【文档说明】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题【精准解析】.doc，共(20)页，1.377 MB，由小赞的店铺上传

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哈师大附中2018级高二下学期期末考试数学试卷一、选择题（每小题有且只有一个正确选项）1.已知复数z满足()1izai−=+，且z为纯虚数，则实数a的值为（）A.－1B.1C.－2D.2【答案】B【解析】【分析】设出z，根据复数相等的条件列方程组，解方程组求得a的值.【详解】由于z为纯虚数

，设为()0bib，由()1izai−=+得()1ibiai−=+，即bbiai+=+，所以11baab===.故选：B【点睛】本小题主要考查纯虚数的概念，考查复数相等的概念，考查复数乘法运算，属于基础题.2.某中学有高中生480

人，初中生240人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n的样本，其中高中生有12人，那么n等于（）A.6B.9C.12D.18【答案】D【解析】【分析】按照分层抽样的比列方程，解方程求得n的

值.【详解】依题意可知48012480240n=+，解得18n=.故选：D【点睛】本小题主要考查分层抽样，属于基础题.3.两个线性相关变量x与y的统计数据如表：x99.51010.511y1110865其回归直线方程是40y

bx=+，则相对应于点(11,5)的残差为（）A.0.1B.0.4C.0.3D.0.2【答案】D【解析】【分析】由已知求得样本中心点的坐标，代入回归方程中求得b的值，进而求出回归方程，取11x=求得y，再由残差

公式求得结果即可.【详解】99.51010.511105x++++==，111086585y++++==，则样本中心点为(10,8)，因为回归直线方程为40ybx=+，所以有40810b+=，解之得3.2b=−，所以3.240yx=−+，当11x=时

，4.8y=，则相对应于点(11,5)的残差为54.80.2−=.故选：D.【点睛】本题考查了回归直线方程的求解及应用，考查残差的计算，正确求解回归直线方程是解题的关键，考查运算与求解能力，属于常考题

.4.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率；先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1、2表示没有击中目标，3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20随机数：7527,

0293,7140,9857,0347,4373,8636,6947,1417,46980371,6233,2616,8045,6011,3661,9597,7424,7610,4281根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（）A.0.5

5B.0.6C.0.65D.0.7【答案】B【解析】【分析】根据随机模拟数据找出至少击中三次的情形，根据古典概型求解概率.【详解】由题设可知两次及两次以上没击中的情形有0293、7140、1417、0371、2616、6011、7610、4281，共八种

，即20n=，20812m=−=，故该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为120.620P==.故选：B【点睛】此题考查根据随机模拟求古典概型，关键在于读懂模拟方法，准确得出基本事件总数和至少击中三次包含的基本事件个数.5.已知函数

()fxx=在点0xx=处的切线的倾斜角是π4，则0x的值为（）A.14B.12C.22D.1【答案】A【解析】【分析】由导数的几何意义利用切线的斜率列出方程即可求解.【详解】由题意知00011()tan1442fxxx==

==.故选：A【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.6.为做好社区新冠疫情防控工作，需将四名志愿者分配到甲、乙、丙三个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有（）种A.36

B.48C.60D.16【答案】A【解析】【分析】根据题意可知必有二名志愿者去同一小区开展工作，结合排列数的定义进行求解即可.【详解】根据题意可知必有二名志愿者去同一小区开展工作，因此有244362C==种方式，所以四名志愿者分配

到甲、乙、丙三个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者共有23436321=36CA=种方式.故选：A【点睛】本题考查了组合与排列的应用，属于基础题.7.11211xxeedxx−−−+=+（）A.－1B.1C.2D.4【答案】C【解析】【分析】由21xx

eeyx−−=+为奇函数，可知11201xxeedxx−−−=+，从而易得结果.【详解】∵21xxeeyx−−=+为奇函数，∴11201xxeedxx−−−=+，∴11112111xxeedxdxx−−−−+==+()11121x=−−=−，故选：C【点睛

】本题考查定积分的运算及定积分的运算，考查函数的奇偶性，考查计算能力，属于中档题．8.观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为（）A.23B.75C.77D.139【答案】B【

