【文档说明】专题1-8 数列求和14类题型一网打尽（原卷版）.docx，共(15)页，1.269 MB，由小赞的店铺上传

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专题1-8数列求和14类题型一网打尽数列求和常见题型梳理【题型1】错位相减【题型2】裂项相消（常规）【题型3】分组求和【题型4】裂项相消（进阶）【题型5】并项求和【题型6】倒序相加【题型7】S2n与S2n-1下标的讨论和处理【题型8】通项含有(－1)n的类型【题型9】奇偶数列求和【题型10】隔项

数列求和（一般并项求和）【题型11】和为等比数列求和【题型12】插入新数列混合求和【题型13】通项含绝对值的数列求和【题型14】取整数列求和数列求和常见题型梳理一、错位相减法类型一：nnncab=（其中na是等差数列，nb

是等比数列）类型二：nnnacb=（其中na是等差数列，nb是等比数列）二、裂项相消法类型一：等差型①)11(1)(1knnkknn+−=+；②1111()(1)(1)211knknknkn=−−+−+类型二：无

理型)(11nknknkn−+=++类型三：指数型11(1)11()()nnnnnaaakakakak++−=−++++裂项相消进阶1、裂项相加：(-1)n例：()()()21111111nnnnnnn+−=

−+++，本类模型典型标志在通项中含有(1)n−乘以一个分式.对于11(1)nnnnnnaabaa++=−+可以裂项为1111(1)(11)nnnnnnnnnaabaaaa++++−+=−=2、等差数列相邻2

两项之积构成的的新数列例如：1(1)(1)(2)(1)(1)3nnnnnnnn+=++−−+一般式，当公差为k时：1()()(2)()()3knknkknknkknkknkknknkk+=++−−+3、一次乘指数型：分母为一次函数和指数函

数相乘例子：122(1)21111(1)2(1)2122(1)2−++−==−=−++++nnnnnnnnnnnnnnnn一般结构()()()()()11111nnnaknaknabbaknbknb

akknbab=−−−++++−++−三、分组求和法3.1如果一个数列可写成nnncab=的形式，而数列na，nb是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.3.2如果一个数列可写成nnnancbn=为奇数为偶数的形式，在求

和时可以使用分组求和法.四、倒序相加法即如果一个数列的前n项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前n项和【题型1】错位相减1．已知21nan=−，若数列nb满足11122(23)26nnnabababn+

+++=−+，求和：121121nnnnnTabababab−−=++++．2．记数列na的前n项和为nT，且111,(2)nnaaTn−==．(1)求数列na的通项公式；(2)设m为整数，且对任意*nN，1212nnmaaa+++，求m的最小值

．差比数列的其它处理方式（待定系数法）3．已知()252nnan=−，求nS.【题型2】裂项相消（常规）4．已知，证明：.5．已知21nan=−，数列na前n项和nS，记21nnnnbSS++=，设数列

nb的前n项和为nT，求证516nT1nnan=+3121234nnaaanaaa+++++6．已知正项数列na的前n项和为nS，且满足112nnnSaa=+，(1)求nS，(2)求12233411111nnSSSSSSSS+

++++++++7．已知21nna=−，设1221nnnnbnaa+=−+，求数列nb的前n项和nS.对式子变形后再裂项：一般是分离常数8．已知121nan=−，设214nnncnaa+=，求数列nc

的前n项和nT．9．已知24nan=+，记1nnbna=，数列nb的前n项和为nT，求nT.10．已知()()*1N1nannn=+，若()221nnbna=+，求数列nb的前n项和nT.11．已知1nnan=+，证明：.31212

34nnaaanaaa+++++【题型3】分组求和12．已知21nan=−，若数列nb满足,2,nnnanbn=为奇数为偶数，求数列nb的前2n项和2nT．13．已知2nna=，设2,log,nnnanban=为偶数为奇数，数列nb的前2n项和为2

nT，求2nT.14．已知2nna=，设mb为数列na在区间(()*0,mmN中的项的个数，求数列mb前100项的和.15．已知数列na的前n项和nS，且1131,1nnSSa+=+=，数列nb满足()111,1nnbnbnb

+=+=，其中*nN．(1)求na和nb的通项公式；(2)设()3log,4,2nnnancnnb=+为奇数为偶数，求数列nc的前20项和20T．【题型4】裂项相消（进阶）一、裂项相加：(-1)n例：()()()21111111nnnnnnn+

