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第六章平面向量及其应用6.2平面向量的运算6.2.1向量的加法运算课后篇巩固提升必备知识基础练1.在四边形ABCD中,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,则四边形ABCD是()A.梯形B.矩形C.正方形D.平行四边形答案D解析由平行四边形法则可得,四边形ABCD

是以AB,AD为邻边的平行四边形.2.在边长为1的正方形ABCD中,|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|等于()A.0B.1C.√2D.3答案B解析|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐴

𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|=1.3.(多选题)已知向量a∥b,且|a|≠|b|,则向量a+b的方向可能()A.与向量a的方向相同B.与向量a的方向相反C.与向量b的方向相同D.与向量b的方向相反答案ABCD解析∵a∥b,且|a|≠|b|,∴a与b共线,它们的和的方向可能与a同向或

反向,与b同向或反向.4.如图,在正六边形ABCDEF中,𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗等于()A.0B.𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗C.𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗D.𝐶𝐹⃗⃗⃗⃗⃗答案A解析∵𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗

⃗=𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗,∴𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗+𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=0.5.向量(𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗)+(𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

)+𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗化简后等于()A.𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗B.𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗C.𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗D.𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗答案C解析(𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗)+(𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗

⃗)+𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃�

�⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗.6.如图,在平行四边形ABCD中,写出下列各式的结果:(1)𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=;(2)𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝑂⃗⃗⃗⃗⃗

⃗=;(3)𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=;(4)𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=.答案(1)𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗(2)𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗(3)𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗(4)0解析(1)由平行四边形法则可知,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+

𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗.(2)𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗.(3)𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗

⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗.(4)𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=0.7.如图所示,

若P为△ABC的外心,且𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,则∠ACB=.答案120°解析因为P为△ABC的外心,所以PA=PB=PC,因为𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,由向量加法的平

行四边形法则可得四边形PACB是菱形,且∠PAC=60°,所以∠ACB=120°.8.是否存在a,b,使|a+b|=|a|=|b|?请画出图形说明.解存在,如图,𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=a,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=b,OA=OB=OC,∠AOB=1

20°,∠AOC=∠COB=60°.9.一艘船在水中航行,如果此船先向南偏西30°方向行驶2km,然后又向西行驶2km,你知道此船在整个过程中的位移吗?解如图,用𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗表示船的第一次位移,用𝐶

𝐷⃗⃗⃗⃗⃗表示船的第二次位移,根据向量加法的三角形法则知𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,所以𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗可表示两次位移的和位移.由题意知,在Rt△ABC中,∠BAC=30°,则BC=12AC=1,AB=√

3.在等腰三角形ACD中,AC=CD=2,所以∠D=∠DAC=12∠ACB=30°,所以∠BAD=60°,AD=2AB=2√3,所以两次位移的和位移的方向是南偏西60°,位移的大小为2√3km.关键能力提升练10.(2

021广东模拟)在正六边形ABCDEF中,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=()A.𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗B.𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗C.𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗D.0答案D解析如图,连接AD,

BE,设AD与BE交于O点,则𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗,∴𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝑂⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=�

�𝑂⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=0.故选D.11.(多选题)设a=(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗)+(𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗),b是任一非零向量,则下列选项正确的有()A.a∥bB.a+b=aC.

a+b=bD.|a+b|<|a|+|b|答案AC解析∵a=(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗)+(𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗)=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=0,又b为任一非零向量,∴A,C正确.12.如

图所示,在矩形ABCD中,|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|=4√3.设𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=a,𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=b,𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=c,则|a+b+c|=.答案8√3解析a+b+c=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗

⃗⃗⃗+𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗.如图,延长BC至点E,使CE=BC,连接DE,∵𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗,∴CE􀰿AD.∴四边形ACED是平行四边形.∴𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗.∴𝐴

𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗.∴|a+b+c|=|𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗|=2|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=2|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|=8√3.13.如图所示,一架飞机从A地按

北偏东35°的方向飞行800km到达B地,然后又从B地按南偏东55°的方向飞行600km到达C地,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和(参考数据:sin37°≈0.6).解设𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗分别表示飞机从A地按北偏东35

°的方向飞行800km,从B地按南偏东55°的方向飞行600km,则飞机飞行的路程指的是|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|+|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|;两次位移的和指的是𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗.依题意,有|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

|+|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=800+600=1400(km),∠ABC=35°+55°=90°.在Rt△ABC中,|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=√|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|2+|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|2=√8002+6002=1000(km),

其中∠BAC≈37°,所以方向约为北偏东35°+37°=72°.从而飞机飞行的路程是1400km,两次飞行的位移和的大小为1000km,方向约为北偏东72°.学科素养创新练14.在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O且|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|=1,𝑂𝐴

⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,cos∠DAB=12.求|𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|与|𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|.解∵𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,∴𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝑂⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝑂⃗⃗⃗⃗⃗⃗.∴四边形ABCD是平行四边形.又|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|=1,知四边形ABCD为菱形.又

cos∠DAB=12,∠DAB∈(0,π),∴∠DAB=60°.∴△ABD为正三角形.