【文档说明】河北省唐山市一中2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题 含答案.docx，共(8)页，80.945 KB，由小赞的店铺上传

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唐山一中2020—2021学年度第二学期期中考试高二年级数学试卷命题人：周国明审核人：孟征说明：1.考试时间120分钟，满分150分。2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。卷Ⅰ(选择题共60分)一．单项选择题（共8小题，每小题5分，计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意.）1.在复平

面内，复数𝑧=2+3𝑖3−4𝑖(𝑖是虚数单位)，则复数z的共轭复数所对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知a，b，𝑐∈𝑅，则“𝑎<𝑏”是“𝑎𝑐2<𝑏𝑐2”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必

要条件3.4名学生报名参加语、数、英兴趣小组，每人选报1种，则不同方法有()A.43种B.34种C.𝐴43种D.𝐶43种4.在(2𝑥3+1𝑥2)𝑛(𝑛∈𝑁∗)的展开式中，若存在常数项，则n的最小值是()A.3B

.5C.8D.105.某中学组织了“自主招生数学选拔赛”，已知此次选拔赛的数学成绩X服从正态分布N（75,121），考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为()人．(参考数据𝑃(𝜇−𝜎<𝑋<𝜇+𝜎)=0.6826

，𝑃(𝜇−2𝜎<𝑋<𝜇+2𝜎)=0.9544)A.261B.341C.477D.6836.某射手每次射击击中目标的概率均为𝑝(0<𝑝<1)，且各次射击的结果互不影响.设随机变量X为该射手在n次射击中击

中目标的次数，若𝐸(𝑋)=3，𝐷(𝑋)=65，则n和p的值分别为()A.5，12B.5，35C.6，12D.6，357.圆柱形金属饮料罐的体积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，它的高与底面半径之比

为()A.2:1B.1:2C.1:4D.4:18.有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是()A.144B.216C.288D.432二．多项选择题（共4小题，每小题5分，计20分.在每小题给出的四个选

项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分.）9.用一个平面去截正方体，截面的形状可能是()A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形10.下列说法正确的是()A.将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差

也变为原来的a倍B.若四条线段的长度分别是1，3，5，7，从中任取3条，则这3条线段能够成三角形的概率为14C.线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D.设两个独立事件A和B都不发生的概率为19，A发生且B不发生的概率与B发生且

A不发生的概率相同，则事件A发生的概率为2311.已知F为抛物线𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)的焦点，过点F且斜率为√3的直线l交抛物线于A、B两点(点A在第一象限)，交抛物线的准线于点𝐶.则下列结论正确的是()A.𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝐹𝐶⃗⃗⃗⃗⃗B.|𝐴𝐹|=2|𝐵𝐹|

C.|𝐴𝐵|=3𝑝D.以AF为直径的圆与y轴相切12.已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥+𝑎𝑙𝑛𝑥，其中正确结论的是()A.当𝑎=0时，函数𝑓(𝑥)有最大值．B.对于任意的𝑎<0，函数𝑓(𝑥)一定存在最小

值．C.对于任意的𝑎>0，函数𝑓(𝑥)是(0,+∞)上的增函数．D.对于任意的𝑎>0，都有函数𝑓(𝑥)>0．卷Ⅱ(非选择题共90分)三．填空题（共4小题，每小题5分，计20分.）13.若命题“∃𝑥∈𝑅,𝑥2+(𝑎−1)�

�+1<0”是假命题，则实数a的取值范围为.14.已知(2+𝑚𝑥)(1+𝑥)3的展开式中𝑥3的系数为5，则𝑚=________．15.根据某地区气象台统计，该地区下雨的概率是35，刮风的概率为12，既刮风又

下雨的概率为110，则在刮风天里，下雨的概率为_______．16.已知实验女排和育才女排两队进行比赛，在一局比赛中实验女排获胜的概率是23，没有平局．若采用三局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则实验女排获胜的概率

为____．四．解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（10分）某城市为鼓励人们乘坐地铁出行，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过30站的地铁票价如下表：乘坐站

