【文档说明】专题14分式及分式的性质核心考点及2021中考真题链接（解析版）-2021-2022学年八年级数学下学期常考考点解读&专题提优训练（苏科版）.docx，共(12)页，112.260 KB，由管理员店铺上传

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专题14分式及分式的性质核心考点及2021中考真题链接（解析版）第一部分典例剖析及针对训练考点一分式的概念典例1下列各式：x2、22+x、xxyx−、3x＋3y、23+x、()()1123−++xxx中，分式有（）A.1个B.2个C.3个D.4个思路点

拨：判断一个式子是不是分式应严格按照定义：①BA的形式；②A和B都是整式；③B中含有字母.三个条件缺一不可，于是，利用分式的定义逐一进行识别.答案：C.点睛：瞄准分式的定义，准确地利用分类思想即可正确求解.规律总结：本题容易误认为22+x、3x＋3y、23+x也是分式，其实22+

x、3x＋3y、23+x虽含有分母，但分母中不含有字母，它们是整式而不是分式.针对训练11.下列各式1x＋2y，5a－b2a－b，3a2－b25，3m，3xy7中，分式的个数为()A.2个B.3个C.4个D.5个解：分母中含字母的代数式是分式，故分式有1x＋2y，5a

－b2a－b，3m三个，故选B.考点二分式有无意义及分式值为0的条件典例2当x取什么值时，分式142−+xx：（1）没有意义？（2）有意义？（3）值为零.思路点拨：分式没有意义，就是分母的值为零；分式有意义，就是分母的值不为零；而分式的值为零，则表示分子

的值为零且分母的值不为零，三者之间不可混淆.解：（1）当x－1＝0，即x＝1时，分式142−+xx没有意义.（2）当x－1≠0，即x≠1时，分式142−+xx有意义.（3）当2x＋4＝0，且x－1≠0，即x＝－2时，分式1

42−+xx的值为零.点睛：解题关键是抓住分式有意义、没有意义和值为零的条件即可正确求解.规律总结：分式的值为零时一定要注意分子为零而分母不为零，切切！另外，判断一个分式的值是正还是负时一般依据是两数相除的符号法则：两数相除，同号得正，异号得负

；在确定一个分式是整数值时必须满足分式的分子要能被分母整除.针对训练22.若分式2x－5有意义，则x的取值范围是()A.x≠5B.x≠－5C.x＞5D.x＞－5解：由题可得，x－5≠0，∴x≠5.故选A.3.如果分式|x|－1x＋1的值为0，那么x的值为()A.－1B.1C.－1或1D.1或0

解：由题可得，|x|－1＝0，∴x＝±1.当x＝－1时，分母x＋1＝0，∴x＝1.故选B.4.下列判断中，错误的是()A.代数式a2－2aa是分式B.当x＝－3时，x＋32x＋6的值为零C.当a＝－12时，分式2a＋1a有意义D.当x＝12时，x＋22x－1没有意义解：B错误，当x＝－

3时，分式中的分母2x＋6＝0，此时分式无意义，故选B.5.若不论x取何实数，分式2x－3x2＋6x＋m总有意义，则m的取值范围是()A.m≤9B.m＜9C.m≥9D.m＞9解：要使分母总有意义，则分母不为0，即x2＋6x＋m≠0，即x

2＋6x＋9－9－m≠0，(x＋3)2＋m－9≠0，∵(x＋3)2≥0，∴m－9>0，即m>9.故选D.考点三确定分式的符号典例3当x取哪些值时，分式232xx−+的值是非负数？思路点拨:要使一个分式的值是非负数，只要满足分子是一个

非负数，分母是正数；或者分子是一个非正数，分母是负数，由此可以构造不等式组求解.解根据题意，得20,320.xx−+或20,320.xx−+解得x≥2，或x＜－23.所以当x≥2，或x＜－

23时，分式232xx−+的值是非负数.点睛：转化既可以顺利求解此类问题，又可以降低求解的难度.规律总结：对于形如BA的分式，当0,0AB或0,0AB时，分式BA＞0，即A、B同号；当0,0AB或0,0AB时，分式BA＜0，即A、B异号.针对训练36．分式

