【文档说明】黑龙江省大庆铁人中学2021届高三冲刺模拟考数学（理）试题（二）含答案.docx，共(10)页，122.129 KB，由小赞的店铺上传

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大庆铁人中学高三冲刺模拟试题（二）理科数学试题试题说明：1、本试题满分150分，答题时间120分钟。2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。第Ⅰ卷选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。）

1.若集合𝐴={−1,2}，𝐵={𝑥|𝑥2−4𝑥+𝑚=0}，且𝐴∪𝐵={−1,2，5}，则()A.2∈𝐵B.5∉𝐵C.1∈𝐵D.−1∈𝐵2.已知a，𝑏∈𝑅，i是虚数单位，若1+𝑎ii与1−𝑏i

2互为共轭复数，则𝑎+𝑏=()A.32B.−32C.12D.−123.命题01,0:−xxxp的否定p是().A01,0000−xxx.B10,000xx.C01,0−xxx.D10,0xx4.已知向量𝑎⃗⃗=(1,2)，𝑏

⃗=(−3,4)，则𝑎⃗⃗在𝑏⃗方向上的投影为()A.√13B.√22C.1D.√6555.我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈．问积几何⋅其意思是：今有上下底面

皆为长方形的草垛(如图所示)，下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈．问它的体积是多少⋅该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果

相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为()A.13.25立方丈B.26.5立方C.53立方丈D.106立方丈6.若变量x，y满足约束条件{𝑥+𝑦≥4,𝑦−𝑥≤2,𝑥≤4,则𝑧=𝑦+1𝑥+1的最大值为()A.12B.65C.2D.57.设𝑎=

log1314，𝑏=(14)14，𝑐=(13)13，则a，b，c的大小关系是()A.𝑎<𝑏<𝑐B.𝑐<𝑏<𝑎C.𝑏<𝑐<𝑎D.𝑐<𝑎<𝑏8.在(𝑥3−2𝑥+1𝑥)4的展开式中，常数项为()A.28B.−28

C.−56D.569.如图，在正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，M，N分别为AC，𝐴1𝐵的中点，则下列说法错误的是()A.𝑀𝑁⊥𝐶𝐷B.直线MN与平面ABCD所成角为45∘C.𝑀𝑁//平面𝐴𝐷𝐷1

𝐴1D.异面直线MN与𝐷𝐷1所成角为60∘10.已知sin(𝜋3−𝑥)=35，则cos(𝑥+𝜋6)等于()A.35B.45C.−35D.−4511.已知抛物线𝐶:𝑦2=2𝑥，过定点𝑀(𝑎,0)的直线与抛

物线C相交于点P，Q，若1|𝑃𝑀|2+1|𝑄𝑀|2为常数，则实数a的值为()A.1B.2C.3D.412.若对任意𝑥∈(0,+∞)，不等式𝑎𝑒𝑎𝑥−𝑙𝑛𝑥>0恒成立，则实数a的取值范围为()A.(−1e,e)B.(1e,+

∞)C.(1e,e)D.(𝑒,+∞)第II卷非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）13.函数𝑓(𝑥)=|𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥|+(𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥)的值域为______．14.已知双曲线22

221(0,0)xyabab−=的左右焦点分别为12,FF，过1F作渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，且21tan1=OMF，则双曲线的离心率为.15.新型冠状病毒（COVID19−）引起的肺炎疫情爆发以来

，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：周数（x）12345治愈人数（y）21736103142由表格可得y关于x的回归方程为2ˆ6y

xa=+，则此回归模型第4周的残差（实际值与预报值之差）为________16.△𝐴𝐵𝐶中给出四个命题：①若tan𝐴+tan𝐵+tan𝐶>0，则△𝐴𝐵𝐶一定是锐角三角形；②若𝑎cos𝐴⋅cos2𝐴=𝑏cos𝐵⋅cos2𝐵

