【文档说明】八年级数学第13讲 平面向量的加减法（讲义）解析版.docx，共(27)页，946.066 KB，由管理员店铺上传

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第13讲平面向量的加减法本节课对向量的概念和性质进行讲解，以及如何利用三角形小法则和平行四边形法则计算向量的加减运算，是平面向量的基础．在学习本章节的过程中，没注意零向量的特殊性以及向量的方向模块一：

平面向量的概念知识精讲1．有向线段规定了方向的线段叫做有向线段．2．向量既有大小又有方向的量叫做向量．向量的大小也叫做向量的长度．（或向量的模）3．向量的表示（1）向量可以用有向线段直观表示①有向线段的长度表示向量的长度；②

有向线段的方向表示向量的方向．（2）常见的表示方法①向量ABuuur，长度记为ABuuur；②向量ar、br、cr，长度记为ar、br、cr．4．相等的向量方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量．5．相反的向量方向相反且长度相等的两个向量叫做互为

相反的向量．6．平行向量方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．例题解析例1.判断下列语句是否正确：2（1）用有向线段表示向量时，起点不同但“同向且等长”的有向线段表示相等的向量；（2）表示两个向量的有向线段具有同一起点，那么当两个向量不相等时，两个有向线段的

终点有可能相同；（3）向量ABuuur与向量BAuuur是同一个向量；（4）相等向量一定是平行向量；（5）互为相反的向量不一定是平行向量；（6）平行向量一定是相等向量或互为相反的向量．【难度】★【答案】（1）正确；（2）错误；（3）错误；（4）正

确；（5）错误；（6）错误．【解析】相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量．相反的向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反的向量．平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．【总结】考察向量的概念．注意向量的两要素：方向和长度．例2．（2020·上海杨浦区·八年级期末）

如图，点C、D在线段AB上，ACBD=，那么下列结论中，正确的是（）A．ACuuur与BDuuur是相等向量B．ADuuur与BDuuur是平行向量C．ADuuur与BDuuur是相反向量D．ADuuur与BCuuur是相等向量【答案】B【分析】由AC=BD，可得AD=BD，即可得AD

uuur与BDuuur是平行向量，ADBCACBD=−=−uuuruuuruuuruuur，，继而证得结论．【详解】A、∵AC=BD，∴ACBD=−uuuruuur，该选项错误；B、∵点C、D是线段AB上的

两个点，∴ADuuur与BDuuur是平行向量，该选项正确；C、∵AC=BC，∴AD≠BD，∴ADuuur与BDuuur不是相反向量，该选项错误；3D、∵AC=BD，∴AD=BC，∴ADBC=−uuur

uuur，，该选项错误；故选：B．【点睛】本题考查了平面向量的知识．注意掌握相等向量与相反向量的定义是解此题的关键．例3．（2019·全国九年级课时练习）给出下列3个命题，其中真命题的个数是（）．①单位向量都相等；②单位向量都平行；

③平行的单位向量必相等．A．1个B．2个C．3个D．0个【答案】D【分析】根据单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义逐一判断即可.【详解】解：①单位向量的方向不一定相同，故①错误；②单位向量不一定平行，例如向上的单位向量和向右的单位向量，故②错

误；③平行的单位向量可能方向相反，所以平行的单位向量不一定相等，故③错误.故选D.【点睛】此题考查的是平面向量的基本概念，掌握单位向量的定义、相等向量的定义和平行向量的定义是解决此题的关键.例4．（2020·上海嘉定区·八年级期末）已知四边形ABCD是矩形，点O是对

角线AC与BD的交点.下列四种说法：①向量AOuuur与向量OCuuur是相等的向量；②向量OAuuur与向量OCuuur是互为相反的向量；③向量ABuuur与向量CDuuur是相等的向量；④向量BOuuur与向量BDuuur

是平行向量．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】利用矩形的性质，相等向量，平行向量的定义一一判断即可．【详解】解：如图：4∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，∴

①向量AOuuur与向量OCuuur是相等的向量，正确．②向量OAuuur与向量OCuuur是互为相反的向量，正确．③向量ABuuur与向量CDuuur是相等的向量；错误．④向量BOuuur与向量BDuuur是平行向

量．正确．故选：C．【点睛】本题考查平面向量，矩形的性质等知识，长度相等且方向相同的两个向量叫做相等向量，平行向量也叫共线向量，是方向相同或相反的非零向量．例5．（2020·上海徐汇区·）在梯形ABCD

