【文档说明】新教材数学人教A版必修第一册教案：1.1集合的概念 1.1.1集合的含义 含解析【高考】.docx，共(9)页，1.050 MB，由小赞的店铺上传

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-1-第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念【素养目标】1.通过实例，能说出集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2.记住集合元素的特性以及常用数集；3.会用集合元素的特性解决相关问题．【重点】用元素与集合的“属于”关系判断元素与集合的关系；用集合元素的特性解

答相关问题．【难点】集合元素特性的应用．1.1.1集合的含义要点整合夯基础基础知识知识点一元素与集合的含义定义元素一般地，我们把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．集合把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．

集合相等指构成两个集合的元素是一样的．集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性思考1：以下对象的全体能否构成集合？(1)河北《红对勾》书业的员工；(2)平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手；(3)一次函数()0ykxbk=+的图象上的若干个点；(4)不超过2019的非负数．提示：(1)能构成集合．

河北《红对勾》书业的员工是确定的，因此有一个明确的标准，可以确定出来．所以能构成一个集合．(2)“滑得很快”无明确的标准，对于某位选手是否“滑得很快”无法客观地判断，因此，“平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手”不能构成一个集合．(3)“若干个点”是模

糊的概念，因此与之对应的对象都是不确定的，自然它们不能构成集合，故“一次函数()0ykxbk=+的图象上的若干个点”不能构成一个集合．(4)任给一个实数x，可以明确地判断x是不是“不超过2019的非负数”，即“02019x”与

“0x或2019x”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过2019的非负数”能构成一个集合．思考2：若集合A由0,1与x三个元素组成，则x的取值有限制吗？为什么？提示：有限制，0x且1x.因为集合中的任意两个元素必须是互异的．知识点二元素与集合的关系如果a是集合

A中的元素，就说a属于(belongto)集合A，记作；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于(notbelongto)集合A，记作.思考3：若集合A是由元素1,2,3,4所组成的集合，问1与A,5与A有什么关系？提示：1A,5A.知识点三常用数集及表示名称非负整数集（或自

然数集）正整数集整数集有理数集实数集-2-符号N*N或N＋ZQR思考4：常用的数集符号N，*N，N＋有什么区别？提示：(1)N为非负整数集(即自然数集)，而*N或N＋表示正整数集，不同之处就是N包括元素

0，而*N或N＋不包括元素0.(2)*N和N＋的含义是一样的，初学者往往误记为*N或N＋，为避免出错，对于*N和N＋可形象地记为“星星(*)在天上，十字架(＋)在地下”．思考5：用符号“”或“”填空．(1)1*N；(2)3-N；(3)13Q；(4)3Q；(5)1

2−R.典例讲练破题型题型探究类型一集合的概念【例1】下列所给的对象能构成集合的是__(1)(4)(5)______．(1)所有的正三角形；(2)高中数学必修第一册课本上的所有难题；(3)比较接近1的正数全体；(4)某校高一年级的16岁以下的学生；(5)平

面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合；(6)参加里约奥运会的年轻运动员．【解析】(1)能构成集合．其中的元素需满足三条边相等；(2)不能构成集合．因“难题”的标准是模糊的，不确定的，故不能构成集合；(3)不能构成集合．因“

比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；(4)能构成集合．其中的元素是“16岁以下的学生”；(5)能构成集合．其中的元素是“到坐标原点的距离等于1的点”；(6)不能构成集合．因为“年轻”的标准是模糊的，不确定的，故

而不能构成集合．【通法提炼】判断元素能否构成集合，关键是集合中元素的确定性，即能否找到一个明确的评判标准来衡量元素是否为集合中的元素，若标准明确则可以构成集合，否则不可以.【变式训练1】下列对象能组成集合的是()A.3的所有近似值B.某个班级中学习好的所有同学C.2018年全国高考数

学试卷中所有难题D.屠呦呦实验室的全体工作人员【解析】D中的对象都是确定的，而且是不同的．A中的“近似值”，B中的“学习好”，C中的“难题”标准不明确，不满足确定性，因此A，B，C都不能构成集合．类型二集合中元素的特性命题视

角1：集合元素的互异性【例2】已知集合A中含有两个元素a和2a，若1A，求实数a的值．【分析】本题中已知集合A中有两个元素且1A，根据集合中元素的特点需分1a=或21a=两种情况讨论，另外还要注意集合中元素的互异

