【文档说明】上海市杨浦高级中学2021届高三下学期开学考数学试题 含答案.docx，共(17)页，1.014 MB，由小赞的店铺上传

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2020-2021年上海市杨浦高级中学高三下开学考一､填空题(1~6题每小题4分，7-12题每小题5分，本大题满分54分)1.已知(,,1,2AaB=−=，且AB，则实数a的范围是_____________.2.直线()110axay+−+=与直线420xay+−=互相平行，则实数a

=_____________.3.已知()30,,cos5=−，则tan4+=_____________.4.长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为,,，则222coscoscos++=_____________.

5.已知函数()20,210xxxfxx−−=−则()119ff−−−=_____________.6.从集合{1,1,2,3}−随机取一个为m，从集合2,1,1,2−−随机取一个为

n，则方程221xymn+=表示双曲线的概率为_____________.7.已知数列na是公比为q的等比数列，且243,,aaa成等差数列，则q=_____________.8.若将函数()6fxx=表示成()()236012

361(1)(1)(1)fxaaxaxaxax=+−+−+−++−则3a的值等于_____________.9.如图，长方体1111ABCDABCD−的边长11,2ABAAAD===，它的外接球是球O，则1,AA这两点的球面距离等于_____________.10.椭圆的长轴长等于m，短轴长

等于n，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为_____________.11.x是不超过x的最大整数，则方程()27122044xx−−=满足1x的所有实数解是_____________.12.函数()sinfxx=，对于123nxxxx且()12,,

,0,810nxxxn，记()()()()()()()()1223341nnMfxfxfxfxfxfxfxfx−=−+−+−++−，则M的最大值等于_____________.二.选择题(每小题5分，满分2

0分)13.下列函数是奇函数的是（）A.()1fxx=+B.()sincosfxxx=C.()arccosfxx=D.()00xxfxxx=−14.在RtABC中，ABAC=，点,MN是线段AC的三等分点，点在线段上运动且满足PCkBC=，当PMPN取得最小值时，实数k的值

为（）A.12B.13C.141.8D15.直线:10lkxyk−++=与圆228xy+=交于,AB两点，且42AB=，过点,AB分别作l的垂线与y轴交于点,MN，则MN等于（）A.22B.4C.42D.816.已知数列

na的首项1aa=，且14404,64nnnnnaaaaaa+−=−，nS是此数列的前n项和，则以下结论正确的是（）A.不存在a和n使得2015nS=B.不存在a和n使得2016nS=C.不存在a和n使得2017n

S=D.不存在a和n使得2018nS=三.解答题(本大题满分76分)17.(本题满分14分第（1）小题7分，第（2）小题7分.)如图，直二棱柱的底面是等腰直角三角形，1,2ABACBAC===，高等于3，点1212,,,MMNN为

所在线段的三等分点.（1）求此三棱柱的体积和三棱锥112AAMN−的体积；（2）求异面直线121,ANAM所成的角的大小.18.(本题满分14分第（1）小题7分，第（2）小题7分.)已知ABC中，角,,ABC所对应的

边分别为,,abc，cossin(zAiAi=+是虛数单位)是方程210zz−+=的根，3.a=（1）若4B=，求边长c的值;（2）求ABC面积的最大值.19.(本题满分14分第（1）小题6分，第（2）小题8分.)平面内的“向量列”na，如果对于任意的正

整数n，均有1nnaad+−=，则称此“向量列”为“等差向量列”，d称为“公差向量”平面内的向量列nb，如果10b且对于任意的正整数n，均有1(0)nnbqbq+=，则称此向量列为“等比向量列”，常数q称为“公比”.（1）

如果“向量列”na是“等差向量列”，用1a和“公差向量”d表示12naaa+++；（2）已知na是“等差向量列”，“公差向量”()()()13,0,1,1,,nnndaaxy===；nb是“等比向量列”

，“公比”()()12,1,3,,nnnqbbmk===，求1122nnababab+++20.(本题满分16分第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分.)如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”.已知椭圆22:12xCy+=，点(),Mm

n是椭圆C上的任意一点，直线l过点M且是椭圆C的“切线”（1）证明：过椭圆C上的点(),Mmn的“切线”方程是12mxny+=；（2）设A，B是椭圆C长轴上的两个端点，点(),Mmn不在坐标轴上，直线MA，MB分别交y轴于点P，Q，过M

