【文档说明】【精准解析】河北省正中实验中学2020届高三下学期6月模拟数学（理）试题.doc，共(26)页，2.088 MB，由小赞的店铺上传

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河北省正中实验中学2020届高三下学期6月模拟考试数学(理科)试题─､选择题1.复数212ii+−的共轭复数是()A.i−B.ｉC.35i−D.35i【答案】A【解析】【分析】先利用复数的除法运算化简复数，然后求其共轭复数.从而求得正确结论.【详解】()()()()2i

12i5ii12i12i5++==−+，故其共轭复数为i−.所以选A.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题.2.已知集合|21,AxxxZ=−，则集合A中元素的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】D

【解析】【分析】直接根据集合的定义即可得结果.【详解】|21,1,0,1AxxxZ=−=−，所以集合A中元素的个数为3.故选：D.【点睛】本题主要考查了集合的表示方法——描述法，属于基础题.3.已知:|1|2px+，:qxa，

且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A.1aB.3a−C.1a−D.1a【答案】D【解析】【分析】“p是q的充分不必要条件”等价于“q是p的充分不必要条件”，即q中变量取值的集合是p中变量取值集合的真子集.【详解】由题意知：:|1|2px+可化简为{|

31}xxx−或，:qxa，所以q中变量取值的集合是p中变量取值集合的真子集，所以1a.【点睛】利用原命题与其逆否命题的等价性，对p是q的充分不必要条件进行命题转换，使问题易于求解.4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为,,ab

c，若°26,60cbC==，则B=A.45°B.45°或135°C.30°D.30°或150°【答案】A【解析】【分析】根据边长确定BC，的大小，由正弦定理得到结果.【详解】∵bc，∴BC，又°60C=，∴°B60，由正弦定理可得sinsinbCBc==2sin60226=∴B=

45°.故选A【点睛】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，学生求B度数时注意先求出B的范围．5.非负实数x、y满足ln（x＋y－1）≤0，则关于x－y的最大值和最小值

分别为A.2和1B.2和－1C.1和－1D.2和－2【答案】D【解析】【详解】试题分析：依题意有，作出可行域，如下图所示：设xyz−=，则有yxz=−，平移yxz=−，当直线yxz=−经过点(0,2)A时，z有最小值，其值为2−，当直

线yxz=−经过点(2,0)B时，z有最大值，其值为2，因此x－y的最大值和最小值分别为2和－2，故选：D.考点：简单的线性规划问题．6.科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤

构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n次构造”，

就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（）.（取lg30.4771，lg20.3010）A.16B.17C.24D.25【答案】D【解析】【分

析】由折线长度变化规律可知“n次构造”后的折线长度为43na，由此得到410003n，利用运算法则可知32lg2lg3n−，由此计算得到结果.【详解】记初始线段长度为a，则

“一次构造”后的折线长度为43a，“二次构造”后的折线长度为243a，以此类推，“n次构造”后的折线长度为43na，若得到的折线长度为初始线段长度的1000倍，则410003naa，即410003n，()()4

4lglglg4lg32lg2lg3lg1000333nnnn==−=−=，即324.0220.30100.4771n−，至少需要25次构造故选：D.【点睛】本题考查数列新定义运算的问题，涉及到对数运算法则

的应用，关键是能够通过构造原则得到每次构造后所得折线长度成等比数列的特点.7.已知等比数列na中，31174aaa=，数列nb是等差数列，且77ba=，则311bb+=（）A.3B.6C.7D.8【答案】D【解析】【

分析】由等比数列的性质求得74a=，再由等差数列的性质可得结果.【详解】因为na等比数列，且31174,aaa=27740aa=，解得74a=，数列nb是等差数列，则31177228bbba+===，故选：D.【点睛】本

题主要考查等比数列与等差数列的下标性质，属于基础题.解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2pqmnraaaaa+=+=（2pqmnr+=+=）.8.已知双曲线()222104xybb−=右焦点为1F，过1F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，抛物线216yx=−的