－a22a－7的值为正数，则a的取值范围是什么．解：∵分式－a22a－7>0，a2>0，∴2a－7<0，a2≠0，∴a<72且a≠0.考点四分式的值为整数典例4（2021秋•浦东新区校级期中

）已知分式2𝑎+2𝑎2−1的值是整数，则满足条件的所有整数a的和为5．思路点拨：根据题意知道a≠±1，化简这个分式，根据分式的值是整数，a是整数，求出符合题意的a的值，求和即可．解：∵a2﹣1≠0，∴a≠±1，∴2𝑎+2𝑎2−1=2(𝑎+1)(𝑎+1)(

𝑎−1)=2𝑎−1，∵分式的值是整数，a是整数，∴a﹣1＝±1，±2，∴符合题意的a＝2，0，3，∴2+0+3＝5，故答案为：5．点睛：本题考查了分式，根据分式的值是整数，a是整数，得到a﹣1＝±1，±2是解题的关键．针对训练47．（2020秋•高邮市期末

）若分式1𝑥−1值为整数，则满足条件的整数x的值为．思路点拨：本题考查分式的值，得出分母x﹣1＝±1求解即可．解：因为分式1𝑥−1有意义，所以x﹣1≠0，即x≠1，当分式1𝑥−1值为整数时，有x﹣1＝±1，解得x＝0或x＝2，故答案为：0或2．点睛：本题考查分式的意义

，分式的值，理解分式的值的意义是解决问题的关键．8．（泌阳县校级月考）已知x为整数，且分式2𝑥+3𝑥−1的值为正整数，则x可取的值有．思路点拨：根据x为整数，分式2𝑥+3𝑥−1的值为正整数，讨论x可取的值即可，注意分母不能为0．解：2

𝑥+3𝑥−1=2(𝑥−1)+5𝑥−1=2+5𝑥−1，∵x为整数，且分式2𝑥+3𝑥−1的值为正整数，∴5𝑥−1=5或±1，∴x﹣1＝1或5或﹣5，∴x＝2或6或﹣4，∴满足条件的x可取的有2，6，﹣4．故答案为：2，6，

﹣4．点睛：本题主要考查分式的性质，注意分母含有字母时分母不能为0的情况，还考查了分类讨论思想，注意不要漏解．9．（2021春•婺城区校级期末）使𝑛2+16𝑛+4是自然数的非负整数n的值为．思路点拨：首先把𝑛2+16𝑛+4变形为𝑛2−16+32𝑛+4，

然后利用分式的加减法则变为𝑛2−16𝑛+4+32𝑛+4，然后约分化简，再利用32的因数即可求解．解：∵𝑛2+16𝑛+4=𝑛2−16+32𝑛+4=𝑛2−16𝑛+4+32𝑛+4=n﹣4+32𝑛+4

，要使𝑛2+16𝑛+4是自然数，那么n+4是32的约数，即n+4＝1、2、4、8、16，32，∴n＝﹣3、﹣2、0、4、12，28，又n为非负整数，∴n＝0、4、12，28．故答案为：0，4，12，28．点睛：此题主要考查了数的整除性问题，解题时首先把所给分式变为部分分式的形式，然

后利用数的整除性即可解决问题．考点五分式的基本性质典例5不改变分式12351134xyyx+−的值，把分式的分子、分母中各项的系数化成整数，其结果是＿＿＿.思路点拨：要解决这个问题，必须将分子与分母分别看成一个整体

，即此时的分子与分母分别同时乘以60.解：12351134xyyx+−＝12()603511()6034xyyx+−＝20242015xyyx+−.点睛：灵活运用整体思想可以有效地降低求解的难度.典例6（2022春•河南月考）若把分式𝑥+𝑦5𝑥𝑦中

的x和y都缩小到原来的15，那么分式的值（）A．扩大到原来的5倍B．缩小到原来的15C．缩小到原来的125D．不变思路点拨：根据分式的基本性质进行计算即可解答．解：由题意得：15𝑥+15𝑦5⋅15𝑥⋅15𝑦=𝑥+𝑦𝑥𝑦，∴若把分式𝑥+𝑦5𝑥�

�中的x和y都缩小到原来的15，那么分式的值扩大到原来的5倍，故选：A．点睛：本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．针对训练610．（2021秋•临海市期末）如果把分式𝑥𝑥−𝑦中的x，y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（）A．缩小为原来的3

倍B．不变C．扩大为原来的3倍D．扩大为原来的9倍思路点拨：根据分式的基本性质进行计算即可解答．解：由题意得：3𝑥3𝑥−3𝑦=𝑥𝑥−𝑦，∴如果把分式𝑥𝑥−𝑦中的x，y都扩大为原来的3倍，那么分式的值不变，故选：B．

点睛：本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．考点六约分典例7（2021秋•乌拉特前旗期末）约分：−25𝑎2𝑏𝑐315𝑎𝑏2𝑐=．思路点拨：将分子与分母的公因式约去即可．解：−25𝑎2𝑏𝑐315𝑎𝑏2𝑐=5𝑎𝑏𝑐⋅(−5𝑎𝑐2)5𝑎𝑏𝑐

⋅3𝑏=−5𝑎𝑐23𝑏．故答案为−5𝑎𝑐23𝑏．点睛：本题考查了约分的定义及约分的方法．约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．注意：①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式；②当分

子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面；③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．11．（2021春•澄江市期中）下列约分计算结果正确的是（）A．𝑎2+𝑏2𝑎+𝑏=𝑎+𝑏B．𝑎+𝑚𝑎+𝑛=𝑚𝑛C．−

𝑎+𝑏𝑎−𝑏=−1D．𝑎6𝑎2=𝑎3思路点拨：直接利用分式的性质分别化简得出答案．解：A、该分式是最简分式，无法约分，故本选项不符合题意．B、该分式是最简分式，无法约分，故本选项不符合题意．C、原式=−𝑎−𝑏𝑎−𝑏=−1，故本选

项符合题意．D、原式＝a6﹣2＝a4，故本选项不符合题意．故选：C．点睛：此题主要考查了约分，由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．12．（2021秋•怀柔区期末）约

分：2𝑥210𝑥𝑦=．思路点拨：直接利用分式的性质化简得出答案．解：原式=2𝑥⋅𝑥5𝑦⋅2𝑥=𝑥5𝑦．故答案为：𝑥5𝑦．点睛：此题主要考查了约分，正确掌握分式的性质是解题关键．13．（2021秋•河西区期末）约分6𝑥2−12𝑥𝑦+6𝑦

26𝑥−6𝑦的结果为．思路点拨：找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可．解：6𝑥2−12𝑥𝑦+6𝑦26𝑥−6𝑦=6(𝑥−𝑦)26(𝑥−𝑦)＝x﹣y．点睛：此题考查了约分，确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．

考点七通分典例8（沭阳县期中）（1）通分：𝑥𝑎𝑐，𝑦𝑏𝑐；（2）通分：2𝑥𝑥2−9，𝑥2𝑥+6．思路点拨：找出最简公分母，根据分式的通分法则计算即可．解：（1）𝑥𝑎𝑐=𝑥𝑏𝑎𝑏𝑐，𝑦𝑏𝑐=𝑦�

�𝑎𝑏𝑐；（2）2𝑥𝑥2−9=4𝑥2(𝑥+3)(𝑥−3)，𝑥2𝑥+6=𝑥(𝑥−3)2(𝑥+3)(𝑥−3)．点睛：本题考查的是分式的通分、约分，掌握分式的基本性质是解题的关键．针对训练7

14．（2021秋•南皮县校级月考）若将分式3𝑚𝑚+𝑛与4𝑛2(𝑚−𝑛)通分，则分式3𝑚𝑚+𝑛的分子应变为（）A．6m2﹣6mnB．6m﹣6nC．2（m﹣n）D．2（m﹣n）（m+n）思路点拨：分式3𝑚𝑚+𝑛与4𝑛2(𝑚−𝑛)的公分母是2（m+n）（m﹣n），据此作