中，AD∥BC，AB﹦CD，那么下列结论中正确的是（）．A．ABuuur与DCuuur是相等向量；B．ACuuur与BDuuur是相等向量；C．ADuuur与uurCB是相反向量；D．ADuuur与uurCB是平

行向量．【答案】D【分析】根据相等向量、相反向量、平行向量的定义解答即可．【详解】解：A、AB=CD，但AB不平行于CD，ABuuur≠DCuuur，故本选项错误；B、AD//BC，AB=CD，AC=BD，但AC不平行于BD，ACuuur≠BDuuur，故本选

项错误；C、AD//BC，ADuuur与uurCB不一定是相反向量，故本选项错误；D、AD//BC，ADuuur与uurCB是平行向量，故本选项正确．故答案为：D．【点睛】本题考查了平面向量的相关知识，掌握相等向量、相反向量、平行向量的定义是解答本题的关键．例6．（2

019·上海闵行区·）在矩形ABCD中，下列结论中正确的是（）A．ABCD=uuuruuurB．ACBD=uuuruuurC．AOOD=uuuruuurD．BOOD=−uuuruuur5【答案】C【分析】根据相等向量及向量长度的概念逐一进行

判断即可．【详解】相等向量：长度相等且方向相同的两个向量．A.ABCD=−uuuruuur，故该选项错误；B.ACBD=uuuruuur，但方向不同，故该选项错误；C.根据矩形的性质可知，对角线互相平分且相

等，所以AOOD=uuuruuur，故该选项正确；D.BOOD=uuuruuur，故该选项错误；故选：C．【点睛】本题主要考查相等向量及向量的长度，掌握相等向量的概念是解题的关键．例7.下列说法中正确的是（）A．相反向量是平行向量B．平行向量是相等向量C．平行向量的方向相同D

．平行向量的方向相反【难度】★【答案】A【解析】平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．【总结】考察向量的概念．注意向量的两要素：方向和长度．例8.已知向量ar与向量br是互为相反的向量，如果akb=rr，那么k=．【难度】★【答

案】-1【解析】相反的向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反的向量．【总结】考察向量的概念．注意向量的两要素：方向和长度．例9.下列说法中错误的是（）A．如果向量br与向量ar平行，那么存在唯一

的实数m使得bma=rr；B．如果m、n为实数，那么()()mnamna=rr；C．如果m、n为实数，那么()mnamana+=+rrr；D．如果m、n为实数，那么()mabmamb+=+rrrr．【难度】★【答案】A6【解析

】A答案错误，当0a→→=时，此说法不成立．【总结】考察向量的线性运算，注意零向量的特殊性．例10.如果ABCD=uuuruuur，那么下列结论中，正确的是（）A．ACDB=uuuruuurB．ACBD=uuuruuurC．ADBC=

uuuruuurD．ADCB=uuuruuur．【难度】★★【答案】B【解析】如果ABCD=uuuruuur，那么四边形ABDC是平行四边形，则BDACBDAC=，∥，所以ACBD=uuuruuur．【总结】考察向量的概念．注意向量的

两要素：方向和长度．例11.下列说法中正确的是（）①ab=rr，则abrr∥；②若abrr∥，则ab=rr；③若ab=rr，则ab=rr；④若ab=rr，则ab=rr．A．1B．2C．3D．4【难度】★★【答案】B【解析】①、③正确；②、④错误．【总结】考察向量的概念．注意向

量的两要素：方向和长度．例12.四边形OACB是平行四边形，AB、OC是对角线．如果OAa=uuurr，OBb=uuurr，那么OCuuur=，ABuuur=．【难度】★★【答案】→→+ba，→→−ab．【解析】→→→→→→→+=+=+=baOBOAAC

OAOC，→→→→→−=−=abOAOBAB．【总结】考察向量的加减运算．例13．（2019·全国九年级课时练习）如图，E、F、G分别为等边三角形的边AB、AC、BC的中点，在以A、B、C、E、F、G为

起点或终点的向量中，求出与EFuuur平行的向量．7【答案】与EFuuur平行的向量有BGuuur、GBuuur、uuurGC、CGuuur、BCuuur、uurCB．【分析】根据中位线的性质和平行向量的定义即可写出与EFuuur平行的向量.【详解】解：∵E、F分别为等

