【文档说明】高考数学培优专题55讲：第48讲 不等式选讲【高考】.docx，共(14)页，1.018 MB，由小赞的店铺上传

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1第四十八讲不等式选讲A组一、选择题1、不等式|5x−|+|3x+|10的解集为（）A．5,7−B．4,6−C．(),57,−−+D．(),46,−−+【答案】：D【解析】由绝对值的几何意义知，|5x−|+|3x+|表示数轴上的点x与

点5的距离和数轴上的点x与点-3的距离之和，其距离之和的最小值为8，结合数轴，选D。2、不等式2313xxaa+−−−对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．(,1][4,)−−+B．(,2][5,)−−+C．

[1,2]D．(,1][2,)−+【答案】：A【解析】：因为24314313xxxxaa−+−−+−−−对对任意x恒成立，所以432−aa，解得1−a或4a。二、填空题3、设,xyR，则222

211()(4)xyyx++的最小值为。【答案】：9【解析】：由柯西不等式可知2222211()(4)(12)9xyyx+++=。4、若0ab，则1()abab+−的最小值是_________。【答案】：32【解析】：311()3()3()()abbabbbabbab−++−=

−−。5、（2015重庆16）若函数axxxf−++=21)(的最小值为5，则实数a=_______。【答案】：4a=或6a=−【解析】：由绝对值的性质知()fx的最小值在1x=−或xa=时取得，若(1)215fa−=−

−=，32a=或72a=−，经检验均不合；若()5fa=，则15x+=，4a=或6a=−，经检验合题意，因此4a=或6a=−。6、若关于x的不等式|||1||2|axx++−…存在实数解，则实数a的取值范围是。【答案】：(,3][3,)−−+【解析】：

当1x−„时，|1||2|12213xxxxx++−=−−−+=−+…；当12x−„时，|1||2|123xxxx++−=+−+=；当2x时，|1||2|12213xxxxx++−=++−=−；综上可得|1||2|3xx++−…，所以只要||3a…，解得3a−„或3a…，即实数a的

取值范围是(,3][3,)−−+。7、（2017年全国1卷理）已知函数f（x）=–x2+ax+4，g（x）=│x+1│+│x–1│.（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[

–1，1]，求a的取值范围.【解析】（1）当1a=时，不等式()()fxgx等价于21140xxxx−+++−−.①当1x−时，①式化为2340xx−−，无解；当11x−时，①式化为220xx−−，从而11x−；当1x时，①式化为240xx+−，从而11712x−+

.所以()()fxgx的解集为117{|1}2xx−+−.3（2）当1,1x−时，()2gx=.所以()()fxgx的解集包含1,1−，等价于当1,1x−时()2fx.又()fx在1,1−的学科&网最小值必为()1f−与()1f之一，所以()12f−且()1

2f，得11a−.所以a的取值范围为1,1−.8.已知函数()2fxxax=++−（1）当3a=−时，求不等式()3fx的解集；（2）若()4fxx−的解集包含[1,2]，求a的取值范围。【解析】：（1）当3a=−时，()3323fx

xx−+−2323xxx−+−或23323xxx−+−或3323xxx−+−1x或4x（2）原命题()4fxx−在[1,2]上恒成立；24xaxx++−−

在[1,2]上恒成立；22xax−−−在[1,2]上恒成立；30a−。9、已知函数=,=。（1）当=2时，求不等式＜的解集；（2）设＞-1，且当∈[，)时，≤,求的取值范围。解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g

(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0。设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，4则y＝15,,212,1,236,1.xxxxxx−−−−其图像如图所示，当且仅当x∈(0，2)时，y＜0

；所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}。(2)当x∈1,22a−时，f(x)＝1＋a；不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3，所以x≥a－2对x∈1,22a−都成立；故2a−≥a－2，即43a；从而a的取值范围是41,3−。10.

若0,0ab，且11abab+=.（1）求33ab+的最小值；（2）是否存在,ab，使得236ab+=？并说明理由。【解析】：（1）由112ababab=+，得2ab，且当2ab==时等号成立，则3333342abab+=

，且当2ab==时等号成立，故33ab+的最小值为42。（2）由(1)知：232643abab+，由于43＞6，从而不存在,ab，使得236ab+=。11、设均为正数，且，证明：（1）；（2）。5解：(1)由accabcc

babba2,2,2222222+++得acbcabcba++++222；由题设得1)(2=++cba，即1222222=+++++acbcabcba；从而有1)(3++acbcab，故31++acbcab。(2)因

