【文档说明】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题【精准解析】.doc，共(20)页，1.377 MB，由小赞的店铺上传

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哈师大附中2018级高二下学期期末考试数学试卷一、选择题（每小题有且只有一个正确选项）1.已知复数z满足()1izai−=+，且z为纯虚数，则实数a的值为（）A.－1B.1C.－2D.2【答案】B【解析】【分析】设出z，根据复数相等的条件列方程组

，解方程组求得a的值.【详解】由于z为纯虚数，设为()0bib，由()1izai−=+得()1ibiai−=+，即bbiai+=+，所以11baab===.故选：B【点睛】本小题主要考查纯虚数

的概念，考查复数相等的概念，考查复数乘法运算，属于基础题.2.某中学有高中生480人，初中生240人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n的样本，其中高中生有12人，那么n等于（）A.6B.9C.1

2D.18【答案】D【解析】【分析】按照分层抽样的比列方程，解方程求得n的值.【详解】依题意可知48012480240n=+，解得18n=.故选：D【点睛】本小题主要考查分层抽样，属于基础题.3.两个线性相关变量x与y的统计数据如表：x99.5101

0.511y1110865其回归直线方程是40ybx=+，则相对应于点(11,5)的残差为（）A.0.1B.0.4C.0.3D.0.2【答案】D【解析】【分析】由已知求得样本中心点的坐标，代入回归方程中求得b的值，进而求

出回归方程，取11x=求得y，再由残差公式求得结果即可.【详解】99.51010.511105x++++==，111086585y++++==，则样本中心点为(10,8)，因为回归直线方程为40ybx=+，所以有40810b+=，解之得3.2b=−

，所以3.240yx=−+，当11x=时，4.8y=，则相对应于点(11,5)的残差为54.80.2−=.故选：D.【点睛】本题考查了回归直线方程的求解及应用，考查残差的计算，正确求解回归直线方程是解题的关键，考查运算与求解能力，属于常考题.4.现采用随机模拟的方法估计某运动员射

击4次，至少击中3次的概率；先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1、2表示没有击中目标，3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20随机数

：7527,0293,7140,9857,0347,4373,8636,6947,1417,46980371,6233,2616,8045,6011,3661,9597,7424,7610,4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（）A.0.55B.0.

6C.0.65D.0.7【答案】B【解析】【分析】根据随机模拟数据找出至少击中三次的情形，根据古典概型求解概率.【详解】由题设可知两次及两次以上没击中的情形有0293、7140、1417、0371、2616、6011、7610、4281，共八种，即20n=，20

812m=−=，故该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为120.620P==.故选：B【点睛】此题考查根据随机模拟求古典概型，关键在于读懂模拟方法，准确得出基本事件总数和至少击中三次包含的基本事件个数.5.已知函数()fxx=在点0xx=处的切线的倾斜角是π4，则0x的值为（）A.1

4B.12C.22D.1【答案】A【解析】【分析】由导数的几何意义利用切线的斜率列出方程即可求解.【详解】由题意知00011()tan1442fxxx====.故选：A【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.6.为做好社区新冠疫情防控工作，需将四名志愿者分配

到甲、乙、丙三个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有（）种A.36B.48C.60D.16【答案】A【解析】【分析】根据题意可知必有二名志愿者去同一小区开展工作，结合排列数的定义进行求解即可.【详解】根据题意可知必有二名志愿者去同一小区开展工作，因此有2

44362C==种方式，所以四名志愿者分配到甲、乙、丙三个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者共有23436321=36CA=种方式.故选：A【点睛】本题考查了组合与排列的应用，属于基础题.7.11211xxeedxx−−−+=+（）A.－1B.1C.2D.4【答案】

C【解析】【分析】由21xxeeyx−−=+为奇函数，可知11201xxeedxx−−−=+，从而易得结果.【详解】∵21xxeeyx−−=+为奇函数，∴11201xxeedxx−−−=+，∴11112111xxeedx

dxx−−−−+==+()11121x=−−=−，故选：C【点睛】本题考查定积分的运算及定积分的运算，考查函数的奇偶性，考查计算能力，属于中档题．8.观察下面“品”字形中各数之间的规律

