【文档说明】【精准解析】湖北省武汉市部分重点中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题【武汉专题】.docx，共(20)页，743.568 KB，由小赞的店铺上传

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武汉市部分重点中学2019-2020学年度下学期高一期中测试数学试卷全卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共80分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.1.在数列{}na中，114a=−，111(1)nnana−=−，则2019a的值为（）A.45B.14−C.5D.以上都不对【答案】A【解析】【分析】列举出数列的前几项，找到数列的周期，由此求得2019a的值.【详解】依题意2341123114

1115,1,154aaaaaaa=−==−==−=−=，故数列是周期为3的周期数列，故2019345aa==，故选A.【点睛】本小题主要考查递推数列，考查数列的周期性，考查合情推理，属于基础题.2.向量(2,)at=，(1,3)b=−，若a，b的

夹角为钝角，则t的范围是（）A.23tB.23tC.23t且6t−D.6t−【答案】C【解析】【分析】若a，b的夹角为钝角，则0ab且不反向共线，进而利用坐标运算即可得解.【详解】若a，b的夹角为钝角，则0ab且不反向共线，230abt=−+，得23t.向

量()2,at=，()1,3b=−共线时，23t=−，得6t=−.此时2ab=−.所以23t且6t−.故选C.【点睛】本题主要考查了利用数量积研究向量的夹角，当为钝角时，数量积为0，容易忽视反向共线时，属于易错题.3.在AB

C中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos(2)coscaBabA−=−，则ABC为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】余弦定理得222222cos,cos22cbacabABbcac+−+−==代入原式得22222222222222

22,22222cabcbacbacabcbaacbccacbc−++−+−−++−=−=解得2220abcab或=−+=则形状为等腰或直角三角形,选D.点睛：判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关

系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用πABC++=这个结论．4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．

问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A.54钱B.43钱C.32钱D.53钱【答案】B【解析】设甲、乙

、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2adadaadad−−++,则22adadaadad−+−=++++,解得6ad=−,又225,adadaadad−+−+++++=1a\=,则4422633aadaa−=−−==,故选B.5.已知平面向量a,b是非零向量,|a|=2,a⊥(a+2

b),则向量b在向量a方向上的投影为()A.1B.-1C.2D.-2【答案】B【解析】【分析】先根据向量垂直得到a(a+2b),=0，化简得到ab=﹣2，再根据投影的定义即可求出．【详解】∵平面向量a,b是非零向量,|a|=2,a

⊥(a+2b),∴a(a+2b),=0，即()2·20aab+=即ab=﹣2∴向量b在向量a方向上的投影为·22aba−==﹣1，故选B．【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．6

.已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2cos2bCac=+，若3b=，则ABC的外接圆面积为（）A.48B.12C.12D.3【答案】D【解析】【分析】先化简得23B=，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即

得ABC的外接圆面积.【详解】由题得222222abcbacab+−=+，所以22222abcaac+−=+，所以222abcac−+=−，所以12cos,cosB2acBac=−=−,所以23B=.由正弦定理得3=2,332RR=,所以ABC的外接圆面

积为23=3.故选D【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.已知数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N*)，且{an}单调递增，则k的取值范围是()A.(－∞，2]

B.(－∞，2)C.(－∞，3]D.(－∞，3)【答案】D【解析】【分析】根据函数的单调性可得an+1﹣an＞0对于n∈N*恒成立，建立关系式，解之即可求出k的取值范围．【详解】∵数列{an}中()2*nanknnN=−，且{an}单调递增∴an+1﹣an＞0对于n∈N*恒成立即（n+1）2﹣

k（n+1）﹣（n2﹣kn）=2n+1﹣k＞0对于n∈N*恒成立∴k＜2n+1对于n∈N*恒成立，即k＜3故选D．【点睛】本题主要考查了数列的性质，本题易错误地求导或把它当成二次函数来求解，注意n的取值是解题的关键，属于易错题．8.在ABC

中，已知,2,60axbB===，如果ABC有两组解，则x的取值范围是()A.4323，B.4323，C.4323，D.432,3【答案】A【解析】【分析】已知,,abB，若ABC有两组解，则sinaBba，可解得x的取值范围

