【文档说明】内蒙古呼和浩特市第十六中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学（理）试卷【精准解析】.doc，共(17)页，1.351 MB，由小赞的店铺上传

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呼和浩特市第十六中学2020～2021学年第一学期高二年级期中考试数学（理科）试卷第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1.已知等差数列na中，398aa+=，则数列na的前11项和11S等于()A.22B.33C.44D.55【答案】C【解析】【分

析】利用等差数列的性质可求11S.【详解】因为()()111391111114422aaaaS++===，故选C.【点睛】一般地，如果na为等差数列，nS为其前n项和，则有性质：（1）若,,,*,mnpqNmnpq+=+，则mnpqaaaa+=+；（2

）()1,1,2,,2knknnaaSkn+−+==且()2121nnSna−=−；（3）2nSAnBn=+且nSn为等差数列；（4）232,,,nnnnnSSSSS−−为等差数列.2.等差数列na中，已知21016aa+=，则468aaa++

=（）A.16B.20C.24D.28【答案】C【解析】【分析】根据条件并利用等差数列的下标和性质求解出6a的值，然后将待求式子转化为和6a有关的式子即可得到结果.【详解】因为na为等差数列，所以2106216aaa+==，所以68a=，又4686324aaaa++==，故选：C.【点睛

】本题考查等差数列下标和性质的运用，难度一般.已知na是等差数列，若()*2,,,,mnpqtmnpqtN+=+=，则有2mnpqtaaaaa+=+=.3.如图，已知R是实数集，集合()12|log10Axx=−，()|230Bxxx=−，则阴影部分表示的集合是（

）A.0,1B.)0,1C.()0,1D.(0,1【答案】D【解析】【分析】先得到阴影部分表示的集合是RABð，然后再利用对数函数的单调性和一元二次不等式的解法化简集合A，B，再利用集合的补集和交集运算求解.【详解】因为阴影

部分表示的集合是：RABð，又集合()12|log10|12Axxxx=−=，所以|1RAxx=ð或2x，又()3|230|02Bxxxxx=−=，所

以AB=Rð(0,1故选：D4.命题“xR，使得3210xx−+”的否定是（）A.xR，都有3210xx−+B.xR，都有3210xx−+C.xR，使得3210xx−+D.xR，使得3210xx−+【答案】A【解析】由特称命题的否定为全称命题可知：“xR

，使得3210xx−+”的否定是xR，都有3210xx−+，故选A.5.已知等比数列na的公比2q=，21a=，则6a的值是（）A.116B.14C.4D.16【答案】D【解析】分析：先根据等比

数列通项公式求首项，再根据等比数列通项公式求6a的值.详解：2111121,2aaqaa====55611216.2aaq===选D.点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有

一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.6.巳知集合P={|2,nxxnN=}，Q

={|21,xxnnN=−}，将P∪Q的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{na}，记nS为数列{na}的前n项和，则使得nS<1000成立的n的最大值为A.9B.32C.35D.61【答案】C【解析】【分析】数列{an}的前n项依次为：1，2，3，22，5，7，23，……

．利用分组成等差数列和等比数列的前n项和公式求解.【详解】数列{an}的前n项依次为：1，2，3，22，5，7，23，……．利用列举法可得：当n=35时，P∪Q中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{an}，所以数列{an}的前35项分别1

，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，…，69，2，4，8，16，32，64Sn=29+29(291)22−+62(212-1−）=292+72-2=967<1000当n=36时，P∪Q中的所有元素从小到大依次排

列，构成一个数列{an}，所以数列{an}的前36项分别1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，…，71，2，4，8，16，32，64Sn=30+30(301)22−+62(212-1−）=900+126=1026>1000所

以n的最大值35.故选C【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.已知命题:12px+；命题:qxa，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围（）A.3a−B.3a−C.1aD.1a

【答案】D【解析】【分析】先化简命题p，再由p是q的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件求解.【详解】命题:12px+，即为:1px或3x−；命题:qxa，因为p是q的充分不必要

条件，所以q是p的充分不必要条件，所以1a故选;D8.在ABC中，若4,5,ABAC==BCD为等边三角形（,AD两点在BC两侧），则当四边形ABDC的面积最大时，BAC=（）A.56B.23C.3D.2【答案】A【解析】【分析】求出三角