−=−+++，本类模型典型标志在通项中含有(1)n−乘以一个分式.对于11(1)nnnnnnaabaa++=−+可以裂项为1111(1)(11)nnnnnnnnnaabaaaa++++−+=−=二、等差数

列相邻2两项之积构成的的新数列例如：1(1)(1)(2)(1)(1)3nnnnnnnn+=++−−+一般式，当公差为k时：1()()(2)()()3knknkknknkknkknkknknkk+=++−−+三、一次乘指数型：分母为一次函数和指数函

数相乘例子：122(1)21111(1)2(1)2122(1)2−++−==−=−++++nnnnnnnnnnnnnnnn一般结构()()()()()11111nnnaknaknabb

aknbknbakknbab=−−−++++−++−16．若21nan=−，数列nb满足11(1)nnnnnbaa++−=，nb的前n项和为nT，求nT17．已知()()612nann=

++，若()()231nnnbna=+−，求nb的前n项和nT.18．已知21nan=−，1nnnbaa+=，求数列{nb}的前n项和nT19．已知21nan=−，()11nnnnbaa+=−，求数列{nb}的前n项和nT.20．已知21nbn=−，设()()

121(1),11nnnnnncTbb++=−++为数列nc的前n项和，证明：216nT−.21．已知3nnb=，若()()*24141nnnbcnn+=−N，求数列nc的前n项和已知41nan=−，()1821nnnnnbaa++=−，求数列

nb的前21n+项和21nT+．22．已知12nna+=，记22(1)nnnabnn++=+，nT为数列nb的前n项和，求nT．23．已知nan=，设14122nnnannnabaaa++++=，证明：1214nbbb++

+.【题型5】并项求和一般来说，并项求和的计算量比分组求和要小24．已知21nan=−，若2πcos3nnnba=，求数列nb的前31n+项和31nT+.25．（2023秋·湖南长郡中学校考）已知nS是数列na的前n项和，1232

,3,4aaa===，数列12nnnaaa++++是公差为1的等差数列，则40S=.26．已知21nan=−，记()1nnnbS=−，求数列nb的前30项的和30T.27．已知212nna−=，设11b=，1,,nnnanbbnn+=−+为奇数为偶数，求数列nb的前

2n项和2nS.【题型6】倒序相加28．“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法､每一个n阶代数方程必有n个复数解等.若函数()22log1

xfxx=−，设()112311,,2nnaaffffnnnnnn−==++++N，则1210aaa+++=.29．（2023·江西南昌·统考三模）“数学王子”高斯是

近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论､代数学､非欧几何､复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献.我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法等等.已知某数列的通项2

51,262521,26nnnann−=−=，则1251...aaa+++=（）A．48B．49C．50D．51【题型7】S2n与S2n-1下标的讨论和处理30．已知数列()()21,2,nnnnan+=为奇数为偶数（1）求数列

na的前20项和20T（2）求数列na的前2n项和2nT.（3）求数列na的前21n−项和21nT−.（4）求数列na的前n项和nT31．已知21,nan−=2na=212n+，记na的前n项和为nS，2023nS，求n的最小值.32．

（2023·湖南岳阳·统考三模）已知3nna=，若13log,,nnnanban=为奇数为偶数，求数列nb的前n项和nT．【题型8】通项含有(－1)n的类型33．已知()*nann=N，若()21nnnba=−，求数列nb

的前n项和nT．解题思路点拨：代入得：注意到通项中含有“”，会影响最后一项取“正还是负”，通过讨论的奇偶，结合分组求和.奇偶项通项不同，采用分组求和可作为一个解题技巧（注意到本例求解的，代入最后一项，是

正，还是负，需要讨论）（讨论时优先讨论为偶数）为奇数为偶数当为奇数时，为偶数，即：注意到为偶数，所以可使用偶数项和的结论，代入左侧求和结果：，则：，整理：综上：34．已知nan=，设数列()()24141n

nnabnn+=−−N，数列化nb的前2n项和为2nT35．在数列{an}中，若()1121nnnaan++−−＝，则数列{an}的前12项和等于_________.36．已知13nna+=，若()31lognnnba=−，求数列nb的前n项和nT．37．已知数列na中，()

112,1nnnanaaa+=−=+.（1）求证：数列1nan+是常数数列；（2）令(1),nnnnbaS=−为数列nb的前n项和，求使得99nS−的n的最小值.38．已知数列{}na的前n项和nS，11a=，0na，141nnna

aS+=−．(1)计算2a的值，求{}na的通项公式；思路点拨：，注意到通项中含有“”，会影响最后一项取“正还是负”，通过讨论的奇偶，结合分组求和.奇偶项通项不同，采用分组求和可作为一个解题技巧（注意到本例求解的为偶数