.【详解】由已知可得sinaBba，则sin602xx，解得4323x.故选A.【点睛】本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断.若ABC中，已知,,abB且B为锐角，若0sinbaB，则无解；若sinbaB=或ba，则有一解；若sinaBba，

则有两解.9.一艘海轮从A处出发，以每小时60海里的速度沿南偏东15°的方向直线航行，20分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察此灯塔，其方向是南偏东60°，在B处观察，灯塔在其正东方向，那么B，C两点间的距离是（）A.102海里B.103海

里C.202海里D.203海里【答案】C【解析】【分析】由题意画出图形，利用正弦定理即可直接得解.【详解】如图所示，易知，在ABC中，20AB=海里，45CAB=，30ACB=，根据正弦定理得sin45sin30BCAB=，解得202BC=（海里）．故选：C.【

点睛】本题考查了正弦定理的实际应用，关键是转化出条件，属于基础题.10.若||1OA=，||3OB=，0OAOB=，点C在AB上，且30AOC=，设OCmOAnOB=+(,)mnR，则mn的值为（）A.13B.3C.33D.3【答案】B【解析】【分析】

利用向量的数量积运算即可算出．【详解】解：30AOC=3cos,2OCOA=32OCOAOCOA=()32mOAnOBOAmOAnOBOA+=+22222322mOAnOBOAmOAmnOAOBnOBOA+=++1OA=，3OB=，0OAOB=22323m

mn=+229mn=又C在AB上0m，0n3mn=故选：B【点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用．11.若等差数列na的公差0d，前n项和为nS

，若*nN，都有10nSS，则（）A.0dB.9100aaC.217SSD.190S【答案】D【解析】【分析】由*nN，都有10nSS，可得10110,0,0daa，再根据等差数列的性质即可判断.【详解】

等差数列na的公差0d，*nN，都有10nSS，10110,0aa，()1191019101919219022aaaSa+===.故选：D.【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题.12.给定两个单

位向量OA，OB，且32OAOB=−，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，OCxOAyOB=+，则3xy−的最小值为（）A.3−B.1−C.2−D.0【答案】B【解析】给定两个单位向量OA，OB，且32OAOB=−则56AOB=，建立如图所示的坐标系，则A（1，0），

B（cos150°，sin150°），即31,22B−设∠AOC=5,06，则()cos,sinOC=因为OCxOAyOB=+则3coscos3sin2,12sinsin2xyxyy

−==+==，所以3xy−=()3cos3sin2sin3cossin2sin3+−=+=+因为506，71sin,131,233632xy++−−−所以3xy−有最

小值-1.故选B第Ⅱ卷（非选择题共70分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.下列命题中正确的有________.(填序号)①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若=ab，则ab=；③若ABDC=，则,,,ABCD四点构成平行四边形；④在▱

ABCD中，一定有ABDC=；⑤若ab=，bc=，则ac=；⑥若//ab，//bc，则//ac；【答案】④⑤【解析】【分析】根据向量的相等，向量共线的概念，可得答案.【详解】两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；

=ab,由于a与b方向不确定，所以a与b不一定相等，故②不正确；ABDC=，可能有A，B，C，D在一条直线上的情况，所以③不正确；在▱ABCD中，,//ABCDABCD=,所以一定有ABDC=，所以④正确；⑤显然正确；零向量与任一向量平行，故/

/ab，//bc时，若0b=，则a与c不一定平行，故⑥不正确．故答案为：④⑤.【点睛】本题考查向量相等，向量共线的概念，关键在于从向量的方向和向量的大小两个方面考虑，对于向量共线，注意零向量与任何向量共线，属于基础题.14.ABC的内角,,ABC的对边分别为,,ab

c.若ABC的面积为()22234abc−−，则A=____________.【答案】23（或120）【解析】【分析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简即可求解．【详解】解：由余弦定理可得a2﹣b2﹣c2＝﹣2bc

cosA，△ABC的面积为()22234abc−−＝﹣3cos2bcA，又因为S△ABC＝1sin2bcA＝﹣3cos2bcA，所以tanA＝﹣3，由A∈（0，π）可得A＝23．故答案为：23.【点睛】本题主要考查了余弦定理及