形BCD的面积，求出四边形ABCD的面积，运用三角函数的恒等变换和正弦函数的值域，求出满足条件的角的值即可．【详解】设BCa=，4c=，5b=，BCD是正三角形，234BCDSa=，由余弦定理得：2222cosabcbcA=+−，ABCDBCDABCSSS

=+231sin42acbA=+31(251640cos)20sin42AA=+−+414110sin103cos20sin()443AAA=+−=+−，32A−=时，四边形ABCD的面积最大，此时56ABAC==．故选A．【点

睛】本题考查余弦定理和三角形的面积公式，考查两角的和差公式和正弦函数的值域，考查化简运算能力，属于中档题．9.设不等式组3100{?360xyxy+−+−表示的平面区域为D,若函数log(1)ayxa=的

图象上存在区域上的点,则实数a的取值范围是A.(1,3B.)3,+C.(1,2D.)2,+【答案】B【解析】【详解】作出不等式组3100{360xyxy+−+−对应的平面区域如图由1a，对数函数的图象经过可行域的点，满足条件由3100{360xyxy+−=+−=，解得()

31A，此时满足31alog，解得3a实数a的取值范围是)[3+，故选B.10.已知an=n96n97−−（n∈N*），则在数列{an}的前30项中最大项和最小项分别是（）A.1a，30aB.1a，9aC.10a，9aD.10a，30a【答案】C【解析】

96979619797nnann−−==+−−，该函数在()0,97和()97,+上都是递减的，在()0,97上各项为负值，在()97,+上各项为正值，99710,这个数列的前30项中的最大项和最小项分别是109,aa，故选C.11.设nS是等差数

列na的前n项和，若87135aa=，则1513SS=（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】试题分析：根据等差数列的性质，有151158131137151531313SaaaSaaa+===+.考点：等差数列的基本性质.12.已知，xyR,且0xy

,则()A.110xy−B.coscos0xy−C.11022xy−D.lnln0xy+【答案】C【解析】【分析】利用不等式的基本性质、函数的单调性即可判断出结论.【详解】解：0xy，则11xy，即110xy−，故A错误；函数cosy

x=在()0,+上不是单调函数，故coscos0xy−不一定成立，故B错误；函数12xy=在()0,+上是单调减函数，则1122xy，故C正确；当11,xye==时，lnln10xy+=−，故D错误.故选：C.

【点睛】本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题13.如果函数()fx满足：对于任意给定的等比数列(),nnafa仍是等比数列，则称()fx为“保等比数列函数”．

在下列函数中所有“保等比数列函数”的序号为______①()2fxx=②()1fxx=+③()2fxx=④()2xfx=⑤()lnfxx=【答案】①③【解析】【分析】通过等比数列性质221nnnaaa++=，依次验证

各个选项是否满足()()()221nnnfafafa++=，则可得结果.【详解】由等比数列性质知221nnnaaa++=对于①，()()()()222211222nnnnnnfafaaaafa+++

+===，则①正确；对于②，()()()()()2222111nnnnnnnnfafaaaaaaa++++=++=+++()()221211nnnnaaafa+++=+++，则②错误；对于③，()()()()22

2222211nnnnnnfafaaaafa++++===，则③正确；对于④，()()()22212212222nnnnnaaaaannnfafafa++++++===，则④错误；对于⑤，()()()222211lnlnlnnnnnfafaaaafa++++==n

n，则⑤错误；综上，正确的命题序号为①③本题正确结果：①③【点睛】本题考查新定义问题，关键是能够明确“保等比数列函数”的定义，根据定比数列定义求得结果.14.已知点(,)Pab与点Q（1，0）在直线2310xy−+=的两侧，存在某一个正实数m，使得22+a

bm恒成立,则m的最大值为_____【答案】1313【解析】【分析】先判断点(),Pab在直线2310xy−+=左上方，求出原点()0,0到直线2310xy−+=的距离d，由线性规划知识可得22abd+，结合22+abm恒成立，可得m的取值范围，从而可得结果.【详解】

因为()1,0Q在直线2310xy−+=右下方，由于点(),Pab与点()1,0Q在直线2310xy−+=的两侧，所以点(),Pab在直线2310xy−+=左上方，22ab+表示为(),ab与()0,0两点间的距离，由于原点()0,0到