出选择．解：分式3𝑚𝑚+𝑛与4𝑛2(𝑚−𝑛)的公分母是2（m+n）（m﹣n），则分式3𝑚𝑚+𝑛的分子应变为6m（m﹣n）＝6m2﹣6mn．故选：A．点睛：本题考查了通分．通分的关键是确定

最简公分母．①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．15．分式1𝑥2−3𝑥与1𝑥2−9通分后的结果是．思路点拨：根据提取公因式可分解x2﹣3xy，再利用平方

差公式分解x2﹣9，再找系数的最小公倍数，字母的最高次幂，即可得出最简公分母．解：∵x2﹣3x＝x（x﹣3），x2﹣9＝（x﹣3）（x+3），∴分式1𝑥2−3𝑥=1𝑥(𝑥−3)=𝑥+3𝑥(𝑥+3)(𝑥−3)，分式1𝑥2−9=1(𝑥+3)(𝑥−3)=𝑥𝑥(𝑥+3)(𝑥

−3)．故答案为𝑥+3𝑥(𝑥+3)(𝑥−3)，𝑥𝑥(𝑥+3)(𝑥−3)．点睛：本题考查了分式的通分，通分的关键是分解各个分母，找出最简公分母．考点8条件求值典例9（2021秋•丛台区校级期末）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．材料一：在解决某

些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．例：已知：𝑥𝑥2+1=14，求代数式x2+1𝑥2的值．解：∵𝑥𝑥2+1=14，∴𝑥2+1𝑥=4即𝑥2𝑥+1𝑥=4∴𝑥+1𝑥=4∴𝑥2+1𝑥2=(�

�+1𝑥)2−2＝16﹣2＝14材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求𝑥𝑦+𝑧的值．解：令2x

＝3y＝4z＝k（k≠0）则x=𝑘2，y=𝑘3，z=𝑘4，∴𝑥𝑦+𝑧=12𝑘13𝑘+14𝑘=12712=67．根据材料回答问题：（1）已知𝑥𝑥2−𝑥+1=14，求x+1𝑥的值．（2）已知𝑎5=𝑏2=𝑐3，（abc≠0），求3

𝑏+4𝑐2𝑎的值．思路点拨：（1）仿照材料一，利用倒数和完全平方公式进行计算求解；（2）仿照材料二，利用分式的基本性质计算求解．解：（1）∵𝑥𝑥2−𝑥+1=14，∴𝑥2−𝑥+1𝑥=4，∴𝑥2𝑥−�

�𝑥+1𝑥=4，即x﹣1+1𝑥=4，∴x+1𝑥=5；（2）令𝑎5=𝑏2=𝑐3=k，∴a＝5k，b＝2k，c＝3k，∴原式=3×2𝑘+4×3𝑘2×5𝑘=18𝑘10𝑘=95．点睛：本题考查分式的化简求值，理解倒数的概念

，掌握分式的基本性质是解题关键．针对训练816已知1x－1y＝3，求分式2x－3xy－2yx－2xy－y的值．解：由题意，得x≠0，y≠0，将待求值的分式的分子、分母同时除以xy，得2y－3－2x1y－2－1x＝21y－1x－31y－1x－2.∵1x－1y＝3，∴1y－1x＝－3

.∴2x－3xy－2yx－2xy－y＝2×（－3）－3－3－2＝95.17.已知xy＝3，求x2－2xy－3y2x2－xy＋y2的值．解：把分子分母同时除以y2，则原式＝x2y2－2xyy2－3x2y2－xyy2＋1＝xy2－2xy－3xy2－xy＋1，把xy＝3代入得，原式＝32

－2×3－332－3＋1＝0.第一部分2021中考真题链接1．(2021·绥化)若式子01xx+在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞－1B．x≥－1且x≠0C．x＞－1且x≠0D．x≠0答案：C解析：本题考查了代数式01xx+有

意义的条件，根据题意，得x＋1>0且x≠0，解得x>－1且x≠0，因此本题选C．2．(2021·济宁)按规律排列的一组数据：，，□，，，，…，其中□内应填的数是（）A．B．C．D．答案：D解析：本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题的关