焦点为F，若ABF为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（）A.113,2++B.()13,+C.()1,3D.1131,2+【答案】D【解析】【分析】根据14AFF，22224b

cac=−=−可得113113c−+，根据离心率公式可得11311322ca−+，又1cea=，可得11312e+.【详解】在抛物线216yx=−中，(4,0)F−，在双曲线22214xyb−=中，当xc=时，22by=，取2,2bAc．因为ABF是锐角三角形，

所以14AFF，则212tantan144bAFFc==+，即282bc+．因为双曲线22214xyb−=中2a=，所以22224bcac=−=−，所以2482cc−+，解得113113c−+，所以11311322ca−+．因为1cea

=，则11312e+，所以双曲线的离心率的取值范围是1131,2+．故选：D．【点睛】本题考查了抛物线的几何性质，考查了双曲线的离心率，属于基础题.9.“仁义礼智信”为儒家“五常”

由孔子提出“仁、义、礼”,孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁义礼智信”排成一排,“仁”排在第一-位,且“智信”相邻的概率为（）A.110B.15C.310D.25【答案】A【解析】【分析】利用特殊元素及捆绑法

得“仁”排在第一位,且“智信”相邻的排法有2323AA种排法,利用古典概型求解即可【详解】“仁义礼智信”排成一排,任意排有55A种排法,其中“仁”排在第一位,且“智信”相邻的排法有2323AA种排法,故概率232355110AAPA==故选：A【点睛

】本题考查排列问题及古典概型，特殊元素优先考虑，捆绑插空是常见方法，是基础题10.已知点C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，PC是APB的角平分线，I为PC上一点，满足BIBA=+ACAPACAP+

(0)，4PAPB−=，10PAPB−=，则BIBABA的值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】由题意结合向量的运算法则可得点I为三角形内切圆的圆心，结合三角形内切圆与

边长关系的公式和向量的数量积运算公式整理计算即可确定BIBABA的值.【详解】由BIBA=+||||ACAPACAP+(0)可得||||ACAPAIACAP=+，所以I在∠BAP的角平分线上，由此得I是△ABP的内心，过I作IH⊥AB于H，I为圆心，IH

为半径，作△PAB的内切圆，如图，分别切PA，PB于E，F，||||4,||10PAPBPAPB−=−=，则10AB=，11||||(||||||)[||(||||)223]BHBFPBABPAABPAPB==+−

=−−=，在直角三角形BIH中,||cos||BHIBHBI=，所以||cos3||BIBABIIBHBHBA===.故选B.【点睛】本题主要考查向量的运算法则，内切圆的性质，向量数量积的定义与应

用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.在三棱锥ASBC−中，10AB=，4ASCBSC==，ACAS=，BCBS=，若该三棱锥的体积为153，则三棱锥SABC−外接球的体积为（）A.B.43C.5πD.3【答案】B【解析】【分析】设SC的中点为O，AB的中点为D，

连接OA，OB，OD．根据已知条件可以推出O为棱锥SABC−外接球的球心，再根据13ASBCSOABSCOBOABVVVSCS−−−=+=计算可得.【详解】如图，设SC的中点为O，AB的中点为D，连接OA，OB，OD．因为4ASCBSC

==，ACAS=，BCBS=，所以90SACSBC==，所以OAOBOCOS===．所以O为棱锥SABC−外接球的球心，设半径为R，又⊥ODAB，且10AB=，所以102ADDB==，252ODR=−，则211102522OA

BSABODR==−．又由SCOA⊥，SCOB⊥且OAOBO=可证SC⊥平面OAB，所以2111510252323ASBCVRR−=−=，解得3R=．所以外接球的体积()343433V==．故选：B．【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定，考

查了三棱锥的体积公式，考查了球的体积公式，解题关键是找到球心，属于基础题.12.已知等差数列{}na的公差为2020，若函数()cosfxxx=−，且122020()()()1010fafafa+++=，记nS为{}

na的前n项和，则2020S的值为()A.1010B.20212C.2020D.40412【答案】A【解析】【分析】根据等差数列的公差及函数解析式，由等差数列求和公式代入可得()()120201220201010coscoscos1010aaaaa+++++=由余弦和角与差角

