【文档说明】湖南省2021届高三下学期4月六校联考数学试题 含解析【精准解析】.doc，共(21)页，1.130 MB，由小赞的店铺上传

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2021年湖南省六校高考数学联考试卷（4月份）一、选择题（每小题5分）.1．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x2﹣3x＞0}，则A∩∁RB中的元素个数为（）A．4B．3C．2D．12．已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1（3，a），Z2（2，1），

且z1•z2为纯虚数，则实数a＝（）A．﹣6B．C．D．63．函数f（x）＝的图象大致是（）A．B．C．D．4．某地安排4名工作人员随机分到3个村参加“脱贫攻坚”帮扶活动，且每个人只去一个村，则每个村至少有一名工作人员的概率为（）A．B．C．D．

5．已知||＝，＝（m，3），且（﹣）⊥（2+），则向量在向量方向上的投影的最大值为（）A．4B．2C．D．16．数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被

认为比严格的数学证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角三角形△ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设AD＝a，BD＝b，则该图形可以完成的无字证明为（）A．≥（a＞0，b＞0）B．（a＞0，b＞0）C．≤

（a＞0，b＞0）D．a2+b2≥2（a＞0，b＞0）7．已知F1，F2分别是双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是该双曲线上一点且在第一象限内，2sin∠PF1F2＝sin∠PF2F1，则双曲线的离心率的取值范围为（）A．（1，2）B．（3，+∞

）C．（1，3）D．（2，3）8．定义函数D（x）＝，则下列命题中正确的是（）A．D（x）不是周期函数B．y＝D（x）的图象存在对称轴C．D（x）是奇函数D．D（x）是周期函数，且有最小正周期二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项

中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是（）A．若两直线的斜率相等，则两直线平行B．若x＞5，则x＞10C．

已知是直线a的方向向量，是平面α的法向量，若a⊥α，则⊥D．已知可导函数f（x），若f′（x0）＝0，则f（x）在x＝x0处取得极值10．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an+2﹣an＝2，n∈N*，则（）A．（a1+a2），（a3+a4），（a5+a6），…为等差数列B．（a2﹣a1）

，（a4﹣a3），（a6﹣a5），…为常数列C．a2n﹣1＝4n﹣3D．若数列{bn}满足bn＝（﹣1）n•an，则数列{bn}的前100项和为10011．已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象上，对称中心与对称轴x＝的最小距离为，则下列

结论正确的是（）A．函数f（x）的一个对称点为（，0）B．当x∈[，]时，函数f（x）的最小值为﹣C．若sin4α﹣cos4α＝﹣（α∈（0，）），则f（）的值为D．要得到函数f（x）的图象，只需要将g（x）＝2cos2x的图象

向右平移个单位12．已知球O的半径为2，球心O在大小为60°的二面角α﹣l﹣β内，二面角α﹣l﹣β的两个半平面分别截球面得两个圆O1，O2，若两圆O1，O2的公共弦AB的长为2，E为AB的中点，四面体OAO1O2的体积为V，

则下列结论中正确的有（）A．O，E，O1，O2四点共面B．O1O2＝C．O1O2＝D．V的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知某省2020年高考理科数学平均分X近似服从正态分布

N（89，100），则P（79＜X≤109）＝．附：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9545）14．请写出满足条件“f（x）≤f（1）对任意的x∈[0，1]恒成立，且f（x）在[0，1上不是增函

数”的一个函数：．15．已知（a+）（x+1）6（a≠0）的展开式中各项的系数和为192，则其展开式中的常数项为．16．电子计算机是二十世纪最伟大的发明之一，当之无愧地被认为是迄今为止由科学和技术所创造

的最具影响力的现代工具，被广泛地应用于人们的工作与生活之中，计算机在进行数的计算和处理加工时，内部使用的是二进制计数制，简称二进制．一个十进制数n（n∈N*）可以表示成二进制数（a0a1a2…ak）2，即n＝a0×2k+a1×2k﹣1+a2×2k﹣2+…+ak﹣1×21+ak×20，其

中a0＝1，ai∈{0，1}，i＝0，1，2，…，k，k∈N．用f（n）表示十进制数n的二进制表示中1的个数，则f（7）＝；对任意r∈N*，2f（n）＝．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列{an}的前n项和Sn满