的椭圆C的“切线”l交y轴于点D，证明：点D是线段PQ的中点：（3）点(),Mmn不在x轴上，记椭圆C的两个焦点分别为1F和2F，判断过M的椭圆C的“切线”l与直线12,MFMF所成夹角是否相等？并说明理由.21.(本题满分18分第（1）小题3分，第（2）小题7分，第（3）小题8分.)已

知函数()()()()33,,1xfxaxxaaRxRgxxRx=+−=−.（1）如果342x−=是关于x的不等式()0fx的解，求实数a的取值范围;（2）判断()gx在341,2−−和34,12

−的单调性，并说明理由：（3）证明：函数()fx存在零点q，使得4732naqqqq−=+++++成立的充要条件是343a2020-2021年上海市杨浦高级中学高三下开学考一､填空题(1~6题每小题4分，7-12题每小题5分，本大题满分54分)1.已知(,,1,2A

aB=−=，且AB，则实数a的范围是_____________.【答案】1a2.直线()110axay+−+=与直线420xay+−=互相平行，则实数a=_____________.【解析】由24(

1)02aaa−−==3.已知()30,,cos5=−，则tan4+=_____________.【解析】4tan,3=−所以1tan47+=−4.长方体的对角

线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为,,，则222coscoscos++=_____________.【解析】设三边为,,,abc对角线为d，所认2222abcd++=222222222222cos,cos,cosabbccaddd+++===所以222coscosc

os2,++=也可取正方体的特殊情况去求.5.已知函数()20,210xxxfxx−−=−则()119ff−−−=_____________.【解析】()()()()()111112,0,93,932log1,0xxfxffffxx−−−−−−=−=

−==−−+6.从集合{1,1,2,3}−随机取一个为m，从集合2,1,1,2−−随机取一个为n，则方程221xymn+=表示双曲线的概率为_____________.【解析】32121442P+==7.已知数列na是公比为q的等比数列，

且243,,aaa成等差数列，则q=_____________.【解析】22342210,aaaqq+=−−=所以1q=或12q=−8.若将函数()6fxx=表示成()()236012361(1)(1)(1)fxaaxaxax

ax=+−+−+−++−则3a的值等于_____________.【解析】66336[(1)1],20xxaC=−+==9.如图，长方体1111ABCDABCD−的边长11,2ABAAAD===，它的外接球是球O，则

1,AA这两点的球面距离等于_____________.【解析】外接球半径为1,,3=球面距离为310.椭圆的长轴长等于m，短轴长等于n，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为_____________.【答案】2mn11.x是不超过x的最大整数，则

方程()27122044xx−−=满足1x的所有实数解是_____________.【解析】当01,21,xx=所以()2122;2xx==当()210,20,24xxx==所以1,x=−所以满足条件的所有实数解为0.5x=或1x=−12.函数()si

nfxx=，对于123nxxxx且()12,,,0,810nxxxn，记()()()()()()()()1223341nnMfxfxfxfxfxfxfxfx−=−+−+−++−，则M的最大值等于__

___________.【解析】在[0,8]有4个周期，最大值为4416=二.选择题(每小题5分，满分20分)13.下列函数是奇函数的是(B)A.()1fxx=+B.()sincosfxxx=C.()a

rccosfxx=D.()00xxfxxx=−【解析】由()(),fxfx−=−选B14.在RtABC中，ABAC=，点,MN是线段AC的三等分点，点在线段上运动且满足PCkBC=，当PMPN取得最小

值时，实数k的值为(C)A.12B.13C.141.8D【解析】设()()()2,3,1,0,2,0,2911,0,3PxxMNPMPNxxx−=−+建系，所以94x=时取到最小值，此时14PCkBC==，选C15.直线:10lkxyk−++=与圆228xy+=交于,AB两点，

且42AB=，过点,AB分别作l的垂线与y轴交于点,MN，则MN等于(D)A.22B.4C.42D.8【解析】AB长为直径，所以:10lkxyk−++=经过原点，1,28kMNAB=−==选D16.已知数