键．观察这排数据发现：分子为连续的奇数，分母为序号的平方+1，∴第n个数据为：．当n＝3时，□的分子为5，分母＝32+1＝10，∴这个数为＝，因此本题选D．3．(2021·宁波)要使分式1𝑥+2有意义，x的取值应满足（）A．x≠0B

．x≠﹣2C．x≥﹣2D．x＞﹣2答案：B解析：本题考查了分式有意义的条件，分式有意义，分式的分母不为零，∴x+2≠0，解得x≠﹣2，因此本题选B．4．(2021·台州)将x克含糖10%的糖水与y克含糖30%的糖水混合，混合后的糖水含糖（）A.20%B.+100%2xyC.+3100%

20xyD.+3100%10+10xyxy答案：D解析：本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键．混合之后糖的含量：10%30%3100%1010xyxyxyxy++=++，因此本题选D．5．(2021·江苏扬州)不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（）A．x+

1B．x2－1C．D．（x+1）2答案：C解析：本题考查了整式及分式的性质．当x＝－1时x+1＝0，故选项A错误；当x＝±1时，x2－1＝0，故选项B错误；因为分式的分母不为0，所以≠0，故选项C正确；当x＝－1时（x+1）2＝0，故选项D错误．因此本题选C．二、填空题6

．(2021年黑龙江)已知0234xyz==，则2xxyyz+=________答案：56解析：本题考查了比例的性质，设234xyzk===，再将,,xyz分别用k的代数式表示，再代入约去k即可求解．7．（2021•南充）若

𝑛+𝑚𝑛−𝑚=3，则𝑚2𝑛2+𝑛2𝑚2=．答案：3解析：本题考查了分式的求值.∵𝑛+𝑚𝑛−𝑚=3,∴n＝2m,11x＋11x＋∴𝑚2𝑛2+𝑛2𝑚2=𝑚2(2𝑚)2+(2

𝑚)2𝑚2=14+4=174,因此本题填174.8．(2021·七台河市)在函数y=1𝑥−5中，自变量x的取值范围是．答案：x≠5解析：本题考查了分式有意义的条件，根据题意得x﹣5≠0，解得x≠5

．，因此本题答案为x≠5．9．(2021·河南)若代数式11−x有意义，则实数x的取值范围是．答案：x≠1解析：本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件：分母不为0，∴x－1≠0，∴x≠1，因此本题答案是x≠1．10．（2021·广西北部经济区）要使分式12x−有意义

，则x的取值范围是__________．答案：x≠2解析：本题考查了分式有意义的条件，根据分母不等于0，得x－2≠0，解得x≠2．故答案为x≠2．11．(2021·南宁)要使分式1𝑥−2有意义，则x的取值范围是．

答案：x≠2解析：本题考查了分式有意义的条件，当分母x﹣2≠0，即x≠2时，分式1𝑥−2有意义，因此本题答案为x≠2．12．(4分)(2021年四川省资阳市中考数学试卷；)（2021•资阳）若x2+x﹣1＝0，则3x−3

𝑥=．答案：﹣3解析：本题考查了分式求值以及整体思想.∵x2+x﹣1＝0，x≠0，x+1−1𝑥=0，∴x−1𝑥=−1，当x−1𝑥=−1时，3x−3𝑥=3（x−1𝑥）＝3×（﹣1）＝﹣3.因此本题填﹣3．13．（2021•南充）若𝑛+𝑚𝑛−𝑚=3，则𝑚2𝑛2+

𝑛2𝑚2=．答案：3解析：本题考查了分式的求值.∵𝑛+𝑚𝑛−𝑚=3,∴n＝2m,∴𝑚2𝑛2+𝑛2𝑚2=𝑚2(2𝑚)2+(2𝑚)2𝑚2=14+4=174,因此本题填174.14．（2020·湖南省岳阳市）要使分式51x−有意义，则x的

取值范围为．答案：1x解析：本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键。先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可。∵分式51x−有意义，∴10x−，解得1x。故答案为：1x。