，则△𝐴𝐵𝐶一定是等腰三角形；③若𝑎2+𝑏2+𝑐2−2√3𝑏𝑐sin𝐴=0，𝑎2=𝑏𝑐，则△𝐴𝐵𝐶一定是等边三角形；④若𝑎2+𝑏2−2𝑎𝑏sin𝐶=𝑐2，则△𝐴𝐵𝐶一定是

直角三角形．其中正确的命题的序号是_____三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.）(一)必考题:共60分.17.已知数列na的前n项和

nnSn+=2，等比数列nb的公比𝑞>1，且28543=++bbb，24+b是53,bb的等差中项．(1)求数列na和nb的通项公式；(2)求数列−+112nnab的前n项和nT．18.为了认真贯彻落实

大庆市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动．为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高

三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在[2,3),[3,4)，[4,5),…,[8,9)，[9,10)(单位：小时)的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图(如图)．(1)由图中数据求a的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学

生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[5,6)的概率；(2)为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[2,3)和[8,9)的人中任选3人，求其中在[

8,9)的人数X的分布列和数学期望；(3)假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段？(只需写出结论)19.在如图所示的六面体中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形ABEF是梯形，𝐴𝐹

//𝐵𝐸，平面𝐴𝐵𝐶𝐷⊥平面ABEF，𝐵𝐸=2𝐴𝐹=2,𝐸𝐹=√3.(1)在图中作出平面ABCD与平面DEF的交线，并写出作图步骤，但不要求证明；(2)求证：𝐴𝐶//平面DEF；(3)求平面ABEF与平面

ECD所成角的余弦值．20.已知椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左顶点为A，右焦点为F，过点A作斜率为√33的直线与C相交于A，B，且𝐴𝐵⊥𝑂𝐵，O为坐标原点．(1)求椭圆的离心率e；(2)若𝑏=1，过点F作与直线AB平行的直线l，l与椭圆C相交于P，Q两点

，①求直线OP的斜率与直线OQ的斜率乘积；②点M满足2𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗，直线MQ与椭圆的另一个交点为N，求|𝑁𝑀||𝑁𝑄|的值．21.已知函数𝑓(𝑥)=2𝑥𝑒𝑥−𝑎𝑥−𝑎ln𝑥(𝑎∈�

�)．(1)若𝑎=2𝑒，求函数𝑓(𝑥)的单调性；(2)若函数𝑓(𝑥)有两个零点，求实数a的取值范围．(二）选考题:共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22

.(本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线𝐶1：{𝑥=2+√7𝑐𝑜𝑠𝛼𝑦=√7𝑠𝑖𝑛𝛼(𝛼为参数).以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线𝐶2的极坐标方程为𝜌=8𝑐𝑜𝑠𝜃，直线l的极坐标方程为𝜃=�

�3(𝜌∈𝑅)．(1)求曲线𝐶1的极坐标方程与直线l的直角坐标方程；(2)若直线l与𝐶1，𝐶2在第一象限分别交于A，B两点，P为𝐶2上的动点，求△𝑃𝐴𝐵面积的最大值．23.(本小题满分10分）选修4-5不等式选讲已知函数

，𝑚∈𝑅，且𝑓(𝑥)的最大值为1．(1)求实数m的值；(2)若𝑎>0，𝑏>0，𝑎+𝑏=𝑚，求证：大庆铁人中学高三冲刺模拟试题（二）理科数学试题答案1.D2.B3.B4.C5.B6.C7.B8.A9.D10.A11.A12.B13.[−

√2,2]14.515.1316.①③17.解：(1)∵𝑆𝑛=𝑛2+𝑛∴𝑛≥2时，𝑎𝑛=𝑆𝑛−𝑆𝑛−1=2𝑛，又𝑛=1时，𝑎1=𝑆1=2满足上式，∴𝑎𝑛=2𝑛，∵𝑏3+𝑏4+𝑏5=28，𝑏3+𝑏5=2(𝑏4+2)，∴𝑏4=8，