直线2310xy−+=的距离1131349d==+，由线性规划知识可得221313abd+=，要使22+abm恒成立,则m1313，即m的最大值为1313，故答案为1313.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式、线性规划的应用以及不等式恒成立问题，属于中档题．不等式恒成立问题常见方法：①

分离参数()afx恒成立(()maxafx即可)或()afx恒成立（()minafx即可）；②数形结合(()yfx=图象在()ygx=上方即可)；③讨论最值()min0fx或()max0fx恒成立.15.等比数列{}na的前n项和为nS.已知1S，22S，33S成等差数列，

则{}na的公比为________.【答案】13【解析】【分析】设等比数列{}na的公比为q，由1S，22S，33S成等差数列，可得132322SSS+=，即1123123()4()aaaaaa+++=+，化简即可得出．【详解】解：设等比数列{}na的公比为q，1S

，22S，33S成等差数列，132322SSS+=，1123123()4()aaaaaa+++=+，化为：323aa=，解得13q=．故答案为：13．【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能

力与计算能力，属于中档题．16.在ABC中，已知角A是锐角，且22sinsinsin4sinsinBCABCm+==，则实数m的取值范围是______.【答案】662,,222−−【解析】【分

析】根据正弦定理得()224bcmbc+=，角A是锐角，由余弦定理：2220cos12bcaAbc+−=，化简得()268bcbc+，即可得解.【详解】由题：22sinsinsin4sinsinBCABCm+==，根据正弦定理可

得：224bcabcm+==，所以()224bcmbc+=角A是锐角，由余弦定理：2220cos12bcaAbc+−=，即224012bcbcbc+−，2246bcbcbc+，

()268bcbcbc+()268bcbc+，所以2648m，即2322m，即662,,222m−−故答案为：662,,222−−【点睛】此题考查利用正余弦定理求解与

三角形有关的参数取值范围，利用正弦定理进行边角互化，利用等价转化的思想求解范围.三、解答题17.等差数列na不是常数列，510a=,且5710,,aaa是某一等比数列nb的第1，2，3项.(1)求数列｛an｝的第

20项.(2)求数列{bn}的通项公式．【答案】（1）2047.5a=(2)1310()2nnb−=【解析】【分析】（1）根据等差数列定义及通项公式,结合510a=,且5710,,aaa是某一等比数列nb的第1，2，3项,可得关于d的一元二次方程

,即可求得公差d,进而求得20a的值.(2)根据等比数列定义,即可求得等比数列的公比,进而求得等比数列的通项公式.【详解】（1）设数列na的公差为d，则571010,102,105aadad==+=+因为等比数列nb的第1、2、3

项也成等比,所以27510aaa=即()()210210105dd+=+解得2.5d=,0d=（舍去）所以2047.5a=(2)由（1）知na为正项数列所以721532abqba===111310()2nnnbbq−−==【点睛】本

题考查了等差数列与等比数列的定义及通项公式的求法,属于基础题.18.已知数列()*nanN是公差不为0的等差数列，11a=，且2a，4a，8a成等比数列.（1）求数列na的通项公式；（2）设

数列11nnaa+的前n项和为nT，求nT.【答案】（1）nan=；（2）111nTn=−+.【解析】【分析】（1）根据11a=，且2a，4a，8a成等比数列，利用等比中项由()()()213117ddd+

=++，求得公差即可（2）由（1）得到11111(1)1nnaannnn+==−++，再利用裂项相消法求解.【详解】（1）设数列()*nanN的公差为d，因为11a=，且2a，4a，8a成等比数列，所以()()()213117ddd+=++，即20dd−=，解得1d=或0d=（舍去），

所以数列na的通项公式1(1)naandn=+−=；（2）由（1）知：11111(1)1nnaannnn+==−++，所以1111111...1223111nTnnn=−+−++−=−++.【点睛】方法点睛：求数列的前n项和的方法(1)公式法

：①等差数列的前n项和公式，()()11122nnnaannSnad+−==+②等比数列的前n项和公式()11,11,11nnnaqSaqqq==−−；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、

等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项

是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．19.设数列na满足()*12,2nnnakan

Nn−−=，且28a=，324a=.（1）求1a和k的值；（2）求数列na的前n项和nS.【答案】（1）12a=，2k=；（2）()1122nnSn+=−+【解析】【分析】（1）将2n=和3n=代入条件可得