性．-3-根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验．另外，利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用．【解析】若1A，则1a=或21a=，即1a=.当1a=时，2a

a=，集合A有一个元素，∴1a.当1a=−时，集合A含有两个元素1，1-，符合互异性．∴1a=−.【通法提炼】当一个集合中的元素含字母时，可根据题意并结合集合中元素的确定性求出集合中字母的所有取值，再根据集合中元素的互异性进行检验.【变式训练2】(1)若集合

M中的三个元素是ABC的三边长，则ABC一定不是(D)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形(2)由2a,2a−,4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值可以是(C)A．1B．2-C．6D．2【解析】(1)集合中任何两个元素不相同．(2)由题意知24a,

24a-，22aa−，解得2a，且1a.结合选项知C正确．故选C命题视角2：集合元素的无序性【例3】集合A中含有三个元素0，ba，b，集合B中含有三个元素1，ab+，a，若A，B两个集合相等，求20192019ab+的值．【分析】由两个集合相等，所含元素相同列出a，b的关系式，解出a

与b，再求20192019ab+的值．【解析】由两个集合相等易知0a，1a，故0ab+=，且1b=或1ba=.若1b=，由0ab+=得1a=−，经验证，符合题意；若1ba=，则ab=，结合0ab+=，可知0ab==，不符合题意．

综上知1a=−，1b=.所以20192019201920191(10)ab=++−=.【通法提炼】两个集合相等，元素相同，因为集合元素无序，所以要进行讨论.同时还需要对集合求值问题代入验证，注意集合中元素的互异性.【变

式训练3】集合A由1,3,5,7四个元素组成，已知实数a，bA，那么ab的不同值有(B)A．12个B．13个C．16个D．17个【解析】a，b是集合A的元素，ab的值会因a，b的顺序不同而不同．a，b所取的值按顺序分别为：1,1；

3,3；5,5；7,7；1,3；3,1；1,5；5,1；1,7；7,1；3,5；5,3；3,7；7,3；5,7；7,5，其对应的ab有13个不同的值．类型三元素与集合的关系-4-【例4】(1)给出下列关系：①12R；

②2Q；③||3N-；④|3|−Q；⑤0N.其中正确的个数为(B)A．1B．2C．3D．4(2)集合A中的元素x满足63Nx−，xN，则集合A中的元素为____0,1,2____．【解析】(1)12是实数；2是无理数

；|33|−=是自然数；|3|−是无理数；0是自然数．故①②正确，③④⑤不正确．(2)由63Nx−，xN知0x，603x−，且3x，故03x.又xN，故0,1,2x=.当0x=时，6320N−=，当1x=时

，6331N−=，当2x=时,6362N−=.故集合A中的元素为0,1,2.【通法提炼】判断一个元素是否属于某一集合，就是判断这个元素是否满足该集合元素的条件.若满足，就是“属于”关系；若不满足，

就是“不属于”关系.特别注意，符号“”与“”只表示元素与集合的关系.【变式训练4】已知不等式320x+的解集为M.(1)试判断元素1−,0与集合M的关系；(2)若1a−是集合M中的元素，求a的取值范围．【解析】(1)∵21(10)3+=−−，∴1−不是集合M中的元素，∴1M

-.又30220+=，∴0是集合M中的元素，∴0M.(2)∵1aM−，∴()3120a−+.∴31a，∴13a.课堂达标练经典1．下列各组对象不能构成集合的是(B)A．某中学所有身高超过1.8

米的大个子B．约等于0的实数C．某市全体中学生D．北京大学建校以来的所有毕业生【解析】由于“约等于0”没有一个明确的标准，因此B中对象不能构成集合．2．下列命题中，正确命题的个数是(C)①集合*N中最小的数是1；②若*aN-，则*aN；③若*aN，*

bN，则ab+的最小值是2；④244xx+=的解集是{2,2}．A．0B．1C．2D．3【解析】*N是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当0a=时，*aN-，*aN，故②错误；若*aN，则a的最小值是1，同理，*bN，b的最小值也是1，∴当a和b都取

最小值时，ab+取最小值2，故③正确；由集合中元素的互异性，知④是错误的．-5-3．已知a，b是非零实数，代数式||||||abababab++的值组成的集合是M，则下列判断正确的是(B)A．0MB．1M−C．3MD．1M【