数x0<𝑥≤1010<𝑥≤2020<𝑥≤30票价(元)369现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过30站，甲、乙乘坐不超过10站的概率分别为14，13；甲、乙乘坐超过20站概率

分别为12，13．(1)求甲、乙两人付费相同的概率；(2)设甲、乙两人所付费用之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．18.（12分）在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，平面𝑃𝐴𝐷⊥平面ABCD

，𝑃𝐴=𝑃𝐷=2，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠𝐴=60°，E是AD的中点．(1)求证：𝐵𝐸⊥平面PAD；(2)求平面PAB与平面PBC所成角的余弦值．19.（12分）新型冠状病毒的传染性是非常强的，而且可以通过接触传播或者是呼吸道飞沫传播，感染人群年龄大多数是40岁以上的人

群.该病毒进入人体后有潜伏期，并且潜伏期越长，感染他人的可能性越高，现对100个病例的潜伏期(单位：天)进行调查，统计发现潜伏期中位数为5，平均数为7.21，方差为5.08.如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”.按照年龄统计样

本得到下面的列联表：长潜伏期非长潜伏期40岁以上155540岁及以下1020(1)能否有90%以上的把握认为“长潜伏期”与年龄有关；(2)假设潜伏期Z服从正态分布𝑁(𝜇,𝜎2)，其中𝜇近似为样本平均数

，𝜎2近似为样本方差，现在很多省份对入境旅客一律要求隔离14天，请用概率的知识解释其合理性；附：𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)．若随机变量Z服从正态分布𝑁(𝜇,𝜎2)，则𝑃(𝜇−𝜎<

𝑍<𝜇+𝜎)=0.6826，𝑃(𝜇−2𝜎<𝑍<𝜇+2𝜎)=0.9544，𝑃(𝜇−3𝜎<𝑍<𝜇+3𝜎)=0.9974，√5.08≈2.25．𝐾2≥𝑘0.10.05k2.7063.84120.（12分）某餐厅通过

查阅了最近5次食品交易会参会人数𝑥(万人)与餐厅所用原材料数量𝑦(袋)，得到如下统计表：第一次第二次第三次第四次第五次参会人数𝑥(万人)13981012原材料𝑦(袋)3223182428(1)根据所给5组数据，求

出y关于x的线性回归方程𝑦̂=𝑏̂𝑥+𝑎̂．(2)已知购买原材料的费用𝐶(元)与数量𝑡(袋)的关系为𝐶={400𝑡−20,0<𝑡<36,𝑡∈𝑁380𝑡,𝑡≥36,𝑡∈𝑁,投入使用的每袋原材料相应的销售收入为7

00元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有15万人参加，根据(1)中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？(注：利润𝐿=销售收入−原材料费用)．参考公式：𝑏̂=∑(𝑥𝑖−�

�)(𝑦𝑖−𝑦)𝑛𝑖=1∑(𝑥𝑖−𝑥)2𝑛𝑖=1=∑𝑥𝑖𝑦𝑖−𝑛𝑥𝑦𝑛𝑖=1∑𝑥𝑖2−𝑛𝑥2𝑛𝑖=1，𝑎=𝑦−𝑏̂𝑥．参考数据：∑𝑥𝑖𝑦𝑖5𝑖

=1=1343，∑𝑥𝑖25𝑖=1=558，∑𝑦𝑖2=32375𝑖=1．21.（12分）已知椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)经过点𝑃(2,√2)，一个焦点F的坐标为(2,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线𝑙:𝑦=𝑘

𝑥+1与椭圆C交于𝐴,𝐵两点，O为坐标原点，求𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗的取值范围．22.（12分）已知𝑓(𝑥)=12𝑥2+𝑎𝑒𝑥−ln𝑥．(1)设𝑥=12是𝑓(𝑥)的极值点，求实数a

的值，并求𝑓(𝑥)的单调区间；(2)𝑎>0时，求证：𝑓(𝑥)>12．高二期中考试数学参考答案一、单选题CBBBBBAD二、多选题9.ABD10.BD11.AD12.BC三、填空题13.[−1,3]14.115.1516.2027四、解答题17.解：(1)由题