足2Sn＝n2+3n．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）数列{}的前n项和是Tn，若存在n∈N*，使得Tn﹣λan+1≥0成立，求实数λ的取值范围．18．已知函数f（x）＝sinxcosx﹣cos2x﹣（x∈R）．（Ⅰ）当x∈[﹣，]时，分别求函数f（x）取得最

大值和最小值时x的值；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别是a，b，c，且a＝2，b＝6，f（）＝﹣1，求c的值．19．甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4．甲、乙约定比赛当天上午进行3局热身训练，下午进行正

式比赛．（Ⅰ）上午的3局热身训练中，求甲恰好胜2局的概率；（Ⅱ）下午的正式比赛中：①若采用“3局2胜制”，求甲所胜局数x的分布列与数学期望；②分别求采用“3局2胜制”与“5局3胜制”时，甲获胜的概率；对甲而言，哪种局制更有利？你对局制长短的设置有何认识？20．某

建筑工地上有一个旗杆CF（与地面垂直），其正南、正西方向各有一标杆BE，DG（均与地面垂直，B，D在地面上），长度分别为1m，4m，在地面上有一基点A（点A在B点的正西方向，也在D点的正南方向上），且BA＝BC＝2m，且A，E，F，G四点共面．（Ⅰ）求基点A观测旗杆顶端F的距离及仰角θ的正切值；（

Ⅱ）若旗杆上有一点M，使得直线BM与地面ABCD所成的角为，试求平面ABM与平面AEFG所成锐二面角的正弦值．21．已知A，B分别为椭圆E：＝1（a＞）的左、右顶点，Q为椭圆E的上顶点，＝1．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）已知动点P在椭圆E上，两定点M（

﹣1，），N（1，﹣）．①求△PMN的面积的最大值；②若直线MP与NP分别与直线x＝3交于C，D两点，问：是否存在点P，使得△PMN与△PCD的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．22．已

知f（x）＝ln（1+x）+2cosx﹣（1+x），g（x）＝cosx﹣1+ax2．（Ⅰ）若g（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）确定f（x）在（﹣1，π）内的零点个数．参考答案一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{

x|x2﹣3x＞0}，则A∩∁RB中的元素个数为（）A．4B．3C．2D．1解：因为B＝{x|x2﹣3x＞0}＝{x|x＜0或x＞3}，所以∁RB＝{x|0≤x≤3}，又集合A＝{1，2，3，4，5}，所以A∩∁RB＝{1，2，

3}，故A∩∁RB中的元素个数为3．故选：B．2．已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1（3，a），Z2（2，1），且z1•z2为纯虚数，则实数a＝（）A．﹣6B．C．D．6解：因为复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1（3，a），Z

2（2，1），所以z1＝3+ai，z2＝2+i，故z1•z2＝（3+ai）（2+i）＝6﹣a+（3+2a）i，因为z1•z2为纯虚数，所以6﹣a＝0且3+2a≠0，解得a＝6．故选：D．3．函数f（x）＝的图象大致是（）A．B．C．D．解：∵f（

﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，排除选项C和D，当x∈（0，1）时，cosx＞0，ex﹣e﹣x＞0，∴f（x）＞0，排除选项B，故选：A．4．某地安排4名工作人员随机分到3个村参加“脱贫攻坚”帮扶活动，且每个人只去一个村，则每个村至少有一名工作人员的概率为（）A．B．

C．D．【解答】解；4人随机去3个村的可能情况有34＝81种，每个人只去一个村，则每个村至少有一名工作人员有＝36种，故P＝＝．故选：A．5．已知||＝，＝（m，3），且（﹣）⊥（2+），则向量在向量方向上的投影的最大值为（）A．4B．2C．D．1解：因为|

|＝，＝（m，3），（﹣）⊥（2+），所以（﹣）•（2+）＝2•+﹣2﹣•＝•+m2+9﹣12＝0，所以•＝3﹣m2，所以向量在向量方向上的投影为：||cos＜，＞＝＝＝﹣+，令t＝，t≥3，f（t）＝﹣t+，y＝﹣t与y＝在[3．+∞

）上均为减函数，则f（t）在[3．+∞）上为减函数，所以f（t）≤f（3）＝﹣3+＝1，所以向量在向量方向上的投影的最大值为1．故选：D．6．数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于

