【文档说明】2022高三统考数学文北师大版一轮教师文档：第二章第六节　幂函数、二次函数 含答案【高考】.doc，共(7)页，239.000 KB，由管理员店铺上传

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-1-第六节幂函数、二次函数授课提示：对应学生用书第26页[基础梳理]1．幂函数(1)定义：一般地，函数y＝xα叫作幂函数，其中底数x是自变量，α是常数．(2)幂函数的图像比较：2．二次函数(1)解析式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－

h)2＋k(a≠0)．两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)图像与性质：解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0)图像定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域

4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a单调性在x∈－b2a，＋∞上单调递增在x∈－∞，－b2a上单调递减在x∈－∞，－b2a上单调递增在x∈－b2a，＋∞上单调递减续表解析式f(x)＝ax2＋bx

＋c(a＞0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0)奇偶性当b＝0时为偶函数顶点－b2a，4ac－b24a对称性图像关于直线x＝－b2a成轴对称图形-2-3.巧记幂函数的图像五个幂函数在第一象限内的

图像的大致情况可以归纳为“正抛负双，大竖小横”，即α＞0(α≠1)时的图像是抛物线型(α＞1时的图像是竖直抛物线型，0＜α＜1时的图像是横卧抛物线型)，α＜0时的图像是双曲线型．1．一个易混点函数y＝ax2＋bx＋c，不能盲目认为是二次函数，要注

意对a的讨论，a＞0，a＝0，a＜0.2．两个条件：一元二次不等式恒成立的条件(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是a＞0，b2－4ac＜0.(2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是a＜0，

b2－4ac＜0.3．幂函数y＝xα在第一象限的图像特征(1)α＞1时，图像过(0，0)，(1，1)，下凸递增，例如y＝x3；(2)0＜α＜1时，图像过(0，0)，(1，1)，上凸递增，例如y＝x12；(3)α＜0时，图像过(1，1)，下凸递减，且以两条坐标轴为渐近线，例如y＝x－1.

[四基自测]1．(基础点：幂函数定义)已知幂函数f(x)＝k·xα的图像过点12，22，则k＋α＝()A.12B．1C.32D．2答案：C2．(易错点：幂函数的单调性)幂函数f(x)＝xα(α是有理数)的图像过点2，14，则f(x)的一个单调递减区间是()A

．[0，＋∞)B．(0，＋∞)C．(－∞，0]D．(－∞，0)答案：B3．(易错点：二次函数的单调性)若f(x)＝x2＋bx＋c的递增区间为[－1，＋∞)，则b＝________．答案：24．(基础点：分段函数的性质)设函数f(x

)＝x2＋1x≤01x＞0，则f(x)＞f(1)的x的取值范围为________．答案：(－∞，0)授课提示：对应学生用书第27页考点一幂函数的图像和性质挖掘1幂函数图像及应用/互动探究-3-[例1](1)幂函数y＝f(x)的图像过点(4，2)，则幂函数y＝f

(x)的图像是()[解析]设幂函数的解析式为y＝xα，因为幂函数y＝f(x)的图像过点(4，2)，所以2＝4α，解得α＝12.所以y＝x，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0＜x＜1时，其图像在直线y＝x的上方．[答案]C(2)

(2019·高考天津卷)已知函数f(x)＝2x，0≤x≤1，1x，x＞1.若关于x的方程f(x)＝－14x＋a(a∈R)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为()A．[54，94]B．(54，94]C．(54，94]∪{1}D．[54，

94]∪{1}[解析]如图，分别画出两函数y＝f(x)和y＝－14x＋a的图像．①先研究当0≤x≤1时，直线y＝－14x＋a与y＝2x的图像只有一个交点的情况．当直线y＝－14x＋a过点B(1，2)时，2＝－14＋a，解得a

＝94.所以0≤a≤94.②再研究当x＞1时，直线y＝－14x＋a与y＝1x的图像只有一个交点的情况．(ⅰ)相切时，由y′＝－1x2＝－14，得x＝2，此时切点为(2，12)，则a＝1.(ⅱ)相交时，由图像可知直线y＝－14x＋a从过点A向右上方移动时与y＝1x的图像只有一个交点，过点A(1，1)

时，1＝－14＋a，解得a＝54.所以a≥54.结合图像可得，所求实数a的取值范围为[54，94]∪{1}．故选D.-4-[答案]D挖掘2幂函数的性质/互动探究[例2](1)若a＝3525，b＝2535，c＝

2525，则下列正确的是()A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞a＞bD．b＞c＞a[解析]因为y＝x25在第一象限内为增函数，所以a＝3525＞c＝2525，因为y＝25x是减函数，所以c＝

2525＞b＝2535，所以a＞c＞b.[答案]B(2)若log2x＝log3y＝log5z＜－1，则()A．2x＜3y＜5zB．5z＜3y＜2xC．3y＜2x＜5zD．5z＜2x＜3y[解

析]设log2x＝log3y＝log5z＝t，则t＜－1，x＝2t，y＝3t，z＝5t，因此2x＝2t＋1，3y＝3t＋1，5z＝5t＋1.又t＜－1，∴t＋1＜0，由幂函数y＝xt＋1的单调性可知5z＜3y＜2x.[答案]B[破题技法]1.待

定系统法求解析式，主要待定y＝xα中的“α”值．2．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较．若底数相同，指数不同可考虑指数函数；若底数不同指数相同，可考虑幂函数．考点二

