【文档说明】安徽省马鞍山市2021届高三第三次教学质量监测数学（文科）试卷含解析.doc，共(21)页，1.312 MB，由小赞的店铺上传

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2021年安徽省马鞍山市高考数学第三次教学质量监测试卷（文科）（三模）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x||x﹣1|＜2}，，则A∩B＝（）A．（0，3）B．（﹣1，0）C．（﹣∞，3）D．（﹣1，1）2．已知复数（i是

虚数单位），z的共轭复数记作，则＝（）A．B．C．D．3．已知向量，，若与共线，则实数m＝（）A．B．5C．D．14．第31届世界大学生夏季运动会将于2021年8月在成都举行，举办方将招募志愿者在赛事期间为运动会提供咨询、交

通引导、场馆周边秩序维护等服务．招募的志愿者需接受专业培训，甲、乙两名志愿者在培训过程中进行了六次测试，其测试成绩（单位：分）如折线图所示，则下列说法正确的是（）A．甲成绩的中位数比乙成绩的中位数大B．甲成绩的众数比乙成绩的众数小C．甲成绩的极差比乙成绩的极差

小D．乙的成绩比甲的成绩稳定5．执行如图所示的程序框图，则输出的s＝（）A．1011B．1010C．﹣1010D．﹣10116．函数f（x）＝在[﹣π，π]上的图象大致为（）A．B．C．D．7．若过点（2

，﹣1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x+3y+3＝0的距离为（）A．B．C．D．8．在天然气和煤气还未普及时，农民通常会用水稻秸秆作为生火做饭的材料．每年水稻收割结束之后，农民们都会把水稻秸秆收集起来，然后堆成如图的草堆，供生火做饭使用．通常他们堆草堆的时候

都是先把秸秆先捆成一捆一捆的，然后堆成下面近似成一个圆柱体，上面近似成一个圆锥体的形状．假设圆柱体堆了7层，每层所用的小捆草数量相同，上面收小时，每层小捆草数量是下一层的倍．若共用255捆，最上一层只有一捆，

则草堆自上往下共有几层（）A．13B．12C．11D．109．已知函数（A＞0，ω＞0），若函数f（x）图象上相邻两对称轴之间的距离为，则下列关于函数f（x）的叙述，正确的是（）A．关于点对称B．关于对称C．在上单调递减D．在（﹣，）上单调递增10．将一个表面积为36

π的木质实心球加工成一个体积最大的圆柱，则该圆柱的底面半径为（）A．B．3C．D．11．已知椭圆经过点（3，1），当该椭圆的四个顶点构成的四边形的周长最小时，其标准方程为（）A．B．C．D．12．已知函数（是自然对数的底数）在x＝0

处的切线与直线x﹣2y+1＝0垂直，若函数g（x）＝f（x）﹣k恰有一个零点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知命题“∃x0∈R，x02﹣x0+1＜0”，写出这个命题的否定：．14．设al

og43＝1，则＝．15．已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+⋯+nan＝2n，若，设数列{bn}的前n项和为Tn，则T2021＝．16．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为棱AD，D

D1的中点，给出下列五个命题：①AD，B1C所成的角为；②B1C⊥BN；③三棱锥A﹣BDN的外接球的表面积为8π；④平面BMN截正方体所得的截面是等腰梯形；⑤以点A为球心，为半径作球面，则该正方体表面被球面

所截得的所有弧长的和为3π；其中真命题是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共6

0分。17．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且asinB＝2csinA．（1）若，求A；（2）若c＝2，且点D在BC的延长线上，满足BC＝2CD＝4，求AD．18．PM2.5是指大气

中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．虽然PM2.5只是地球大气成分中含量很少的组分，但它对空气质量和能见度等有重要的影响．PM2.5粒径小，富含大量的有毒、有害物质且在大气中的停留时间长、输送距离远，因而对人体健

康和大气环境质量影响很大．我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下的空气质量为优级；在35微克/立方米与75微克/立方米之间的空气质量为良级（含边界值）；在75微克/立方米以上的空气质量为超标．为了解A城市2020年的空气质量情况，从全年每天

的PM2.5日均值数据中随机抽取20天的数据作为样本，日均值（单位：微克/立方米）如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．（1）求20天样本数据的平均数；（2）在A城市共采集的20个数据样本中，从PM2.5日均值在[70，90]范围内随机取2天数据，求取到2天的P

