【文档说明】湖南省长沙市雅礼中学2023届高三一模数学试题 含解析.docx，共(23)页，1.567 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-8679aa1178a62a50596c1e0bc5f36df7.html

以下为本文档部分文字说明：

雅礼中学2023届模拟试卷（一）数学命题人：张龚审题人：黄启光注意事项：1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名准考证号填写在答题卡上.2．回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题

目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3．回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符题目要求的．1.已知集合1{|}Axyx==，{|ln}Byyx==，则AB=（）A.0xxB.0xxC.{|Rxx且0}xD.【答案】C【解析】【分析】根据幂函数的性质及对数函数的性质分别求出集合A，B，再根据交集的定义求解即可.【详

解】解：由题意可得()(),00,A=−+，B=R，∴AB={|Rxx且0}x.故选：C．2.下列说法正确的是（）A.若ab，则a与b的方向相同或者相反B.若a，b为非零向量，且abab=，则a与b共线C.若ab，则存在唯一的实数使得ab=D.若1e，2e是两个单位向量，且121e

e−=．则122ee+=【答案】B【解析】【分析】对于A，当0a=时，该选项错误；对于B，aa表示与a方向相同的单位向量，bb表示与b方向相同的单位相同，所以a与b共线，所以该选项正确；对于C，当0b=，a

为非零向量时，不存在，所以该选项错误；对于D，计算得123ee+=，所以该选项错误．【详解】对于A，当0a=时，a与b的方向可以既不相同也不相反，所以该选项错误；对于B，a，b为非零向量，aa表示与a方向相同的单位向量，bb表示与b方向相同的单位相同，由于abab=，所以a与

b共线，所以该选项正确；对于C，当0b=，a为非零向量时，不存在，所以该选项错误；对于D，由121ee−=得12121121,21eeee+−==，所以2121212()1123eeeeee+=+=++=，所以该选项错误．故选：B．3.函数1si

n22yx=+的最小正周期为（）A.πB.2πC.π2D.不能确定【答案】A【解析】【分析】作出函数的图象得到函数的最小正周期，再证明即得解.【详解】作出函数1sin22yx=+的图象如图所示，得到函数的最

小正周期为π.证明：111()sin2,(π)sin2(π)sin2(),222fxxfxxxfx=++=++=+=所以函数的最小正周期为π.故选：A4.给定一组数据：1，3，2，1，5，则这组数据的方差及第40百分位数分别是（

）A.5，2B.5625，2C.5625，1.5D.5，1.5【答案】C【解析】【分析】根据数据的方差与百分位数的概念计算即可.【详解】数据：1，3，2，1，5的平均数为132152.45++++=，所以方差为()()()()()2222212.432.422.

412.452.4562.24525−+−+−+−+−==；这组数从小到大排列为1，1，2，3，5，共5个数，所以540%2=，则这组数据的第40百分位数为121.52+=.故选：C.5.已知()525012531xaaxaxax−=+++

+，则125aaa+++=（）A.1024B.1023C.1025D.512【答案】B【解析】【分析】利用赋值法得到01a=−，()5012435311024aaaaaa++−−−=−−−=，结合二项式展开式的系数正

负得到015aaa+++的值，进而求出答案.【详解】()525012531xaaxaxax−=++++中，令0x=得01a=−，()531x−的通项公式()()515C31rrrrTx−+=−，故0241350,,0,,,aaaaaa，()525012531xa

axaxax−=++++中，令=1x−，得()5012435311024aaaaaa++−−−=−−−=，所以()0150124531024aaaaaaaaa+++=−++−−−=，又01a=，所以1251023aaa+++=.故选：B．6.已知数列na满足12a=，13

11nnnaaa+−=+，若x表示不超过x的最大整数，则10a=（）A.1B.2C.3D.5【答案】A【解析】【分析】根据递推公式一一计算可得.【详解】因为12a=，1311nnnaaa+−=+，所以12131513aaa−==+，23231312aaa

−==+，34331715aaa−==+，45431413aaa−==+，56531917aaa−==+，67631514aaa−==+，787311119aaa−==+，89831615aaa−==+，91093113111aaa−==+，∴101a=．故选：A．7.若1

~100,3XB，则当0k=，1，2，…，100时（）A.()()50PXkPX==B.()()32PXkPX==C.()()33PXkPX==D.()()49PXkPX==【答案】C【解析】【分析】利用

比大小的方法，即可求出k的值.【详解】解：由题意得：()()()()1,1,PXkPXkPXkPXk==−==+即1111001001111001001212CC33331212CC3333knkknkkkknkknkkk−−−+−−+−−+

，化简得：9810133k，又k为整数,可得33k=,所以()()33PXkPX==，故选：C．

8.已知()e0.1e0.1a+=−，eeb=，()e0.1e0.1c−=+，则a，b，c的大小关系是（）A.abcB.cabC.bacD.acb【答案】D【解析】【分析】转化为比较比较()()2lne0.1lne0.1e,,e0.1e0.

