【文档说明】上海市普陀区2021-2022学年高考二模数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.587 MB，由小赞的店铺上传

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2022届高三数学适应性随堂练习（2022.06）考生注意:1.本试卷共4页，21道试题，满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在

答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得

5分，否则一律得零分.1.若22213m=，则实数m的值为_______.【答案】2【解析】【分析】根据行列式的定义计算即可【详解】由题知2322m−=,即24m=,所以2m=故答案为：22.若复数z在复平面内对应的点为(1,1)−，则2z=___

_____.【答案】1i+##i1+【解析】【分析】由复数对应点写出复数z，再应用复数的除法化简2z即可.【详解】由题设，1iz=−，故222(1i)1i1i(1i)(1i)z+===+−−+.故答案为：1i+3.已知等差数列

na（*Nn）满足23751aaa+=+，则5a=__________.【答案】1【解析】【分析】利用等差中项的性质可得255210aa=+，进而可求结果.【详解】由题设23755210aaaa+==+，所以25(1)

0a−=，即51a=.故答案为：14.在()52xy+的展开式中，含32xy项的系数为__________.【答案】80【解析】【分析】应用二项式展开式通项确定32xy项对应r值，即可得系数.【详解】由题设，555155C(2)2CrrrrrrrrTxyxy−−−+==，所以32xy项的系数为3

252C80=.故答案为：805.若增广矩阵为1244mm的线性方程组无实数解，则实数m=________.【答案】2−【解析】【分析】由104mm=，且2044m求解即可.【详解】因为增广矩阵为1244mm的线性方程组无实数解所以104

mm=，且2044m所以240m−=且480m−，解得2m=−故答案为：2−6.已知一个圆锥的侧面积为2，若其左视图为正三角形，则该圆锥的体积为________.【答案】324##324【解析】【分析】由圆锥侧面积公式求得底面半径12r=，体高为32，应用圆锥的体积公式求体积.【详解】由

题设，令圆锥底面半径为r，则体高为3r，母线为2r，所以12222rr=，则12r=，故圆锥的体积为2133324rr=.故答案为：3247.设函数3()1xfxx=−的反函数为1()fx−，若集合1(

)2,ZAxfxx−=，则由A中所有元素所组成的一组数据的中位数为________.【答案】5【解析】【分析】先求反函数，再解不等式即可【详解】由31xyx=−,得3yxy=−,所以1()3xfxx−=−由1()2fx−…,得23xx−…,即603xx−−„

,所以36x„所以{4,5,6}A=所以由A中所有元素所组成的一组数据的中位数为5故答案：58.设椭圆22:184xy+=的左、右两焦点分别为1F，2F，P是上的点，则使得12PFF△是直角三角形

的点P的个数为_________.【答案】6【解析】【分析】根据椭圆的性质判断P为上下顶点时12FPF的大小判断直角三角形个数，再加上112PFFF⊥、212PFFF⊥对应直角三角形个数，即可得结果

.【详解】由椭圆性质知：当P为上下顶点时12FPF最大，此时12||||22PFPF==，12||4FF=，所以128816cos022222FPF+−==，故焦点三角形中12FPF最大为90，故有2个；又112PFFF⊥、212

PFFF⊥对应的直角三角形各有2个；为综上，使得12PFF△是直角三角形的点P的个数为6个.故答案为：69.从集合,,abc的非空子集中随机任取两个不同的集合M和N，则使得MN=的不同取法的概率为________（

结果用最简分数表示）.【答案】27【解析】【分析】首先求出集合,,abc的非空子集个数，依题意对集合M、N中元素的个数分类讨论，最后利用古典概型的概率公式计算可得；【详解】解：集合,,abc的非空子集有3217−=个，从中任取两个不同的集合M和N共有27A42=种，要使MN=

，①M中含有1个元素，N中也含有1个元素，有1132CC=6种，②M中含有1个元素，N中含有2个元素，有1131CC=3种，③M中含有2个元素，N中含有1个元素，有1131CC=3种，即满足MN=的集合M、N的取法有63312++=种；故概率122427