公式的应用，变形可得()12020202120212coscos2coscos22iiidaaaa−−++=，令120202aam+=，代入化简并构造函数()20192017201520202coscoscoscoscos2222ddddgxxx=−+++，求得()

gx并判断符号，可证明()gx为单调递增函数，且可得2m=，从而1202022aa+=，进而由等差数列前n项和公式即可求解.【详解】等差数列{}na的公差为2020，设2020.d=函数()cosfxxx=−，且122020()()()1010fafafa+++=，则()()1220

20122020coscoscos1010aaaaaa+++++++=，即()()120201220201010coscoscos1010aaaaa+++++=①对11010,iiZ，由余弦的和角与差角公式化简可得2021coscosiiaa−+()()()()22021220

21222021220212coscos2222iiaididaidid+−−+−−=−++()()220212202122coscos22iaidid+−−=()2021202122coscos22iiidaa−−+=

()12020202122coscos22idaa−+=，记120202aam+=，将①化简可得()()()12020220191010101120201010maaaaaa−++++=，即20192017201520202coscoscosco

scos10102222ddddmm−+++=②令()20192017201520202coscoscoscoscos2222ddddgxxx=−+++，由2020.d=可得()201920172015202

02sincoscoscoscos2020202002222ddddgxx=++++−=，所以()gx在R上单调递增，且02g=，又由②可知()0gm=，所以2m=，即1202022aa+=，所以

()120202020202010102aaS+==，故选：A.【点睛】本题考查了数列与函数的综合应用，等差数列求和公式的应用，余弦和角公式与差角公式的综合应用，换元法求值的应用，由导数判断函数单调性的应用，综合性强，属于难题.二､填空题13.春天即

将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为p，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X为其中成活的株数，若X的方差2.1DX=，(3)(7)PXPX==，则p=________．【答案】0.7【解

析】【分析】由题意可知：()X~B10,p，且()()()1012.137ppPXPX−===，从而可得p值．【详解】由题意可知：()X~B10,p∴()()()1012.137ppPXPX−===，即210010021

00.5ppp−+=,∴0.7p=故答案为：0.7【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．14.设()()612fxx=−，则x的奇次项的系数和为______．【答案】364−【

解析】【分析】设()()623456012345612fxxaaxaxaxaxaxax=−=++++++，先求出01234561aaaaaaa=++++++，601234563aaaaaaa=−+−+−+，两式相减即得解.【详解】设()()623

456012345612fxxaaxaxaxaxaxax=−=++++++，当1x=时，01234561aaaaaaa=++++++，（1）当1x=−时，601234563aaaaaaa=−+−+−+，（2）（1）-（2）得613513513,3642

aaaaaa−=++++=−.所以x的奇次项的系数和为364−.故答案为：364−【点睛】本题主要考查二项式的系数和问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.15.函数3sin4cosyxx=−在x=处取得最大值，则sin=______【

答案】35【解析】【分析】利用辅助角公式、两角差的正弦公式化简解析式：()5sinyx=−，并求出cos和sin，由条件和正弦函数的最值列出方程，求出的表达式，由诱导公式求出sin的值．【详解

】解：()343sin4cos5sincos5sin55yxxxxx=−=−=−，其中3cos5=，4sin5=依题意可得()5sin5−=，即()sin1−=，2,2kkZ−=

+所以3sinsin2cos25k=++==故答案为：35【点睛】本题主要考查辅助角公式、诱导公式，以及正弦函数的最大值的应用，考查化简、变形能力．16.点M为正方体1111ABCDABCD−的内切球O球面上的动点，

点N为11BC上一点，112,NBNCDMBN=⊥，若球O的体积为92，则动点M的轨迹的长度为__________．【答案】3305【解析】【分析】由题意画出图形，在1BB取点P,使12BPPB=,连接,,,CPDPBN由线面垂直的判定和性质可得，点M的轨迹为平面DCP与球O的截

