【文档说明】《高中数学新教材人教A版必修第一册教案》2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第1课时 含答案【高考】.doc，共(11)页，457.000 KB，由小赞的店铺上传

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-1-2.3二次函数与一元二次方程、不等式第1课时一元二次不等式及其解法学习目标核心素养1.掌握一元二次不等式的解法(重点).2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题(难点).通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养.1．一元二次不等式的概念

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2．一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．(4)ax2＋bx＋c≤0(

a≠0)．思考1：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．3．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，

称为这个一元二次不等式的解集．思考2：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？提示：不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等-2-式的解，即不等式的每一个解均使

不等式成立．4．三个“二次”的关系设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式Δ＞0Δ＝0Δ＜0解不等式y＞0或y＜0的步骤求方程y＝0的解有两个不相等的实数根

x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象得等的集不式解y＞0{x|x＜x1_或x＞x2}xx≠－b2aRy＜0{x|x1＜x＜x2}∅∅思考3：若一元二次不等式ax2＋x－1>

0的解集为R，则实数a应满足什么条件？提示：结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则a>0，1＋4a<0，解得a∈∅，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R.1．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为()A.xx＞3或x

＜－12B.x－12≤x≤3C.xx≥3或x≤－12D．RC[3＋5x－2x2≤0⇒2x2－5x－3≥0⇒(x－3)(2x＋1)≥0⇒x≥3或x≤－12.]2．不等式3x2－2x＋1＞

0的解集为()A.x－1＜x＜13B.x13＜x＜1-3-C．∅D．RD[因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R.]3．不等式x2－2x－5>2x的解集是________．

{x|x>5或x<－1}[由x2－2x－5>2x，得x2－4x－5>0，因为x2－4x－5＝0的两根为－1,5，故x2－4x－5>0的解集为{x|x<－1或x>5}．]4．不等式－3x2＋5x－4>0的解集为________．∅[原不等式变形为3x2－5x＋4<0.因为Δ＝

(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以3x2－5x＋4＝0无解．由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，3x2－5x＋4<0的解集为∅.]一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式：(1)2x2＋7x＋3>0；(2

)－4x2＋18x－814≥0；(3)－2x2＋3x－2<0.[解](1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－12.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为xx>－12或x<－

3.(2)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式的解集为xx＝94.(3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x

2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.-4-解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.(2)判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.(3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明

方程有无实根.(4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.(5)写解集.根据图象写出不等式的解集.1．解下列不等式(1)2x2－3x－2>0；(2)x2－4x＋4>0；(3)－x2＋2x－3<0；(4)－

3x2＋5x－2>0.[解](1)∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－12，x2＝2，∴不等式2x2－3x－2>0的解集为xx<－12或x>2.(2)∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，∴不

等式x2－4x＋4>0的解集为{}x|x≠2.(3)原不等式可化为x2－2x＋3>0，由于Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无解，∴不等式－x2＋2x－3<0的解集为R.(4)原不等式可化为3x2－5x＋2<0，由于Δ>0，方程3x2

－5x＋2＝0的两根为x1＝23，x2＝1，∴不等式－3x2＋5x－2>0的解集为x23<x<1.含参数的一元二次不等式的解法【例2】解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.[思路点拨]①对于二次项的系数a是否分a＝0，a<0，a>0三类进行讨论？-5-

②当a≠0时，是否还要比较两根的大小？[解]当a＝0时，原不等式可化为x>1.当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0.当a<0时，不等式可化为x－1a(x－1)>0，∵1a<1，∴x<1a或x>1.当a>0时，原不等式可化为x－1a

(x－1)<0.若1a<1，即a>1，则1a<x<1；若1a＝1，即a＝1，则x∈∅；若1a>1，即0<a<1，则1<x<1a.综上所述，当a<0时，原不等式的解集为xx<1a或x>1；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当0<a<1时，原不等式

的解集为x1<x<1a；当a＝1时，原不等式的解集为∅；当a>1时，原不等式的解集为x1a<x<1.解含参数的一元二次不等式的一般步骤提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．2．解关于x的不等式

：ax2－2≥2x－ax(a<0)．-6-[解]原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，化简为(x＋1)(ax－2)≥0.∵a<0，∴(x＋1)x－2a≤0.当－2<a<0时，2a≤x≤－1；当a＝－2时，x＝－1；当a<－2时，－1≤x

≤2a.综上所述，当－2<a<0时，解集为x2a≤x≤－1；当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}；当a<－2时，解集为x－1≤x≤2a.三个“二次”的关系

[探究问题]1．利用函数y＝x2－2x－3的图象说明当y>0、y<0、y＝0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？提示：y＝x2－2x－3的图象如图所示．函数y＝x2－2x－3的值满足y>0时自