，根据观察到的规律得出a的值为（）A.23B.75C.77D.139【答案】B【解析】【分析】根据图形可归纳品字形上方数字为1，3，5，7，9，11，品字形下方第一个数为，2，4，8，，第2个数字与第一个数字的差为品字形上方的数字，即可求解.【详

解】由图形可知，品字形上方数字为1，3，5，7，9，11可知，所求为第6个图形，观察品字形下方第一个数字，可知规律为：2362,2,2,2K，即6264b==，由规律可知11ab−=，所以641175a=+=，

故选：B【点睛】本题主要考查了合情推理中的不完全归纳法，属于容易题.9.某公司10位员工的月工资（单位：元）为1x，2x，…，10x，其均值和方差分别为x和2s，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）A.x，22s100+B.100x+，2

2s100+C.x，2sD.100x+，2s【答案】D【解析】试题分析：均值为;方差为,故选D.考点：数据样本的均值与方差.10.已知函数()2()lnfxxfex=+，则()fe=()A.e−B.eC.1

−D.1【答案】C【解析】【分析】先求导，再计算出()fe，再求()fe.【详解】由题得111()2(),()2(),()fxfefefefexee=+=+=−，所以1()2()ln2()11feefeeee

=+=+−=−.故选：C.【点睛】本题主要考查导数的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力，属基础题.11.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二

次取到的是3的整数倍”，则(|)PBA=（）A.38B.1340C.1345D.34【答案】B【解析】【分析】由条件概率的定义()(|)()PABPBAPA=，分别计算(),()PABPA即得解.【详解】由题意5()9PA=事件AB为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取

到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有223313+=个事件1313()9872PAB==由条件概率的定义：()13(|)()40PABPBAPA==故选：B【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生概念理解

，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.12.已知定义在()0,+上的函数()fx的导函数为()fx，且满足()()()10xfxxfx−+，则关于x不等式()()32121202xxfxefxx−−−−++的解集为（）A.1,32B.()3,

+C.()1,3D.1,2+【答案】A【解析】【分析】构造新函数()()xxfxgxe=，利用已知不等式可得()gx的单调性，从而可解不等式．【详解】涉及函数定义域为(0,)+，设()()xxfxgxe=，则2[()()]()()()(

)()xxxxfxxfxexfxefxxfxxfxgxee+−−+==，∵()()()10xfxxfx−+，∴()0gx，∴()gx在(0,)+上单调递增，不等式()()32121202xxfxefxx−−−−++可化为212(21)

(21)(2)(2)xxxfxxfxee−+−−++，即(21)(2)gxgx−+，所以212xx−+，3x，又21020xx−+，得12x，∴原不等式的解为132x．故选：A．【点睛】本题考查用导数解不等式，解题关键是构造新函数，利用新函数的单调性

解不等式，新函数需根据已知条件和需要解的不等式确定，简单的有()()gxxfx=，()()fxnxx=，()()xhxefx=，()()xfxmxe=，等等，复杂点的如2()xelxx=，或2()()lxxfx=，象本题()()xxfx

gxe=难度更大．注意平时的积累．二、填空题13.已知随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），且P（ξ＞2）＝0.85，则P（3＜ξ＜4）＝_____．【答案】0.35【解析】【分析】由已知求得μ，再由正态分布曲线的对称性求得P（2＜ξ＜3），则答案可求．【详解】解：

∵随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），∴μ＝3，∵P（ξ＞2）＝0.85，∴P（2＜ξ＜3）＝0.85﹣0.5＝0.35，则P（3＜ξ＜4）＝P（2＜ξ＜3）＝0.35.故答案为：0.35．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布曲线的对称性，属

于基础题．14.如图，在边长为2的正六边形内随机地撒一把豆子，落在正六边形ABCDEF−内的豆子粒数为626，落在阴影区域内的豆子粒数为313，据此估计阴影的面积为_______.【答案】33【解析】

【分析】由正六边形的面积公式求得总的面积，再由几何概型概率的计算公式构建方程，求得满足条件的部分的面积，即阴影的面积.【详解】边长为2的正六边形的面积136226322S==.据题设分析即几何概型的概率可知阴影区域面积03136333626S==.故答案为：33【点睛】本

题考查由几何概型的概率求图形的面积，属于基础题.15.若1()nxx+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项的值为_________.【答案】20【解析】【分析】首先利用264n=求出n，然后再利用二项式展开式的通项即可求解.