面圆周，求出圆的半径即可得解.【详解】解：如图，在1BB取点P,使12BPPB=,连接,,,CPDPBN因为112NCNB=,所以DCBN⊥,则BN⊥平面DCP,则点M的轨迹为平面DCP与球O的截面圆周，设正方体的棱长为a，则34()9232a=，解得32a=，连接,,ODOPOC,由O

DPCCDPOVV−−=,求得O到平面DCP的距离为355，所以截面圆的半径223235330()()2510r=−=，则点M的轨迹长度为3303302105=，故答案为3305.【点睛】本题考查了正方体中的内切球问题，重点考查了平面与球的截面圆周长的求法，属难度较大的题型.三､解答题17

.已知数列na的前n项和为nS，且na是nS与2的等差中项．数列nb中，12b=，点()1,nnPbb+在直线2yx=+上．（1）求1a和2a的值；（2）求数列na，nb的通项公式；（3）设nnncab=，求数列nc的前n项和nT．【

答案】（1）12a=，24a=（2）2nna=，2nbn=（3）()2124nnTn+=−+【解析】【分析】（1）根据题意得到22nnaS=+，分别令1n=，2n=，得到1a，2a；（2）当2n时，1nnnaSS−=−，再验证1n=时，得到na的通项，根据点()1,nnPbb+在直线2yx=+

上，得12nnbb+=+，得到nb为等差数列，从而得到其通项；（3）根据nnncab=，得到nc的通项，然后利用错位相减法，得到前n项和nT.【详解】解：（1）由22nnaS=+当1n=时，得1122aS=+，即1122aa=+，解得12a=；当2n=时，得2222aS=+，即21222aaa

=++，解得24a=.（2）由22nnaS=+…①得1122nnaS−−=+…②；（2n）将两式相减得1122nnnnaaSS−−−=−，即122nnnaaa−−=，所以()122nnaan−=，因为120a=，所以10na−，所以()122n

nana−=，所以数列na是首项为2，公比为2的等比数列，所以1112222nnnnaa−−===.数列nb中，12b=，点()1,nnPbb+在直线2yx=+上，得12nnbb+=+，所以数列nb是首项为2，公差为2的等差数列，所以()2212nbn

n=+−=.（3）12nnnncabn+==，所以()2341122232122nnnTnn+=++++−+()345122122232122nnnTnn++=++++−+上式减下式得234121222

22nnnTn++−=++++−()22212212nnn+−=−−22242nnn++=−−所以()2124nnTn+=−+.【点睛】本题考查由na和nS的关系求数列通项，等差数列基本量计算

，错位相减法求和，属于中档题.18.如图，在四棱锥MABCD−中，ABAD⊥，2ABAMAD===，22MBMD==.（1）证明：AM⊥平面ABCD；（2）若E是BM的中点，//CDAB，2CDAB=，求二

面角ECDM−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）31010.【解析】【分析】(1)利用勾股定理可得ABAM⊥与ADAM⊥即可证明AM⊥平面ABCD.(2)根据垂直关系可以建立以A为坐标原点的空间直角

坐标系,再利用空间向量的方法分别求得平面CED的一个法向量与平面CDM的一个法向量,再利用二面角的夹角公式求解即可.【详解】（1）因为2228ABAMBM+==,所以ABAM⊥,同理可得ADAM⊥.因为ADABA=,所以AM⊥平面ABCD.（2）因为ABAD⊥,所以AD、AM、

AB两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,因为2ABAMAD===,所以(0,0,0)A,(2,0,0)D,(0,2,0)M,(0,0,2)B,因为E是BM的中点,所以(0,1,1)E,因为//CDAB,2CDAB=,所以(2,0,1)C,所以(2,1,0

)CE=−,(0,0,1)DC=.设平面CED的一个法向量为()111,,mxyz=r,由()()111111,,(0,0,1)0,,(2,1,0)0mDCxyzmCExyz===−=,得111020zxy=−+=,取11x=,得(1,2,0)m=r.取