为22abab+，22bcbc+，22caca+，故222()abcabcbca+++++)(2cba++，即222abcbca++cba++所以222abcbca++≥1。B组一、选择题1、已知关于x的不等式的解集不是空集，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】：D【解析】：方法

一：由绝对值的几何意义知，axx+−−1表示数轴上的点x与点1的距离和数轴上的点x与点-的距离之差，要使不等式的解集不是空集，结合数轴可知。方法二：令axxy+−−=1，因为不等式81+−−axx的解集不是空集，则有8maxy，又1)

()1(1+=+−−+−−=aaxxaxxy从而81+a，18xxa−−+a9a−7a97a−97aa−或a18xxa−−+97aa−或6解得。2、若,,xyaR+，且yxayx++恒成立，则a的最小值是（）A．22B．2C．1D．12

【答案】：B【解析】：22222,()222xyxyxyxy++++即，2()2xyxy++，而yxayx++，即1()xyxya++恒成立，得12,22aa即。二、填空题3、若不等式2212122++++−aaxx对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_______。【答案】

：−21,1【解析】：令212)(++−=xxxf，则①当2−x时，513212)(−−=−−+−=xxxxf；②当212−x时，3212)(+−=+++−=xxxxf，则525

x；③当21x时，2513212)(+=++−=xxxxf；综合①②③可知25)(xf；所以要使不等式恒成立，则需252212++aa，解得211−a。4、对于实数x，y，若11−x，12−y，则12+−yx的最大值为。【答案】：52【解析】：因为11−x，12−y，则522

122212)2(2)1(12=+++−+−−−−−=+−yxyxyx。97aa−或75、已知，若关于x的方程有实根，则a的取值范围是。【答案】：10,4【解析】：由已知++−=−−=+−41,041)21(4122xxxaa

；又因为4124141−=+−+−aaaaa，从而有41412−a；解得410a。6、若实数,,xyz满足23()xyzaa++=为常数，则222xyz++的最小值为_______。【答案】：214a【解析】：22

222222(123)()(23)xyzxyza++++++=，即222214()xyza++，222214axyz++。7、已知，的最小值为。（1）求的值；（2）解关于的不等式。【解析】：（1）因为，则有63323331

11331113333333=•+=++++abcabcabcabcabccbaabccba；当且仅当cba==且abcabc33=即1===cba时等号成立；故m的值为6。（2）由（1）得621−+xx，即621++xx；Ra0|||41

|2=+−++aaxx0,0,0abc3331113abcabc+++mmx|1|2xxm+−0,0,0abc8两边平方有+++062)62()1(22xxx；解得37−x；故不等式的解集为),37(+−。8..设

函数()fx=1(0)xxaaa++−。（Ⅰ）证明：2)(xf；（Ⅱ）若()35f，求a的取值范围。【解析】：(1)证明：由0a，有21)(11)(+=−−+−++=aaaxaxaxaxxf（2）由已知aa

f−++=313)3(当3a时，aaf1)3(+=，由5)3(f解得22153+a；当30a时，aaf16)3(+−=，由由5)3(f解得3251+a；综上，a的取值范围是++2215,251。

9、设正数x，y，z满足1543=++zyx。（1）求证：222150xyz++；（2）求111xyyzzx+++++的最小值。【解析】：（1）证明：由柯西不等式得：()501)543(501)543(5012222222222=++++++=++zyxzyxzyx；（

2）解：由已知1)(2)(3)(543=+++++=++zxzyyxzyx所以由柯西不等式得：+++++•+++++xzzyyxxzzyyx111)(2)(3)(6222326)231(2+++=++；9故111xyyzzx+++

++的最小值为6222326+++。10、已知函数0|,|2|1|)(−−+=aaxxxf。（1）当1=a时，求不等式1)(xf的解集；（2）若)(xf的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围。【解析】：（1）当1a=时，()1fx化为

12110xx+−−−。当1x−，不等式化为40x−，无解；当11x−时，不等式化为320x−，解得213x；当1x时，不等式化为20x−+，解得12x；所以()1fx解集为2,23x。（2）由题设可得12,1()31

2,112,xaxfxxaxaxaxa−−=+−−−++，所以函数()fx的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为21,03aA−，()21,0Ba+，(),1Caa+，从而ABC的面积为()2213a+；则有()22163a+，故2a，所以a的取值

范围为()2,+。C组一、选择题1、设不等的两个正数,ab满足3322abab−=−，则ab+的取值范围是（）A．(1,)+B．4(1,)3C．4[1,]3D．(0,1)【答案】：B【解析】：因为3322abab−=−，则222,()()aabbab

ababab++=++−+=，而2()04abab+，所以22()0()()4ababab++−+，解得413ab+。102、已知,,abcR+，设abcdSabcbcdcdadab=+++++++++++，