边三角形的边AB、AC的中点，∴EF∥BC∴与EFuuur平行的向量有BGuuur、GBuuur、uuurGC、CGuuur、BCuuur、uurCB．【点睛】此题考查的是三角形的中位线的性质和平行向量，掌握三角形的中位线平行于第三边和平行向量的定义是解决此题的关键.例14.在梯形ABC

D中，//ADBC，ABCD=，//DEAB，点E在BC上，如果把图中线段都画成有向线段，那么在这些有向线段表示的向量中，指出（用符号表示）．（1）所有与ABuuur相等的向量；（2）所有与ABuuur互为相反的向量；（3）所有与ADuuur平行的向量．【难

度】★★【答案】（1）DEuuur；（2）EDuuur、BAuuur；（3）BEuuur，ECuuur，BCuuur，EBuuur，CEuuur，CBuuur，DAuuur．【解析】相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量．相反的向量：方向相反且长度相等的两个向量

叫做互为相反的向量．平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．【总结】考察向量的概念．注意向量的两要素：方向和长度．例15.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AEBC∥交CD于点E，如果把图中的线段都表示有向线段，那么在这些有向线段表示的向量中，EDCBA8（1）找出所有与向量AEuuu

r的平行向量；（2）若CD=2AB，指出所有与向量ABuuur相等的向量；（3）联结AC、BE交于点O，在向量OAuuur、OCuuur、OBuuur、OEuuur中找出两对相反的向量．【难度】★★【答案】（1）BCuuur，CBuu

ur，EAuuur；（2）DEuuur，ECuuur；（3）OAuuur与OCuuur互为相反的向量；OBuuur、OEuuur互为相反的向量．【解析】∵AB∥CD，AEBC∥∴四边形ABCE是平行四边形，则ECAB=当CD=2AB，所以DECEAB==．【总结】考察向量的相关概念

．注意向量的两要素：方向和长度．例16.甲从点A出发向正东方向走了2千米，到达点B，然后向东北方向前进52千米，达到点C，最后向正东方向前进5千米到达D停下，（1）画出向量ABuuur、BCuuur、CDuuur；（2）求出向量BDuuur

、ADuuur模的大小【难度】★★★【答案】（1）如图；（2）55=→BD，13=→AD．9【解析】（2）由图可知：5252===CDBCAB，，，=45CBE∵25=BC，=45CBE，∴5==BECE．∵5==CDEF，∴551052222=+=

+=BFDFBD．∵12=+=BFABAF，∴135122222=+=+=DFAFAD．【总结】考察向量的画法和勾股定理的运用，注意对向量的模的理解．模块二：向量的加法知识精讲1．向量的加法求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法．2．零向量长度为零的向量叫做零向量，记

作0r．规定0r的方向可以是任意的（或者说不确定）；00=r．因此，两个相反向量的和向量是零向量，即：()0aa+−=rrr．对于任意向量，都有0aa+=rrr，0aa+=rrr．3．向量的加法满足交换律：abba+=+rrrr．4．向量的加法满足结合律：()()a

bcabc++=++rrrrruur．5．向量加法的三角形法则求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量．6．向量加法的多边形法则几个向量相加，可把这几个向量首尾顺

次相接，那么以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量，就是这几个向量的和向量．例题解析例1.化简：（1）ABBCCDDA+++=uuuruuuruuuruuur；（2）()()ABMBBOB

COM++++=uuuruuuruuuruuuruuuur_______________．【难度】★【答案】（1）→0；（2）→AC．【解析】（2）()()ABBCBOOMMBACBOOBAC=++++=++=uuuruuuruuuruuuur

uuuruuuruuuruuuruuur原式10【总结】考察向量的加法，注意向量加法运算规律．例2．（2021·上海专题练习）在平行四边形ABCD中，设ABa=uuuvr，ADb=ruuuv，点O是对角线AC与BD的交点，那么向量OCuuu

v可以表示为（）A．1122ab+rr；B．1122ab−rr；C．1122ab−+rr；D．1122ab−−rr．【答案】A【分析】利用平行四边形的性质以及三角形法则计算即可．【详解】解：∵ABCD为平行四边形，∴,===uuuvuuuvvDCAaOABOC∴++==uuuvuuuvuu

uvvvADCaCDbA∴121122=+=uuuvuuuvvvOaCACb故答案选:A【点睛】本题考查平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．例3．（2017·上海八年级期末）如图，已知在