二次函数的图像与性质挖掘1二次函数的单调性/互动探究[例1](1)函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是()A．[－3，0)B．(－∞，－3]C．[－2，0]D．[－3，0][解析]当a＝0时，f(x)＝－3x＋1

在[－1，＋∞)上递减，满足条件．当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝3－a2a，由f(x)在[－1，＋∞)上递减知a<0，3－a2a≤－1，解得－3≤a<0.综上，a的取值范围为[－3，0]．[答案]D

(2)若函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)对于一切实数都有f(2＋x)＝f(2－x)，则()A．f(2)＜f(1)＜f(4)B．f(1)＜f(2)＜f(4)C．f(2)＜f(4)＜f(1)D．f(4)＜f(2)＜f(1)[解析]因为函数f(x)＝ax2＋bx＋c

对任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)成立，所以函数图像关于x＝2对称，当a＞0时，f(2)最小，由2－1＜4－2，得f(1)＝f(3)＜f(4)，所以f(2)＜f(1)＜f(4)．故选A.-5-[答案]A[破题技法]研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性

在其图像对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图像的对称轴进行分类讨论．(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A⊆－∞，－b2a

A⊆－b2a，＋∞，即区间A一定在函数对称轴的左侧(右侧)．挖掘2二次函数的最值/互动探究[例2]已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0，1]时，有最大值2，则a的值为________．[解析]函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴

方程为x＝a.当a＜0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，所以1－a＝2，所以a＝－1.当0≤a≤1时，f(x)max＝a2－a＋1，所以a2－a＋1＝2，所以a2－a－1＝0，所以a＝1±52(舍去)．当a＞1时，f(x)max＝f(1)＝a，所以a＝2.综上可知，a＝－1或a

＝2.[答案]－1或2[破题技法]二次函数在(m，n]上的最值的讨论主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解决的关键是弄清楚对称轴与区间的关系．当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．设f(x)＝

ax2＋bx＋c(a＞0)，则二次函数在闭区间[m，n]上的最大、最小值有如下的分布情况：m＜n＜－b2am≤－b2a≤n，即－b2a∈[m，n]－b2a＜m＜n图像最值f(x)max＝f(m)f(x)min＝f(n)f(x)max＝m

ax{f(n)，f(m)}，f(x)min＝f－b2af(x)max＝f(n)，f(x)min＝f(m)a＜0的情况，讨论类似．其实质是：无论开口向上或向下，都有两种结论：(1)若－b2a∈[m，n]，则

f(x)max＝maxf－b2a，f(x)min＝min{}f（m），f（n）；(2)若－b2a∉[m，n]，则f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝min{f(m)，f(n)}．挖掘3二次函数

中恒成立问题/互动探究[例3](2020·太原模拟)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0，则实数a的取值范围为________．[解析]法一：当a＞0时，f(x)＝

ax－1a2＋2－1a，-6-由f(x)＞0，x∈(1，4)得：1a≤1，f（1）＝a－2＋2≥0或1＜1a＜4，f1a＝2－1a＞0或1a≥4，f（4）＝16a－8＋2≥0.所以a≥1，a≥0或14＜a＜1，a＞12或

a≤14，a≥38，所以a≥1或12＜a＜1或∅，即a＞12，当a＜0时，f（1）＝a－2＋2≥0，f（4）＝16a－8＋2≥0，解得∅；当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，f(1)＝0，f(4)＝－6，所以不合题意．综上可得，实数a的取值范围是a＞12.法

二：由f(x)＞0，即ax2－2x＋2＞0，x∈(1，4)，得a＞－2x2＋2x在(1，4)上恒成立．令g(x)＝－2x2＋2x＝－21x－122＋12，1x∈(14，1)，g(x)max＝12，所以要f(x)＞

0在(1，4)上恒成立，只要a＞12即可．[答案]12，＋∞[破题技法]由不等式恒成立求参数的取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值

，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)⇔a≥f(x)max，a≤f(x)⇔a≤f(x)min.挖掘4与二次函数有关的双变量问题/自主练透[例4]已知f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，当x∈(

0，2]时，f(x)＝2x－1，函数g(x)＝x2－2x＋m.如果对任意x1∈[－2，2]，存在x2∈[－2，2]，使得f(x1)＝g(x2)，则实数m的取值范围是________．[解析]由题意，在[－2，2]上，易求得函数f(x)的值域为[－3，3]，函数g(x)的值域为[m－1，m＋8]，问

题转化为[－3，3]⊆[m－1，m＋8]，解得m∈[－5，－2]．[答案][－5，－2]将例2改为“已知函数f(x)＝－x2＋2x＋1－a”在[0，a]上的最大值记为g(a)，求-7-g(a)并求其最大值．解析：∵f(x)＝－(x－1)2＋2－a，关于x＝1对称又∵x∈[0，a]∴当a≤

1时，x∈[0，a]上为增函数，f(x)max＝g(a)＝－a2＋2a＋1－a＝－a2＋a＋1，当a＞1时，则f(x)max＝f(1)＝g(a)＝2－a，∴g(a)＝－a2＋a＋1，a≤12－a，a＞1当a≤1时，g(a)＝－(a

－12)2＋54≤54，当a＞1时，g(a)＝2－a＜1，∴g(a)的最大值为54.