P==；故答案为：2710.若3(,)2x−，则等式cos()sin()442cossinxxxx+++=成立的一个x的值可以是________.【答案】316##316【解析】【分析】由两角和的正弦公式和正弦的二倍角公式以及正弦函

数的性质进行化简求解即可.【详解】cos()sin()442cossinxxxx+++=可得sincos()cossin()2sincos44xxxxxx+++=，即sin(2)sin24xx+=，所以(

)22+24xxkkZ+=（舍去）或()2+224xxkkZ+=+，解得()3162kxkZ=+，3(,)2x−，当0k=时，316x=，故答案为：31611.设直线:3

0lxyn−−=（*Nn）与函数23()()4xfx+=和3()()34xgx=+的图像分别交于nP，nQ两点，则limnnnPQ→=__________.【答案】10【解析】【分析】两条曲线一条无限接近x轴，另一条无限接近3y=，画出图

像分析即可【详解】直线l的斜率3k=如图,211limlim113109nnnnPQnnPQyyk→→=+−=+=故答案为：1012.如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A，B），2DCB=，且DCCB=，若2AB=，则OCOD的取值范围为__________.【答案】(1,

2]【解析】【分析】2BOC=，把向量内积通过投影转化为三角函数问题【详解】设2BOC=,则0,2,作DEOE⊥交OC的延长线于点E由余弦定理22112cos222cos24sinBC

=+−=−=所以2sinBC=,即2sinDC=222OCB−==−,因为2DCB=,所以DCE=所以cos2sincossin2CEDC===所以1(1sin2)1sin2(1,2]OCODOCOE==+=+故答案为：(1,2]二

、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13.已知点(2,2)M，直线:10lxy−−=，若动点P到l的距离等于PM，则点P的轨迹是

（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.直线【答案】C【解析】【分析】由抛物线的定义求解即可.【详解】由抛物线的定义（平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线）可知，点P的轨迹是抛物线.故选：

C14.“0xy”是“11xyxy−−”的（）A充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】A【解析】【分析】应用作差法，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可.【详解】由221111(1)()()xyxyxyxyxyxyxy−−+−−−−=−=，又

0xy，所以11()0xyxy−−−，即11xyxy−−，充分性成立；当11xyxy−−时，即(1)()0xyxyxy+−，显然2,1xy==−时成立，必要性不成立.故“0xy”是“11xyxy−−”的充分非必要条件.故选：A15.数列

na的前n项的和nS满足*1(N)nnSSnn++=，则下列选项中正确的是（）A.数列1nnaa++是常数列B.若113a，则na是递增数列C.若11a=−，则20221013S=D.若11a=，则na的最小项的值为1−【答案】D【解析】【分

析】由题设可得1221aa+=且11nnaa++=(2n)，进而可知2n时na偶数项、奇数项的值分别相等，再结合各项的描述判断正误.【详解】当1n=时，211221SSaa+=+=，当2n时，11nnSSn−+=−，则1

1nnaa++=，.而121aa+=不一定成立，故1nnaa++不一定是常数列，A错误；由1132...1nnnnaaaaaa+−+=+==+=，显然113...nnnaaa+−−===且24...nnnaaa−−===，即na不

单调，B错误；若11a=−，则23a=，32a=−，故2n，na偶数项为3，奇数项为2−，而202212345202020212022()()...()1101031012Saaaaaaaa=++++++++=−++=，C错误；若11a=，则21a=−，32a=，故2n，na偶数

项为1−，奇数项为2，故na的最小项的值为1−，D正确.故选：D16.已知定义在R上的偶函数()fx，满足3222[()][()]()0fxfxxfxx−−+=对任意的实数x都成立，且值域为[0,1].设函数()1gxxm

x=−−−，（1m），若对任意的11(2,)2x−，存在21xx，使得21()()gxfx=成立，则实数m的取值范围为（）A.[6,1)−B.51[,]22−−C.[0,1)D.1[,0]2−【答案】D【解析】【分析】先根据函数()fx