【详解】根据题意可得264n=，解得6n=，则61()xx+展开式的通项为662661()rrrrrCxCxx−−=，令620r−=，得3r=，所以常数项为：3363366165420321CxCx−===，故答案为：20【

点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式、指定项的系数问题，属于基础题.16.已知函数()()()2xxfxxemxexR=−−.若0m=，则()fx的极大值点为______．若()fx有3个极值点，则实数m的取值范围是______．

【答案】(1).13−−(2).()40,6e−【解析】【分析】当0m=时，利用导数求得()fx的极大值点；根据()fx有三个极值点，利用分离常数法求得m的取值范围.【详解】当0m=时，()()22xfxxe=−，()()'222

xfxxxe=+−，令()'0fx=，解得1213,13xx=−−=−+.所以()fx在()1,x−和()2,x+上递增，在()12,xx上递减.所以()fx的极大值点为13−−.()()22xfxxemx=−−，()()'222xfxxxem=+−−，令()'0fx=得()222xmxxe

=+−，构造函数()()222xgxxxe=+−，()()()'244xxgxxxexxe=+=+，所以()gx在()(),4,0,−−+上递增，在()4,0−上递减，所以()gx的极大值为()446

ge−−=，极小值为()02g=−注意到当1xx时，()2220xxxe+−，所以由()fx有3个极值点，可得406me−.所以实数m的取值范围是()40,6e−.故答案为：13−−；()40,6e−【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值点，属于中档题.三、

解答题17.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程1cossinxy=+=（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2sin333+=，射

线:3OM=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长.【答案】（1）2cos=；（2）2【解析】【分析】（1）首先利用221cossin+=对圆C的参数方程1{xcosysin=+=（φ为参数）进行

消参数运算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C的极坐标方程．（2）设11P（，），联立直线与圆的极坐标方程，解得11，；设22Q（，），联立直线与直线的极坐标方程，解得22，，可得PQ．【详解

】（1）圆C的普通方程为()2211xy−+=，又cosx=，siny=所以圆C的极坐标方程为2cos=.（2）设()11,，则由2{3cos==解得11=，13=，得1,3P；设()22Q,，则由2sin333{3

+==解得23=，23=，得3,3Q；所以Q2=【点睛】本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题.18.已知函数()()30fxxxaa=−++.（1）若1

a=，求不等式()6fx的解集；（2）若()221fxaa−−恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）(),24,−−+；（2）(0,4].【解析】【分析】（1）分1x−、13x-<<、3x三段解不等式()6fx，进而可求得该不等式的

解集；（2）由题意可知，()2min21fxaa−−，利用绝对值三角不等式可求得函数()yfx=的最小值，可得出关于实数a的不等式，进而可求得实数a的取值范围.【详解】（1）当1a=时，()31fxxx=−++.当1x−时，()()

3122fxxxx=−−+=−，由()6fx得226x−，解得2x−≤，此时2x−≤；当13x-<<时，()()314fxxx=−−+=−，则不等式()6fx不成立；当3x时，()3122fxxx

x=−++=−，由()6fx得226x−，解得4x，此时4x.综上所述，当1a=时，不等式()6fx的解集为(),24,−−+；（2）由题意可知，()2min21fxaa−−，0a

，由绝对值三角不等式,可得()()()333fxxxaxaxa=−+++−−=+，即()min3fxa=+，由题意可得2213aaa−−+，即2340aa−−，又0a，所以04a.因此，实数a的取值范围是(0,4].【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用绝对值

不等式恒成立求参数，考查了绝对值三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.19.某地为响应国家“脱贫攻坚战”的号召，帮助贫困户脱贫，安排贫困人员参与工厂生产．现用A，B两条生产线生产某产品．为了检测该产品的某项质量指标值（记为Z），现随机抽取这两种这两条生产线的产