01e0.1−+−−+的大小，构造函数()lnxfxx=，先证明a，b，c中b最大，设1213131e0.1,e0.1,()(),,exxfxfxmmxx=−=+==，先证明312exx−，再证明231()()()fxfx

fx=，即得解.【详解】要比较a，b，c等价于比较ln,ln,lnabc的大小,等价于比较lnlnln,,(e0.1)(e0.1)(e0.1)(e0.1)(e0.1)(e0.1)abc+−+−+−,即比较()()2lne0.1lne0.1e,,e0.1e0.01e0.1−+−−

+,构造函数()lnxfxx=,21ln()xfxx−=,令()0,fx得0ex,令()0,fx得ex,所以()fx在()0,e单调递增,()e,+单调递减.所以max1()(e)efxf==,因为()()max22lne0.1lne0.1

ee1(e0.1),(),(e0.1)e0.1e0.01eee0.1ffxf−+=−===+−−+，所以2ee0.01−最大，即a，b，c中b最大，设1213131e0.1,e0.1,()(),,exxfxfxmmxx=−=

+==，结合()fx的单调性得，13exx，先证明131133lnln2xxxxxx−+−，其中130exx，即证11331113332(1)2()ln1xxxxxxxxxx−−=++，令31(0,1)xtx=，2(1)()ln1thtt

t−=−+，其中01t，则22214(1)()0(1)(1)thttttt−=−=++，所以，函数()ht在(0,1)上为增函数，当01t时，()(1)0hth=，所以，当130xx时，131133lnln2xxxxxx−+−，则有311

3132lnlnxxxxxx−+−，由13()()fxfxm==可知3113lnlnxxmxx==，所以()1313313131222lnlnxxxxxxxxmxxm−−==+−−，因1em，所以312e,xx+

即312exx−，因为1ex，()fx在()0,e单调递增，所以()()132exffx−，即()()132exffx−，因为122e,xx+=所以122e,xx=−所以()()232e2effxx−−，即32322e2e,xxxx−

−，为因为23exx，()fx在()e,+单调递减.所以231()()()fxfxfx=，即()()lne0.1lne0.1e0.1e0.1+−+−，即ca，综上，acb.故选：D【

点睛】关键点睛：应用对数平均不等式12121212lnln2xxxxxxxx−+−（需证明）证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数；②将所得含对数的等式进行变形得到1212lnlnxxxx−−；③

利用对数平均不等式来证明相应的问题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知复数z的共轭复数为z，则下列说法正确的是（）A.22zz=B.zz+一定是实数C.若复

数1z，2z满足1212zzzz+=−．则120zz=D.若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虚部相等或者互为相反数【答案】BD【解析】【分析】根据复数与共轭复数的概念、复数的运算逐项判断即可.

【详解】当复数iz=时，21z=−，21z=，故A错；设izab=+（a，bR），则izab=−，所以2zza+=R，故B对；设111izab=+（1a，1bR），222izab=+（2a，2bR），由1212zzzz+=−可得()()()()22222212121

2121212zzaabbzzaabb+=+++=−=−+−，所以12120aabb+=，而()()()()12112212121212121212iii2izzababaabbabbaaaabba=++=−++=++，不一定为0，故C错；设izab=+

（a，bR），则2222izabab=−+为纯虚数．所以22020abab−=，则0abab=，故D对．故选：BD．10.已知不恒为0的函数()fx，满足x，Ry都有()()222xyyyf

fxfxf+−=+．则（）A.()00f=B.()01f=C.()fx为奇函数D.()fx为偶函数【答案】BD【解析】【分析】令0xy==和yx=，即可判断选项AB；令yx=−，即可判断选项CD.【详解】令0xy==，则

()()()()00200ffff+=，∴()00f=或1．令yx=，则()()()()20fxfxfxf+=，若()00f=，则()0fx=，与()fx不恒为0矛盾，∴()01f=，∴选项B正确选项A错误；令yx=−，则()

()()()()202fxfxffxfx+−==，∴()()=fxfx−，∴()fx为偶函数，∴选项D正确选项C错误.故选：BD．11.如图，已知双曲线：2214yx−=左右焦点分别为1F，2F，以12FF为直径的圆与双曲线在第一象限交于点B，连接1BF，2BF，1BF与