𝑏3+𝑏5=20，又∵𝑏3𝑏5=𝑏42，𝑞>1，解得𝑏3=4，𝑏5=16，∴𝑞=2，𝑏𝑛=2𝑛−1；(2)∵𝑏𝑛+1𝑎𝑛2−1=2𝑛−1+1(2𝑛)2−1=2𝑛−1+12(12𝑛−1−12

𝑛+1)，=2𝑛−1+𝑛2𝑛+1．18.解：(1)因为(0.05+0.1+0.18+𝑎+0.32+0.1+0.03+0.02)×1=1，所以𝑎=0.2．因为0.2×1×100=20，所以该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[5,6)的学生有20

人．所以从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[5,6)的概率为20100=0.2．(2)由图中数据可知，该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[2,3)和[8,9)的人分别为5人和3人．所以X的所有可能取值为0，1，2，3．

𝑃(𝑋=0)=𝐶53𝐶83=528，𝑃(𝑋=1)=𝐶52𝐶31𝐶83=1528，𝑃(𝑋=2)=𝐶51𝐶32𝐶83=1556，𝑃(𝑋=3)=𝐶33𝐶83=156．所以X的分布列为：X0123P52815281556156所以数学期望𝐸(𝑋)=0

×528+1×1528+2×1556+3×156=98．(3)样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在[5,6)．19.解：(1)延长BA与EF相交于点P，连接PD，则直线PD就是平面ABCD与平面DEF的交线．(2)因为𝐵𝐸=2𝐴𝐹，𝐴𝐹//

𝐵𝐸，所以AF是△𝑃𝐵𝐸的中位线，故𝑃𝐴=𝐴𝐵，因为𝐶𝐷=𝐴𝐵，所以𝐶𝐷=𝑃𝐴，且𝐶𝐷//𝑃𝐴，所以四边形ACDP是平行四边形，所以𝐴𝐶//𝑃𝐷，因为𝐴𝐶⊄面DEF，𝑃𝐷⊂面DEF

，所以𝐴𝐶//平面DEF．(3)在平面ABEF内，过点A作FE的平行线交BE于点G，又𝐴𝐹//𝐺𝐸，所以四边形AGEF为平行四边形，所以𝐴𝐺=𝐹𝐸=√3，𝐺𝐸=𝐴𝐹=1，𝐵𝐺=𝐵𝐸−𝐵𝐺=1，又因为𝐴𝐵=

2，所以𝐴𝐵2=𝐴𝐺2+𝐵𝐺2，所以△𝐴𝐵𝐺为直角三角形，且∠𝐴𝐺𝐵=90°，∠𝐺𝐴𝐵=30°，∠𝐴𝐵𝐺=60°．在平面ABEF内，过点A作AB的垂线交EF于点H，又因为平面

𝐴𝐵𝐶𝐷⊥平面ABEF，平面𝐴𝐵𝐶𝐷∩平面𝐴𝐵𝐸𝐹=𝐴𝐵，所以𝐴𝐻⊥面ABCD．以A为坐标原点，AD的方向为x轴正方向，AB的方向为y轴正方向，AH的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系𝐴−𝑥𝑦𝑧．则�

�(0,0，0)，𝐷(2,0，0)，𝐶(2,2，0)，𝐸(0,1,√3)，所以𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2,0)，𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,1,√3)，设𝑛⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)是平面ECD的法向量，则{𝑛⃗⃗⋅𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0𝑛⃗⃗⋅𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，

即{2𝑦=0−2𝑥+𝑦+√3𝑧=0，所以可取𝑛⃗⃗=(√3,0,2)．因为𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0,0)是平面ABEF的法向量，所以cos〈𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗,𝑛⃗⃗〉=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗|𝐴�

�⃗⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝑛⃗⃗|=√217，所以平面ABEF与平面ECD所成角的余弦值√217．20.20.解：(1)已知由{𝑦=√33(𝑥+𝑎)𝑦=−√3𝑥得：𝐵(−𝑎4,√3𝑎4)，代入椭圆C的方程：𝑎216𝑎2+3𝑎216𝑏2=1,∴𝑎2𝑏2=5,𝑎=√5𝑏,∴

𝑐=√𝑎2−𝑏2=2𝑏,∴𝑒=𝑐𝑎=2√55．(2)①由(1)可得𝑏=1,𝑎=√5,∴𝐶：𝑥25+𝑦2=1．设直线l：𝑥=√3𝑦+2,𝑃(𝑥1,𝑦1),𝑄(𝑥2,𝑦2)，联立

直线l与椭圆C的方程：{𝑥=√3𝑦+2𝑥2+5𝑦2=5,得恒成立，𝑦1+𝑦2=−√32,𝑦1𝑦2=−18,∴𝑥1𝑥2=(√3𝑦1+2)(√3𝑦2+2)=3𝑦1𝑦2+2√3(𝑦1+𝑦2)+4=58,∴𝑘𝑂𝑃⋅𝑘𝑂𝑄=𝑦1𝑦2

𝑥1𝑥2=−15．②设𝑁(𝑥3,𝑦3)，∵2𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗,∴𝑀(𝑥12,𝑦12),设𝑁𝑀𝑁𝑄=𝜆,𝑁𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝑁𝑄⃗⃗⃗⃗⃗

⃗(0<𝜆<1)，𝑁𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑥12−𝑥3,𝑦12−𝑦3),𝑁𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑥2−𝑥3,𝑦2−𝑦3),于是{𝑥12−𝑥3=𝜆(𝑥2−𝑥3)𝑦12−𝑦3=𝜆(𝑦2−𝑦3),∴{𝑥1

−2𝜆𝑥2=2(1−𝜆)𝑥3𝑦1−2𝜆𝑦2=2(1−𝜆)𝑦3,{𝑥3=12(1−𝜆)(𝑥1−2𝜆𝑥2)𝑦3=12(1−𝜆)(𝑦1−2𝜆𝑦2)．∵𝑃,𝑄,𝑁在椭圆上，∴𝑥12+5𝑦1

2=5，𝑥22+5𝑦22=5，𝑥32+5𝑦32=5，则(𝑥1−2𝜆𝑥2)24(1−𝜆)2+5×(𝑦1−2𝜆𝑦2)24(1−𝜆)2=5,∴𝑥12+5𝑦12+4𝜆2(𝑥22+5𝑦22)

−4𝜆(𝑥1𝑥2+5𝑦1𝑦2)=20(1−𝜆)2,由(ⅰ)可知𝑥1𝑥2+5𝑦1𝑦2=0,∴1+4𝜆2=4(1−𝜆)2,∴𝜆=38，∴𝑁𝑀𝑁𝑄=38．21.解：(1)𝑎=2𝑒，𝑓′(𝑥)=2(𝑥+1

)𝑒𝑥−2𝑒−2𝑒𝑥=(𝑥+1)(2𝑒𝑥−2𝑒𝑥)=2(𝑥+1)(𝑥𝑒𝑥−𝑒)𝑥，设𝑔(𝑥)=𝑥𝑒𝑥−𝑒，显然𝑔(𝑥)在(0,+∞)上单调递增，又𝑔(1)=0，故𝑥

∈(0,1)时𝑓′(𝑥)<0，𝑓(𝑥)单调递减，𝑥∈(1,+∞)时𝑓′(𝑥)>0，𝑓(𝑥)单调递增．(2)函数𝑓(𝑥)的定义域为(0,+∞)，由𝑓′(𝑥)=2(𝑥+1)𝑒𝑥−𝑎−𝑎𝑥