解析】当a，b全为正数时，代数式的值是3；当a，b全是负数时，代数式的值是1−；当a，b是一正一负时，代数式的值是1-.综上可知B正确．4．集合A由元素1-和2构成，集合B是方程20xaxb++=的解，若AB=，则ab+=__3−__.【解析】∵AB=，∴方程20xax

b++=的解是1-或2.∴1a=−，2b=−，∴3ab+=−.5．已知集合A由21aa−+，|1|a+两个元素构成，若3A，求a的值．【解析】∵3A，∴213aa−+=或||13a+=.①若213aa−+=，则2a=或1a=−.当2a=时，||13a+=

，此时集合A中含有两个3，因此应舍去．当1a=−时，||103a+=，满足题意．②若||13a+=，则4a=−或2a=(舍去)．当4a=−时，21213aa+=−，满足题意．综上可知1a=−或4a

=−.课时作业A组素养自测一、选择题1．下列各组对象能组成一个集合的是(C)①某中学高一年级所有聪明的学生；②在平面直角坐标系中，所有横坐标与纵坐标相等的点；③所有不小于3的正整数；④3的所有近似值．A．①②B．③④C．②

③D．①③【解析】①④不符合集合中元素的确定性．故选C．2．若集合A只含有元素a，则下列各式正确的是(C)A．0AB．aAC．aAD．aA=【解析】由题意知A中只有一个元素a，∴0A，aA，元素a与集合A的关系不应该用“＝”，故选C．3．若以方程2560

xx+=−和220xx−−=的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为(C)A．1B．2C．3D．4【解析】方程2560xx+=−的解为2x=或3x=，220xx−−=的解为2x=或1x=−，所以集合M中含有3个元素．4．

由实数x，x-，x，2x，2x−所组成的集合，其含有元素的个数最多为(A)A．2B．3C．4D．5【解析】∵2xx=，2xx−=−，故当0x=时，这几个实数均为0；当0x时，它们-6-分别是x，x-，x，x，x-；当0x，它们分别

是x，x-，x-，x-，x.最多表示2个不同的数，故集合中的元素最多为2个．5．设xN，且1xN，则x的值可能是(B)A．0B．1C．1−D．0或1【解析】∵1N−，∴排除C；0N，而10无意义，排除A、D，故选B．6．如果集合A中含有三个元素2,4,6，若aA，且6aA−，那么a为(

B)A．2B．2或4C．4D．0【解析】∵aA，∴当2a=时，64a−=，∴6aA−；当4a=时，62a−=，∴6aA−；当6a=时，60a−=，∴6aA−，故2a=或4.二、填空题7．设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳____A，广州____A(填“”或“”)．

【解析】深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会．8．设直线23yx=+上的点集为P，点(2,7)与点集P的关系为(2,7)____P(填“”或“”)．【解析】直线23yx=+上的点的横坐标x和纵坐标y满足关系：23yx=+，即只要具备此关系的点就在直线上．由于

当2x=时，2237y=+=，∴(2,7)P.9．已知集合A含有三个元素1,0，x，若2xA，则实数x的值为__1−__.【解析】因为2xA，所以21x=或20x=或2xx=，解得1x=−,0,1.经检验，只有1x

=−时，满足集合元素的互异性．三、解答题10．记方程20xxm−−=的解构成的集合为M，若2M，试写出集合M中的所有元素．【解析】因为2M，所以2220m−−=，解得2m=.解方程220xx−−=，即2)10()(xx−=+，得1x=

−或2x=.故M含有两个元素1−,2.11．由a，ba，1组成的集合与由2a，ab+,0组成的集合是同一个集合，求20202020ab+的值．【解析】由a，ba，1组成一个集合，可知0a，1a，由题意可得0ba=，即0b=，此时两集合中的元素分别为a,0,1和2a，a,0，因此21a

=，解得1a=−或1a=(不满足集合中元素的互异性，舍去)，因此1a=−，且0b=，所以202020202020(10)1ab+−+==.B组素养提升一、选择题1．如果a、b、c、d为集合A的四个元素，那

么以a、b、c、d为边长构成的四边形可能是(D)A．矩形B．平行四边形C．菱形D．梯形-7-【解析】由于集合中的元素具有“互异性”，故a、b、c、d四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等．2．已知集合A是由0，m，232mm−+三个元素组成的集合，且2A，