双曲线左支交于点P，与渐近线分别交于点M，N，则（）A.PMBN=的B.122FBFS=△C.过2F的双曲线的弦的长度的最小值为8D.点B到两条渐近线的距离的积为45【答案】AD【解析】【分析】由12||||2BFBF−=，若2||0BFm=结合已知可得2m=，设

(,)Bxy且,0xy，应用点在双曲线上、两点距离公式求B坐标，写出直线1BF求出,,PMN坐标，进而判断各项的正误即可.【详解】由题设12||||2BFBF−=，若2||0BFm=，则1||2BFm=+，22212||||420BFBFc+==，即2

280mm+−=，可得2m=，若(,)Bxy且,0xy，则()222224454xyxym−=−+==，可得355455xy==，故3545(,)55B，所以，直线1BF为1(5)2yx=+，即250xy−+=，而渐近线为2yx=，所以525(,)5

5M−，525(,)33N，则23BN=，又2244250xyxy−=−+=，可得355455xy==（舍）或75154515xy=−=，故7545(,)1515P−，

所以23PM=，即PMBN=，A正确；而1212||||124BFFBFBFS==，B错误；令5xc==，则2454y−=，可得4y=，故过2F垂直于x轴所得弦长为8，而过2F和两顶点的直线，所得弦长为2，所以过2F的双曲线的最短弦为2，C错误；由B到2yx=的距离为34|2|25555−

=，B到2yx=−的距离为34|2|5525−−=，所以B到两条渐近线的距离的积为45，D正确.故选：AD12.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为3，E为AB的中点，12CFFC=，动点M在侧面11AADD内运动（含边界），则（）A.若MB∥平面1DEF，则点M的轨迹长度为1

32B.平面1DEF与平面ABCD的夹角的正切值为223C.平面1DEF截正方体1111ABCDABCD−所得的截面多边形的周长为323132+D.不存在一条直线l，使得l与正方体1111ABCDABCD−的所有棱所成的角都相等【答案】ABC【解析】

【分析】对于A、C项，先作出平面1DEF截正方体1111ABCDABCD−所得的截面，通过构造面面平行得出M轨迹及截面多边形周长；对于B项，作出二面角计算即可；对于D项，可知所有与体对角线平行的线与正方体各棱夹角都相等.【详解】如图所示，分别延长DC、D1F交于点N，连接NE并延长交DA

的延长线于G点，交CB于O点，连接D1G交A1A于H点，则五边形D1FOEH为平面1DEF截正方体1111ABCDABCD−所得的截面，在侧面11AADD中作PQ∥D1H，可得M轨迹为线段PQ，由已知及平行线分线段成比例可得：1322CNDCBECOAEAG======，11112A

GAHADHA==,所以1131,2APAQ==,即132PQ=，A正确；111332,213,22HEPQOFDHPQDFOE=======，故五边形D1FOEH周长为323132+，C正确；连接BD，交EO于点I，由上

计算可得I为GN中点，且D1G=G1N，故DI⊥EO，D1I垂直EO，即1DID为平面1DEF与平面ABCD的夹角，易得19222,tan43DIDID==，B正确；对于D存在直线l，如直线1BD与正方体三条棱夹角相等．故选：ABC．三、填空题：本题共4小题，每

小题5分，共20分．13.计算：2sin20cos10sin10−=________．【答案】3−【解析】【分析】把20转化为3010−，利用差角的正弦公式化简即得解.【详解】原式()132cos10s

in10cos10222sin3010cos103sin10sin10sin10sin10−−−−−===3=−故答案为：3−14.六个身高不同的人排成二排三列，每一列后面的那个人比他（她）前面的那个人高，则共有_____

___种排法．【答案】90【解析】【分析】根据有限制的排列问题求解即可.【详解】由于六个身高不同的人排成二排三列，每一列后面的那个人比他（她）前面的那个人高，则排法有66222222A90AAA=种．故答案为

：90.15.函数()()0xfxxx=的最小值为________．【答案】1ee−【解析】【分析】化简()lnexxfx=，设()()ln0gxxxx=，求出函数()gx的单调性即得解.【详解】∵()lnlneexxxxxxfx===，设()()ln

0gxxxx=，∴()ln1gxx=+，∴()gx在区间10,e上单调递減，在区间1,e+上单调递增，∴()min11eegxg==−，∵exy=是增函数，∴

由复合函数的性质得()1eminefx−=．故答案为：1ee−16.如图，已知抛物线C：22yx=，圆E：()2224xy−+=，直线OA，OB分別交抛物线于A，B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积等于2−，则直线AB被圆E所截的弦长最小值为________．【答案】23【解析】