这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角三角形△ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设AD＝a，BD＝b，则该图形可以完

成的无字证明为（）A．≥（a＞0，b＞0）B．（a＞0，b＞0）C．≤（a＞0，b＞0）D．a2+b2≥2（a＞0，b＞0）解：由题意得AB＝AD+BD＝a+b，CO＝（a+b），OD＝OB﹣DB＝（a+b）﹣b＝（a﹣b）

，Rt△OCD中，CD2＝OC2+OD2＝＝，因为OC≤CD，所以（a+b）≤，当且仅当a＝b时取等号，故选：C．7．已知F1，F2分别是双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是该双曲线上一点且在第一象限内，2

sin∠PF1F2＝sin∠PF2F1，则双曲线的离心率的取值范围为（）A．（1，2）B．（3，+∞）C．（1，3）D．（2，3）解：在△PF1F2中，由正弦定理知，，∵2sin∠PF1F2＝sin∠PF2F1，∴2|PF2|＝|PF1|，由双曲线的定义知，|PF1|﹣

|PF2|＝2a，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，∵|PF1|+|PF2|＞|F1F2|，即4a+2a＞2c，∴e＝＜3，又e＞1，∴e∈（1，3）．故选：C．8．定义函数D（x）＝，则下列命题中正确的是（）A．D（x）不是周期函数B．y＝D（x）的图象存在对称轴C．D（x）是奇函

数D．D（x）是周期函数，且有最小正周期解：当m为有理数时，D（x+m）＝，∴D（x+m）＝D（x），∴任何一个有理数m都是D（x）的周期，∴D（x）是周期函数，且无最小正周期，∴选项A，D错误，若x为有理数，则﹣x也为有理数，∴D（x）＝D（﹣x），若x为

无理数，则﹣x也为无理数，∴D（x）＝D（﹣x），综上，总有D（﹣x）＝D（x），∴函数D（x）为偶函数，图像关于y轴对称，∴选项C错误，选项B正确，故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是（）A．若两直线的斜率相等，则两直线平行B．若x＞5，则x＞10C．已知是直线a的方向向量，是平面α的法向量，若a⊥α，则⊥D．已知可导函数f（x），若f′（x0）＝

0，则f（x）在x＝x0处取得极值解：对于A，两直线平行时，两直线的斜率相等或斜率都不存在，所以必要性不成立；对于B，x＞10时，x＞5，所以必要性成立；对于C，若⊥，则a∥α或a⊂α，所以必要性不成立；对于D，f（x）在x＝x0处取得极值时，f′（x0）＝0，必要性成立．故选：BD．1

0．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an+2﹣an＝2，n∈N*，则（）A．（a1+a2），（a3+a4），（a5+a6），…为等差数列B．（a2﹣a1），（a4﹣a3），（a6﹣a5），…为常数列C．a2n﹣1＝4n﹣3D．若数列{bn}满足bn＝（﹣1）n•an，则数列{bn}的前10

0项和为100解：数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an+2﹣an＝2，n∈N*，则数列a1，a3，a5，…是以1为首项，2为公差的等差数列，数列a2，a4，a6，…是以3为首项，2为公差的等差数列．对于A：（a1+a2），（a3+a4），

（a5+a6），…为等差数列，故A正确；对于B：（a2﹣a1）＝2，（a4﹣a3）＝2，（a6﹣a5）＝2，…为常数列，故B正确；对于C：数列a1，a3，a5，…是以1为首项，2为公差的等差数列，故a2n﹣1＝2n﹣1，故C错误，对于D：T10

0＝a2﹣a1+a4﹣a3+…+a100﹣a99＝2×50＝100，故D正确．故选：ABD．11．已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象上，对称中心与对称轴x＝的最小距离为，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的一个对称点为（，0）B．当x∈[，]时，函数f（

x）的最小值为﹣C．若sin4α﹣cos4α＝﹣（α∈（0，）），则f（）的值为D．要得到函数f（x）的图象，只需要将g（x）＝2cos2x的图象向右平移个单位解：函数f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，|