三角形的面积公式的简单应用，属于基础试题．15.设nS是数列{}na的前n项和，且11a=，11nnnaSS++=−，则2020S=_______．【答案】12020【解析】【分析】代入11nnnaSS++=−,再证明1nS为等差数列,继

而求得1nS的通项公式再计算2020S即可.【详解】因为11nnnaSS++=−,所以,11nnnnSSSS++−=−,即：1111nnSS+−=,所以,数列｛1nS｝是以1为首项,1为公差的等差数列,所以,1nS＝1＋（n－1）×1＝n,所以,1nSn=,所以,202012

020S=故答案为：12020【点睛】本题主要考查了根据递推公式证明等差数列的方法,属于中档题.16.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知222sinsinsinsinsinACBAC+=+，若ABC的面积为334，则当ac+的值最小时ABC的周长为_______

_____．【答案】33【解析】由222sinsinsinsinsinACBAC+=+及正弦定理可得222acbac+=+，所以由余弦定理的推论可得2221cos222acbacBacac+−===，因为0B，所以3B=．因为ABC的面积为334，所以11333sinsin22344acB

acac===，即3ac=，所以223acac+=，当且仅当3ac==时取等号，所以ac+的最小值为23，此时ac=，3B=，所以ABC是等边三角形，故ac+的值最小时ABC的周长为33．三、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，

证明过程或演算步骤.17.已知a，b，c在同一平面内，且()1,2a=r.（1）若||25c=，且//carr，求c；（2）若5||2b=，且()()22abab+⊥−，求a与b的夹角.【答案】（1）(2,4)c=或(2,4)c=−−

（2）.【解析】【分析】（1）设(),cxy=，根据//ca，得到20xy−=，再根据||25c=，建立方程组求解.（2）根据22abab+⊥−，得到(2)(2)0abab+−=，结合2||5a=，5||2b=，求得ab，再求夹角.【详解】（1）设(),c

xy=，//ca，(1,2)a=，∴20xy−=，∴2yx=，∵||25c=，∴2225xy+=，∴2220xy+=，即22420xx+=，∴24xy==，或24xy=−=−∴(2,4)c=或(2,4)c=−−.（2）∵22abab+⊥−，∴(2)(2)0abab+−=，∴

222320aabb+−=，即222||32||0aabb+−=又∵2||5a=，2255||()24b==，∴5253204ab+−=，∴52ab=−，∵||5a=，5||2b=∴52c

os1||||552abab−===−∵0,，∴=.【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18.在ABC中，,,abc分别是角,,ABC的对边，且c

oscos2BbCac=−+．（1）求B的大小；（2）若13,4bac=+=，求ABC的面积．【答案】（1）23B=（2）13sin3.24ABCSacB==【解析】试题分析：（Ⅰ）先由正弦定理将三角形的边角关系转化为角角关系，再利用两

角和的正弦公式和诱导公式进行求解；（Ⅱ）先利用余弦定理求出3ac=，再利用三角形的面积公式进行求解.试题解析：（Ⅰ）由coscos2BbCac=−+cossincos2sinsinBBCAC=−+2sincoscossinsincosABBCBC+=−2sin

coscossinsincosABBCBC=−−()2sincossinABBC=−+2sincossinABA=−1cos2B=−又0πB，所以2π3B=.（Ⅱ）由余弦定理有()22222π2cos22cos3bacacBacacac=+−=+−−，解得3ac=，所

以133sin24ABCSacB==点睛：在利用余弦定理进行求解时，往往利用整体思想，可减少计算量，若本题中的()22222π2cos22cos3bacacBacacac=+−=+−−.19.设nS为等差数列na的前n项和，310a

=，1111S=.（1）求数列na的通项公式；（2）求nS的最大值及此时n的值.【答案】（1）319nan=−+；（2）当6n=时，nS有最大值为651S=【解析】【分析】（1）根据已知条件列出关于1,ad的方程组，求解出1,ad即可求出通项公式

；（2）利用0d对应na为递减等差数列，根据100nnaa+确定出n的取值，从而nS的最大值以及取最大值时n的值都可求.【详解】（1）设na的公差为d，由310a=可得1210ad+=，由1111S=可得1115511ad+=，所以1121051adad+=+=，