列na的首项1aa=，且14404,64nnnnnaaaaaa+−=−，nS是此数列的前n项和，则以下结论正确的是(A)A.不存在a和n使得2015nS=B.不存在a和n使得2016nS=C.不存在a和n使得2017nS=D.不存在a和n使得2018nS=【

解析】令11,a=则所有奇数项都为1,偶数项都为5,排除,;BC令12,a=则所有奇数项都为2,偶数项都为4,排除,D故选A三.解答题(本大题满分76分)17.(本题满分14分第（1）小题7分，第（2）小题7分

.)如图，直二棱柱的底面是等腰直角三角形，1,2ABACBAC===，高等于3，点1212,,,MMNN为所在线段的三等分点.（1）求此三棱柱的体积和三棱锥112AAMN−的体积；（2）求异面直线121,ANAM所成的角的大小.（1）因为Δ1,2ABCS=所以11132ABCABC

V−=11Δ32AMAS=，1C到平面11ABBA的距离等于1，即2N到平面11ABBA的距离等于1,所以112211131322AAMNNAMAVV−−===所以三棱柱111ABCABC−的体积等于32(立方单位)三棱锥112AAMN−的体积等于1(2立方单位).（2）取线段1AA的三等分点1

2,,PP连121,.PMPC因为121112//,//,ANPCAMPM所以21MPC的大小等于异面直线121,ANAM所成的角或其补角的大小.因为121122,2,6PMAMPCMC====所以212261co

s2222MPC+−==−所以异面直线121,ANAM所成的角的大小等于318.(本题满分14分第（1）小题7分，第（2）小题7分.)已知ABC中，角,,ABC所对应的边分别为,,abc，cossin(zAiAi=+是虛数单位)是方程210zz−+=的根，3.a=（1）若

4B=，求边长c的值;（2）求ABC面积的最大值.（1）210zz−+=的两个根为1322zi=所以13cos,sin,223AAA===所以562sinsin,,124sinsincaCCA+===得3262c+=因为2222cosabcbcA=+−所以2292,bcbcbc

bcbc=+−−=从而9,bc等号当bc=时成立此时max193sin.24SbcA==所以ABC的面积的最大值等于93419.(本题满分14分第（1）小题6分，第（2）小题8分.)平面内的“向量列”na，如果对于任意的正整数n，均有1nnaad+−=，则称此“向量列”为“等差向量列”，

d称为“公差向量”平面内的向量列nb，如果10b且对于任意的正整数n，均有1(0)nnbqbq+=，则称此向量列为“等比向量列”，常数q称为“公比”.（1）如果“向量列”na是“等差向量列”，用1a和“公差向量”d表示12naaa+++；（2）已知na是“等差向量列

”，“公差向量”()()()13,0,1,1,,nnndaaxy===；nb是“等比向量列”，“公比”()()12,1,3,,nnnqbbmk===，求1122nnababab+++（1）设()()12,,,nnnaxyddd==由1

,nnaad+−=得1112,nnnnxxdyyd++−=−=所以数列nx是以1x为首项，公差为d的等差数列；数列ny是以1y首项，公差为2d的等差数列所以()121212,nnnaaaxxxyyy+++=+

+++++()()()()()111211121111,1,1,222nxnndnynndnxynndd=+−+−=+−11(1)2nannd=+−（2）设()(),,,nnnnnnaxybmk==由()

()()()11111,,,3,0nnnnnnnnnnaaxyxyxxyy+++++−=−=−−=从而113,0nnnnxxyy++−=−=.数列nx是以1为首项，公差为3的等差数列，从而32nxn=−.数列ny是常数列，1ny=.由12nn

bb+=得112,2,nnnnmmkk++==又111,3mk==，所以数列nm是以1为首项，公比为2的等比数列；数列nk是以3为首项，公比为2的等比数列，从而有112,32nnnnmk−−==11221122112

2nnnnnnabababxmxmxmykykyk+++=+++++++令()211122114272322nnnnSxmxmxmn−=+++=++++−①()232124272322nnS

n=++++−②①-②得，()()231132222322nnnSn−−=+++++−−，得()5352nnSn=+−令()()112231232112nnnnnTykykyk−=+++==

