【文档说明】新人教版高中数学教材例题课后习题 必修一 4．1 指数 Word版含解析.docx，共(13)页，397.141 KB，由小赞的店铺上传

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第四章指数函数与对数函数1.求下列各式的值：（1）()338−；（2）()210−；（3）()443−；（4）()2ab−.【答案】（1）8−；（2）10；（3）3−；（4）,,ababbaab−

−.【解析】【分析】利用根式的性质逐一对（1）（2）（3）（4）中各式化简即可.【详解】（1）()3388−=−；（2）()2101010−=−=；（3）()44333−=−=−；（4）()2,,ababababbaab−−=−=−.【点

睛】本题考查利用根式的性质化简计算，考查计算能力，属于基础题.2.求值：238；3416()81−【答案】4；278【解析】【分析】根据指数的运算法则：()=nmmnaa求值，注意运算过程中应用382=、4162813=简化运算【详解】222332333

8(2)224====334()344162227()()()81338−−−===【点睛】本题考查了指数运算；运用指数运算法则()=nmmnaa化简求值3.用分数指数幂的形式表示下列各式（其中0a）：（1）322aa；（2）3

aa.【答案】（1）83a；（2）23a.【解析】【分析】将根式化为分式指数幂，然后利用指数幂的运算律可将（1）（2）中的代数式表示为a的分数指数幂的形式.【详解】（1）22823222333aaaaaa+===；（2）11

442233333aaaaaaa====.【点睛】本题考查根式与指数幂的互化，同时也涉及了指数幂的运算律的应用，考查计算能力，属于基础题.4.计算下列各式（式中字母均是正数）：（1）211511336622263ababab−−

；（2）83184mn−；（3）()32324aaa−.【答案】（1）4a；（2）23mn；（3）6aa−.【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算性质化简计算即可，但需注意底数相同的项对应指数相加减；（2）利用指数幂的运算性质化简计算即可

；（3）将根式化为分数指数幂，然后利用指数幂的运算性质化简即可.【详解】（1）()()211521111511033663262362226326344abababababa+−+−−−=−−==；（2）88833

1122388443mmnmnmnn−−−===；（3）()2211313132324633262222aaaaaaaaaaaa−−−=−=−=−=−【点睛】

本题考查指数幂的运算，解题时要注意将同类项进行合并，将根式化为分数指数幂，考查计算能力，属于基础题.5.用根式的形式表示下列各式（0a）：（1）12a；（2）34a；（3）35a−；（4）23a−.【答案】（1）a；（2）34a；（3）531a；（4）321a.【解析】【分析】利用分数

指数幂的定义可将（1）（2）（3）（4）中的分数指数幂化为根式的形式.【详解】（1）12aa=；（2）3344aa=；（3）35353511aaa−==；（4）23232311aaa−==.【点睛】本题考查将分数指数幂化为根式，熟悉分数指数幂的定

义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.6.用分数指数幂的形式表示下列各式：（1）()320xx；（2）()()45mnmn−；（3）()650ppp；（4）()30aaa.【答案】（1）()230xx；（2）()()45mnmn−；（3）()112

0pp；（4）()520aa.【解析】【分析】利用分数指数幂的定义可将（1）（2）（3）（4）中的根式化为分数指数幂的形式.【详解】（1）当0x时，2323xx=；（2）当mn时，0mn−，则()()4455mnmn−=−；（3）当0p时，6565116522222pp

pppp+===；（4）当0a时，153332212aaaaaa−===.【点睛】本题考查将根式化为分数指数幂，熟悉分数指数幂的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.7.计算下列各式：（1）323649；（2）632

331.512；（3）111824aaa−；（4）1123331222xxx−−−.【答案】（1）216343；（2）18；（3）58a；（4）41x−.【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算性质化简计算即可；（2）将各数化为2和3的指数幂，利用指数幂的运算性质化简计算即

可；（3）利用指数幂的运算性质化简计算即可；（4）利用指数幂的运算性质化简计算即可.【详解】（1）33232236662164977343===；（2）()11132632632331.