则实数m的值为(B)A．2B．3C．0或3D．0或2或3【解析】因为2A，所以2m=，或2322mm+=−，解得0m=或3m=.又集合中的元素要满足互异性，对m的所有取值进行一一检验可得3m=，故选B．3．(多选题)已知集合A中元素满足31xk=−，k

Z，则下列表示正确的是(BC)A．2A−B．11A−C．231kA−D．34A−【解析】令312k−=−，解得13k=−，13−Z，∴2A−；令3111k−=−，解得103k=−，103−Z，∴11A−；∵2kZ，∴231kA−；令3134k−=−，解得

11k=−，11−Z，∴34A−．故选BC．4．已知x，y都是非零实数，||||||xyxyxyyzx++=可能的取值组成的集合为A，则下列判断正确的是(B)A．3A，1A−B．3A，1A−C．3A，1A−D．3A，1A−

【解析】当0x，0y时，1113z=++=；当0x，0y时，1111z=−−=−；当0x，0y时，1111z=−+−=−；当0x，0y时，1111z=−−+=−.所以3A，1A−．故选B．二、填空题5．用适当的符号填空：已知{|}32,AxxkkZ==+，{|}6

1,BxxmmZ==−，则17____A；5−____A；17____B．【解析】令3217k+=，得5k=,5Z，所以17A；令325k+=−，得73k=−，73−Z，所以5A−；令

6117m−=，得3m=,3Z，所以17B．6．若11aaA−+，且集合A中只含有一个元素a，则a的值为__12−__.【解析】由题意，得11aaa−+=，∴2210aa−=+且1a−，∴12a=−.-8-7．(2019·江苏泰州期末)集合A中含有

两个元素x和y，集合B中含有两个元素0和2x，若A，B相等，则实数x的值为__1__，y的值为__0__.【解析】因为集合A，B相等，所以0x=或0y=.①当0x=时，20x=，此时集合B中的两个元素为0和0，不满足集合中元素的互异性，故舍去；②当0y=时，2xx=，解得0x=或1x=，

由①知0x=应舍去，经检验，1x=符合题意，综上可知，1x=，0y=.三、解答题8．已知集合A中含有两个元素3a−和21a−.(1)若2−是集合A中的元素，试求实数a的值；(2)5−能否为集合A中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由．【解析】(1)因为2−是集合A中的元素，

所以23a−=−或221a−=−.若23a−=−，则1a=，此时集合A含有两个元素2−,1，符合要求；若221a−=−，则12a=−，此时集合A中含有两个元素72-，2−，符合要求．综上所述，满足题意的实数a的值为1或12-.(2)不能．理由：若5−为集合A中的元素，

则35a−=−或215a−=−.当35a−=−时，解得2a=−，此时212215()a−−−==−，显然不满足集合中元素的互异性；当215a−=−时，解得2a=−，此时35a−=−显然不满足集合中元素的互异性．综上，

5−不能为集合A中的元素．9．已知集合2,{|},AxxmnmnZ==+．(1)试分别判断12x=-，2122x−=，23()122x−=与集合A的关系；(2)设12,xxA，证明：12·xxA．【解析】(1)120(2)1x=−-+=，因为0,

1−Z，所以1xA；21221122222x+==+−=，因为1Z，但12Z，所以2xA；23()()129922424x−−+==−＝，因为9,4−Z，所以3xA．(2)因为12,xxA，所以可设1112xmn=+，2222

xmn=+，且1122,,,mnmnZ，所以1212122()·2()xxmnmn++=122112122()2mmmnmnnn=++＋12122112()()22mmnnmnmn=+++．-9-因为12122mmnnZ+，2112mnm

nZ+，所以12·xxA．课堂小结本课堂需掌握的三个问题：1．理解集合的概念，关键是抓住集合中元素的三个特性：确定性、互异性和无序性．特别是处理含有参数的集合问题时，一定要注意集合中元素的互异性，即在求出参数的取值或取值范围后，一定要检验集合中元素的互异性．2．关于特定集合N，*()NN＋

，Z，Q，R等的意义是约定俗成的，解题时作为已知使用，不必重述它们的意义．3．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“aA”与“aA”这两种结果，“”与“”具有方向性，左边是元素，右边是集合．