【文档说明】2025届高考一轮复习专项练习 数学 课时规范练32　数列的应用　数学归纳法 Word版含解析.docx，共(9)页，49.080 KB，由小赞的店铺上传

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课时规范练32数列的应用数学归纳法基础巩固组1.用数学归纳法证明2n>2n+1,n的第一个取值应是()A.1B.2C.3D.42.用数学归纳法证明:首项是a1,公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn=na1+𝑛(𝑛-1)2d时,假设当n=k时,

公式成立,则Sk=()A.a1+(k-1)dB.𝑘(𝑎1+𝑎𝑘)2C.ka1+𝑘(𝑘-1)2dD.(k+1)a1+𝑘(𝑘+1)2d3.某小镇在今年年底统计有人口20万,预计人口年平均增长率为1%,那么五年后这个小镇的人口数为()A.20×(1.01)5万B.20

×(1.01)4万C.20×1.015-11.01-1万D.20×1.014-11.01-1万4.对于不等式√𝑛2+𝑛<n+1(n∈N+),某同学用数学归纳法证明的过程如下:(1)当n=1时,√12+1<1+1,不等式成立.(2)假设当n=k

(k∈N+)时,不等式成立,即√𝑘2+𝑘<k+1,则当n=k+1时,√(𝑘+1)2+(𝑘+1)=√𝑘2+3𝑘+2<√(𝑘2+3𝑘+2)+(𝑘+2)=√(𝑘+2)2=(k+1)+1.所以当n

=k+1时,不等式成立,则上述证法()A.过程全部正确B.n=1验得不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确5.今年“五一”期间,北京十家重点公园举行免费游园活动,北海公园免费开放一天

,早晨6时30分有2人进入公园,接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来,第二个30分钟内有8人进去2人出来,第三个30分钟内有16人进去3人出来,第四个30分钟内有32人进去4人出来……按照这种规律

进行下去,到上午11时30分公园内的人数是.6.某市利用省运会的契机,鼓励全民健身,从7月起向全市投放A,B两种型号的健身器材.已知7月投放A型号健身器材300台,B型号健身器材64台,计划8月起,A型号健身器材每月的投放量均为a台,B型

号健身器材每月的投放量比上一月多50%,若12月底该市A,B型号两种健身器材投放总量不少于2000台,则a的最小值为.7.用数学归纳法证明:1+12+13+14+…+12𝑛-1≤n.8.已知数列{xn},{yn}满足x1=5,y1=-5,2xn+1+3yn=7,6xn+yn+1=13.求证

:xn=3n+2,yn=1-2·3n(n∈N*).综合提升组9.设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)=;当n>4时,f(n)=(用n表示).10.

某大学毕业生为自主创业于2019年8月初向银行贷款240000元,与银行约定按“等额本金还款法”分10年进行还款,从2019年9月初开始,每个月月初还一次款,贷款月利率为0.5%,现因经营状况良好准备向银行申请提前还款计划于2024年8月初将剩余贷款全部一次还清,则该大学毕业生按现计

划的所有还款数额比按原约定所有还款数额少()(注:“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还,每一期所还款金额由两部分组成,一部分为每期本金,即贷款本金除以还款期数,另一部分是利息,即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率;1年按12个月计算

)A.18000元B.18300元C.28300元D.36300元11.用数学归纳法证明:1-12+13−14+…+12𝑛-1−12𝑛=1𝑛+1+1𝑛+2+…+12𝑛.12.一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用,从孩子一周岁生日开始,每年到银行储蓄a元

一年定期,若年利率为r保持不变,且每年到期时存款(含利息)自动转为新的一年定期,当孩子18岁生日时不再存入,将所有存款(含利息)全部取回,则取回的钱的总数为多少.13.已知n∈N*,Sn=(n+1)(n+2)·…·(n+n),Tn=2n×1×3×…×(2n-1).(1)求S1,S2