512233232=111111111111233363323622333223232318−−++++====；（3）11115118248824aaaaa−+−==；（4）112111233333331

422412xxxxxx−−−+−−−=−=−.【点睛】本题考查利用指数幂的运算性质化简计算，解题时要注意将根式化为分数指数幂，考查计算能力，属于基础题.8.计算下列各式：（1）()23332m；（2）233aaa−.【答案】（1）364m；（2）1.【解析

】【分析】（1）将根式化为分数指数幂，利用指数幂的运算性质化简计算即可；（2）利用指数幂的运算性质化简计算即可.【详解】（1）原式23332333236332222264mmmm====

；（2）原式20331aa+−===.【点睛】本题考查利用指数幂的运算性质化简计算，解题时要注意将根式化为分数指数幂，考查计算能力，属于基础题.9.利用计算工具，探究下列实数指数幂的变化规律：（1）x取负实数，使得x的值逐渐增大并趋向于无穷大

，计算相应的()2xxR的值，观察变化趋势；（2）x取正实数，使得x的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的()12xxR的值，观察变化趋势.【答案】（1）x取负实数，使得x的值逐渐增大并趋向于无穷大时，2x趋向于0，值见解析；（2）x取正实数，使得x的值逐渐

增大，当x的值趋向于无穷大时，12x的值趋向于0，值见解析.【解析】【分析】（1）分别取x的值1−、2−、3−、4−、5−、6−、7−、10−、12−、15−、L，利用计算器计算出对应的2x的值，

列出表格，即可得出规律；（2）分别取x的值1、2、3、4、5、6、7、10、12、15、L，利用计算器计算出对应的12x的值，列出表格，即可得出规律.【详解】（1）x1−2−3−4−5−6−7−10−12−15−

…2x0.50.250.1250.06250.031250.0156250.00781250.000980.0002440.0000305…由此可以看出，x取负实数，使得x的值逐渐增大并趋向于无穷大时，2x趋向于0；（2）x123456

7101215…12x0.50.250.1250.06250.031250.0156250.00781250.000980.0002440.0000305…由此可以看出，x取正实数，使得x的

值逐渐增大，当x的值趋向于无穷大时，12x的值趋向于0.【点睛】本题考查指数幂的值的变化规律，计算时可充分利用表格的形式将数据呈现出来，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.10.求下列各式的值：（1）44100；（2）55(0.1)−；（

3）2(4)−；（4）66()xy−.【答案】（1）100；（2）0.1−；（3）4−；（4）||xy−.【解析】【分析】（1）根据偶次根式运算法则可得；（2）根据奇数次根式化简运算可得；（3）根据偶次根式化简法则，考虑40−即可得解；（4）根据偶次根式化简法则，考虑

xy−符号不确定，加绝对值即可得解.【详解】（1）44100100=；（2）55(0.1)0.1−=−；（3）2(4)|4|4−=−=−；（4）66()||xyxy−=−.【点睛】此题考查根式的计算化简，关键在于准确判定代数式的符号.一、选择题11.设0

a，则下列运算中正确的是（）.A.4334aaa=B.2332aaa=C.22330aa−=D.144()aa=【答案】D【解析】【分析】利用幂的运算性质一一计算即可.【详解】根据幂的运算性质可得：443325334412aaaaa+==，故A错误；2

21331233aaaaa−==，故B错误；22220333310aaaa−−===，故C错误；114444()aaa==，故D正确.故选：D.12.设0a，m，n是正整数，且1n，则下列各式mnmnaa=；01a=；1mnnmaa−=；正确的个数是（）A.3B.2C.1D

.0【答案】A【解析】【分析】利用指数幂的运算性质即可得出．【详解】解：∵a＞0，m，n是正整数，且n＞1，∴mnmnaa=，正确，显然a0＝1，正确，而11mnmnmnaaa−==，∴1mnnmaa−=正确，故选：A．二、填空题13.在11

2−−，122−，112−，12−中最大的数是：___________；【答案】112−【解析】【分析】可看出11()02−−，且11221()22−=，然后根据指数函数2xy=的单调性即可得出最大的数．【详解】解：11()02−−，1111

221()22202−−−，最大的数是112−．故答案为：112−．14.按从小到大的顺序，可将3252,3,,2重新排列为_________（可用计算工具）.【答案】32523

2【解析】【分析】利用计算器算出每个指数幂的值，即可进行比较.【详解】利用计算器3253.324.7312.938.2,2,83,2====，所以325232.故答案为：325232【点睛】此题

考查指数幂的大小比较，利用计算器计算求解，也可根据函数单调性处理．15.用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）：（1）326baab；（2）1122aaa；（3）341564()mmmmm.【答案】（1）1；（2）12a；（3）1.【解析】【分析】（1）将根式化

为分数指数幂形式再进行计算；（2）将根式化为分数指数幂形式再进行计算；（3）分别将分子分母的根式化简为分数指数幂的形式，进行计算求解.【详解】（1）原式131112323222241366221bababaababab====