−−从而()11223222nnnnnabababSTn+++=+=−+20.(本题满分16分第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分.)如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”.已知椭圆22:12x

Cy+=，点(),Mmn是椭圆C上的任意一点，直线l过点M且是椭圆C的“切线”（1）证明：过椭圆C上的点(),Mmn的“切线”方程是12mxny+=；（2）设A，B是椭圆C长轴上的两个端点，点(),Mmn不在坐标轴上，直线MA，MB分别交y轴于点

P，Q，过M的椭圆C的“切线”l交y轴于点D，证明：点D是线段PQ的中点：（3）点(),Mmn不在x轴上，记椭圆C的两个焦点分别为1F和2F，判断过M的椭圆C的“切线”l与直线12,MFMF所成夹角是否相等？并说明理由.（1）由点(),Mmn在椭圆C上，有2212mn+=，所

以(),Mmn在直线12mxny+=上当0n=时，由221,2mn+=得22,m=直线方程为2xm=，代入椭圆方程得22220,mym−==得一个交点2,0,m直线l是椭圆C切线.当0n时，有221,2mn+=直线为12myxnn=−+代

入椭圆方程得22110,2xmxn−+−=有()22221Δ412202mnmn=−−=+−=直线是椭圆C切线另解：不讨论将椭圆方程化为22222,2nxnyn+=将直线方程12mxny=−代入消,y得到x的一元二次方

程，然后证明Δ0=（2）因为点(),Mmn不在坐标轴上(),:22nAMyxm=++，得20,2nPm+():2,2nBMyxm=−−得20,2nQm−−过点(),Mmn的切线

为:1,2mxlny+=得10,.Dn由221,2mn+=得2222mn−=−，从而有222422.222pQDnnnyyymnmm−−+=+===−+−所以点D是线段PQ的中点（3）(),,:1,2mxMmnlnyl

+=的方向向量()222,,12mdnmn=−+=.()()()()12121,0,1,0,1,,1,FFMFmnMFmn−=−−−=−−记d与1MF的夹角,d与MF的夹角()1222222221222cos24(1

)4422nmndMFnmndMFnmmnnmnmm++====++++++()2222222222222cos24(1)4422nmndMFnmndMFnmmnnmnmm−−====+−+++−所以coscos,=有=，从而有l与

直线12,MFMF所成的交角相等21.(本题满分18分第（1）小题3分，第（2）小题7分，第（3）小题8分.)已知函数()()()()33,,1xfxaxxaaRxRgxxRx=+−=−.（1）如果342x−=是关于x的不等式()0fx的解，求实数a的取值范围;（2）判断()

gx在341,2−−和34,12−的单调性，并说明理由：（3）证明：函数()fx存在零点q，使得4732naqqqq−=+++++成立的充要条件是343a解析：（1）由333440

,22aa−+−−得343a−（2）设()()()()()()211221212121333321211,1111xxxxxxxxxxgxgxxxxx−++−=−=−−−−当-1<31

242xx−时，3321210,10,10xxxx−−−33121221,242xxxx−+−有()()1212121221,110xxxxxxxx−+−−++所以()()210gxgx−当312402xx−时3332121122,0,10,1

0,02xxxxxx−−−31240,xx+有()()1212121210,011xxxxxxxx−+++所以()()210gxgx−当1201xx时()3321211212,0,10,10,10xxxxxxxx−−−

++所以()()210gxgx−所以()gx在341,2−−递减，在34,02−和[0，1)上递增从而在34,12−上递增.（3）充分性：当343a−时，有

3334434022222afaa−=−−−=−−，又()110,f=函数()3fxaxxa=+−在31,12−内的图像连续不断，故在31,12−内一定存在零点q且1q，所以有30aqqa+−=，得3,1qaq=−从而4732naqqqq−

=+++++必要性：当0q=时，0a=.当0q时，由4732naqqqq−=+++++成立,得311q−.从而得311,1qqaq−=−，由（2）中的结论可知()31xgxx=−在341,2−−递减，在34,12−递增从而，

()34132gx−−或()343gx−.从而3,111qaqq=−−时,有343a−