,S3,T1,T2,T3;(2)猜想Sn与Tn的关系,并用数学归纳法证明.14.已知某中学食堂每天供应3000名学生用餐,为了改善学生伙食,学校每星期一有A,B两种菜可供大家免费选择(每人都会选而且只能选一种菜).调查资料表明,凡是在这星期一选A种菜的,下星期

一会有20%改选B种菜;而选B种菜的,下星期一会有40%改选A种菜.用an,bn分别表示在第n个星期一选A种菜的人数和选B种菜的人数,如果a1=2000.(1)请用an,bn表示an+1与bn+1;(2)证明:数列{an-20

00}是常数列.创新应用组15.设数列{an}的前n项和为Sn,且(𝑆𝑛-1)2=anSn(n∈N*),设bn=(-1)n+1(n+1)2·anan+1(n∈N*),数列{bn}的前n项和为Tn.(1)求S1、S2、S3的值;(2)利用“归纳—猜想—证明”求出Sn的通项公式;(3)

求数列{𝑇𝑛}的通项公式.16.某学校实验室有浓度为2g/mL和0.2g/mL的两种K溶液.在使用之前需要重新配制溶液,具体操作方法为取浓度为2g/mL和0.2g/mL的两种K溶液各300mL分别装入两个容积都为500mL的锥形瓶A,B

中,先从瓶A中取出100mL溶液放入B瓶中,充分混合后,再从B瓶中取出100mL溶液放入A瓶中,再充分混合.以上两次混合过程完成后算完成一次操作.设在完成第n次操作后,A瓶中溶液浓度为ang/mL,B瓶中溶液浓度为bng/mL

.(参考数据:lg2≈0.301,lg3≈0.477)(1)请计算a1,b1,并判定数列{an-bn}是否为等比数列?若是,求出其通项公式;若不是,请说明理由;(2)若要使得A,B两个瓶中的溶液浓度之差小于0.01g/mL,则至少要经过几次?参

考答案课时规范练32数列的应用数学归纳法1.C∵n=1时,21=1,2×1+1=3,2n>2n+1不成立;n=2时,22=4,2×2+1=5,2n>2n+1不成立;n=3时,23=8,2×3+1=7,2n>2n+1成立.∴n的第一个取值应是3.2.C假设当n=k时,公式成立,只需把公式中的n

换成k即可,即Sk=ka1+𝑘(𝑘-1)2d.3.A某小镇在今年年底统计有人口20万,预计人口年平均增长率为1%,那么1年后这个小镇的人口数为20(1+1%),2年后这个小镇的人口数为20(1+1%)2,3年后这个小镇的人口数为20(1+1%)3,4年后这个小镇的人口数为20(1+1%)4

,5年后这个小镇的人口数为20(1+1%)5=20×(1.01)5.4.D在n=k+1时,没有应用n=k时的假设,不是数学归纳法.5.4039设每个30分钟进去的人数构成数列{an},则a1=2=2-

0,a2=4-1,a3=8-2,a4=16-3,a5=32-4,…,an=2n-(n-1).设数列{an}的前n项和为Sn,依题意,只需求S11=(2-0)+(22-1)+(23-2)+…+(211-10

)=(2+22+23+…+211)-(1+2+…+10)=2(1-211)1-2−11×102=212-2-55=212-57=4039.6.74设B型号健身器材这6个月投放量为{bn},公比为q,则bn是以b1=64为

首项,q=32的等比数列,q≠1,∴其前6项和为S6=64×[1-(32)6]1-32=1330,∴5a+300+1330≥2000,解得a≥74,故a的最小值为74.7.证明(1)当n=1时,左边=1,右边=1,不等式成立.(2)假设当n=k,k∈N*时,不等式成立,即有1+12+13+1

4+…+12𝑘-1≤k,则当n=k+1时,左边=1+12+13+14+…+12𝑘-1+12𝑘+12𝑘+1+…+12𝑘+1-1≤k+12𝑘+12𝑘+1+…+12𝑘+1-1,又12𝑘+12𝑘+1+…+12𝑘+1-1<12𝑘·2k=1,即1+