DM的中点H,连接AH,易证AH⊥平面CDM,则平面CDM的一个法向量为(1,1,0)nAH==uuurr.设二面角ECDM−−的平面角为,由图知0,2,所以2222||(1,2,0)(1,1,0)310cos||||101211mnmn===++rr

rr,所以二面角ECDM−−的余弦值为31010.【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明以及建立空间直角坐标系求解面面角的问题,需要根据题意找到合适的坐标原点建系,再求出所求二面角的两个平面内对应的点与边的向量,进而求得法向量求解.属于中档题

.19.某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统

计数据如表1所示：表1：x1234567y611213466101196根据以上数据，绘制了散点图.（1）根据散点图判断，在推广期内，yabx=+与xycd=（,cd均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天

数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）.（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次.（3）推广期结束后，为更好的服务乘客，车队随机调查了100人次的乘车支

付方式，得到如下结果：表2支付方式现金乘车卡扫码人次106030已知该线路公交车票价2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据调査结果发现：使用扫码支付的乘客中有5名乘客享受7折优惠，有10名乘客享受8折优惠，有15名乘客享受

9折优惠.预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其他因素的条件下，按照上述收费标准，试估计该车队一辆车一年的总收入.参考数据：yv71iiixy=71iiixv=0.541062

.141.54253550.123.47其中11lg,7niiiivyvv===.参考公式：对于一组数据()()()122,,,,,,innuvuvuv，其回归直线vu=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()1122211ˆˆˆ,

nniiiiiinniiiiuuvvuvnuvvuuuunu====−−−===−−−.【答案】（1）xycd=适宜作为扫码支付的人数y关子活动推出天数x的回归方程类型；（2）见解析（3）

199200（元）.【解析】【分析】（1）由于散点图呈指数型增长，则xycd=更适宜；（2）将非线性的回归方程xycd=，利用对数的运算性质转化为线性的，再利用最小二乘法求解即可得出回归方程，并代值，即可得出第8天使用扫码支付的人次；（3）分别计算出每个

月三种支付方式的收入，即可得出该车队一辆车一年的总收入.【详解】（1）根据散点图判断，xycd=适宜作为扫码支付的人数y关子活动推出天数x的回归方程类型.（2）∵xycd=，两边同时取常用对数得：

()lglglglgxycdcdx==+；设lgyv=，∴lg1vcgdx=+，∵4x=，1.54v=，721140iix==，∴172221750.12741.547lg0.2514074287niiiiixvxvdxx==−−====−−，把(4,1.54)代入lg1gvc

dx=+，得：lg0.54c=∴0.540.25vx=+，∴ˆlg0.540.25yx=+，∴()0.540.250.540.25ˆ101010xxy+==把8x=代入上式：∴0.540.2582.5420.54ˆ10101010347y+====；∴活动推出第8天使

用扫码支付的人次为347103470=，∴y关于x的回归方程为，()0.540.25ˆ1010xy=，活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470.（3）由题意可知：一个月中使用现金的乘客有1000人，共收入100022000=元；使用乘车卡的乘客有6000人，共收入60001.69600=

元；使用扫码支付的乘客有3000人，其中：享受7折优惠的有500人，共收入5001.4700=元，享受8折优惠的有1000人，共收入10001.61600=元，享受9折优惠的有1500人，共收入15001.82700=元，所以，一辆车一个月的收入为：20

00+9600+700+1600+2700=16600（元），所以，一辆车一年的收入为：1660012199200=（元）.【点睛】本题主要考查了求非线性回归方程并作出预测，属于中档题.20.（1）若xR，xaex−

„恒成立，求实数a的最大值0a；（2）在（1）的条件下，求证：函数0()cosxefxxaxx=++在区间(,0)−内存在唯一的极大值点0x，且()002fxx．【答案】（1）01a=．（2）家粘结性【解