变量x组成的集合，亦即二次函数y＝x2－2x－3的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合{x|x<－1或x>3}；同理，满足y<0时x的取值集合为{x|－1<x<3}，满足y＝0时x的取值集合，亦即y＝x2－2x－3图象与x轴交点横坐标组成的集合{－1,3}．这说明：方程ax2＋bx＋c＝0

(a≠0)和不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就转化为方程，当y>0或y<0时，就转化为一元-7-二次不等式．2．方程x

2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？提示：方程x2－2x－3＝0的解集为{－1,3}．不等式x2－2x－3>0的解集为{x|x<－1或x>3}，观察发现不等式x2－2x－3>0解集的端点值恰好是方程x2－2x－3

＝0的根．3．设一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，则x1＋x2，x1x2为何值？

提示：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为{x|x<x1或x>x2}，{x|x1<x<x2}(x1<x2)，则x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca，即不等式的解集的端点值是相应方程

的根．【例3】已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集．[思路点拨]由给定不等式的解集形式→确定a<0及关于a，b，c的方程组→用a表示b，c→代入所求

不等式→求解cx2＋bx＋a<0的解集[解]法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知ba＝－5，ca＝6.由a<0知c<0，bc＝－56，故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋bc

x＋ac>0，即x2－56x＋16>0，解得x<13或x>12，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为xx＜13或x＞12.法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方

程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a⇒b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a<0，即6ax2－5ax＋a<0⇒6ax－13x－12<0，故-8-原不等式的解集为

xx＜13或x＞12.1．(变结论)本例中的条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．[解]由根与系数的关系知ba＝－5，ca＝6且a<0.∴c<0，bc＝－56，故不等式cx2－bx＋a>0

，即x2－bcx＋ac<0，即x2＋56x＋16<0.解之得x－12<x<－13.2．(变条件)若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}变为“关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是x

－13≤x≤2.求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．[解]法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集为x－13≤x≤2知a＜0.又－13×2＝ca＜0，则c＞0.又－13，2为

方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，∴－ba＝53，∴ba＝－53.又ca＝－23，∴b＝－53a，c＝－23a，∴不等式变为－23ax2＋－53ax＋a＜0，即2ax2＋5ax－3a＞0.又∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0，所求不等式的解集为x－3＜

x＜12.法二：由已知得a＜0且－13＋2＝－ba，－13×2＝ca知c＞0，设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2，-9-则x1＋x2＝－bc，x1·x2＝ac，其中ac＝1－13×2＝－32，－bc

＝－baca＝－13＋2－13×2＝1－13＋12＝－52，∴x1＝1－13＝－3，x2＝12.∴不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为x－3＜x＜12.已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c＞0)的解集，求解

其他不等式的解集时，一般遵循：(1)根据解集来判断二次项系数的符号；(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；(3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.1．解一元二次不等式的常见方法(1)图象法：由一元二次方程

、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并画出对应函数y＝ax2

＋bx＋c图象的简图；③由图象得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．当m<n时，若(x－m)(x－n)＞0，则可得{x|x＞n或x＜m}；若(x－m)(x－n)＜0，则可得{x|m＜x＜n}．有口诀如下：大于取两边，小于取中间．2．含参数的一元二次型的不

等式-10-在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0.(2)关于不等式对应的方程

根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.3．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标.1．思考辨析(1)mx2－5x<0是一元二次不等式

．()(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．()(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1<x2)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}．()(4)不等式x2－2x＋3>0的解集为R.()[提示](1

)错误．当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，是一元二次不等式．(2)错误．因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R.(3)错误．当a>0时，ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}，否则不成立．(4

)正确．因为Δ＝(－2)2－12<0，所以不等式x2－2x＋3>0的解集为R.[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)x－1a<0的解集为________．xx<a或x>1a[因为

a<－1，所以a(x－a)·x－1a<0⇔(x－a)·x－1a>0.又a<－1，所以1a>a，所以x>1a或x<a.]3．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是xx<－2或x>－12，则ax2－bx＋c>0的解集为__

______．x12<x<2[由题意，－2，－12是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根且a<0，-11-故－2＋－12＝－ba，(－2)×－12＝ca，解得a＝c，b＝52a.所以不等式ax2－b

x＋c>0，即为2x2－5x＋2<0，解得12<x<2，即不等式ax2－bx＋c>0的解集为x12<x<2.]4．解下列不等式：(1)x(7－x)≥12；(2)x2>2(x－1)．[解](

1)原不等式可化为x2－7x＋12≤0，因为方程x2－7x＋12＝0的两根为x1＝3，x2＝4，所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}．(2)原不等式可以化为x2－2x＋2>0，因为判别式Δ＝4－8＝－4<0，方程x2－2x＋2＝0无实根，而抛物线y

＝x2－2x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.