【分析】先由两直线斜率之积构造齐次化方程，得出直线AB过定点()1,0，再利用直线与圆的位置关系计算弦长确定最值即可.【详解】设()11,Axy，()22,Bxy，设ABl：1mxny+=，又22yx=，∴()22yxmxny=+，∴22220ynxymx−−=，∴2220yynmxx−−

=．∴121222OAOByykkmxx==−=−，∴1m=，∴直线AB恒过点()1,0Q，由图结合圆的弦长公式可知，当圆心E到动直线AB的距离最大时，即当直线ABQE⊥时，弦长最短，此时弦JI最小为()22421−−=23．故答案为：23四

、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知正数数列na，11a=，且满足()()2211102nnnnanaanan−−−−−=．（1）求数列na的通项公式；（2）设1nnnba−=，求数列nb的前n项和nS

．【答案】（1）!nan=（2）11!nSn=−【解析】【分析】（1）因式分解()()2211102nnnnanaanan−−−−−=，从而可推导得()12nnanna−=，再利用累乘法计算数列na的通项公式；（2

）根据裂项相消法计算数列nb的前n项和nS.【小问1详解】∵()()2211102nnnnanaanan−−−−−=，∴()()()1102nnnnanaaan−−−+=，又0na，∴1nnana−=，即()12nnanna−=．又(

)231121123!2nnnaaaaannnaaa−===，且111!a==，∴!nan=【小问2详解】1!nnbn−=，∴10b=，()()1112!1!!nnbnnnn

−==−−，1234nnSbbbbb=+++++()111111111011!2!2!3!3!4!1!!!nnn=+−+−+−++−=−−又111101!Sb==−=，∴11!nSn=−.18.在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为

a，b，c，已知2sinsinsinsinbCaAbBcC+=+．（1）求A；（2）若2a=，求BC边上的高AD的最大值．【答案】（1）π4A=；（2）212+.【解析】【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理化简已知等式即得解；（

2）利用余弦定理和基本不等式求出22bc+，再求出()max212ABCS+=△，即得解.【小问1详解】根据正弦定理可得2222bcbca=+−，又2222cosbcabcA+−=，∴2cos2A=．∵(0,π)A

,∴π4A=．【小问2详解】()2222222cos222abcbcAbcbcbc==+−=+−−，∴22bc+，当且仅当bc=时取等号.∵1sin2ABCSbcA=，∴()max212ABCS+=△，∴11212222ABCSaADAD+==△，∴212AD+，∴AD的最大值

为212+.19.斜三棱柱111ABCABC-的各棱长都为2，160AAB=，点1A在下底面ABC的投影为AB的中点O．（1）在棱1BB（含端点）上是否存在一点D使11ADAC⊥？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；（2）求点1A到平面11BCCB的距离．【答案】（1）存

在，52BD=（2）2155【解析】【分析】（1）连接OC，以O点为原点，如图建立空间直角坐标系，设1,0,1BDtBBt=，根据110ACAD=，求出t即可；（2）利用向量法求解即可.【小问1详解】连接OC，因为ACBC=，O为AB的中点，所

以OCAB⊥，由题意知1AO⊥平面ABC，又12AA=，160AAO=，所以13AO=，以O点原点，如图建立空间直角坐标系，则()10,0,3A，()1,0,0A，()1,0,0B−，()0,3,0C，

由11ABAB=得()12,0,3B−，同理得()11,3,3C−，设1,0,1BDtBBt=，得()1,0,3Dtt−−，又()12,3,3AC=−，()11,0,33ADtt=−−−，由110ACAD=，得()

()213330tt−−−+−=，得15t=，又12BB=，∴52BD=，为∴存点D且52BD=满足条件；【小问2详解】设平面11BCCB的法向量为(),,nxyz=r，()1,3,0BC=，()11,0,3CC=−，则有1

3030nBCxynCCxz=+==−+=，可取()3,1,1n=−，又()11,0,3BA=uuur，∴点1A到平面11BCCB的距离为1111303215cos,55dBABAnBABA++

===，∴所求距离为2155.20.2023年中非经贸合作座谈会议在长沙举行，拟在某单位招募5名志愿者，该单位甲、乙、丙三个部门可分别向单位推选3名志愿者以供选拔，每个部门有3个小组，每个小组可向本部门

推选2名志愿者供部门选拔，假设每名志愿者入选的机会相等．（1）求甲部门志愿者入选人数为1人的概率；（2）求所招募的5名志愿者来自三个部门的概率；（3）求某小组志愿者入选人数X的分布列及期望．【答案】（1）514；（2）67；（3）分布列见解析，59.【解析】【分析】（1）利用