12+13+14+…+12𝑘-1+12𝑘+12𝑘+1+…+12𝑘+1-1≤k+1,即当n=k+1时,不等式也成立.综上可得,对于任意n∈N*,1+12+13+14+…+12𝑛-1≤n成立.8.证明(1)当n=1时,x1=5=31+2,y1=1-2×31=-5,

满足条件,命题成立.(2)假设n=k时,命题成立,即xk=3k+2,yk=1-2·3k成立.当n=k+1时,由2xk+1+3yk=7,有xk+1=12(7-3yk)=7-3(1-2·3𝑘)2=4+2·3𝑘+12=2+3k

+1,由6xk+yk+1=13,有yk+1=13-6xk=13-6×(3k+2)=1-2·3k+1.所以n=k+1时命题也成立.综上(1)和(2)可知,对一切n∈N*,命题xn=3n+2,yn=1-2·3n(n∈N*)成立.9.512(n+1)(

n-2)由题意知f(3)=2,f(4)=5,f(5)=9,可以归纳出每增加一条直线,交点增加的个数为原有直线的条数.所以f(4)-f(3)=3,f(5)-f(4)=4,猜测得出f(n)-f(n-1)=n-1(n≥4).有f(n)-f(3)=3+4+…+(n-1),所以f(n)=12(

n+1)(n-2).n=3时,也满足此式.10.B由题意可知,该大学毕业生两种还款方式所还的本金最终都是240000元,∴两种还款方式的本金没有差额.∵该大学毕业生决定2024年8月初将剩余贷款全部一次还清,∴从2019年9月初第一次还款到2024年8月初这5整年即60个月两种

还款方式所还的利息也是一样的.∴按原约定所有还款数额-按现计划的所有还款数额=原约定还款方式从2024年9月起到最后还完这整60个月所还的利息.∵每月应还本金:240000÷120=2000(元),2024年8月还完后本金还剩240000-

2000×60=120000(元).∴2024年9月应还利息为:120000×0.5%,2024年10月应还利息为:(120000-2000)×0.5%,2024年11月应还利息为:(120000-2000×2)×0.5%,…最后一次应还利息为:(

120000-2000×59)×0.5%.后60个月所还的利息为:120000×0.5%+(120000-2000)×0.5%+(120000-2000×2)×0.5%+…+(120000-2000×59)×0.5%=0.5%×[120000+(12

0000-2000)+(120000-2000×2)+…+(120000-2000×59)]=0.5%×[120000×60-2000×(1+2+…+59)]=18300(元).11.证明(1)当n=1时,左边=1-12

=12,右边=12,等式成立;(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即1-12+13−14+…+12𝑘-1−12𝑘=1𝑘+1+1𝑘+2+…+12𝑘,当n=k+1时,1-12+13−14+…

+12𝑘-1−12𝑘+12(𝑘+1)-1−12(𝑘+1)=1𝑘+1+1𝑘+2+…+12𝑘+12𝑘+1−12𝑘+2=1𝑘+2+…+12𝑘+12𝑘+1+1𝑘+1−12𝑘+2=1𝑘+2+1𝑘+3+…+12𝑘+1+12𝑘+2=1(𝑘

+1)+1+1(𝑘+1)+2+…+12(𝑘+1)-1+12(𝑘+1),根据(1)和(2),可知1-12+13−14+…+12𝑛-1−12𝑛=1𝑛+1+1𝑛+2+…+12𝑛成立,原等式得证.12.解根据题

意,当孩子18岁生日时,孩子在一周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1+r)17,同理,孩子在2周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1+r)16,孩子在3周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1+r)15,……孩子在17周岁生日时存入的a元产生的本利合计为a(1+r),可以看成是以a

(1+r)为首项,(1+r)为公比的等比数列的前17项的和,此时将存款(含利息)全部取回,则取回的钱的总数S=a(1+r)17+a(1+r)16+…+a(1+r)=𝑎(1+𝑟)[(1+𝑟)17-1]1+𝑟-1=𝑎𝑟[(1+r)18-(1+r)].13.解(1)S1=T1=2,S2=T2