△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点．下列结论不正确的是（）A．ABv∥BCvB．ADAEDE−=vvvC．DBFE=−vvD．DBDEFEDE++=vvvv【答案】B11【解析】根据三角形法则，结合图形，即可判

断出不正确的选项．解：∵点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，∴DE∥BC，∴∥，A选项正确；﹣=，B选项错误；=﹣，C选项正确；++=，D选项正确；故选B．例4．（2018·上海市民办扬波中学八年级期末）在□ABCD中，O是对角线的交点，那

么12ABAC−=uuruuur____．【答案】OBuuur【分析】由向量的平行四边形法则及相等向量的概念可得答案．【详解】解：因为：□ABCD，所以，12OAAC=，所以：−=−=uuruuuruuruuruur12ABACABAOOB．故答案为：OBuu

ur．【点睛】本题考查向量的平行四边形法则，掌握向量的平行四边形法则是解题的关键．例5．（2019课时练习）平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设向量ADa=uuurr，ABb=uuurr，则向量AO=uuur______．【答案】1122ab+rr【分析】根据向量

加法的平行四边形法则可得:ACADABab=+=+uuuruuuruuurrr,然后根据平行四边形的性质可求出:AOuuur.【详解】解:∵平行四边形ABCD中,向量ADa=uuurr，ABb=uuurr，12∴ACADABab=+=+uuuru

uuruuurrr,12AOAC=uuuruuur∴()111222aAObab++==rrruurru故答案为:1122ab+rr.【点睛】此题考查的是平行四边形的性质及向量的加法,掌握平行四边形的对角线互相平分和向量加法的平行四边形法则是解决此题的关键.例6．（2018·上海市民办

扬波中学八年级期末）已知向量a→、b→求作：2ab−rr．【分析】在平面内任取一点O，分别作出OCa=uuurr，2OBb=uuurr，利用向量运算的平行四边形法则即可得到答案．【详解】解：在平面内任取一点O，作OAABb==u

uuruuurr，作OCa=uuurr，则2BCab=−uuurrr即为所求．如下图．【点睛】已知基底求作向量，就是先取平面上任意一点，先分别作出与基底共线的向量，再利用向量加法的平行四边形法则作出和向量．例7.已知||=8OAuuur，||=8OBuuur，∠AOB=60°，则||=ABu

uur___________．【难度】★13【答案】8【解析】由题意有：△OAB是等边三角形，所以||=8ABuuur．【总结】考察向量的加法与几何图形的结合．14例8.下列等式中正确的个数是（）①ar+br=br+

ar；②−（−br）=br；③ar+（−ar）=0；④ar+0r=ar．A．1B．2C．3D．4【难度】★★【答案】C【解析】①、②、④正确，③错误，正确应为→→→=−+0aa．【总结】考察向量的加法．

注意零向量的特殊性．例9.如图，O为平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点，设OAa=uuurr、OBb=uuurr、OCc=uuurr、ODd=uuurur，则下列结论不正确的是（）A．0ac+=rrB．()adDA+−=ruruuurC．0

abcd−+−=rrrurrD．0abcd+++=rrrurr【难度】★★【答案】A【解析】A正确为→→→=+0ca．【总结】考察向量的加法，注意零向量的特殊性．例10.在四边形ABCD中，ACABAD=+u

uuruuuruuur，则（）A．ABCD是矩形B．ABCD是菱形C．ABCD是正方形D．ABCD是平行四边形【难度】★★【答案】D【解析】以AB、AC为邻边作平行四边形ABCD，则可得：ACABAD=+uuuruuuruuur．【总结】考察向

量加法的法则与几何图形间的关系．例11.已知正方形ABCD的边长为1，=ABaACcBCb==uuuruuruuurruuurr，，，则||abc++rrr为（）15A．0B．3C．2D．22【难度】★

★【答案】D【解析】|||||2|22abcABACBCAC++=++==rrruuuruuuruuuruuur．【总结】考察向量的加法与正方形性质的结合．例12．（2019·上海闵行区·）已知：如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC∥，2BCAD=，E为BC的中点，设ABa=uuurr