析】【分析】（1）令xyex=−，求出导函数y，由0y确定增区间，0y确定减区间，从而得y的最小值，得a的取值范围，即得0a；（2）求出导函数()fx，通分后，令22()(1)sinxgxexxxx=−−+，再求导数()gx，令()2sincos2

xhxexxx=−−+．分类讨论，当(,0)2x−时，()0hx，得()gx递减，从而可得()fx在(,0)2−上有唯一零点0x，,2x−−时，令2()(1)xpxexx=−+．

利用导数得()px的单调性，从而得()0gx，于是得出在(,0)−上()fx的单调性，得唯一极大值点0x．由()()020000201sin0xgxexxxx=−−+=可对0()fx变形，得()0000001sincos1()fxxxxxx−+=+−，只要证明在(,0)2−上001sin

11xx−−，从而可证得结论．【详解】（1）解：令xyex=−，则01xxyeee=−=−．可见，00yx；00yx．故函数xyex=−在(,0)−上单调递减，在(,0)−上单调递增．所以，当且仅当0x=时，函数

xyex=−取最小值1．由题意，实数1a„．所以01a=．（2）由（1），2222(1)(1)sin()sin1xxexexxxxfxxxx−−−+=−+=．令22()(1)sinxgxexxxx=−−+，则()2()2sincos22sincos2xxgxxexxxxxxexxx=−−+

=−−+．令()2sincos2xhxexxx=−−+．①当,02x−时，0xe，2sin0x−，cos0xx−…，所以()0hx．可见，()()0gxxhx=，所以()gx在,02−上单调递减．又22213210222ge+

−=−−（由（1），可得212e+，所以1212+），(0)10g=−，所以存在唯一的0,02x−，使得()00gx=．从而，当0[,2)xx−时，()0g

x，()0fx，()fx单调递增；当()0,0xx时，()0gx，()0fx，()fx单调递减．②当,2x−−时，令2()(1)xpxexx=−+．则()()220xxpxxexxe=+=+．所以()px在

,2−−上单调递减．所以222132()10244pxpe+−=−−（由（1），可得212e+，所以2121e+）．又当,2x−−时，20x，sin0x，2sin0xx−

，所以当,2x−−时，2()()sin0gxpxxx=−，从而()0fx．所以()fx在,2−−单调递增．综上所述，()fx在()0,x−上单调递增，在()0,0x上单词递减．所

以，函数()fx在区间(,0)−内存在唯一极大值点0x．关于()002fxx的证明如下：由上面的讨论，0,02x−，且()()020000201sin0xgxexxxx=−−+=，所以()0000001sin0xexxxx−−

+=，所以()000001sin1xxxexx−=−．于是()()00000000001sincoscos1xxxefxxxxxxx−=++=++−．令()sinqxxx=−．当,02x−时，()1cos0qxx=−

．所以()qx在,02−上单调递增．所以，当,02x−时，()(0)0qxq=，即sinxx．又因为0,02x−，所以00sinxx，0011sin0xx−−，所以001sin011xx−−．所以()()00000000000

01sincoscos2cos21xxfxxxxxxxxxx−=++++=+−．【点睛】本题考查导数研究不等式恒成立问题，用导数研究函数的极值点，证明极值点的性质．本题涉及到多次求导，等价转化思想，

分类讨论思想，难度较大，属于困难题．21.已知椭圆的左､右焦点分别为()11,0F−､()21,0F.经过点1F且倾斜角为()0的直线l与椭圆交于,AB两点(其中点A在x轴上方)，2ABF的周长为8.（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，把平面xOy沿x轴折起来，使y轴正半轴

和x轴确定的半平面，与y轴负半轴和x轴所确定的半平面互相垂直，若折叠后2ABF的周长为152，求tan的大小.【答案】（1）22143xy+=；（2）335tan14=.【解析】【分析】（1）根据2ABF的周长，结合椭圆的定义可构造方程求得a，进而得到椭圆方程；（2）结合2ABF