品各100件，由检测结果得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）分别估计A，B两条生产线的产品质量指标值的平均数（同一组数据中的数据用该组区间的中点值作代表），从平均数结果看，哪条生产线的质量指标值更好？（Ⅱ）计算A生产线的产品质量指标值的众数和中位数（中位数计算结果精确到小数点后两位）

．（Ⅲ）该公司规定当92Z时，产品为超优品．根据所检测的结果填写22列联表，并判断是否有95%的把握认为“生产超优品是否与生产线有关”．附：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，nabcd=+++()20PK

k0.0500.0100.0050.0010k3.8416.6357.87910.82822列联表A生产线B生产线总计超优品非超优品总计【答案】（Ⅰ）81.68；80.4；A生产线的质量指标值更好

；（Ⅱ）众数为80；中位数约为81.58；（Ⅲ）列联表见解析，有.【解析】【分析】（Ⅰ）同一组数据中的数据用该组区间的中点值作估值结合频率可计算出均值；（Ⅱ）频率最大的那组数据中间值为众数，中位数要计算频率不0.5的那一点，它

在区间76,84上．（Ⅲ）根据频率分布直方图可得各数据，得列联表，计算2K后可得结论．【详解】解：（Ⅰ）设A，B两条生产线的产品质量指标值的平均数分别为x，y，由直方图可得(640.00625720.01825800.05375880.

035960.01125)881.68x=++++=，同理80.4y=，xy，因此A生产线的质量指标值更好．（Ⅱ）A生产线的产品质量指标值的众数为80由A生产线的产品质量指标值频率分布直方图，前两组频率为0.0

062580.0187580.20.5+=前三组频率为0.0062580.0187580.0537580.630.5++=故中位数在区间76,84，设为x，则()0.0062580.0187580.05375760.5x++−=，解得5.587681.58x+=

，故A生产线的产品质量指标值的中位数约为81.58．（Ⅲ）A生产线B生产线总计超优品9211非超优品9198189总计100100200()229982912004.7143.84110010011189K−=故有95%的把握认为“生产超优品是否与生产线有关”．【

点睛】本题考查频率分布直方图，考查用频率分布直方图估计众数，中位数，均值等，考查独立性检验．考查了学生的数据处理能力和运算求解能力，属于中档题．20.已知两个定点(0,4)A，(0,1)B，动点P满足||2||PAPB=，设动点P

的轨迹为曲线E，直线l：4ykx=−.（1）求曲线E的轨迹方程；（2）若l与曲线E交于不同的C、D两点，且120COD=(O为坐标原点)，求直线l的斜率；（3）若1k=，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM、QN，切点为M、N，探究：直线MN是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存

在则说明理由.【答案】（1）224xy+=；（2）15；（3）(1,1)−.【解析】【分析】（1）设点P的坐标为(,)xy，根据||2||PAPB=列出方程化简，即可求解轨迹方程；（2）依题意知2OCOD==，且12

0COD=，则点O到边CD的距离为1，列出方程，即可求解；（3）根据题意，,ONQNOMQM⊥⊥，则,MN都在以OQ为直径的圆F上，Q是直线:4lyx=−上的动点，设(,4)Qtt−，联立两个圆的方程，即可求解．【详解】（1）由题，设点P的坐标为(,)xy，因为||2||P

APB=，即2222(4)2(1)xyxy+−=+−，整理得224xy+=，所以所求曲线E的轨迹方程为224xy+=．（2）依题意，2OCOD==，且120COD=，由圆的性质，可得点O到边CD的距离为1，即点(0,0)O到直线:40lkxy−−=的距离为2411k=+，解得

15k=，所以所求直线l的斜率为15．（3）依题意，,ONQNOMQM⊥⊥，则,MN都在以OQ为直径的圆F上，Q是直线:4lyx=−上的动点，设(,4)Qtt−，则圆F的圆心为4(,)22tt−，且经过坐标原点，即圆