φ|＜）的图象上，对称中心与对称轴x＝的最小距离为×＝，∴ω＝2．再根据2×+φ＝kπ，k∈Z，可得φ＝﹣，故f（x）＝2cos（2x﹣）．令x＝，可得f（x）＝﹣1≠0，故A错误；当x∈[，]时，2

x﹣∈[，]，故当2x﹣＝时，函数f（x）的最小值为﹣，故B正确；若sin4α﹣cos4α＝sin2α﹣cos2α＝﹣cos2α＝﹣（α∈（0，）），∴cos2α＝，sin2α＝＝，则f（）＝2cos（2α+﹣）＝﹣2sin（2α﹣）＝﹣2sin2αcos+2cos2αsi

n＝，故C正确；将g（x）＝2cos2x的图象向右平移个单位，可得y＝2cos（2x﹣）的图象，故D错误，故选：BC．12．已知球O的半径为2，球心O在大小为60°的二面角α﹣l﹣β内，二面角α﹣l﹣β的两个半平面分别截球面得两个圆O1，O2，若两圆O1，O2的公共弦AB的

长为2，E为AB的中点，四面体OAO1O2的体积为V，则下列结论中正确的有（）A．O，E，O1，O2四点共面B．O1O2＝C．O1O2＝D．V的最大值为解：因为公共弦AB在棱l上，连结OE，O1E，O2E，O1O2，OA，则，因为二面角α﹣l﹣β的两个半平面分

别截球面得两个圆O1，O2，O为球心，所以OO1⊥α，OO2⊥β，又O1E⊂平面α，O2E⊂平面β，所以OO1⊥O1E，OO2⊥O2E，故O，E，O1，O2四点共圆，故选项A正确；因为E为弦AB的中点，故O1E⊥AB，O2E⊥AB，故∠O1EO2即为二面角α﹣l﹣

β的平面角，所以∠O1EO2＝60°，故O1O2＝OEsin60°＝，故选项B错误，选项C正确；设OO1＝d1，OO2＝d2，在△OO1O2中，由余弦定理可得，，所以，故，所以，当且仅当d1＝d2时取等号，故选项D正

确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知某省2020年高考理科数学平均分X近似服从正态分布N（89，100），则P（79＜X≤109）＝0.8186．附：P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜

X≤μ+2σ）＝0.9545）解：因为X近似服从正态分布N（89，100），则μ＝89，σ＝10，所以P（79＜X≤109）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+2σ）＝P（μ﹣σ＜X＜0）+P（0＜X≤μ+2σ）＝＝0.8186，故答案为：0.8186．14．请写出满足条件“f（x）≤f（1）

对任意的x∈[0，1]恒成立，且f（x）在[0，1上不是增函数”的一个函数：f（x）＝﹣（x﹣1）2，（答案不唯一）．解：由题意f（x）的最大值f（1）且f（x）在[0，1]上不是增函数，故f（x）＝﹣（x﹣1）2．故答案为：f（x）＝﹣

（x﹣1）2，（答案不唯一）．15．已知（a+）（x+1）6（a≠0）的展开式中各项的系数和为192，则其展开式中的常数项为17．解：令x＝1可得：（a+1）（1+1）6＝64（a+1）＝192，解得a＝2，所以二项式为（2+）（x+1）6的展开式的常数项为：2×＝2+C＝2+15＝17，故答案

为：17．16．电子计算机是二十世纪最伟大的发明之一，当之无愧地被认为是迄今为止由科学和技术所创造的最具影响力的现代工具，被广泛地应用于人们的工作与生活之中，计算机在进行数的计算和处理加工时，内部使用的是二进制计数制，简称二进制．一个十进制数n（n∈N*）可以

表示成二进制数（a0a1a2…ak）2，即n＝a0×2k+a1×2k﹣1+a2×2k﹣2+…+ak﹣1×21+ak×20，其中a0＝1，ai∈{0，1}，i＝0，1，2，…，k，k∈N．用f（n）表示十进制数n的二进制表示中1的个数，则f（7）＝3；对任意r∈N*，2f（

n）＝2×3r（r∈N*）．解：因为7＝1×22+1×21+1×20，所以f（7）＝3，设n＝，f（n）＝t+1，则使得f（n）＝t+1的n有个，所以2f（n）＝＝2×3r（r∈N*）．故答案为：3，2×3r（r∈N*）．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写