项和，代入最后一项，一定是正，故不需要讨论）分组求和(2)设1(1)nnnnbaa+=−，求数列{}nb的前2n项和2nT．39．已知1=−−nann，()1nnnba=−，求{nb}的前64项和64T.【

题型9】奇偶数列求和重庆一中月考40．已知数列na满足12a=，11,,2,.nnnanaan++=为奇数为偶数若()*123nnSaaaan=++++N，求2nS.2021·新高考1卷T1741．已知数列na满足11a=，1

1,2,nnnanaan++=+为奇数为偶数，求na的前20项和.42．（广东实验中学校考）已知数列满足，且的前100项和(1)求的首项；(2)记，数列的前项和为，求证：.【题型10】隔项数列求和（一般并项求和）43．已知数列{}na满足11a=

，14nnaan++=，则100S=________44．若数列na的前n项和为nS，且12nnnaa++=，则10S=（）A．684B．682C．342D．34145．（深圳一模）记nS，为数列na的前n项和，已知142nnaan−+=−，14a=求nS．

na()121,13,2nnnanaan+−=+当为奇数时当为偶数时na1003775S=na1a2121nnnbaa−=nbnnT32nT【题型11】和为等比数列求和46．已知数列{}nb中，

*1111,2,nnnbbbnN−+=+=，求数列2{}nb的前n和.47．已知数列na满足2123nnnaaa++=+，112a=，232a=．(1)求na的通项公式．(2)若数列na的前n项和为nS，且()*127N4nSnn

+−恒成立，求实数的取值范围．2023·杭州二模48．设公差不为0的等差数列na的前n项和为nS，520S=，2325aaa=．思路点拨：根据题意：，可推出，两式作差变换下标，写成所以，，．．．．．．．累加，得累加求通项所以数列的前n和为求和(1)求数列na的通项

公式；(2)若数列nb满足11b=，1(2)nannbb++=，求数列2nb的前n项和nT．【题型12】插入新数列混合求和49．已知等差数列na的首项11a=，公差10d=，在na中每相邻两项

之间都插入4个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列nb，则2023b=（）A．4043B．4044C．4045D．404650．已知()31nan=−对所有正整数m，若12mkkaa＋＜＜，则在ak和ak＋1两项中插入2m，由此得到一个新数列{bn}，求{bn}的前40项和.5

1．已知数列na的通项公式515nan=+，在数列na的任意相邻两项ka与()11,2,kak+=之间插入2k个4，使它们和原数列的项构成一个新的数列nb，记新数列nb的前n项和为nS，则60S的值为

．52．已知数列13−=nna，在na和1na+之间插入n个数，使这2n+个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为nd，求数列1nd的前n项和nT.53．已知21nan=−，在na与1na

+之间插入一项nb，使na，nb，1na+成等比数列，且公比为()0nnqq，求数列lnnq的前n项和nT.54．已知12nna-=，在数列na中的ia和()*1iai+N之间插入i个数1m，2m，3m，…，im，使ia，1m，2m，3m

，…，im，1ia+成等差数列，这样得到一个新数列nb，设数列nb的前n项和为nT，求21T．55．己知数列na满足nan=，在1,nnaa+之间插入n个1，构成数列nb：12341,1,1,1,1,,,,,,1aaaaL，则数列nb的前100项的和为（）A

．178B．191C．206D．216【题型13】通项含绝对值的数列求和56．已知211nan=−，求数列na的前n项和为nT．57．已知210nan=−，求数列||na的前n项和为nT．58．已知()()102110122nnann==−，设nnba=，求数列nb的

前n项和nT.【题型14】取整数列求和59．已知数列na满足()1121,1nnanaan+=−−=+，记na为不小于na的最小整数，nnba=，则数列nb的前2023项和为（）A．2020B．2021C．2022D．202360．已知2nan=+

，2nnb=，设3nnac=，求数列nnbc的前9项的和9S．（注：x表示不超过x的最大整数）61．已知(2)nna=−，设12nnb+=，求数列nnab的前10项和10T.（[]x表示不超过x的最大整数）62．（重庆

八中月考）已知21nan=−，若x表示不超过x的最大整数，如1,22,2,12−=−=，求22212111naaa+++的值.