解析】【分析】根据图形可归纳品字形上方数字为1，3，5，7，9，11，品字形下方第一个数为，2，4，8，，第2个数字与第一个数字的差为品字形上方的数字，即可求解.【详解】由图形可知，品字形上方数字为1，3，5，7，9，11可知，所求为第6个图形

，观察品字形下方第一个数字，可知规律为：2362,2,2,2K，即6264b==，由规律可知11ab−=，所以641175a=+=，故选：B【点睛】本题主要考查了合情推理中的不完全归纳法，属于容易题.9.某公司10位员工的月工资（单位：元）为1x，2x，…，10

x，其均值和方差分别为x和2s，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）A.x，22s100+B.100x+，22s100+C.x，2sD.100x+，2s【答案】D【解析】试题分析：均值为;方差为,故选D.考点：数据样本的均值

与方差.10.已知函数()2()lnfxxfex=+，则()fe=()A.e−B.eC.1−D.1【答案】C【解析】【分析】先求导，再计算出()fe，再求()fe.【详解】由题得111()2(),()2(),()fxfefefefexee=+=+=−，所以1()2

()ln2()11feefeeee=+=+−=−.故选：C.【点睛】本题主要考查导数的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的计算能力，属基础题.11.从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的

是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则(|)PBA=（）A.38B.1340C.1345D.34【答案】B【解析】【分析】由条件概率的定义()(|)()PABPBAPA=，分别计算(),()PABPA即得解.【详解

】由题意5()9PA=事件AB为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有223313+=个事件1313()9872PAB==由条件概率的定义：

()13(|)()40PABPBAPA==故选：B【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生概念理解，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.12.已知定义在()0,+上的函数()fx的导函数为()fx，且满足()

()()10xfxxfx−+，则关于x不等式()()32121202xxfxefxx−−−−++的解集为（）A.1,32B.()3,+C.()1,3D.1,2+【答案】A【解析】【分析】构造新函数()()xxfxgxe=，利用

已知不等式可得()gx的单调性，从而可解不等式．【详解】涉及函数定义域为(0,)+，设()()xxfxgxe=，则2[()()]()()()()()xxxxfxxfxexfxefxxfxxfxgxee+−−

+==，∵()()()10xfxxfx−+，∴()0gx，∴()gx在(0,)+上单调递增，不等式()()32121202xxfxefxx−−−−++可化为212(21)(21)(2)(2)xxxfxxfxee−+

−−++，即(21)(2)gxgx−+，所以212xx−+，3x，又21020xx−+，得12x，∴原不等式的解为132x．故选：A．【点睛】本题考查用导数解不等式，解题关键是构造新函数，利用新函数的单调性解不等式，新函数需根据已知条件和需要解的

不等式确定，简单的有()()gxxfx=，()()fxnxx=，()()xhxefx=，()()xfxmxe=，等等，复杂点的如2()xelxx=，或2()()lxxfx=，象本题()()xxfxgxe=难度更大

．注意平时的积累．二、填空题13.已知随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），且P（ξ＞2）＝0.85，则P（3＜ξ＜4）＝_____．【答案】0.35【解析】【分析】由已知求得μ，再由正态分布曲线的对称性求得P（2＜ξ＜3），则答案可

求．【详解】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，σ2），∴μ＝3，∵P（ξ＞2）＝0.85，∴P（2＜ξ＜3）＝0.85﹣0.5＝0.35，则P（3＜ξ＜4）＝P（2＜ξ＜3）＝0.35.故答案为：0.35．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分

布曲线的对称性，属于基础题．14.如图，在边长为2的正六边形内随机地撒一把豆子，落在正六边形ABCDEF−内的豆子粒数为626，落在阴影区域内的豆子粒数为313，据此估计阴影的面积为_______.【答案】33【解析】【分析】由正六边形的面积公式求得总的面积，再由几何概型概率的计算公式构建方程

，求得满足条件的部分的面积，即阴影的面积.【详解】边长为2的正六边形的面积136226322S==.据题设分析即几何概型的概率可知阴影区域面积03136333626S==.故答案为：33【点睛】本题考查由几何概型的概率求图形的面积，属于基础题.15.若1()nxx+展开式的二项式