=12,S3=T3=120;(2)猜想:Sn=Tn(n∈N*).证明:①当n=1时,S1=T1;②假设当n=k(k≥1且k∈N*)时,Sk=Tk,即(k+1)(k+2)·…·(k+k)=2k×1×3×…×(2k

-1),则当n=k+1时,Sk+1=(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+1+k-1)(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)·…·(2k)(2k+1)(2k+2)=2𝑘×1×3×…×(2𝑘-1)𝑘+1×(2k+1)(2k+2)=2k+1×1×3×…×

(2k-1)(2k+1)=Tk+1.即n=k+1时也成立,由①和②可知n∈N*,Sn=Tn成立.14.(1)解由题意知:an+1=45an+25bn,bn+1=15an+35bn.(2)证明∵an+1=45an+25bn,且an+bn=3000,∴an+1=45an+25(30

00-an),∴an+1=25an+1200,∴an+1-2000=25(an-2000),又a1-2000=0,∴数列{an-2000}是常数列.15.解(1)由(𝑆𝑛-1)2=anSn,令n=1,则(𝑆1-1)2=𝑆12,得S1=12,当n≥2时,由an=Sn-Sn-

1,得(𝑆𝑛-1)2=(Sn-Sn-1)Sn,得Sn=12-𝑆𝑛-1,令n=2,得S2=23,令n=3,得S3=34,即S1=12,S2=23,S3=34.(2)由(1)知S1=12,S2=23,S3=34,猜想Sn=𝑛�

�+1,下面用数学归纳法证明:①当n=1时,由猜想知显然成立;②假设n=k猜想成立,即Sk=𝑘𝑘+1,则当n=k+1时,由(1)有Sk+1=12-𝑆𝑘=12-𝑘𝑘+1=𝑘+1𝑘+2=𝑘+1(𝑘+1)

+1,即当n=k+1时,猜想Sn=𝑛𝑛+1也成立.综合①和②可知,猜想Sn=𝑛𝑛+1成立,即Sn=𝑛𝑛+1.(3)由(2)知a1=12,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=𝑛𝑛+1−𝑛-1𝑛=1𝑛(𝑛+1),综合知an=1𝑛(𝑛+1),

又bn=(-1)n+1(n+1)2·anan+1,则bn=(-1)n+1(n+1)2·1𝑛(𝑛+1)·1(𝑛+1)(𝑛+2)=(-1)𝑛+1𝑛(𝑛+2)=(-1)𝑛+121𝑛−1𝑛+2.当n为偶

数时,Tn=121-13-12−14+13−15-14−16+…+1𝑛-1−1𝑛+1-1𝑛−1𝑛+2=121-1𝑛+1−12+1𝑛+2=1212+-1(𝑛+1)(𝑛+2);当n为奇数时,Tn=Tn-1+

bn=1212+-1𝑛(𝑛+1)+121𝑛−1𝑛+2=1212+1(𝑛+1)(𝑛+2).综上可得Tn=1212+(-1)𝑛+1(𝑛+1)(𝑛+2).16.解(1)由题意,得b1=0.2×300+2×100300+100=0.65(g/mL),a1=0.65×

100+2×200200+100=1.55(g/mL).当n≥2时,bn=1400(300𝑏𝑛-1+100𝑎𝑛-1)=14(3𝑏𝑛-1+𝑎𝑛-1),an=1300(200𝑎𝑛-1+100bn)=14(3𝑎𝑛-1+�

�𝑛-1),∴an-bn=12(𝑎𝑛-1−𝑏𝑛-1),∴等比数列{an-bn}的公比为12,其首项a1-b1=1.55-0.65=0.9,∴an-bn=0.9·12n-1.(2)由题意可知,问题转化为解不等式0.9·12n-1<10-2,∴n>1+1+2lg3lg2≈7.49,∴至少

要操作8次才能达到要求.