满足的关系式及奇偶性，值域，得到()1,1,111,1xfxxxx−=−，再写出1,()21,11,1mxmgxxmmxmx−=−−−+，在同一坐标系中画出两函数图象，结合当1x时，()11gxm

=−+及1,2−x时，()gx的图象要位于()fx的下方，得到1122gf，求出实数m的取值范围.【详解】3222[()][()]()0fxfxxfxx−−+=变形为22[

()]()10fxxfx−−=，所以()1fx=或22()fxx=，即()1fx=或()fxx=，因为()fx为偶函数，且值域为[0,1]，所以()1,1,111,1xfxxxx−=−，因为1m，所以1,()121,11,1mxmgxxmxxmmxmx−=−

−−=−−−+，在同一坐标系中画出两者的函数图象，如下图：要想满足若对任意11(2,)2x−，存在21xx，使得21()()gxfx=成立，则当1x时，()11gxm=−+，所以0m，且1,2−x时，()gx的图象要位于()fx的下

方，故只需1122gf，即12m−，解得：12m−，综上：实数m的取值范围是1[,0]2−.故选：D【点睛】对于函数恒成立或有解问题，要画出函数图象，对比函数值域，数形结合，列出不等式，求出参数的取值范围.三、解答题（本大题共有5题，满分

76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.如图所示，正四棱柱1111ABCDABCD−的底面边长为2，侧棱长为4，设1(01)DEDD=.的（1）当12=时，求直线1BE与平面ABCD所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）；（2）当14=时，若11B

GtBC=，且10EGBC=，求正实数t的值.【答案】（1）3arcsin3；（2）45t=.【解析】【分析】（1）构建空间直角坐标系，求出直线1BE的方向向量与平面ABCD的法向量，再由空间向量夹角的坐标表示求线面角大小.（2）由（1）易得1(0,2,4)BC

=−，根据已知条件及向量坐标的线性运算及数量积的坐标表示求参数t即可.【小问1详解】以A为原点，射线AB、AD、1AA分别为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则(0,2,2)E，1(2,0,4)B，即1(2,2,2)=−

−BE，平面ABCD的一个法向量1(0,0,4)nAA==，设直线1BE与平面ABCD所成角为，则1183sin3234BEnBEn===，所以3arcsin3=，则设直线1BE与平面ABCD所成角为3arcsin3.小问2详解】由（1

）所建的坐标系得：(0,2,1)E，1(2,0,4)B，(2,2,0)C，即1(0,2,4)BC=−，又11BGtBC=，则(2,2,44)Gtt−，即(2,22,34)EGtt=−−，又10EGBC=，则022(22)(4)(34)0tt+−+−−=，即45t=.18.设nS是

各项为正的等比数列na的前n项的和，且23S=，34a=，*Nn.（1）求数列na的通项公式；（2）在数列na的任意ka与1ka+项之间，都插入k（*Nk）个相同的数(1)kk−，组成数列nb，记数列nb的前n项的和为nT，求100T

的值.【答案】（1）12nna-=，*Nn（2）8152【解析】【分析】（1）设等比数列na的公比为0q，由已知建立方程组求解可得数列的通项公式；（2）数列nb中在1ka+之前共有23(123

)2kkkk++++++=项，再分组，分别利用等差、等比求和【公式可求得答案.【小问1详解】解：设等比数列na的公比为0q，则()121134aqaq+==，解得11a=，2q=则等比数列na的通项公式为12nna-=，*Nn.【小问2详解】解：数列nb中在1ka+之

前共有2(1)3(123)22kkkkkkk+++++++=+=项，当12k=时，23901002kk+=，当13k=时，231041002kk+=，则21222222100(1222)(123412)139T=+++++−+−+−+−13

1312(123412)117240815212−=++++++−=−=−.则所求的数列nb的前100项和为8152.19.如图所示，等腰直角ABC是某大型商场一楼大厅的局部，商场管理部门拟用围栏在其中围出一个三角形区域OEF，供商家开展促销活动.已知20ABAC==