系数之和为64，则展开式的常数项的值为_________.【答案】20【解析】【分析】首先利用264n=求出n，然后再利用二项式展开式的通项即可求解.【详解】根据题意可得264n=，解得6n=，则61()xx+展开式的通项为662661()rrrrrCxCxx−−=，令620r−=，得3

r=，所以常数项为：3363366165420321CxCx−===，故答案为：20【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式、指定项的系数问题，属于基础题.16.已知函数()()()2xxfxxem

xexR=−−.若0m=，则()fx的极大值点为______．若()fx有3个极值点，则实数m的取值范围是______．【答案】(1).13−−(2).()40,6e−【解析】【分析】当0m=时，利用导数求得

()fx的极大值点；根据()fx有三个极值点，利用分离常数法求得m的取值范围.【详解】当0m=时，()()22xfxxe=−，()()'222xfxxxe=+−，令()'0fx=，解得1213,13xx=−−=−+.所以

()fx在()1,x−和()2,x+上递增，在()12,xx上递减.所以()fx的极大值点为13−−.()()22xfxxemx=−−，()()'222xfxxxem=+−−，令()'0fx=得()222xmxxe=+−，构造函数()()222xgxxxe=+−，(

)()()'244xxgxxxexxe=+=+，所以()gx在()(),4,0,−−+上递增，在()4,0−上递减，所以()gx的极大值为()446ge−−=，极小值为()02g=−注意到当1xx时，()2220xxxe+−，所以由()fx有3个极值点，可得4

06me−.所以实数m的取值范围是()40,6e−.故答案为：13−−；()40,6e−【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值点，属于中档题.三、解答题17.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程1cossinxy=+=（为参数

），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2sin333+=，射线:3OM=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长.【答案】（1）2co

s=；（2）2【解析】【分析】（1）首先利用221cossin+=对圆C的参数方程1{xcosysin=+=（φ为参数）进行消参数运算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C的极坐

标方程．（2）设11P（，），联立直线与圆的极坐标方程，解得11，；设22Q（，），联立直线与直线的极坐标方程，解得22，，可得PQ．【详解】（1）圆C的普通方程为()2211xy−+=，又cosx=，siny=所以圆C的极坐标方程为2c

os=.（2）设()11,，则由2{3cos==解得11=，13=，得1,3P；设()22Q,，则由2sin333{3+==解得23=，23=，得3,3Q；所以Q2=【点睛】本题考查圆的参数方程与普通方程的互化

，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题.18.已知函数()()30fxxxaa=−++.（1）若1a=，求不等式()6fx的解集；（2）若()221fxaa−−恒成立，求实数a的取值范围.【答案

】（1）(),24,−−+；（2）(0,4].【解析】【分析】（1）分1x−、13x-<<、3x三段解不等式()6fx，进而可求得该不等式的解集；（2）由题意可知，()2min21fxaa

−−，利用绝对值三角不等式可求得函数()yfx=的最小值，可得出关于实数a的不等式，进而可求得实数a的取值范围.【详解】（1）当1a=时，()31fxxx=−++.当1x−时，()()3122fxxxx=−−+=−，由()6fx得226x−，解得2x−≤，

此时2x−≤；当13x-<<时，()()314fxxx=−−+=−，则不等式()6fx不成立；当3x时，()3122fxxxx=−++=−，由()6fx得226x−，解得4x，此时4x.综上所述，当1a=时，不等式()6fx的解集为()

,24,−−+；（2）由题意可知，()2min21fxaa−−，0a，由绝对值三角不等式,可得()()()333fxxxaxaxa=−+++−−=+，即()min3fxa=+，由题意可得2213aaa−−+，即2340aa−−，又0a，所以

04a.因此，实数a的取值范围是(0,4].【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用绝对值不等式恒成立求参数，考查了绝对值三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.19.某地为响应国家“脱贫攻坚战”的号召，帮助贫困户脱贫，安排贫困人员参