M2.5日均值均超标的概率；（3）以这20天的PM2.5日均值数据来估计一年的空气质量情况，求A城市一年（按365天计算）中空气质量达到优级、良级分别有多少天？（结果四舍五入，保留整数）19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD

为菱形，△PAD为等边三角形，∠ABC＝60°，O为AD的中点．（1）证明：平面PAD⊥平面POC；（2）若AD＝2，，点M在线段PD上，PM＝3MD，求三棱锥P﹣OCM的体积．20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重合．（1）求抛物线的标准方程

；（2）若直线l过抛物线焦点F，与抛物线相交于P，Q两点，求证：；（3）若直线l'与抛物线相交于M，N两点，且，那么直线l'是否一定过焦点F，请说明理由．21．已知函数．（1）当时，求函数f（x）的单调区间；（2）当，x∈（1，+∞）时，求证：f（x

）＞0．选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为．（

1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设点M（0，﹣1），若曲线C1，C2相交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+3|．（1）解不等式f

（x）+f（x﹣3）≤8；（2）已知关于x的不等式f（x）+|x+a|≤x+5，在x∈[﹣1，1]上有解，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12个题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x||x﹣1|＜2

}，，则A∩B＝（）A．（0，3）B．（﹣1，0）C．（﹣∞，3）D．（﹣1，1）解：集合A＝{x||x﹣1|＜2}＝{x|﹣1＜x＜3}，＝{x|x＜0}，∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜0}＝（﹣1，0）．

故选：B．2．已知复数（i是虚数单位），z的共轭复数记作，则＝（）A．B．C．D．解：∵，∴，|z|＝，则＝，故选：A．3．已知向量，，若与共线，则实数m＝（）A．B．5C．D．1解：向量，，若与共线，可得：9＝2m﹣1，解得m＝

5，故选：B．4．第31届世界大学生夏季运动会将于2021年8月在成都举行，举办方将招募志愿者在赛事期间为运动会提供咨询、交通引导、场馆周边秩序维护等服务．招募的志愿者需接受专业培训，甲、乙两名志愿者在培训过程中进行了六次测试，其测试成绩（单位：分）如折线图所示，则下列说法正确的是（）A．甲成

绩的中位数比乙成绩的中位数大B．甲成绩的众数比乙成绩的众数小C．甲成绩的极差比乙成绩的极差小D．乙的成绩比甲的成绩稳定解：甲的成绩分别为90，93，92，94，96，93，乙的成绩分别为93，94，91，95，92，93，A：∵甲成绩的中位数为＝93，乙成绩的中位

数为＝93，∴A错误，B：∵甲成绩的众数为93，乙成绩的众数为93，∴B错误，C：∵甲成绩的极差为96﹣90＝6，乙成绩的极差为95﹣91＝4，∴C错误，D：∵甲成绩的平均数为＝93，∴甲成绩的方差为＝，∵乙成绩的平均数为＝93

，∴乙成绩的方差为＝，∵＞，∴乙成绩比甲成绩稳定，∴D正确．故选：D．5．执行如图所示的程序框图，则输出的s＝（）A．1011B．1010C．﹣1010D．﹣1011解：n＝1，s＝0，第1次执行循环体，S＝﹣1，n＝2；第2次执行循环体，S＝﹣1+

2，n＝3；第3次执行循环体，S＝﹣1+2﹣3，n＝4；......；第2020次执行循环体，S＝﹣1+2﹣3+...﹣2019+2020＝1010，n＝2021；终止循环，输出s＝1010．所以输出s值为1010．故选：B．6．函数f（x）

＝在[﹣π，π]上的图象大致为（）A．B．C．D．解：∵f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，排除选项B，又f（）＝＞0，∴排除选项A和C，故选：D．7．若过点（2，﹣1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2

x+3y+3＝0的距离为（）A．B．C．D．解：设圆心为（a，b），由已知得，解得a＝1，b＝﹣1，或a＝5，b＝﹣5，所以圆心为（1，﹣1）或（5，﹣5）．当圆心为（1，﹣1）时，圆心到直线2x+3y+3＝0的距离d＝＝；当圆心为（5，﹣5）时，圆心到直线2x+3y

+3＝0的距离d＝＝．故选：C．8．在天然气和煤气还未普及时，农民通常会用水稻秸秆作为生火做饭的材料．每年水稻收割结束之后，农民们都会把水稻秸秆收集起来，然后堆成如图的草堆，供生火做饭使用．通常他们堆草堆的时候都是先把秸秆先捆成