214aka−=，328aka−=，由28a=，324a=可得答案.（2）由（1）有122nnnaa−−=，可得11122nnnnaa−−−=,则可求出2nnan=，由错位相减法可得答案.【详解】（1）当2n=时，有214aka−=，即14ka=当3n=时，有328aka−=，即2488k−=，

解得2k=由14ka=，即124a=，得12a=（2）由（1）有122nnnaa−−=，可得11122nnnnaa−−−=所以数列2nna是以1为首项，1为公差的等差数列.所以()1+112nnann=−=，则2nnan=231222322nnSn=+

+++234112223222nnnS+=++++两式相减得：()()2311121222222212212nnnnnnSnnn+++−−=++++−=−=−−−所以()1122nnSn+=−+【点睛】关键点睛：本题

考查由递推关系求数列的通项公式和利用错位相减法求和，解答本题的关键是由122nnnaa−−=，构造出11122nnnnaa−−−=，得到数列2nna是等差数列，错位相减法中要注意计算的准确性，属于中档题.20.已知na是正项等比数列,2lognnba=且1242,8bbb=

+=．（1）求数列na的通项公式；（2）设nna,b,nncn=是正奇数是正偶数，求数列nc的前2n项和2nT.【答案】（1）12nna+=；（2）1224423nnTnn+−=++【解析】【分析】（1）由2lognnba=，将1242,8b

bb=+=代入，可得1,,aq根据等比数列的通项公式，写出na的通项公式；（2）根据nnab、的通项公式求得数列{cn}的通项公式，再利用分组求和对nc的前2n项和进行求解.【详解】（1）121242224log2loglog8babbaa==+=+=

13416aa==，114,2,2nnaqa+===.（2）由121nnnabn+==+，12,211,2nnnkcnnk+=−=+=*kN()()1224143214421423nnn

nnTnn+−++−=+=++−.【点睛】本题主要考查数列的分组求和问题，利用等差与等比数列的前n项和公式，同时考查学生的运算能力，属于中档题.21.已知函数()21sincoscos62fxxxx=−+−.（1）当,x−时，求出函数()fx的最大值，并写出对应的x的

集合；（2）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若()12fA=，3bc+=，求a的最小值.【答案】（1）函数()fx取最大值34，此时x的取值集合为5,66−；（2）32.【解析】【分析】（1）

利用三角恒等变换思想化简函数()fx的解析式为()11sin2264fxx=++，由,x−可计算出26x+的取值范围，利用正弦函数的有界性可求得()fx的最大值及其对应的x的值，即可得解；（2）由()12fA=结合角

A的取值范围可求得角A的值，再利用余弦定理结合基本不等式可求得a的最小值.【详解】（1）函数()221311sincoscossincossincos62222fxxxxxxxx=−+−=++−22231131sincossincossincoscos2222

2xxxxxxx=++−=+131111sin2cos2sin22224264=++=++xxx，,x−，所以11132666x−+，1sin216x−+，当3262x+=−或262x+=时，即当5,66x

−时，函数()fx取最大值34；（2）由题意()111sin22642fAA=++=，化简得1sin262A+=，()0,A，132,666+A，5266A+=，解

得3A=.在ABC中，根据余弦定理，得()22222cos33abcbcbcbc=+−=+−.由3bc+=，知2924+=bcbc，即294a.当32bc==时，a取最小值为32.【点睛】求函数()()sinfxAx

=+在区间,ab上最值的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sinyAxk=++的形式或()cosyAxk=++的形式；第二步：由x的取值范围确定x+的取值范围，再确定()sinx+（或()cos

x+）的最值；第三步：求出所求函数的最值．22.已知等差数列na的前n项和为nS，且35a=，15150=S.（1）求数列na的通项公式；（2）记124nanb=，nb的前n项和为nT，求nT.【答案】（1）2nan=+（2）12

2nnT+=−【解析】【分析】（1）由15150=S，可得11510aa+=，即85a=，从而可得公差d，从而得出答案.（2）由条件可得21122244nannnb+===，由等比数列的前n项和公式可得答案.【详解】（1）设等差数列na的公差为d，11515151502aaS+

==则11520aa+=，又1158220aaa+==，810a=，又35a=83510aad=+=，得1d=，则13a=所以()11312naandnn=+−=+−=+（2）21122244nannnb+===所以()12122212nnnT+−==−−