与工厂生产．现用A，B两条生产线生产某产品．为了检测该产品的某项质量指标值（记为Z），现随机抽取这两种这两条生产线的产品各100件，由检测结果得到如下频率分布直方图．（Ⅰ）分别估计A，B两条生产线的产品质量指标值的平均数（同一组数据中的数据用该组区间的中点值作代表），从平均数结果看，哪条生

产线的质量指标值更好？（Ⅱ）计算A生产线的产品质量指标值的众数和中位数（中位数计算结果精确到小数点后两位）．（Ⅲ）该公司规定当92Z时，产品为超优品．根据所检测的结果填写22列联表，并判断是否有95%的把握认为“生产超优品是否与生产线有关”．

附：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，nabcd=+++()20PKk0.0500.0100.0050.0010k3.8416.6357.87910.82822列联表A生产线B生产线

总计超优品非超优品总计【答案】（Ⅰ）81.68；80.4；A生产线的质量指标值更好；（Ⅱ）众数为80；中位数约为81.58；（Ⅲ）列联表见解析，有.【解析】【分析】（Ⅰ）同一组数据中的数据用该组区间的中点值作

估值结合频率可计算出均值；（Ⅱ）频率最大的那组数据中间值为众数，中位数要计算频率不0.5的那一点，它在区间76,84上．（Ⅲ）根据频率分布直方图可得各数据，得列联表，计算2K后可得结论．【详解】解：（Ⅰ）设A，B

两条生产线的产品质量指标值的平均数分别为x，y，由直方图可得(640.00625720.01825800.05375880.035960.01125)881.68x=++++=，同理80.4y=，xy，因此A生产线的质量指标值更好．（Ⅱ）A生产线的产

品质量指标值的众数为80由A生产线的产品质量指标值频率分布直方图，前两组频率为0.0062580.0187580.20.5+=前三组频率为0.0062580.0187580.0537580.630.5++=故中位数在区间76,84，设为x，则()0

.0062580.0187580.05375760.5x++−=，解得5.587681.58x+=，故A生产线的产品质量指标值的中位数约为81.58．（Ⅲ）A生产线B生产线总计超优品9211非超优品9198189总计100100200()229982912004.7143.841

10010011189K−=故有95%的把握认为“生产超优品是否与生产线有关”．【点睛】本题考查频率分布直方图，考查用频率分布直方图估计众数，中位数，均值等，考查独立性检验．考查了学生的数据处理能力和运算求解能力，属于中档题．20.已知两个定点(0,4)A，(0,1)

B，动点P满足||2||PAPB=，设动点P的轨迹为曲线E，直线l：4ykx=−.（1）求曲线E的轨迹方程；（2）若l与曲线E交于不同的C、D两点，且120COD=(O为坐标原点)，求直线l的斜率；（3）若1k=，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM、QN，切点为M、N，探究

：直线MN是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.【答案】（1）224xy+=；（2）15；（3）(1,1)−.【解析】【分析】（1）设点P的坐标为(,)xy，根据||2||PAPB=列出方程化简，即可求解轨迹方程；（2）依

题意知2OCOD==，且120COD=，则点O到边CD的距离为1，列出方程，即可求解；（3）根据题意，,ONQNOMQM⊥⊥，则,MN都在以OQ为直径的圆F上，Q是直线:4lyx=−上的动点，设(,4)Qtt−，

联立两个圆的方程，即可求解．【详解】（1）由题，设点P的坐标为(,)xy，因为||2||PAPB=，即2222(4)2(1)xyxy+−=+−，整理得224xy+=，所以所求曲线E的轨迹方程为224xy+=．（2）依题意，2OCOD==，且120C

OD=，由圆的性质，可得点O到边CD的距离为1，即点(0,0)O到直线:40lkxy−−=的距离为2411k=+，解得15k=，所以所求直线l的斜率为15．（3）依题意，,ONQNOMQM⊥⊥，则,MN都在以OQ为直径的圆F上，Q是直线:4lyx=

−上的动点，设(,4)Qtt−，则圆F的圆心为4(,)22tt−，且经过坐标原点，即圆的方程为22(4)0xytxty+−−−=，又因为,MN在曲线22:4Exy+=上，由22224(4)0xyxytxty+=+−−−=，可得(4)40txty+

