【文档说明】江苏省南通市五校2020-2021学年高一下学期第一次联考数学试题 含答案.docx，共(7)页，443.215 KB，由管理员店铺上传

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江苏省南通市五校2020—2021学年高一下学期第一次联考数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40分）1．下列命题中正确的是（）A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B．模相等的两个平行向量是相等向量C．若a和b都是单位向量，则ab=D．两个相等向量的

模相等2．在ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，则DEFC+等于（）A．ABB．BCC．ACD．AE3．cos24cos36cos66cos54−=（）A．0B．12C．32D．12−4．已知点C在线段AB上，且35

ACAB=，则AC等于（）A．23BCB．32BCC．23BC−D．32BC−5．在边长为2的菱形ABCD中，60BAD=，E是BC的中点，则ACAE=（）A．333+B．92C．3D．96．已知向量()2,1a=−，()

1,bm=且ab⊥，那么m等于（）A．0B．1C．2D．37．已知向量()1,2a=，()2,0b=−，则ab的值等于（）A．4−B．3−C．2−D．18．在ABC中，点D是AC上一点，且4ACAD=，P为BD上一点，向量(0,0)

APABAC=+，则41+的最小值为（）A．16B．8C．4D．2二、多选题（本大题共4小题，共20分）9．给出下列四个命题，其中假命题为（）A．向量AB的长度与向量BA的长度相等B．两个有共同

起点且相等的向量，其终点必相同C．若向量AB与向量CD是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上D．有向线段就是向量，向量就是有向线段10．若点D，E，F分别为ABC的边BC，CA，AB的中点，且ABa=，BCb=，则下列结论正确的是（）A．12DAab=−B．

1122BEab=−+C．12CFab=−−D．1122DFab=+11．已知正方形ABCD的边长为2，向量a，b满足2ABa=，2ADab=+，则（）A．22b=B．ab⊥C．2ab=D．()4abb+⊥12．若点O在ABC所在的平面内，则以下说法正确的是（）A．若

0OAOBOC++=，则点O为ABC的重心B．若0ACABBCBAOAOBACABBCBA−=−=，则点O为ABC的垂心C．若()()0OAOBABOBOCBC+=+=，则点O为ABC的外心D．若

OAOBOBOCOCOA==，则点O为ABC的内心三、单空题（本大题共4小题，共200分）13．若0,2，4cos65+=−，则sin=______．14．已知1e，2e是不平行的向量，设12aeke=+，12b

kee=+则a与b共线的充要条件是实数k等于______．15．平面向量a，b满足1a=，2b=，且()()27abab+−=−，则向量a，b的夹角为______．16．如图，在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点

，·4BACA=，·1BFCF=−，则·BECE的值是______．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知a与b同向，()1,2b=，10ab=．（1）求a的坐标（2）若()2,1c=−，求()abc及

()abc．18．如图，F为线段BC的中点，2CEEF=，35DFAF=，设ACa=，ABb=，试用a，b表示AE，AD，BD．19．已知均为锐角，且5sin5=，10cos10=，求−的值．20．已知()2,0A，()0,4B，()cos,sinC，O为坐标原点．（Ⅰ）若

//OCAB，求tan的值；（Ⅱ）若3OAOC+=，且()0,，求OBOC．21.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量()2,1a=−，又点()0,8A，（1）已知()3,5C，若O，A，B，C四点按顺时针顺序构成平行四边形，求AB与BC夹角的余弦值；★（2）若(),02Mtksi

n，且向量AM与向量a共线，当4k，且sint取最大值为4时，求OAOM．22．如图在矩形ABCD中，ABa=，ADb=，N是CD的中点，M是线段AB上的点，2a=，1b=．（1）若M是AB的中点，求证：AN与CM共线；★（2）

在线段AB上是否存在点M，使得BD与CM垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M点的位置；★（3）若动点P在矩形ABCD上运动，试求APAB的最大值及取得最大值时P点的位置．江苏省南通市五校2020—2021学年高一下学期第

一次联考数学试题答案一、单选题（本大题共8小题，共40分）1．D2．C3．B4．D5．D6．C7．C8．A二、多选题（本大题共4小题，共20．0分）9．CD10．BC11．AD12．AC三、单空题（本大题共4小题，

共20．0分）13．33410+14．115．216．78点评：基底法四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．【答案】解：（1）设a=，()(),20b=，则410ab=+=，∴2=，∴()2,4

a=．（2）∵12210bc=−=，10ab=，∴()00abca==，()()()102,120,10abc=−=−．18．【答案】解：∵F为线段BC的中点，2CEEF=，∴13CECB=，又ACa=，ABb=，∴()112

121333333AEACCEACCBACABACACABab=+=+=+−=+=+；∵F是BC的中点，∴()()1122AFACABab=+=+，又∵35DFAF=，∴()8814455255ADAFabab==+=+；44415

555BDADABabbab=−=+−=−．19．【答案】解：∵，均为锐角，且5sin5=，10cos10=，∴25cos5=，310sin10=，∴，且25105310cos()coscossins

in51025102−=+=+=．又∵，均为锐角，∴02−−．故4−=−．20．【答案】解：（Ⅰ）因为()2,0A，()0,4B，()cos,sinC，所以()cos,sinOC=，()2,4AB=−，又

//OCAB，所以4cos2sin0+=，则sin2cos=−，即tan2=−；（Ⅱ）()cos,sinOC=，()2,0OA=，则()2cos,sinOAOC+=+，因为3OAOC+=，所以()222cossin3++=，即54cos3+=，即1cos2=−，

又()0,，所以23sin1cos2=−=，()cos,sinOC=，()0,4OB=，所以34sin4232OBOC===．21．【答案】解：（1）设(),Bxy，∵四边形OABC是平行四边形，∴OACB=，又()0,8OA=，()3

,5CBxy=−−，∴3058xy−=−=，313xy==，∴()3,13B；∴()3,5AB=，()0,8BC=−，∴305840ABBC=−=−，223534AB+==，8BC=；∴AB与BC夹角的余弦值为40534cos34348ABB

CABBC===−；（2）若(),sin02Mtk，且向量AM与向量a共线，∵(),sin8AMtk=−，()2,1a=−，∴()()2sin80kt−−−=，∴162sintk=−；∴2sin16si

n2sintk=−；设()22sin16sinfk=−+，则()242(s32in)fkkk+=−−；当4k时，401k；∴4sink=时，()f取得最大值为32k，由324k=，解得

8k=，此时1sin2=，6=，1162882t=−=，∴()8,4OM=，()0,8OA=，∴088432OAOM+==．22．【答案】（1）证明：∵12ANADDNba=+=+，12CMCBBMba=+

=−−，∴ANCM=−，∴AN与CM共线．（2）解：在线段AB上存在点M，使BD与CM垂直．理由：设BMa=，BDADABba=−=−，CMCBBMba=+=−+，∵BD与CM垂直，∴0BDCM=．即()()0baba−

−+=，∵2a=，1b=，0ab=，∴14=−．∴存在满足条件的点M，即32AM=，使得BD与CM垂直．此时点M在线段AB的四等分点，最靠近点B的位置．（3）解：①当P在线段AB上时，设APka=，()01k，则：4APABkaak==，∴APAB的最大值为4，此时P在B点处；

②当P在线段BC上（不含端点）时，设APakb=+，∴()4APABakba=+=，此时P在线段BC上（端点除外）；③当P在线段CD上时，设CPka=−，()01k，()()41APABabkaak=

+−=−，∴APAB的最大值为4，此时P在C点处；④当P在线段AD上时，0APAB=．综上所述，当P在线段BC上时，APAB的最大值是4．