古典概型的概率公式求解；（2）利用对立事件的概率公式求解；在（3）先写出X的取值，再求出概率，写出分布列，求出期望.【小问1详解】由题得143659CC5C14P==．所以甲部门志愿者入选人数为1人的概率为514.【小问2详解】由题得()232

33359CCC261C7P=−=．所以所招募的5名志愿者来自三个部门的概率为67.【小问3详解】由题意可知X取值为0，1，2，()211412142427241835356969CCCCCCCC41CCCC9PX==+=，()212

324273569CCCC12CC18PX===，()()()101122PXPXPX==−=−==，所以X的分布列为：X012P1249118所以()141501229189EX=++=．21.已知函数()2sinsin2fxxx=−．

（1）当0πx时，求()fx的最大值；（2）当ππ32x时，求证：()()ln1fxx+（记2πln0.7393=）．【答案】（1）()max332fx=（2）证明见解析【解析】的【分析】（1）利用导数分析函数在0,π上的单调性，进而求得最大值；（2）构造函数()()()()

ln12sinsin2ln1gxfxxxxx=−+=−−+，求导得()214cos2cos21gxxxx=−++−+，由于当ππ32x时，1101x−+，所以()24cos2cos1gxxx−++，结合10cos2x可得()0gx在区间ππ,32上恒成立，进而得

到()ygx=在区间ππ,32上为增函数，进而求解()π3gxg即可得证.【小问1详解】由()2sinsin2fxxx=−，0πx，所以()()()()22cos2cos2

2cos22cos1cos14cos2fxxxxxxx=−=−−=−++，令()0fx¢>，得1cos12x−，即2π03x；令()0fx，得1cos2x−，即2ππ3x，所以函数()fx在2π0,3上单调递增，在2π,

π3上单调递减，又()00f=，2π3332f=，()π0f=．所以()max2π3332fxf==．【小问2详解】设()()()()ln12sinsin2ln1gxfxxxxx=−+=−−+，所

以()214cos2cos21gxxxx=−++−+，当ππ32x时，1101x−+，所以()24cos2cos1gxxx−++，又221514cos2cos14cos0cos442xxxx−++=−−+，所以24cos2

cos10xx−++恒成立．所以()0gx在区间ππ,32上恒成立．所以()ygx=在区间ππ,32上为增函数，所以()π3π32π3ln1ln0.7390323232gxg=−+−=−

，所以当ππ32x时，()()ln1fxx+.【点睛】关键点睛：本题第（2）问关键在于构造函数求导后，利用ππ32x时，1101x−+，放缩成()24cos2cos1gxxx−++，进而得到

()0gx在区间ππ,32上恒成立，从而得到()ygx=在区间ππ,32上为增函数，即可求解.22.已知椭圆C：2214xy+=，直线l与椭圆C交于A，B两点．（1）点00(,)Pxy为椭圆C上的动点（与点A，B不重合），若直线PA，直线PB的斜率存

在且斜率之积为14−，试探究直线l是否过定点，并说明理由；（2）若OAOB⊥．过点O作OQAB⊥，垂足为点Q，求点Q的轨迹方程．【答案】（1）直线l过定点()0,0；（2）2245xy+=【解析】【分析】（1）利用点在椭圆上和直线斜率公式即可证得直线l过定

点()0,0；（2）利用三角函数设出A，B两点坐标，再利用题给OQAB⊥即可求得255OQ=，进而得到点Q的轨迹方程．【小问1详解】直线ABl过定点()0,0，下面证明：设()11,Axy，()11,Bxy−−，2201010122010101PAPByyyyyykkx

xxxxx−+−==−+−，又220014xy+=，221114xy+=，∴22220101222201011144144PAPBxxxxkkxxxx−−−−−===−−−，∴直线ABl过原点满足14PAPBkk=−．

又当PA两点固定时PAk为定值，有且仅有一个斜率值与之相乘之积为14−，则直线,PBPB重合，则,BB重合，∴直线l过定点()0,0．【小问2详解】设1OAr=，2OBr=，xOA=，不妨设π2xOB=+，∴()11cos,sinArr，()22

sin,cosBrr−，又点A，B在椭圆上，∴222211cossin14rr+=，222222sincos14rr+=，∴2221cos1sin4r+=，2222sin1cos4r+=，两式相加得22121154rr+=，由1122O

ABSABOQOAOB==△，得22121222221212222114251155OAOBrrrrOQABrrrrrr======+++，∴点Q的轨迹是以点O为圆心以255为半径的圆，∴点Q的轨迹方程为2245xy+=．获

得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com