，ADb=uuurr．（1）填空：BD=uuur________；DC=uuur________；AC=uuur________；（用ar，br的式子表示）（2）在图中求作BEDC+uuuruuur．

（不要求写出作法，只需写出结论即可）【答案】（1）ba−rr；ab+rr；2ab+rr（或abb++rrr）；（2）图见解析，ACuuur．【分析】（1）利用BDBAAD=+uuuruuuruuur即可求出BDuuur,首先根据已知可知2BCAD=uu

uruuur，然后利用DCDBBC=+uuuruuuruuur即可求出DCuuur，利用ACABBC=+uuuruuuruuur即可求出ACuuur；（2）首先根据已知可知BEAD=uuuruuur，然后利用三角

形法则即可求出BEDC+uuuruuur．【详解】（1）BDBAADabba=+=−+=−uuuruuuruuurrrrr．∵ADBC∥，2BCAD=，∴2BCAD=uuuruuur，∴2DCDBBCabbab=+=−+=+uuuruuuruuurrrrrr

．2ACABBCab=+=+uuuruuuruuurrr；（2）作图如下：16∵2BCAD=，E为BC的中点，∴BEAD=．∵ADBC∥，∴BEAD=uuuruuur，∴BEDCADDCAC+=+=uuuruuuruuuruuuruuur．【点睛】本题主要考查向量的运算，掌

握向量的运算法则是解题的关键．例13.如图，已知向量abcdrrrur，，，，其中acrr∥．求作：（1）+bdrur；（2）+acrr；（3）++bcdrrur；（4）++abdrrur．【难度】★★

【答案】（1），→AC为所求；（2），→DE为所求；（3），→GJ为所求；（4），→KP为所求．【解析】向量加法首尾相连．【总结】考察向量加法的画法．模块三：向量的减法17知识精讲1．向量的减法已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法．减去一个向量等于加上这个向量的相

反向量，即：()abab−=+−rrrr．2．向量减法的三角形法则在平面内取一点，以这个点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量．3．向量加法的平行四边形法则如果ar，br是两个不

平行的向量，那么求它们的和向量时，可以在平面内任取一点为公共起点作两个向量与ar，br相等，以这两个向量为邻边作平行四边形，然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是ar，br的和向

量，这个法则叫做向量加法的平行四边形法则．4．另外一个对角线向量，即是ar，br的差向量，这个差向量与被减向量共终点．例题解析例1.化简：ABCBCDED−+−=uuuruuuruuuruuur_______________．【难度】★【答案】→AE．【解析】+ABCBC

DEDABBCCDDEACCEAE−+−=++=+=uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur．【总结】考察向量的减法与加法法则的综合运用．例2.下列说法中正确的是（）A．ABACBC−=uuuruuuruuurB．对任意两个向量abrr

、，-abba−rrrr，与都是相反向量C．在△ABC中，0ABBCAC+−uuuruuuruuurr＞D．在四边形ABCD中，0ABBCCDDA+−+=uuuruuuruuuruuurr（）（）【难度】★【答案】B【解析】A正确应为ABACCB−=uuuruuuru

uur，C正确应为0ABBCAC+−uuuruuuruuurr=；D正确应为2ABBCCDDAACCAAC+−+=−=uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur（）（）．【总结】考察向量的加减法的综合运用．

例3.在平行四边形ABCD中，设ABaADbACcBDd====uuurruuurruuurruuurur，，，，则下列中不正确的18（）A．abc+=rrrB．abd−=rrurC．bad−=rrurD．()abd+−=−rrur【难度】★【答案】B【解析】由向量的减法可知B是错误的，正确应为a

bd−=−rrur【总结】考察向量的加减法的运用．例4．（2018·上海闵行区·八年级月考）下列各式中错误的是()A．()0aarr+−=B．|ABBA|0+=uuuruuurC．()−=+−rrrrababD．()()++=++rrrrrrab

cabc【答案】A【分析】根据向量的运算法则和运算律判断即可.【详解】解：A.()0aavvv+−=，故本选项错误，B，C，D，均正确，故选：A.【点睛】本题考查了向量的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题关键.例5．（2019·上海松江区·）已知向量,abrr，（如图），请用向

量的加法的平行四边形法则作向量ab+rr（不写作法，画出图形）【分析】利用向量的加法的平行四边形法则即可解决问题．【详解】如图:OCuuuv即为所求．【点睛】本题考查作图-复杂作图，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握向量的

