【文档说明】2021高考数学一轮习题：专题3第29练高考大题突破练——导数与函数零点【高考】.docx，共(6)页，273.646 KB，由小赞的店铺上传

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1．(2020·广州模拟)已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)若函数f(x)在x＝x0处的切线方程为x＋y＋1＝0，求a的值；(2)若函数f(x)无零点，求a的取值范围．2．已知函数f(x)＝(2x2－4ax)lnx，a

∈R.(1)当a＝0时，求函数f(x)的单调区间；(2)当a>1时，若函数g(x)＝f(x)＋x2在x∈[1，＋∞)上有两个不同的零点，求a的取值范围．3．(2019·天津检测)已知函数f(x)＝ex＋1ex－1.(1

)若f(a)＝2，求实数a的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明；(3)设函数g(x)＝2f(x)－1－kx2＋1(k∈R)，若g(x)在(0，＋∞)上没有零点，求k的取值范围．4．(2019·黑龙江大庆实

验中学期末)已知函数f(x)＝2sinx－xcosx－x，f′(x)为f(x)的导数．(1)求曲线y＝f(x)在点A(0，f(0))处的切线方程；(2)证明：f′(x)在区间(0，π)上存在唯一零点；(3)设g(x)＝x2－2x＋a(a∈R)，若对

任意x1∈[0，π]，均存在x2∈[1,2]，使得f(x1)>g(x2)，求实数a的取值范围．答案精析1．解(1)函数f(x)＝lnx－ax的导数为f′(x)＝1x－a，由f(x)在x＝x0处的切线方程为x＋y＋1＝0，可得1x0－a＝－1，－1－x0＝lnx0－ax0，

解得a＝2，x0＝1.(2)函数f(x)＝lnx－ax的导数为f′(x)＝1x－a，当a≤0，由x>0可得f′(x)>0，即f(x)在(0，＋∞)上递增时，f(1)＝－a>0，x→0，f(x)→－∞，∴f(x)有且只有一个零点；当a>0时，由x>1

a，f(x)递减，0<x<1a，f(x)递增，可得在x＝1a处f(x)取得极大值，且为最大值ln1a－1，由题意可得ln1a－1<0，解得a>1e，综上可得a>1e时，函数f(x)无零点．2．解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝0时，f(x)＝2x2lnx，f′(x)

＝4xlnx＋2x＝2x(2lnx＋1)，令f′(x)>0，即2lnx＋1>0，解得x>12e−，令f′(x)<0，即2lnx＋1<0，解得0<x<12e−，∴函数f(x)的单调递减区间为(0，12e−)，

单调递增区间为(12e−，＋∞)．(2)g(x)＝(2x2－4ax)lnx＋x2，g′(x)＝(4x－4a)lnx＋2x－4a＋2x＝4(x－a)(lnx＋1)，由x∈[1，＋∞)得，lnx＋1>0，当x∈(1，

a)时，g′(x)<0，当x∈(a，＋∞)时，g′(x)>0，∴函数g(x)在(1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，∵g(1)＝1>0，g(2a)＝4a2>0，∴要使函数g(x)在x∈[1，＋∞)上有两个不同的零点，只需g(x)m

in＝g(a)＝a2(1－2lna)<0，解得a>e，∴a的取值范围为(e，＋∞)．3．解(1)因为f(a)＝ea＋1ea－1＝2，即ea＝3，所以a＝ln3.(2)函数f(x)为奇函数．证明如下：由ex－1≠0

，解得x≠0，所以函数f(x)的定义域关于原点对称，又因为f(－x)＝e－x＋1e－x－1＝1＋ex1－ex＝－ex＋1ex－1＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(3)由题意可知，g(x)＝ex－kx2，函数g(x)在(0，＋∞)

上没有零点等价于方程k＝exx2在(0，＋∞)上无实数解，设h(x)＝exx2(x>0)，则h′(x)＝ex(x－2)x3(x>0)，所以h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以h(x)在x＝2处取得极小值，也是最小值，

所以当x>0时，h(x)≥h(2)＝e24，所以k的取值范围为－∞，e24.4．(1)解f′(x)＝cosx＋xsinx－1，所以f′(0)＝0，即切线的斜率k＝0，且f(0)＝0，从而曲线y＝f(x)在点A(0，f(0))处的切

线方程为y＝0.(2)证明设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cosx＋xsinx－1，g′(x)＝xcosx.当x∈0，π2时，g′(x)>0；当x∈π2，π时，g′(x)<0，所以g(x)在0，π2上单调

递增，在π2，π上单调递减．又g(0)＝0，gπ2>0，g(π)＝－2，故g(x)在(0，π)上存在唯一零点．所以f′(x)在(0，π)上存在唯一零点．(3)解由已知，转化为f(x)min>g(x)min,且g(x)＝x2－2x＋a(a∈R)的对称轴x＝1∈[1,2]，所以

g(x)min＝g(1)＝a－1.由(2)知，f′(x)在(0，π)只有一个零点，设为x0，且当x∈(0，x0)时，f′(x)>0；当x∈(x0，π)时，f′(x)<0，所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在

(x0，π)上单调递减．又f(0)＝0，f(π)＝0，所以当x∈[0，π]时，f(x)min＝0.所以a－1<0，即a<1，因此，a的取值范围是(－∞，1)．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com