一捆一捆的，然后堆成下面近似成一个圆柱体，上面近似成一个圆锥体的形状．假设圆柱体堆了7层，每层所用的小捆草数量相同，上面收小时，每层小捆草数量是下一层的倍．若共用255捆，最上一层只有一捆，则草堆自上往下共有几层（）A．13B．12C．11

D．10解：设圆锥体有n层，由题意可知最上面一层只有一捆，所以第n层有1×2n﹣1捆，圆锥体的总捆数为＝2n﹣1，圆柱体堆了7层，总捆数为7×2n﹣1，草堆的总捆数为7×2n﹣1+2n﹣1﹣2n﹣1＝255，解得n＝6，所以自下往上

共有6+7﹣1＝12层，故选：B．9．已知函数（A＞0，ω＞0），若函数f（x）图象上相邻两对称轴之间的距离为，则下列关于函数f（x）的叙述，正确的是（）A．关于点对称B．关于对称C．在上单调递减D．在（﹣，）上单调递增解：函数（A＞0，ω＞0），若函数f（x）图象上相邻两对

称轴之间的距离为，所以，故ω＝3，所以f（x）＝Asin（3x+），对于A：当x＝时，f（）＝Asin（）≠0，故A错误；对于B：当x＝时，f（）＝Asin（）＝≠±A，故B错误；对于C：当x时，，在该区间内先增后减，故C错误；对于D：当x时，，故函数在该

区间上单调递增，故D正确；故选：D．10．将一个表面积为36π的木质实心球加工成一个体积最大的圆柱，则该圆柱的底面半径为（）A．B．3C．D．解：由球的表面积为36π，可得球的半径为3，如图，设圆柱的底面半径为r，则高为2（0＜r＜3），∴V圆柱＝＝2π•＝2π≤2π•＝．当且仅当r2＝

18﹣2r2，即r2＝6，r＝时，上式取等号．故选：C．11．已知椭圆经过点（3，1），当该椭圆的四个顶点构成的四边形的周长最小时，其标准方程为（）A．B．C．D．解：由题意椭圆经过点（3，1），可得：（a＞b＞0），该椭圆的四个顶点构成的四边形的周长l＝4．∴a2+b2＝（a2+b

2）（）＝10+≥10+2＝16，当且仅当a2＝9b2时，即b＝，a＝3取等号．∴周长l的最小值：4×4＝16．∴椭圆方程：．故选：D．12．已知函数（是自然对数的底数）在x＝0处的切线与直线x﹣2y+1＝0垂直，若函数g（x）＝f（x）﹣k恰有一个零点，则实数k的取值范

围是（）A．B．C．D．解：函数的导数为f′（x）＝ex（x2+m﹣1），可得f（x）在x＝0处的切线的斜率为m﹣1，由在x＝0处的切线与直线x﹣2y+1＝0垂直，可得m﹣1＝﹣2，解得m＝﹣1，则f（x）＝ex（x2﹣x﹣1），函数g（x）

＝f（x）﹣k恰有一个零点，即为f（x）＝k只有一个实根．由f（x）的导数为f′（x）＝ex（x2﹣2），当﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）递减；当x＞2或x＜﹣2时，f′（x）＞0，f（x）递增．则x＝﹣2处，f（x）取得

极大值3e﹣2，x＝2处，f（x）取得极小值﹣e2，则k的取值范围是{﹣e2}∪（3e﹣2，+∞）．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知命题“∃x0∈R，x02﹣x0+1＜0”，写出这个命题的否定：

∀x∈R，x2﹣x+1≥0．解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题：∃x0∈R，x02﹣x0+1＜0的否定：∀x∈R，x2﹣x+1≥0．故答案为：∀x∈R，x2﹣x+1≥0．14．设alog43＝1，则＝．解：∵alog43＝1，∴a＝＝l

og34，∴＝＝＝，故答案为：．15．已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+⋯+nan＝2n，若，设数列{bn}的前n项和为Tn，则T2021＝．解：由a1+2a2+3a3+⋯+nan＝2n，可得n＝1时，a1＝2，n≥2时，a1+2a2+3a3+⋯+（n﹣1）an﹣1＝2