；（2）原式1112111111114482242422aaaaaaaaaa====；（3）原式111111513242346405164

1mmmmmmm++−−====.【点睛】此题考查根式与分数指数幂的化简计算，熟练掌握运算法则，准确化简求值.16.计算下列各式（式中字母均为正数）：（1）1373412aaa；（2）253364

aaa；（3）121334xy−；（4）21113333243abab−−−−.【答案】（1）53a；（2）712a；（3）49xy−；（4）6a−·【解析】【分析】（1）同底指数幂相乘，底数不变，指数相加；（2）根据指数幂运算法则得2

35346a+−，化简即可；（3）根据指数幂运算法则求值；（4）根据指数幂的运算法则求值即可.【详解】（1）原式137534123aa++==；（2）原式235734612aa+−==；（3）原式1312124934xyxy−−==；（4

）原式21113333(6)6aba+−+=−=−.【点睛】此题考查指数幂的运算法则，同底指数幂的乘法和除法运算，关键在于熟练掌握运算法则准确求解.17.如果在某种细菌培养过程中，细菌每10min分裂1次（1个分裂成2个

），那么经过1h，1个这种细菌可以分裂成_____________个.【答案】64【解析】【分析】一个小时分裂6次，根据分裂规则，即可求解.【详解】由题：细菌每10min分裂1次（1个分裂成2个），经过1h可分裂6次，可分裂成6264=（个）.故答案为：64【点睛】此题考查利

用指数幂的知识解决实际应用问题，关键在于合理地将实际问题转化为纯数学问题.18.（1）已知102,103mn==，求32210mn−的值；（2）已知23xa=，求33xxxxaaaa−−++的值.【答案】（1）223；（2）73.【解析】【分析】（1）根据指数幂

运算法则将原式转化为321010mn即可求值；（2）利用立方和公式化简因式分解再求值.【详解】（1）原式()333222221010103233mnm====；（2）原式()()22xxxxxxxxaaaaaaaa−−−−+−+=

+221xxaa−=−+173133=−+=.【点睛】此题考查根据指数幂的运算法则求代数式的值，利用整体代换，涉及因式分解.19.已知11223aa−+=，求下列各式的值：（1）1aa−+；（2）22aa−+.【答案】（1

）7；（2）47.【解析】【分析】（1）对等式11223aa−+=两边同时平方即可得解；（2）根据（1）对17aa−+=两边同时平方即可得解.【详解】（1）11223aa−+=，∴两边平方得129aa−++=.17aa−+=.（2）由（1）知17aa−+=，两边平

方得2222249,47aaaa−−++=+=.【点睛】此题考查与指数幂运算相关的化简求值，关键在于找准关系，准确化简代换求值.20.从盛有1L纯酒精的容器中倒出13L，然后用水填满；再倒出13L，又用水填满……（1）连续进行5次，容器中的纯酒精还剩下多少？

（2）连续进行n次，容器中的纯酒精还剩下多少？【答案】（1）32()243L；（2）23nL.【解析】【分析】（1）每进行一次倒出和填满，浓度变为原来的23，根据比例关系即可求解；（2）结合第（1）问分析出的关系每进

行一次倒出和填满，浓度变为原来的23，即可得解.【详解】（1）倒出1次后还剩23L，加满水后浓度为23.倒出2次后还剩2222()333L=，加满水后浓度为223.倒出3次后逐剩23222()333L=，加满水后浓度为323

.倒出4次后还剩34222()333L=，加满水后浓度为423.倒出5次后还剩4522232()333243L==.（2）由（1）知，连续进行了n次，容器中

的线酒精还剩下23nL.【点睛】此题考查利用指数性质解实际应用题，关键在于建立恰当的函数模型求解.21.（1）当n=1，2，3，10，100，1000，10000，100000，……时，用计算工具计算()*11n

nNn+的值；（2）当n越来越大时，11nn+的底数越来越小，而指数越来越大，那么11nn+是否也会越来越大？有没有最大值？【答案】（1）见解析；（2）是，没有.【解析】【分析】（1）利用计算器依次计算求值；（2）根

据（1）的计算结果分析，11nn骣琪+琪桫越来越大，没有最大值.【详解】（1）12331191412;12.25;12.370412433+=+==+=；10100101001111.125937;11.012.704810100+=+

=；1000100111.0012.71691000+=；1000010000111.00012.718110000+=；100000100000111.000012.7183100000+=.（2）由（1）知，当n越来越大时，11nn骣

琪+琪桫的值也会越来越大，但没有最大值.