--=，即直线MN的方程为(4)40txty+--=，由tR且()440txyy+−−=，可得0440xyy+=+=，解得11xy==−，所以直线MN过定点(1,1)−．【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式，以及两

点间的距离公式等知识点的综合应用，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题．21.某班组织“2人组”投篮比赛，每队2人，在每轮比赛中，每队中的两人各投篮1次，规定：每队中2人都投中则该队得3分；若只有1人投中，则该队得1分若没有人投中，则该队得－1

分．A队由甲、乙两名同学组成，甲投球一次投中的概率为35，乙投球一次投中的概率为34，且甲、乙投中与否互不影响，在各轮比赛中投中与否也互不影响．（Ⅰ）求A队在一轮比赛中的得分不低于1分的概率；（Ⅱ）若共进行五轮比赛，记“A队在

一轮比赛中得分不低于1分”恰有X次，求X的期望和方差；（Ⅲ）若进行两轮比赛，求A队两轮比赛中得分之和Y的分布列和期望．【答案】（Ⅰ）910；（Ⅱ）92，920；（Ⅲ）分布列见解析，()175EY=.【解析】【分析】（Ⅰ）利用相互独立事件

、互斥事件概率计算公式，计算出所求概率.（Ⅱ）利用二项分布期望和方差计算公式，计算出方差和期望.（Ⅲ）利用相互独立事件概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.【详解】（Ⅰ）设事件“A队在一轮比赛中的得分不低于1分”为B，“甲在一轮中投中”为C，“乙在一轮中投中”为D，

则C、D相互独立，B包含CD，CD，CD，且CD，CD，CD两两互斥，()35PC=，()34PD=，∴()()()()()910PBPCDCDCDPCDPCDPCD=++=++=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知“A队在一轮比赛中的得分不低于1分”的概率为910，故95,10XB，X可以取0，1，

2，3，4，5，∴()995102EX==，()99951101020DX=−=.（Ⅲ）Y可以取2,0,2,4,6−，()2121125454100PY=−==，()213121902545454100PY==+=，(

)2312333211172254545454400PY==++=，()3123338142545454200PY==+=，()23381654400PY===.所以

Y的分布列为Y－20246P110091001174008120081400∴()175EY=．【点睛】本小题主要考查相互独立事件、互斥事件概率计算，考查二项分布期望和方差公式，考查分布列和数学期望的求法，属于中档题.22.已知函数()xfxaxe=（a

R），()ln1gxxkx=++（kR）（1）若1k=−求函数()gx的单调区间；（2）若1k=时有()()fxgx恒成立，求a的取值范围.【答案】(1)()gx在(01)，上是增函数，(1)+，上是减函数.(2)[1)a，+.【解析】【详解】分析：（1）1k=−时，

()ln1gxxx=−+的定义域为()0,+，()11gxx=−.解关于导函数的不等式，从而得到函数()gx的单调区间；（2）当1k=时，()()fxgx恒成立，即ln1xaxexx++恒成立，即ln1xxxaxe++，构造新函数()ln

1xxxhxxe++=，求其最大值即可.详解：（1）1k=−时，()ln1gxxx=−+的定义域为()0,+，()11gxx=−.令()110gxx=−，得01x，令()110gxx=−，得1x，所以()gx在()0,1上是增函数，()1,+上是减函数.（2）

当1k=时，()()fxgx恒成立，即ln1xaxexx++恒成立.因为0x，所以ln1xxxaxe++.令()ln1xxxhxxe++=，()()()21lnxxxxhxxe+−−=令()lnpxxx=−−，()110pxx=−−，故()px在()

0,+上单调递减，且1110pee=−，()110p=−，故存在01,1xe使得()000ln0pxxx=−−=，故00ln0xx+=，即00xxe−=.当()00,xx时，()

0px，()0hx；当()0,xx+时，()0px，()0hx；∴()hx在()00,x单调递增，在()0,x+单调递减∴()()0000max0ln11xxxhxhxxe++===故)1,a+点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的

最值问题；（2）若()0fx就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为()min0fx，若()0fx恒成立，转化为()max0fx;（3）若()()fxgx恒成立，可转化为()()minmaxfxgx.