所以1163ad==−，所以16(1)(3)319nann=+−−=−+；（2）由131903160nnanan+=−+=−+，解得161933n，所以当6n=时，nS有最大值，此时最大值为651S=.【

点睛】本题考查等差数列通项公式以及前n项和的综合应用，难度较易.其中第二问还可以先将nS的表达式求解出来，然后根据二次函数的对称轴以及开口方向亦可确定出nS的最大值以及取最大值时n的值.20.已知向量33cos,sin22xxa=

，cos,sin22xxb=−且0,2x.（1）求ab及ab+；（2）若()3sinfxababx=−+，求()fx的最大值和最小值.【答案】（1）2,2cosabcosxabx=+=（2）()min2fx=−；()max1fx=【解析】试题分析：(Ⅰ)由平面

向量数量积的坐标运算法则可得：cos2abx=，2cosabx+=.(Ⅱ)首先化简函数的解析式，然后结合三角函数的性质可得()min2fx=−；()max1fx=.试题解析：（1）33coscossin

sincos22222xxxxabx=+−=222cos24cosabxx+=+=0,2xcos0x2cosabx+=（2）由（1）知：()cos232cossinfxxxx=−cos23sin22cos23xxx=−=+0,2x

42,333x+1cos21,32x+−()min2233xxfx当即时，+===−()max2=0133xxfx+==当即时，21.在锐角ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，sinsintancoscosBCA

BC+=+.（1）求角A的大小；（2）若3a=，求22bc+的取值范围.【答案】(1)3A=；(2)(5,6].【解析】【分析】（1）利用两角和差的正弦公式进行化简即可，求角A的大小；（2）先求得B+C=

23，根据B、C都是锐角求出B的范围，由正弦定理得到b=2sinB，c=2sinC，根据b2+c2=4+2sin（2B﹣6）及B的范围，得12＜sin（2B﹣6）≤1，从而得到b2+c2的范围．【

详解】（1）由sinAcosA=sinBsinCcosBcosC++得sinAcosB+sinAcosC=cosAsinB+cosAsinC，即sin（A﹣B）=sin（C﹣A），则A﹣B=C﹣A，即2A=

C+B，即A=3．.（2）当a=3时，∵B+C=23，∴C=23﹣B．由题意得22032BB−＜＜＜，∴6＜B＜2．由abcsinAsinBsinC===2，得b=2sinB，c=2sinC，∴b2+c2=4（sin2B+sin2C）=4+2sin

（2B﹣6）．∵6＜B＜2，∴12＜sin（2B﹣6）≤1，∴1≤2sin（2B﹣6）≤2．∴5＜b2+c2≤6．故22bc+的取值范围是(5,6.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，正弦定理的应用，其中判断sin（2B

﹣6）的取值范围是本题的难点．22.已知数列na各项均为正数，nS为其前n项的和，且()2*,,nnnaSanN成等差数列.（1）写出1a、2a、3a的值，并猜想数列na的通项公式na；（2）证明（1）中的猜想；（3）设102nnb

a=−，nT为数列||nb的前n项和，求nT.【答案】（1）11a=，22a=，33a=，猜想nan=（2）证明见解析（3）229,15940,6nnnnTnnn−+=−+【解析】【分析】（1）由22nnnaaS+=，分别令

1,2,3nnn===求解，猜想nan=.（2）利用数列的通项与前n项和的关系证明，分2n和1n=两种情况讨论.（3）根据102nbn=−，分15n和6n两种情况讨论求解.【详解】（1）由已知22nn

naaS+=所以11a=，22a=，33a=，猜想nan=.（2）证明当2n时，22nnnaaS+=，21112nnnaaS−−−+=所以2211122nnnnnnnaaaaaSS−−−++=−=−得()()1110nnnnaaaa−−+−−=，因为()*0nanN，所以1

1nnaa−−=数列na为等差数列，又由（1）11a=，22a=所以()*nann=N.（3）102nbn=−，当15n时，()()12128102...922nnnnbbnnTbbbnn++−=+

++===−+当6n时，()()()2125612516......2.........940nnnTbbbbbbbbbbbnn=+++−++=+++−++++=−+∴229,15940,6nnnnTnnn−+=−+.【点睛】本题主要考查数列

的通项与前n项和的关系以及等差数列的求和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxu

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