a，综上所述：a的取值范围是(,1)(22,)−+.【点睛

】公众号：高中试卷君关键点点睛：本题主要考查了分段函数，函数的单调性与单调区间，函数的最值，不等式和绝对值不等式的应用，属于较难题，解题的关键是将12,[0,2]xx，使()()122fxfx−，转化

为()()maxmin2fxfx−，然后分类利用二次函数的性质求出其最值即可，考查了分类思想和计算能力19.如果数列{}na满足：1230naaaa+++=+且()12313N,naaaann++++=，则称{}na为n阶“归化”数

列.（1）若某3阶“归化”数列{}na是等差数列，且单调递增，写出该数列的各项；（2）若某11阶“归化”数列{}na是等差数列，求该数列的通项公式；（3）若{}na为n阶“归化”数列，求证12311111.2322naaaann++++−【答案】（1）11,0,22−

（2）6,(N,11)30nnann+−=−（3）证明见解析【解析】【分析】（1）设123,,aaa成公差为r的等差数列，显然0r，由1230a+a+a=得到11330,0ara+=，2310,0,aaa==−由123++=1aaa得到112a=−，得

到答案；（2）设公差为d，根据等差数列求和公式得到60a=，当0d=，0d和0d，求出首项和公差，得到通项公式；（3）设12,,piiiaaa，为ia中所有大于0的数，12mjjjaaa，，，为ja中所有小于0的数，故1212piiiaaa=++，1212mjjjaaa=−++，所

以12111111111222kkkkppmmijnijkkkkkkaaaaaaanijnn====+=++=−++.【小问1详解】设123,,aaa成公差为r的等差数列，显然0r，则由1230a+a+a=得111330,0,0ar

ara+=−=，213110,20,aaraara=+==+=−由123++=1aaa得121a−=，解得112a=−，数列11,0,22−为所求3阶“归化”数列.【小问2详解】设等差数列12311,aaaa，，，的公差为d，因为123110aaaa+=+++，所以1

1110112da+=0，，所以150ad+=，即60a=.当0d=时，此时()12303Nnaaaann++++=，，与归化数列的条件()12313Nnaaaann++++=，相矛盾.

当0d时，由12561,02aaaa+++=−=，故1541522ad=−+，又150ad=+，联立解得111,306da==−，所以()116N,11.63030nnnann+−−=−+=当0d时，由1251

2aaa+++=，60a=，同理解得111,306da=−=，所以()116N,1163030nnnann+−−=−=−.综上，当0d时，()6N,1130nnann+−=，；0d当时，()6,N,11.30nnann+−=−【小问

3详解】由已知可得：必有0ia，也必有0ja（,1,2,3,,ijn，ij），设12,,piiiaaa，为ia中所有大于0的数，12mjjjaaa，，，为ja中所有小于0的数，由已知得1212piiiXaaa=++=，12j12mjjYaaa=++=−，所以11

111211111222kkkkkkkkijnijpmpmkkaaaaaaanijnn====+++=++=−.【点睛】数列不等式问题，常常需要进行放缩，放缩后变形为等差数列或等比数列，在结合公式进行证明，又

或者放缩后可使用裂项相消法进行求和，常常使用作差法和数学归纳法，技巧性较强.