加法的平行四边形法则，属于中考常考题型．19例6．（2019·上海八年级课时练习）一条渔船距对岸4km，以2km/h速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速.【答案】23/kmh【分析】由题意知，由勾股定理求出水流的距离，然后求解

河水的流速.【详解】解：如图，设ABuuur表示船垂直于对岸的速度，BCuuur表示水流的速度，则由ABBCAC+=uuuruuuruuur，ACuuur就是渔船实际航行的速度，航行的时间为()422,h

=在RtABC中，2/,824/ABkmhACkmh===，23/BCkmh=uuur∴【点睛】本题主要考查了向量在物理中的应用，直角三角形以及勾股定理模型的应用，数形结合是解答本题的关键.例7．（2018·上海宝山区·八年级

期末）如图，在ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，∠B＝60°，AC平分∠DAB．(1)求∠ACB的度数；(2)如果AD＝1，请直接写出向量DCuuur和向量BCCDDA++uuuruuuruuur的模．【答案】(1)∠ACB＝90°；(2)模分别为

1和2．【分析】（1）证明四边形ABCD是等腰梯形即可解决问题；（2）求出线段CD、AB的长度即可；【详解】(1)∵CD∥AB，AD＝BC，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴∠DAB＝∠B＝60°，20∵AC平分∠DAB，∴∠CAB＝12∠DAB＝3

0°，∴∠B+∠CAB＝90°，∴∠ACB＝90°．(2)∵CD∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝∠CAD＝30°，∴AD＝CD＝BC＝1，在Rt△ABC中，∵∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，∴AB＝2BC＝2，∵BCCDDABA++=uuuruuuruuuruuur，∴向量DCuuur和向

量BCCDDA++uuuruuuruuur的模分别为1和2．【点睛】本题考查平面向量、等腰梯形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题

型．例8.如图，在图中画出向量ABAC−uuuruuur．【难度】★★【答案】→CB．【解析】由向量的减法可知答案．【总结】考察向量的减法法则的运用．例9.如图，多边形ABCDEF是正六边形，设ABa=uuurr，BCb=uuurr．试用向量ar和br表示向量OAuuur，OCuuur，OEuuu

r．CBA21【难度】★★【答案】→→−=bOA；→→=aOC；OEab→→→=−+．【解析】→→→−==bCBOA；→→→==aABOC；OEOFFEBABCab→→→→→→→=+=+=−+．【总结】考察向量的加减法法则的运用．例10.已知□OACB，

设OAaOBb==uuurruuurr，，试用向量ar，br表示向量OCABuuuruuur，．【难度】★★【答案】→→→+=baOC；→→→−=abAB．【解析】→→→→→→→+=+=+=baOAOBBCOBOC；→→→→→−

=−=abOAOBAB．【总结】考察向量的加减法．例11.如图，已知在梯形ABCD中，//ADBC，点E在边BC上，联结DE，AC．（1）填空：CDDE+=uuuruuur；BCABDACE+++=uuuruuuruuuruuur．（

2）求作：ABAD+uuuruuur．【难度】★★【答案】（1）→CE；→DE；（2）→AF即为所求．【解析】（1）略；（2）过点D作DF∥AB，交BC与点F，则→AF即为ABAD+uuuruuur的和向量．22【总结】考察向量的加减法的运用．例12.如图所示，是四个全等且相邻的正方

形，请用三角形法则说明：MEDA+uuuruuur=MADE+uuuruuur．【难度】★★【解析】MEDAMDDEDMMAMADE+=+++=+uuuruuuruuuuruuuruuuuruuuruuuruuur．【总结】考察向量的加减法在几何图形

中的运用．例13.已知ABCDY中，ABADABAD+=−uuuruuuruuuruuur，求证：四边形ABCD是矩形．【难度】★★★【解析】∵ABADAC+=uuuruuuruuur，ABADDB+=uuuruuuruuur，∴DBAC=

uuuruuur，∴四边形ABCD是矩形．【总结】考察向量的加法在几何证明中的运用，注意对模的准确理解．随堂检测1.若非零向量br是ar的相反向量，则下列说法不正确的是（）A．ar与br的模不一定相等B．ar与br平行C．ar与br一定不相等D．ar也是br的相反向量【难度