（米），E，F分别是AB，AC上的动点，O为BC的中点，且2π3=EOF，设OEA=.（1）当π2=时，求围栏EF段的长度（精确到0.01）；（2）求区域OEF面积的最小值（精确到0.01），并指出面积达到最小

值时的相应的值.【答案】（1）18.68米（2）面积的最小值为46.41（平方米），对应的值为512.【解析】【分析】（1）在三角形OFC中，由正弦定理得sinsin=OCCOFOFC，在三角形OEF中，由余弦定理得2EF，从而得到围栏

EF段的长度；（2）在三角形OFC中，由正弦定理得，()10sinπ=+OF，在三角形OEF中，由正弦定理得10sin=OE，则三角形OEF的面积为1sin2=SOEOFEOF，可得即5033πsin223=

+−S，根据的范围可得答案.【小问1详解】由π2=及题设条件得，10OE=，102OC=，ππ2ππ663=−−=−−=OFCAFEEFO，4C=，在三角形OFC中，由正弦定理得，sinsinOFOCCOFC=，即sin203sin3OCCOFOFC==，在三角

形OEF中，由余弦定理得，222220320312cos100210332=+−=+−−EFOEOFOEOFEOF即700200318.683EF+=，则围栏EF段的长度为18.68米.【小问2详解】

由条件得，5πππ66=−−=+OFCOEA，π=−OEB，且π7π,412，在三角形OFC中，由正弦定理得sinsinOFOCCOFC=，即10πsin6=+O

F，在三角形OEF中，由正弦定理得sinsinOEOBBOEB=，即1010sin(π)sin==−OE，则三角形OEF的面积为1253sinπ2sinsin6==+SOEOFEOF，即5033πsin223=+−S，又π7π,412

，即ππ5π2,366−，当ππ232−=，即5π12=时，S取得最小值，且值为200330046.41−，则区域OEF面积最小值为46.41（平方米），对应的值为5π12.20.设1F，2F分别是双曲线2222:1(0,0)xyabab

−=的左、右两焦点，过点2F的直线:0lxmyt−−=（,Rmt）与的右支交于M，N两点，过点(2,3)−，且它的虚轴的端点与焦点的距离为7.（1）求双曲线的方程；（2）当121MFFF=时，求实数m的值；（3）设点M关于坐标原点

O的对称点为P，当2212MFFN=时，求PMN面积S的值.【答案】（1）2213yx−=；（2）1515m=；的（3）9354.【解析】【分析】（1）根据点在双曲线上及两点距离列方程组求双曲线参数，即可得方程；（2）由点在直线上求得2t=，根据

1F到直线:20lxmy−−=与等腰三角形12FMF底边2MF上的高相等，列方程求参数m；（3）设11(,)Mxy，22(,)Nxy，联立双曲线与直线方程，应用韦达定理得1221213myym+=−，122913yym=−−，由向量的数量关系可得2135m=，根据对称点、三角形面积公式1222

OMNSSyy==−求PMN面积.【小问1详解】由过点(2,3)−，且它的虚轴的端点与焦点的距离为7，所以()222224917abbab−=++=，即2213ab==，则所求的双曲线

的方程为2213yx−=.【小问2详解】因为直线:0lxmyt−−=过点2(2,0)F，所以2t=，由121MFFF=得：等腰三角形12FMF底边2MF上的高的大小为22112()152MFMF−−=，又1F到直线:20l

xmy−−=的距离等于等腰三角形12FMF底边上的高，则2202151m−−−=+，即2115m=，则1515m=.【小问3详解】设11(,)Mxy，22(,)Nxy，由221320yxxmy−=−−=得：22(31)1290mymy−++=，则1221213myym+

=−，122913yym=−−，又2212MFFN=，即212yy=−，则121213mym−=−，2129213ym=−，即22122()13mm=−2913m−，则2135m=，又M关于坐标原点O的对称点为P，则2