折叠前后的周长可知：12ABAB−=，将l方程与椭圆方程联立，得到韦达定理的形式，利用弦长公式和空间两点间距离公式表示出,ABAB，从而构造出关于l斜率的方程，求得斜率后即可得到tan.【详解】（1）设椭圆的标

准方程为()222210xyabab+=，由椭圆定义知：12122AFAFBFBFa+=+=，2ABF的周长22121248LABAFBFAFAFBFBFa=++=+++==，解得：2a=，2413b=−=，椭圆的标准方程为

22143xy+=.（2）设,AB在新图形中对应的点为,AB，若()11,Axy，()22,Bxy，则()11,,0Axy，()22,0,Bxy.228AFBFAB++=，22152AFBFAB++=且2

2AFAF=，22BFBF=，12ABAB−=.当2=时，223332222AB=+=，2235422AFBF==−=，不满足题意；当2时，设():1lykx

=+，代入椭圆方程得：()()22223484120kxkxk+++−=，2122834kxxk+=−+，212241234kxxk−=+，()121226234kyykxxkk+=++=+，()()()222121212122911134kyykxxkxxxxk=++=+++=−+

，()()22222222121816481343434kkkABkkkk+−=+−−=+++，()()()2222212121212121242ABxxyyxxxxyyyy=−++=+−++−2222222228164861834343434kkkk

kkkk−=−−++++++2421442347234kkk++=+，()()222422212111442347234234kkkkk+++−=++，整理可得：()()4222112961

352845430kkkk−−=−+=，24528k=，33514k=，即335tan14=；综上所述：335tan14=.【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到结合椭圆定义求解

椭圆的标准方程、与弦长有关的问题的求解；本题解题的关键是能够根据三角形折叠前后的周长将问题转化为两弦长的求解问题，计算量较大，属于较难题.22.在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为2+,,xtykt==（t为参数），直线l2的参数方程为2,,xmmmyk=−+=（

为参数）.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cossin20l+−=，M为l3与C的交点，求M的极径.【答案】（1）()2240xyy−=（2）5

【解析】（1）消去参数t得1l的普通方程()1:2lykx=−；消去参数m得l2的普通方程()21:2lyxk=+.设(),Pxy,由题设得()()212ykxyxk=−=+，消去k得()2240xyy−=.所以C的普通方程为()2240xyy−=.（2）C的极坐标方程为

()()222cossin402π,π−=.联立()()222cossin4,cossin20−=+−=得()cossin2cossin−=+.故1tan3=−，从而2291cos,s

in1010==.代入()222cossin4−=得25=，所以交点M的极径为5.【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，

或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.23.已知函数24()|2|(0)afxxxaa+=+++，()8|3|gxx=−+.（1）当1a=−时，求不等式()11fx的解集；（2）若关于x的不等式()

()fxgx的解集包含[2,1]−−，求a的取值集合.【答案】（1）4,7−；（2）2−【解析】【分析】（1）利用零点分段法可进行分类讨论得到不等式组，解不等式组可求得结果；（2）将问题转化为当2,1x−−时，24283axxxa++++−+恒成立问题的求解，去掉绝对值符号后

得到243axa+−，根据恒成立思想可知244aa+−，结合0a可求得结果.【详解】（1）当1a=−时，()32,2527,2523,5xxfxxxxxx−−=−++=−−，由32112xx−

−得：42x−−；由71125x−得：25x−；由23115xx−得：57x，综上所述：()11fx的解集为4,7−.（2）由题意可知：当2,1x−−时，24283axxxa++++−+恒成立，即24832axxxa++−+−+恒成立，

0a，240aa+，当2,1x−−时，240axa++，30x+，20x+，2483232axxxxa+−−−−−−=−，243axa+−在2,1−−上恒成立，244aa+

−，又0a，可解得：2a=−，a的取值集合为2−.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、恒成立问题的求解；关键是能够根据解集的子集将问题转化为在不等式在子集范围内恒成立问题的求解，进而通过分离变量将问题转化为所求变量与函数最值之间的大小关系求解问题.