（n﹣1），又a1+2a2+3a3+⋯+nan＝2n，两式相减可得nan＝2，即有an＝，对n＝1也成立．可得＝＝2（﹣），则T2021＝2（1﹣+﹣+﹣+...+﹣）＝2（1﹣）＝．故答案为：．16．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为棱AD，D

D1的中点，给出下列五个命题：①AD，B1C所成的角为；②B1C⊥BN；③三棱锥A﹣BDN的外接球的表面积为8π；④平面BMN截正方体所得的截面是等腰梯形；⑤以点A为球心，为半径作球面，则该正方体表面被球面所截得的所有弧长的和为3π；其中真命题是

①④⑤．解：①∵A1D∥B1C，∴AD，B1C所成的角即为AD，A1D所成的角，在正方形ADD1A1中，易知AD，A1D所成的角为，故①正确；②取A1D1中点E，连接NE，则NE∥A1D，A1D∥B1C，∴NE∥B1C，而，，故BE2≠BN2+NE2，则BN与NE

不垂直，即BN与B1C不垂直，故②错误；③三棱锥A﹣BDN的外接球半径为，其表面积为4πR2＝33π，故③错误；④连接BC1，则BC1∥MN，∴平面BMN截正方体所得的截面为等腰梯形，故④正确；⑤易知正方体的面对角线长为，在弧D1B1上取点F，则A1F＝2，A1A＝2，∴，∴弧长，又

正方体表面被球面所截得的这样的全等的弧共有三个，故所有弧长的和为π+π+π＝3π，故⑤正确；故答案为：①④⑤．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作

答.（一）必考题：共60分。17．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且asinB＝2csinA．（1）若，求A；（2）若c＝2，且点D在BC的延长线上，满足BC＝2CD＝4，求AD．解：（1）因为as

inB＝2csinA，由正弦定理得sinAsinB＝2sinCsinA，因为sinA＞0，所以sinB＝2sinC，即b＝2c，因为，由余弦定理得cosA＝＝＝，由A为三角形内角得A＝；（2）因为c＝2，b＝2

c＝4，a＝4，由余弦定理得cos∠ACB＝＝＝，故cos∠ACD＝﹣，△ACD中，由余弦定理得，＝34，故AD＝．18．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．虽然PM2.5只是

地球大气成分中含量很少的组分，但它对空气质量和能见度等有重要的影响．PM2.5粒径小，富含大量的有毒、有害物质且在大气中的停留时间长、输送距离远，因而对人体健康和大气环境质量影响很大．我国标准采用世卫组织设定的

最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下的空气质量为优级；在35微克/立方米与75微克/立方米之间的空气质量为良级（含边界值）；在75微克/立方米以上的空气质量为超标．为了解A城市2020年的空气质量情况，从全年每

天的PM2.5日均值数据中随机抽取20天的数据作为样本，日均值（单位：微克/立方米）如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．（1）求20天样本数据的平均数；（2）在A城市共采集的20个数据样本中，从PM2.5日均值在[70，90]范围内随机取2天数据，求取到2天的PM2

.5日均值均超标的概率；（3）以这20天的PM2.5日均值数据来估计一年的空气质量情况，求A城市一年（按365天计算）中空气质量达到优级、良级分别有多少天？（结果四舍五入，保留整数）解：（1）20天样本数据的平均数为：＝（16+2

0+24+27+32+36+37+40+42+54+57+62+63+65+71+76+78+82+85+93）＝53．（2）在A城市共采集的20个数据样本中，PM2.5日均值在[70，90]的数据有6个，其中PM2.5日均值超标的数据有5个，从

PM2.5日均值在[70，90]范围内随机取2天数据，基本事件总数n＝＝15，取到2天的PM2.5日均值均超标包含的基本事件个数m＝＝10，∴取到2天的PM2.5日均值均超标的概率P＝＝＝．（3）以这20天的PM2.5日均值数据来估

计一年的空气质量情况，这20天的PM2.5日均值数据，空气质量达到优级的天数为5天，空气质量达到良级的天数为10天，∴A城市一年（按365天计算）中空气质量达到优级的天数为：365×≈91（天），空气质量达到良级的天数为：365×≈183（天）．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，

底面ABCD为菱形，△PAD为等边三角形，∠ABC＝60°，O为AD的中点．（1）证明：平面PAD⊥平面POC；（2）若AD＝2，，点M在线段PD上，PM＝3MD，求三棱锥P﹣OCM的体积．【解答】（1）证明：根据题意可得，PA＝PD，AO＝OD，∴PO⊥AD，又∵底面ABCD