=(𝑥+1)(2𝑒𝑥−𝑎𝑥)=(𝑥+1)(2𝑥𝑒𝑥−𝑎)𝑥，①当𝑎≤0时，𝑓′(𝑥)>0，此时𝑓(𝑥)单调递增，最多只有一个零点；②当𝑎>0时，令𝑔(𝑥)=2𝑥𝑒𝑥−𝑎(𝑥≥0)，由𝑔′(𝑥)=2(𝑥+1)𝑒𝑥>0，

可知函数𝑔(𝑥)单调递增，又𝑔(0)=−𝑎<0，𝑔(𝑎)=2𝑎𝑒𝑎−𝑎=𝑎(2𝑒𝑎−1)>0，可得存在𝑥0∈(0,𝑎)，使得𝑔(𝑥0)=0，有𝑥0𝑒𝑥0=𝑎2，可知函数𝑓(𝑥)的减区间为(0,𝑥0)，增区间为(𝑥0,+∞)．

若函数𝑓(𝑥)有两个零点，必有𝑓(𝑥0)=2𝑥0𝑒𝑥0−𝑎𝑥0−𝑎ln𝑥0=𝑎−𝑎(𝑥0+ln𝑥0)=𝑎−𝑎ln(𝑥0𝑒𝑥0)=𝑎−𝑎ln𝑎2<0，得𝑎>2𝑒

．又由𝑓(𝑒−𝑎)>−𝑎𝑒−𝑎−𝑎ln𝑒−𝑎=𝑎2−𝑎𝑒𝑎=𝑎(𝑎𝑒𝑎−1)𝑒𝑎>0．令ℎ(𝑥)=𝑥−ln𝑥，有ℎ′(𝑥)=1−1𝑥=𝑥−1𝑥，令ℎ′(𝑥)>0，可得𝑥>1，故函数ℎ(𝑥)的增区间为(1,+∞)

，减区间为(0,1)，有ℎ(𝑥)≥ℎ(1)=1．当𝑥>ln𝑎时，𝑒𝑥>𝑎，𝑓(𝑥)=𝑥(2𝑒𝑥−𝑎)−𝑎ln𝑥>𝑎𝑥−𝑎ln𝑥=𝑎(𝑥−ln𝑥)≥𝑎>0．可得此时函数𝑓(𝑥)有两个零点．由上可知，若函数𝑓(𝑥)有两个零点，则实

数a的取值范围是(2𝑒,+∞)．22.解：(1)依题意得，曲线𝐶1的普通方程为(𝑥−2)2+𝑦2=7，曲线𝐶1的极坐标方程为𝜌2−4𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃−3=0，直线l的直角坐标方程为𝑦=√3�

�.(2)曲线𝐶2的直角坐标方程为(𝑥−4)2+𝑦2=16，由题意设𝐴(𝜌1,𝜋3)，𝐵(𝜌2,𝜋3)，则𝜌12−4𝜌1𝑐𝑜𝑠𝜃−3=0，即𝜌12−2𝜌1−3=0，得𝜌1=3或𝜌1=−1(舍)，𝜌2=8𝑐𝑜𝑠

𝜋3=4，则|𝐴𝐵|=|𝜌1−𝜌2|=1，𝐶2(4,0)到l的距离为𝑑=丨4√3丨√4=2√3．以AB为底边的△𝑃𝐴𝐵的高的最大值为4+2√3．则△𝑃𝐴𝐵的面积的最大值为12×1×(4+2√3)=2+√3．23.解：(1)因为|𝑥|+|𝑥−1|⩾|𝑥−(𝑥−1)|

=1，当𝑥(𝑥−1)⩽0时，取到等号，所以𝑓(𝑥)max=𝑚−1=1，解得𝑚=2，(2)由𝑎>0,𝑏>0,𝑎+𝑏=2⩾2√𝑎𝑏，所以𝑎𝑏⩽1，所以1𝑎+1𝑏+2𝑎𝑏=𝑎+𝑏𝑎𝑏+2𝑎𝑏=2𝑎𝑏+2𝑎𝑏

=4𝑎𝑏⩾4，当且仅当𝑎=𝑏=1时，取等号．