121212222()4OMNSSyyyyyy==−=+−222221291219352()4()1313134mmmmm+=−−==−−−.则所求的PMN面积为9354.21.对于函数()fx和()gx，设集合()0,RAxfxx

==，()0,RBxgxx==，若存在1xA，2xB，使得12(0)xxkk−，则称函数()fx与()gx“具有性质()Mk”.（1）判断函数()sinfxx=与()cosgxx=是否“具有性质1()2M”，并说明理由；（2）若函数1()22xfx

x−=+−与2()(2)24gxxmxm=+−−+“具有性质(2)M”，求实数m的最大值和最小值；（3）设0a且1a，1b，若函数1()logxbfxax=−+与()logxbgxax=−+“具有性质(1)M”，求1212xx−的取值范围.【答案】（1）

()sinfxx=与()cosgxx=不具有性质1()2M，理由见解析；（2）最小值为2；最大值为195；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）求出()fx、()gx的零点，再结合定义判断作答.（2）利用零点存在性定理求出()fx的零点，结合定义求出()gx的零点所在区间，再借

助二次函数零点分布求解作答.（3）利用指对数函数的性质，分类讨论求得12,xx的关系式，再借助非线性规划求解作答.【小问1详解】不具有性质1()2M，设sin0,RAxxx==，cos0,RBxxx==，任取1xA，即1sin0x=，则11,Zxkk=，任

取2xB，即2cos0x=，则222,Z2xkk=+，即12121()222xxkk−=−−，所以()sinfxx=与()cosgxx=不具有性质1()2M.【小问2详解】设12

20,RxAxxx−=+−=，()22240,RBxxmxmx=+−−+=，函数1()22xfxx−=+−是R上的增函数，显然有(1)0f=，即1x=是方程1220xx−+−=的唯一解，又函数()fx与()gx具有性质(2)M

，则存在11xA=，2xB，使得212x−，因此213x−，即方程2(2)240xmxm+−−+=在区间1,3−上有解，有22222224422xxmxxx++==+++，令22[1,5]xt+=，则42mtt=+−在[1,2]上递减，在[2,5

]上递增，则当2t=，即20x=时，min2m=，当1t=时，3m=，当5t=时，195m=，则当5t=，即23x=时，max195m=，所以m的最小值为2，最大值为195.【小问3详解】设1log0,RxbA

xaxx=−+=，log0,RxbBxaxx=−+=，因为函数()fx与()gx具有性质(1)M，则存在1xA，2xB，使得121xx−，由1xA得，111log0xbxa

=，又1b，则101x，由2xB得，22log0xbxa=，则21x，当01a时，由12xx得，21xxaa，即211loglogbbxx，有21log0bxx，则2101xx，显然12,xx满足122121011101xxxxxx

−，作出此不等式组表示的平面区域，如图中阴影区域，其中1515(,),(1,1),(0,1)22ABC−++，令1212xxz−=，即2112xxz=−表示斜率为12，纵截距为z−的平行直线系，作出直线0

211:2lxx=，平移直线0l，当它分别为过点A，B时的直线21,ll时，其纵截距分别最大和最小，即z取最小和最大，则min354z+=−，max12z=−，因此121351(,)242xx+−−−，当1a时，由

12xx得，21xxaa，即211loglogbbxx，有21log0bxx，则211xx，显然12,xx满足12212101111xxxxxx−，作出此不等式组表示的平面区域，如图中阴影区域，其中1515(,),(1,1),(1

,2)22ABD−++令1212xxz−=，即2112xxz=−表示斜率为12，纵截距为z−的平行直线系，作出直线0211:2lxx=，平移直线0l，当它分别为过点D，B时的直线31,ll时，其纵截距分别最大和最小，即z取最小和最大

，则min32z=−，max12z=−，因此12131(,)222xx−−−，所以当01a时，1212xx−的取值范围是351(,)42+−−，当1a时，1212xx−的取值范围是31(,)22−−.【点

睛】思路点睛：涉及一元二次方程的实根分布问题，可借助二次函数及其图象，利用数形结合的方法解决一元二次方程的实根问题.