则下列判断中正确的是（）A．01SB．12SC．23SD．34S【答案】：B【解析】：abcdabcbcdcdadab+++++++++++abcabcdbcdacdab++++++++

+++1dabcddabcabcd++++==++++++，即1S，aaabcac+++，cccdaac+++，bbbcdbd+++，dddabdb+++，得1accaabccdaacac++=++++++，1bddbbc

ddabdbbd++=++++++即2abcdabcbcdcdadab+++++++++++，得2S，所以12S。二、填空题3、若,,xyz是正数，且满足()1xyzxyz++=，则()()xyyz++的最小

值为______。【答案】：2【解析】：因为()1xyzxyz++=，则有21)())((2+=+++=+++=++zxzxzxzyxyzxyzyxyzyyx。4、设a，b，c均为正数且9=++cba，则cba1694++之最小值为__________

。【答案】：9【解析】：设向量u=(，，)，v=(a，b，c)因为222)(vuvu，则有2)432(ccbbaa++))(1694(cbacba++++(cba1694++)×981)(2=++cbacba1694++9981=。5、

已知实数满足，，则a的最小a2b3c4,,,abcd3abcd+++=22224245abcd+++=11值与最大值之差为。【答案】：-1【解析】：由柯西不等式，得，即，由条件，可得，解得，当且仅当时等号成立，故最小值与最大值之差为-1。6.对于

，当非零实数满足，且使最大时，的最小值为。【答案】：-2【解析】：设bat+=2，则atb2−=；则由224240aabbc−+−=得222418(4)0atatc−+−=；因为关于a的二次方程0，即0)4(244)18(22−−−ctt；解得ct582；当

104ct=时，10,1023cbca==；34552102abccc−+=+−，当t的值为410c−时，同法可求得3452abc−+−故345abc−+的最小值为-2。三、解答题7、已知，函数的

最小值为4．（1）求的值；（2）求的最小值。2222111(424)()()424bcdbcd++++++2222424()bcdbcd++++225(3)aa−−12a222111222bcd==0c,ab224240aabbc−+−=|2|ab+345abc−+12【

解析】:（1）当且仅当时等号成立。又，所以，所以。（2）由柯西不等式得：即，当且仅当时等号成立所以当时．。8、已知实数,,abc满足abc，且有2221,1abcabc++=++=。求证：413ab+。【解析】：2222()()1,2abababcabc

c+−++=−==−，,ab是方程22(1)0xcxcc−−+−=的两个不等实根，则22(1)4()0ccc=−−−，得113c−，而2()()()0cacbcabcab−−=−++即22(1)0ccccc−−+−

，得20,3cc或，所以，103c−，即413ab+。9、已知cba,,均为正数，证明：36)111(2222+++++cbacba，并确定cba,,为何值时，等号成立。【解析】:（证法一）因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得①所以②22223133(

)1113()abcabcabcabc−++++2231119()abcabc−++13故.又③所以原不等式成立。当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立。当且仅当时，③式等号成立。即当且仅当a=b=c=时，原式等号

成立。证法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得所以①同理②故③所以原不等式成立.当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，时，③式等号成立。即当且仅当a=b=c=时，原式等号成立。

10、设正数zyx,,满足122=++zyx。（1）求zxyzxy++3的最大值；（2）证明：26125111113+++++zxyzxy。22222233111()3()9()abcabcabcabc−++++++22333()9()22763abcabc−+=22333()9()a

bcabc−=143222222222ababbcbccaac+++222abcabbcac++++222111111abcabbcac++++2222111()abcabc+++++11133363abbcacabbca

c+++++222()()()3abbcac===14314【解析】：（1）解：将122=++zyx平方可得：144844222=+++++yzxzxyzyx即1448)22()22()2727(222222=

++++++++yzxzxyzyzxyx，由基本不等式可知：xzyzxyzyzxxy448222222272721222222+++++xzyzxy5515++=所以513++yzxzxy，等号成立时，51===zyx。（2）证明：由柯西不等式))(()(222222212

1212332211zyxzyxyxyxyx++++++可得：25)113()]1()1()1(3)[111113(2=++++++++++++zxyzxyzxyzxy即25)35)(111113(++++++++zxy

zxyzxyzxy所以xzyzxyzxyzxy++++++++3525111113，又由（1）可得：513++yzxzxy，所以2612551525111113++++++zxyzxy。