出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn＝n2+3n．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）数列{}的前n项和是Tn，若存在n∈N*，使得Tn﹣λan+1≥0成立，求实数λ的取值范

围．解：（Ⅰ）数列{an}的前n项和Sn满足2Sn＝n2+3n①．所以当n＝1时，解得a1＝2，当n≥2时，②，①﹣②得：，整理得an＝n+1（首项符合通项），故an＝n+1．（Ⅱ），所以＝，若存在n∈N*，使得Tn﹣λan+1≥0成立，即成立，故，

整理得，只需满足即可，设＝≤，当且仅当n＝2时，等号成立．即．18．已知函数f（x）＝sinxcosx﹣cos2x﹣（x∈R）．（Ⅰ）当x∈[﹣，]时，分别求函数f（x）取得最大值和最小值时x的值；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别是

a，b，c，且a＝2，b＝6，f（）＝﹣1，求c的值．解：（I）f（x）＝sinxcosx﹣cos2x﹣＝，＝，＝sin（2x﹣）﹣1，因为x∈[﹣，]，所以2x﹣∈[﹣，]，所以≤sin（2x﹣）≤1，f（x）＝sin（2x

﹣）﹣1的最大值0，此时x＝，函数的最小值﹣1﹣，此时x＝；（II）（）＝sin（A﹣）﹣1＝﹣1，所以sin（A﹣）＝0，由A为三角形内角得A＝，因为a＝2，b＝6，由余弦定理得，所以12＝36+c2﹣6＝0，解得c＝2或c＝419．甲、乙两选手比赛

，假设每局比赛甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4．甲、乙约定比赛当天上午进行3局热身训练，下午进行正式比赛．（Ⅰ）上午的3局热身训练中，求甲恰好胜2局的概率；（Ⅱ）下午的正式比赛中：①若采用“3局2胜制”，求甲所胜局数x的分布列与数学期望；②分别求采用“3局2胜制”与“5局3胜制”时，

甲获胜的概率；对甲而言，哪种局制更有利？你对局制长短的设置有何认识？解：（Ⅰ）甲恰好胜2局的概率为P＝；（Ⅱ）①甲所胜局数x的可能取值为0，1，2，所以P（x＝0）＝，P（x＝1）＝，P（x＝2）＝，所以甲所胜局数x的分布列为：x012P0.160.19

20.648则x的数学期望E（x）＝0×0，16+1×0.192+2×0.648＝1.488；②采用“3局2胜制”时，甲获胜的概率为＝0.648，采用“5局3胜制”时，甲获胜的概率为＝0.68256，对于甲而

言，显然“5局3胜制”更有利，由此可得出：比赛局数越多，对水平高的选手越有利．20．某建筑工地上有一个旗杆CF（与地面垂直），其正南、正西方向各有一标杆BE，DG（均与地面垂直，B，D在地面上），长度分别为1m，4m，在地面上有一基点A（点A在B点的正西方向，也

在D点的正南方向上），且BA＝BC＝2m，且A，E，F，G四点共面．（Ⅰ）求基点A观测旗杆顶端F的距离及仰角θ的正切值；（Ⅱ）若旗杆上有一点M，使得直线BM与地面ABCD所成的角为，试求平面ABM与平面AEFG

所成锐二面角的正弦值．解：（Ⅰ）由题意可知平面ABE∥平面CDGF，且A，E，F，G四点共面于平面AEFG，故AE∥GF，同理可得AG∥EF，故AEFG为平行四边形，故AE＝FG，过点G作CF的垂线，垂足为N，则△ABE≌△GNF，所以FN＝BE＝1，F

C＝4+1＝5，AC＝，则AF＝，故＝；（Ⅱ）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，MC＝2，B（2，0，0），N（2，2，2），所以，设平面ABM的法向量，则有，令y＝1，则z＝﹣1，故，又E（2，0，1），F（2，2，5），所以，设平面

AEFG的法向量为，则有，令x＝1，则z＝﹣2，y＝4，故，所以＝，设平面ABM与平面AEFG所成锐二面角为α，则sinα＝＝．21．已知A，B分别为椭圆E：＝1（a＞）的左、右顶点，Q为椭圆E的上顶点，＝1．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）已知动点P在椭圆E上，两定点