为菱形，∠ABC＝60°，∴CO⊥AD，又∵PO∩OC＝O，PO、OC⊂平面POC，∴AD⊥平面POC，又AD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面POC；（2）解：在等边三角形PAD中，∵AD＝2，∴OP＝OC＝，又，∴OP2+OC2＝PC2，即PO⊥OC，∴S△POC＝＝．由（1）可

知，AD⊥平面POC，又PM＝3MD，∴＝＝．20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重合．（1）求抛物线的标准方程；（2）若直线l过抛物线焦点F，与抛物线相交于P，Q两点，求证：；（3）若直线l'与

抛物线相交于M，N两点，且，那么直线l'是否一定过焦点F，请说明理由．解：（1）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点（，0）与双曲线的右焦点（，0）重合，可得＝，解得p＝4，所以抛物线的方程为y2＝8x：（2）证明：设

直线l的方程为x＝my+2，与抛物线的方程y2＝8x联立，可得y2﹣8my﹣16＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得y1y2＝﹣16，x1x2＝＝4，则•＝x1x2+y1y2＝4﹣16＝﹣12；（3）设直线l'的方程为x＝sy+t，与抛物线的方程y2＝8x联立，可得y2﹣8sy﹣8t

＝0，设M（x3，y3），N（x4，y4），可得y3y4＝﹣8t，x3x4＝＝t2，则•＝x3x4+y3y4＝t2﹣8t＝﹣12，解得t＝2或t＝6，所以直线l'的方程为x＝sy+2或x＝sy+6，可得直

线l'恒过定点（2，0）或（6，0），不一定经过焦点F（2，0）．21．已知函数．（1）当时，求函数f（x）的单调区间；（2）当，x∈（1，+∞）时，求证：f（x）＞0．【解答】（1）解：函数f（x）的定义域为（0，1）∪（

1，+∞），当a＝时，f（x）＝lnx﹣＝lnx+，∴f′（x）＝．令f′（x）＝0，得x＝或x＝2，∴当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（1，2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（2，+∞）时，f′（x

）＞0，f（x）单调递增．综上，函数f（x）的单调增区间为（0，），（2，+∞），单调减区间为（，1），（1，2）；（2）证明：要证f（x）＞0，即证lnx﹣＞0（a，x＞1）成立，即证＞0，也就是证lnx+＞0成立，即证3（x﹣1）lnx﹣3x+5＞0（x＞1）成立．令g（x）＝3（x

﹣1）lnx﹣3x+5＞0（x＞1），则g′（x）＝3（lnx﹣），该函数在（1，+∞）上单调递增，又g′（1）＝﹣3＜0，g′（2）＝3（ln2﹣）＞0，∴g′（x）＝0在（1，2）上有唯一零点x0，使得，且当x∈（1，x0）时，g′（x）＜0，g（

x）单调递减，当x∈（x0，2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，∴g（x）min＝g（x0）＝3（x0﹣1）lnx0﹣3x0+5＝＝8﹣3（），∵x0∈（1，2），∴2＜＜，∴g（x）min＞0，即f（x）＞0．选考题：共10

分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的

极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）设点M（0，﹣1），若曲线C1，C2相交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），转换为普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．曲线C

2的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为x﹣y﹣1＝0．（2）由于点M（0，﹣1）满足直线x﹣y﹣1＝0的方程，故（t为参数），代入（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，得到：，所以，t1t2＝3，故|MA|+|MB|＝．[

选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+3|．（1）解不等式f（x）+f（x﹣3）≤8；（2）已知关于x的不等式f（x）+|x+a|≤x+5，在x∈[﹣1，1]上有解，求实数a的取值范围．解：（1）函数f（x）＝|2x+3|．不等式f（x）≤5

﹣f（x﹣3），即|3x+3|+|3x﹣3|≤5，等价于或或，解得：﹣2≤x≤2，所以原不等式的解集为{x|﹣2≤x≤2}；（2）当x∈[﹣1，1]时，不等式f（x）+|x+a|≤x+5，即|x+a|≤2﹣x，所以|x+a|≤2﹣x

在[﹣1，1]上有解，即﹣2≤a≤2﹣2x在[﹣1，1]上有解，所以﹣2≤a≤4．实数a的取值范围：[﹣2，4]．