意知甲乘坐超过10站且不超过20站的概率为1−14−12=14，乙乘坐超过10站且不超过20站的概率为1−13−13=13，设“甲、乙两人付费相同”为事件A，则𝑃(𝐴)=14×13+14×13+12×13=13，所以甲、乙两人付费相同的概

率是13．……………………………………（4分）(2)由题意可知X的所有可能取值为：6，9，12，15，18．𝑃(𝑋=6)=14×13=112，𝑃(𝑋=9)=14×13+14×13=16，𝑃(𝑋=12)=14×13+12×13+14×13=13，𝑃(

𝑋=15)=14×13+12×13=14，𝑃(𝑋=18)=12×13=16．…………………………………………………………（8分）因此X的分布列如下：X69121518P11216131416所以X的数学期望𝐸(𝑋)=6

×112+9×16+12×13+15×14+18×16=514．……（10分）18.(1)证明：由𝑃𝐴=𝑃𝐷=2，E是AD的中点，得𝑃𝐸⊥𝐴𝐷，由平面𝑃𝐴𝐷⊥平面ABCD，平面𝑃𝐴𝐷∩平面𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐷，且𝑃𝐸⊂平面PAD，可得𝑃𝐸

⊥平面ABCD，又𝐵𝐸⊂平面ABCD，所以𝑃𝐸⊥𝐵𝐸，又由于四边形ABCD是边长为2的菱形，∠𝐴=60°，所以𝐵𝐸⊥𝐴𝐷，又𝑃𝐸∩𝐴𝐷=𝐸，且PE，𝐴𝐷⊂平面PAD，所以𝐵𝐸⊥平面PAD；……………………（5分）(2)解

：由(1)可知EA，EB，EP两两垂直，以E为原点，𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐸𝑃⃗⃗⃗⃗⃗所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则𝑃(0,0,√3)，𝐴(1,0，0)，𝐵(0,√3,0)，𝐶(−2,√3,0)，所𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,−√3)，

𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(0,√3,−√3)，𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,√3,−√3)，设平面PAB的一个法向量为𝑛⃗⃗=(𝑥,y，𝑧)，则{𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗=0𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗=0，即{𝑥−√3𝑧=0√3𝑦−√3�

�=0,令𝑧=1，可得𝑛⃗⃗=(√3,1,1)，………………（8分）同理可得平面PBC的一个法向量为𝑚⃗⃗⃗=（0,1,1），………………（10分）所以平面PAB与平面PBC所成角的余弦值为|cos⟨𝑚⃗⃗⃗,𝑛⃗⃗⟩|=|�

�⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗|𝑚⃗⃗⃗||𝑛⃗⃗||=√105．………（12分）19.解：(1)𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)=100×(15×20−55×10)270

×30×25×75≈1.587，由于1.587<2.706，故没有90%以上的把握认为“长潜伏期”与年龄有关；………………（6分）(2)若潜伏期𝑍～𝑁(7.21,2.252)，此时𝜇+3𝜎=7.21+3×2.25=13.9

6，由𝑃(𝑍≥13.96)=1−0.99742=0.0013，显然潜伏期超过14天的概率很低，因此隔离14天是合理的．………………………………（12分）20.解：(1)由所给数据可得：𝑥=13+9+8+10+125=10.4，𝑦=32+23+18+24+285=2

5（2分）𝑏̂=∑𝑥𝑖𝑦𝑖−5𝑥5𝑖=1𝑦∑𝑥𝑖2−5𝑥25𝑖=1=1343−5×10.4×25558−5×10.42=2.5………………（4分），𝑎̂=𝑦−𝑏̂𝑥=25−2.5×10.4=−1，则y关于x的线性回归方程为𝑦̂=2.5𝑥̂−1

;………………（6分）(2)由(1)中求出的线性回归方程知，当𝑥=15时，𝑦=36.5，即预计需要原材料36.5袋，因为𝐶={400𝑡−20,0<𝑡<36,𝑡∈𝑁380𝑡,𝑡≥36,𝑡∈�

�,…………（9分）所以当𝑡<36时，利润𝐿=700𝑡−(400𝑡−20)=300𝑡+20，当𝑡=35时，𝐿𝑚𝑎𝑥=300×35+20=10520；当𝑡>36时，利润𝐿=700×36.5−380𝑡，最大为700×36.5−380×37=11490，当𝑡=36时，�

�=700×36−380×36=11520，综上，餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，为11520元.……（12分）21.解：(1)解：(1)根据椭圆的定义，2𝑎=|𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2|=√(2+2)2+(√2

)2+√2=4√2，解得𝑎=2√2，又𝑐=2，∴𝑏2=𝑎2−𝑐2=(2√2)2−22=4，∴所以椭圆C的方程为𝑥28+𝑦24=1；………………（5分）(2)设𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，

由{𝑦=𝑘𝑥+1𝑥28+𝑦24=1，消去y，整理得(1+2𝑘2)𝑥2+4𝑘𝑥−6=0；又△=16𝑘2+24(1+2𝑘2)=64𝑘2+24>0，解得𝑘∈𝑅；由根与系数的关系得𝑥1+𝑥2=−4𝑘1+2𝑘2,𝑥1�

�2=−61+2𝑘2；………………（8分）∴𝑦1𝑦2=𝑘2𝑥1𝑥2+𝑘(𝑥1+𝑥2)+1=−6𝑘21+2𝑘2−4𝑘21+2𝑘2+1=1−8𝑘21+2𝑘2，𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂

𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥1𝑥2+𝑦1𝑦2=−61+2𝑘2+1−8𝑘21+2𝑘2=−8𝑘2−51+2𝑘2=−4−11+2𝑘2；又−1≤−11+2𝑘2<0，∴𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗的取值

范围是[−5,−4)．………………（12分）22.解：(1)由题意，函数𝑓(𝑥)的定义域为(0,+∞)，又由𝑓′(𝑥)=𝑥+𝑎𝑒𝑥−1𝑥，且𝑥=12是函数𝑓(𝑥)的极值点，所以𝑓′(12)=12+𝑎𝑒12−2=0，解得𝑎=3√𝑒2𝑒，………………（2

分）又𝑎>0时，在(0,+∞)上，𝑓′(𝑥)是增函数，且𝑓′(12)=0，所以𝑓′(𝑥)>0，得𝑥>12，𝑓′(𝑥)<0，得0<𝑥<12，所以函数𝑓(𝑥)的单调递增区间为(12,+∞

)，单调递减区间为(0,12)．………………（5分）(2)由(1)知因为𝑎>0，在(0,+∞)上，𝑓′(𝑥)=𝑥+𝑎𝑒𝑥−1𝑥是增函数，又𝑓′(1)=1+𝑎𝑒−1>0(且当自变量x逐渐趋向于0时

，𝑓′(𝑥)趋向于−∞)，所以，∃𝑥0∈(0,1)，使得𝑓′(𝑥0)=0，所以𝑥0+𝑎𝑒𝑥0−1𝑥0=0，即𝑎𝑒𝑥0=1𝑥0−𝑥0，………………（7分）在𝑥∈(0,𝑥0)上，𝑓′(𝑥)<0，函数𝑓(𝑥)是减函数，在𝑥∈(𝑥0,+∞)上，𝑓′(𝑥)>

0，函数𝑓(𝑥)是增函数，所以，当𝑥=𝑥0时，𝑓(𝑥)取得极小值，也是最小值，所以𝑓(𝑥)𝑚𝑖𝑛=𝑓(𝑥0)=12𝑥02+𝑎𝑒𝑥0−ln𝑥0=12𝑥02+1𝑥0

−𝑥0−ln𝑥0,(0<𝑥0<1)，（9分）令𝑔(𝑥)=12𝑥2+1𝑥−𝑥−ln𝑥,(0<𝑥<1)，则𝑔′(𝑥)=𝑥−1𝑥2−1−1𝑥=(𝑥−1)−1+𝑥𝑥2，当𝑥∈(0,1)时，𝑔′(𝑥)<0，函数𝑔

(𝑥)单调递减，所以𝑔(𝑥)>𝑔(1)=12，即𝑓(𝑥)≥𝑓(𝑥)𝑚𝑖𝑛>12成立．………………（12分）