M（﹣1，），N（1，﹣）．①求△PMN的面积的最大值；②若直线MP与NP分别与直线x＝3交于C，D两点，问：是否存在点P，使得△PMN与△PCD的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）根据题意可得，Q（0，），A（

﹣a，0），B（a，0），因为＝1．所以（a，）•（a，﹣）＝1，所以a2﹣3＝1，所以a2＝4，所以椭圆的方程为+＝1．（Ⅱ）①设P（2cosα，sinα），0≤α≤2π，因为M（﹣1，），N（1，﹣），所以直线MN的方程为y﹣

＝（x+1），即3x+2y＝0，所以点P到直线MN的距离为d＝＝，|MN|＝＝，所以S△PMN＝•|MN|•d＝••＝2sin（α+），0≤α≤2π，所以△PMN的面积的最大值为2．②设P（x0，y0），|MN|＝，点P到直线MN的距离

d1＝，所以S△PMN＝|MN|•d1＝|3x0+2y0|，直线MP的方程为：y＝（x+1）+，令x＝3，可得C（3，+），直线PN的方程为：y＝（x﹣1）﹣，令x＝3，可得D（3，﹣），所以|CD|＝||，点P到直线CD的距离d2＝|3﹣x0|，所以S△PCD＝|CD|•d2＝||×（3﹣

x0）2，因为△MPN与△PCD面积相等，所以|3x0+2y0|＝||×（3﹣x0）2，所以3x0+2y0＝0（舍去）或|x02﹣1|＝（3﹣x0）2，解得x0＝，代入椭圆的方程得y0＝±，所以点P（，）或（，﹣）．22．已知f（x）＝ln（1+x）+2c

osx﹣（1+x），g（x）＝cosx﹣1+ax2．（Ⅰ）若g（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）确定f（x）在（﹣1，π）内的零点个数．解：（Ⅰ）因为g（﹣x）＝cos（﹣x）﹣1+a（﹣x）2＝cosx﹣1+ax2＝g（x），所以g（x）为偶函数，所以只需g（x）≥0

在[0，+∞）上恒成立即可，由g（x）≥0知a＞0，g′（x）＝﹣sinx+2a，g″（x）＝﹣cosx+2a，（1）若2a≥1，则g″（x）≥0，g′（x）在（0，+∞）上单调递增，所以g′（x）＞g′（0）＝0，所以g（

x）在（0，+∞）上单调递增，所以g（x）≥g（0）＝0，所以a≥满足条件．（2）若0＜a＜，存在x0∈（0，），g″（x0）＝0，当x∈（0，x0）时，g″（x0）＜0，g′（x）单调递减，g′（x）＜g

′（0）＝0，g（x）单调递减，所以g（x）＜g（0）＝0，不成立，所以0＜a＜不满足条件．综上所述，a的取值范围为a≥，所以a的取值范围为[，+∞）．（Ⅱ）f′（x）＝﹣2sinx+（1+x），f″（x）＝﹣﹣2co

sx﹣（1+x），（1）当x∈（﹣1，0]时，f″（x）＜0，f′（x）单调递减，f′（x）＞f′（0）＞0，f（x）单调递增，又f（0）＝1＞0，f（﹣）＝﹣2ln2+2cos﹣2＜0，所以f（x）在（﹣1，0）内恰有一个零点．（2）当x∈（0，]

时，可以证明ln（x+1）＞x﹣，由（Ⅰ）知cosx＞1﹣，所以f（x）＞x+2﹣x2﹣＞x+1﹣x2＞0，所以f（x）在（0，]内无零点．（3）当x∈（，]时，f″（x）＜0，f′（x）单调递减，f′（x）＜f′（）＜0，f（x）单调递减，所以在（，]无零点，（4

）当x∈（，]时，f′（x）＜﹣1+（1+x）＜0，f（x）单调递减，又f（）＞0，f（）＝ln（1+）﹣﹣（1+）＜2ln2﹣＜0，所以f（x）在（，]内恰有一个零点，（5）当x∈（，π]时，f″（x）＞0，f′（x）单调递增，又f′（π）＞0，f′（）＜0，所以存在唯一

x0∈（，π），f′（x0）＝0，当x∈（，x0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（x0，π）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）≤max{f（），f（π）}＜0，所以f（x）在（，π]内无零点．综上所述，f（x）恰有两个零

点．