】★【答案】A【解析】A正确答案应为ar与br的模一定相等．HGBCDEAFMN23【总结】考察相反向量的概念．2.两个非零向量ar，br互为相反向量，则下列各式正确的个数是（）①0ab−=rrr；②0ab+=rrr；③

ab=−rr；④ab=rr．A．1个B．2个C．3个D．4个【难度】★【答案】C【解析】①错误，②、③、④正确，故选C．【总结】考察相反向量的概念及性质．3.下列等式中，不正确的是（）A．()abab+−=−rrrrB．()aa−−=rrC．()()abca

bc++=++rrrrrrD．()0aa+−=rrr【难度】★【答案】D【解析】D答案正确应为()0aa+−=rr．【总结】考察向量的加法法则，注意零向量的特殊性，向量的模是一个具体的数．244.下列命题中，假命

题的是（）A．若0ab−=rrr，则ab=rrB．若ab=−rr，则//abrrC．若ab=rr，则//abrrD．若ab=rr，则ab=rr【难度】★【答案】D【解析】D答案错误，两向量方向不一定相同．【总结】本题主要

考查向量的相关概念，注意认真分析．5.计算：（1）OACAOC−−=uuuruuuruuur；（2）AOADOC−+=uuuruuuruuur；（3）ABDECDBE−−+=uuuruuuruuuruuur；（4）ACBACKBK++−=uuu

ruuuruuuruuur．【难度】★★【答案】（1）→0；（2）→DC；（3）→AC；（4）→0．【解析】（1）0OACAOCOAACCO−−=++=uuuruuuruuuruuuruuuruuurr；（2）

AOOCADACADDC+−=−=uuuruuuruuuruuuruuuruuur；（3）ABBEDECDAEDECDAEEDDCAC+−−=−−=++=uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur；（4）0ACBAC

KBKACCKBABKAKKA++−=++−=+=uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurr．【总结】考察向量加减法的运算，注意相关法则的运用．6.已知：矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．（1）利用图中的向量表示：

BCCD+=uuuruuur；（2）利用图中的向量表示：AOAD−=uuuruuur；（3）如果5AB=uuur，12BC=uuur，则BO=uuur．【难度】★★【答案】（1）→BD；（2）→DO；（3）6.5．25【解析】由向量的加减法可得答案．【总结】考察向量加减法的运算．7.已知在梯形A

BCD中，//ADBC()ADBC，M是BC的中点，联结AM和DM．画出图形，并写出所有与ADuuur平行的向量．【难度】★★【答案】图形如图所示，与ADuuur平行的向量有BCBMMCCBMBCMDAuuuruuuuruuuuruuuruuuruuuuruuur，，，，

，，．【解析】平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．【总结】考察平行向量的概念．8.如图，已知ABCDY中，设ABa=uuurr，ADb=uuurr，试用ar、br表示下列向量：（1）CBuuur；（2）ACuuur；（3）ABBD+uuuruuur；

（4）BDCB+uuuruuur；（5）求作向量：BDDCABCB+++uuuruuuruuuruuur；（6）求作向量：DCOAADCB+++uuuruuuruuuruuur．【难度】★★【答案】（1）CBb=−uuurr；（

2）ACab=+uuurrr；（3）ABBDb+=uuuruuurr；（4）BDCBCBBDCDBAa+=+===−uuuruuuruuuruuuruuuruuurr；（5）BDDCABCBBCABCBABa+++=++==uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur

r；ODCBA26（6）DCOAADCB+++=uuuruuuruuuruuurOBuuur．【解析】利用向量加法法则可得答案．【总结】考察向量加法的运用．9.已知ABCDY，点E是BC边的中点，请回答下列问题：（1）在图中求作ADuuur与DCuuur的和向量：ADDC+=

uuuruuur；（2）如果把图中线段都画成有向线段，那么在这些有向线段所表示的向量中，所有与BEuuur互为相反向量的是；（3）ABBEEA++=uuuruuuruuur．【难度】★★【答案】（1）如图所示，ACuuur即为所求；（2）C

Euuur；EBuuur（3）0r．【解析】（3）0ABBEEAAEEA++=+=uuuruuuruuuruuuruuurr．【总结】考察向量加法法则的运用．10.已知ar，br，cr，求作向量：abc−+rr

r．【难度】★★cba27【答案】，→d为所求向量．【总结】考察利用向量加减法法则进行作图．