的方程为22(4)0xytxty+−−−=，又因为,MN在曲线22:4Exy+=上，由22224(4)0xyxytxty+=+−−−=，可得(4)40txty+--=，即直线MN的方程为(4)40txty+--=，由tR且()440

txyy+−−=，可得0440xyy+=+=，解得11xy==−，所以直线MN过定点(1,1)−．【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式，以及两点间的距离公式等知识点的综

合应用，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题．21.某班组织“2人组”投篮比赛，每队2人，在每轮比赛中，每队中的两人各投篮1次，规定：每队中2人都投中则该队得3分；若只有1人投中，则该队得1分若没有人投中，则该队得－1分．A队由甲、乙两名同学组成，甲投球一次投中的概率为35，乙投球一次投中

的概率为34，且甲、乙投中与否互不影响，在各轮比赛中投中与否也互不影响．（Ⅰ）求A队在一轮比赛中的得分不低于1分的概率；（Ⅱ）若共进行五轮比赛，记“A队在一轮比赛中得分不低于1分”恰有X次，求X的期望和方差；（Ⅲ

）若进行两轮比赛，求A队两轮比赛中得分之和Y的分布列和期望．【答案】（Ⅰ）910；（Ⅱ）92，920；（Ⅲ）分布列见解析，()175EY=.【解析】【分析】（Ⅰ）利用相互独立事件、互斥事件概率计算公式，计算出所求概率.（Ⅱ）利用二项分布期望和方差计算公式，计算出方差和期望.（Ⅲ）利用

相互独立事件概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.【详解】（Ⅰ）设事件“A队在一轮比赛中的得分不低于1分”为B，“甲在一轮中投中”为C，“乙在一轮中投中”为D，则C、D相互独立，B包含CD，CD，CD，且CD，CD，CD两两互斥，()35PC=，()34PD=，∴()()()()()91

0PBPCDCDCDPCDPCDPCD=++=++=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知“A队在一轮比赛中的得分不低于1分”的概率为910，故95,10XB，X可以取0，1，2，3，4，5，∴()995102EX==，()99951101

020DX=−=.（Ⅲ）Y可以取2,0,2,4,6−，()2121125454100PY=−==，()213121902545454100PY==+=，()23123332111722545454

54400PY==++=，()3123338142545454200PY==+=，()23381654400PY===.所以Y的分布列为Y－

20246P110091001174008120081400∴()175EY=．【点睛】本小题主要考查相互独立事件、互斥事件概率计算，考查二项分布期望和方差公式，考查分布列和数学期望的求法，属于中档题.22.已知函数()xfxaxe=

（aR），()ln1gxxkx=++（kR）（1）若1k=−求函数()gx的单调区间；（2）若1k=时有()()fxgx恒成立，求a的取值范围.【答案】(1)()gx在(01)，上是增函数，(1)+，上是减函数.(2)[1)a，+.【解析】【详解】分析：（1

）1k=−时，()ln1gxxx=−+的定义域为()0,+，()11gxx=−.解关于导函数的不等式，从而得到函数()gx的单调区间；（2）当1k=时，()()fxgx恒成立，即ln1xaxexx++恒成立，即ln1xxxaxe++，构造新函数()ln1xxxhxxe++=，求

其最大值即可.详解：（1）1k=−时，()ln1gxxx=−+的定义域为()0,+，()11gxx=−.令()110gxx=−，得01x，令()110gxx=−，得1x，所以()gx在()0,1上是增函数

，()1,+上是减函数.（2）当1k=时，()()fxgx恒成立，即ln1xaxexx++恒成立.因为0x，所以ln1xxxaxe++.令()ln1xxxhxxe++=，()()()21lnxxxxhxxe+−−=令()lnpxxx=−−，()110pxx=−−，故()px在()0

,+上单调递减，且1110pee=−，()110p=−，故存在01,1xe使得()000ln0pxxx=−−=，故00ln0xx+=，即00xxe−=.当()00,xx时，()0px，()0hx；当()0,x

x+时，()0px，()0hx；∴()hx在()00,x单调递增，在()0,x+单调递减∴()()0000max0ln11xxxhxhxxe++===故)1,a+点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0fx

就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为()min0fx，若()0fx恒成立，转化为()max0fx;（3）若()()fxgx恒成立，可转化为()()minmaxfxgx.