【文档说明】2021学年人教A版数学选修2-2跟踪训练：1.1.3　导数的几何意义.docx，共(9)页，120.552 KB，由小赞的店铺上传

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[A组学业达标]1．如果曲线y＝f(x)上一点(1,3)处的切线过点(0,2)，则有()A．f′(1)＞0B．f′(1)＝0C．f′(1)＜0D．f′(1)不存在解析：由题意知切线过点(1,3)，(0,2)，所以k＝f′(1)＝3－21－0＝1＞0.答案：A2．抛物线y

＝x2在点M12，14处的切线的倾斜角是()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：点M12，14满足抛物线y＝x2，则点M为切点，y′＝2x，x＝12时，y′＝1，即切线的斜率为1，故倾斜角为45°.答案：B3．已知曲线y＝f(x)＝12x2＋2x的一条切

线斜率是4，则切点的横坐标为()A．－2B．－1C．1D．2解析：Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝12(x＋Δx)2＋2(x＋Δx)－12x2－2x＝x·Δx＋12(Δx)2＋2Δx，所以ΔyΔx＝x＋12Δx＋2，所以f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝x＋2.设切点坐标为(

x0，y0)，则f′(x0)＝x0＋2.由已知x0＋2＝4，所以x0＝2.答案：D4．函数y＝－1x在12，－2处的切线方程是()A．y＝4xB．y＝4x－4C．y＝4x＋4D．y＝2x－4解析：因

为y′＝limΔx→0－1x＋Δx＋1xΔx＝limΔx→0Δxx(x＋Δx)Δx＝1x2，所以切线的斜率k＝y′|x＝12＝4，所以切线方程是y＋2＝4x－12，即y＝4x－4，故选B.答案：B5．已知曲线f(x)

＝ax3＋1在点(1，f(1))处的切线方程为3x－y－1＝0，则a等于()A．1B．2C．3D．4解析：因为切点在切线上，所以3×1－f(1)－1＝0，即f(1)＝2，又因为切点(1，f(1))也在

曲线y＝f(x)上，所以2＝a×13＋1，即a＝1，故选A.答案：A6．已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝f(2)－f(1)，则k1，k2，k3之间的大小关系为______

__．(请用＞连接)解析：由导数的几何意义可知k1，k2分别为曲线在A，B处切线的斜率，而k3＝f(2)－f(1)＝f(2)－f(1)2－1为直线AB的斜率，由图象易知k1＞k3＞k2.答案：k1＞k3＞k27．已知函数f(x)＝2x－ax的图象在点(－1

，f(－1))处的切线斜率是1，则此切线方程是________．解析：因为f′(－1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→02Δx－1－aΔx＋a－a＋2Δx＝limΔx→02Δx－1－aΔx＋2Δx＝limΔx→0－aΔx2＋aΔx＋2ΔxΔx(Δx

－1)＝limΔx→0－aΔx＋a＋2Δx－1＝－(a＋2)＝1，得a＝－3，所以f(x)＝2x＋3x，所以f(－1)＝－5，则所求切线的方程为y＋5＝x＋1，即x－y－4＝0.答案：x－y－4＝08．已知曲线y＝2x2＋2

，用切线斜率的定义求曲线过点P(1,2)的切线方程为________．解析：因为Δy＝2(1＋Δx)2＋2－2，所以ΔyΔx＝2(1＋Δx)2＋2－2Δx，所以k＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→02(1＋Δx)2＋2－2Δ

x＝limΔx→02(Δx)2＋4ΔxΔx(2(1＋Δx)2＋2＋2)＝limΔx→02Δx＋42(1＋Δx)2＋2＋2＝1.故曲线经过P(1,2)的切线方程是y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.答案：x－y＋1＝09．如果曲线y＝x2＋

x－3的某一条切线与直线y＝3x＋4平行，求切点坐标与切线方程．解析：因为切线与直线y＝3x＋4平行，所以斜率为3，设切点坐标为(x0，y0)，则y′|x＝x0＝3.又y′|x＝x0＝limΔx→0f(x0

＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→0(x0＋Δx)2＋(x0＋Δx)－3－x20－x0＋3Δx＝limΔx→0(Δx)2＋2x0Δx＋ΔxΔx＝limΔx→0(Δx＋2x0＋1)＝2x0＋1，所以2x0＋1＝3.从而x0＝1，代

入y＝x2＋x－3得y0＝－1，所以切点坐标为(1，－1)．切线的方程为y＋1＝3(x－1)，即3x－y－4＝0.10．求过点(1，－1)且与曲线y＝x3－2x相切的直线方程．解析：显然点(1，－1)在曲线y＝x3－2x上．若切点为(1，－1)

，则由f′(1)＝limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→0(1＋Δx)3－2(1＋Δx)－(－1)Δx＝limΔx→0[(Δx)2＋3Δx＋1]＝1，所以切线方程为y－(－1)＝1×(x－1)，即x－y－2＝0.若切点不是(1，－1)，设

切点为(x0，y0)，则k＝y0＋1x0－1＝x30－2x0＋1x0－1＝(x30－x0)－(x0－1)x0－1＝x20＋x0－1.又由导数的几何意义知k＝f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→0(x0＋Δx)3－2(x

0＋Δx)－(x30－2x0)Δx＝3x20－2，所以x20＋x0－1＝3x20－2，所以2x20－x0－1＝0.因为x0≠1，所以x0＝－12.所以k＝x20＋x0－1＝－54，所以切线方程为y－(－1)＝－54(x－1)，即5x＋4y－1＝0.[B组

能力提升]11．已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设f(4)－f(2)4－2＝a，则下列不等式正确的是()A．a＜f′(2)＜f′(4)B．f′(2)＜a＜f′(4)C．f′(4)＜f′(2)＜aD．

f′(2)＜f′(4)＜a解析：由图象可知，函数的增长越来越快，故函数的斜率越来越大，所以(2，f(2))，(4，f(4))两点连线的斜率f(4)－f(2)4－2的大小在点(2，f(2))处的切线斜率f′(2)与点(4，f(4))处的切线斜率f′(4)

之间，所以f′(2)＜a＜f′(4)．答案：B12．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相平行，则ab为()A．－3B．3C.13D．－13解析：y′＝limΔx→0ΔyΔx＝(x＋Δx)3－x3Δx＝limΔx→

03x(Δx)2＋3x2Δx＋(Δx)3Δx＝3x2，因为点P(1,1)为曲线y＝x3上一点，所以曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝3.由条件知，ab＝3.答案：B13．曲线y＝x3在点(1,1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为______

__．解析：y′＝limΔx→0(x＋Δx)3－x3Δx＝3x2，所以切线的斜率k＝y′|x＝1＝3×12＝3，所以曲线y＝x3在点(1,1)处的切线方程为y＝3x－2，切线与x轴的交点为23，0，与y轴的交点为(0，－2)，所以S＝12×2×23＝23

.答案：2314．若点P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．解析：由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，点P为抛物线y＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－2，由导数的几何意义知y′＝2x＝1，解得x＝12，

所以P12，14，故点P到直线y＝x－2的最小距离d＝12－14－22＝728.答案：72815．已知曲线C：y＝f(x)＝1t－x经过点P(2，－1)，求：(1)曲线在点P处的切线的斜率；(2)曲线在点P处的切线的方程；

(3)过点O(0,0)的曲线C的切线方程．解析：(1)将P(2，－1)代入y＝1t－x中得t＝1，所以y＝11－x，所以ΔyΔx＝f(x＋Δx)－f(x)Δx＝11－(x＋Δx)－11－xΔx＝1(1－x－Δx)(1－x).所以limΔx

→0ΔyΔx＝1(1－x)2，所以曲线在点P(2，－1)处切线的斜率为k＝1(1－2)2＝1.(2)曲线在点P处的切线方程为y＋1＝x－2，即x－y－3＝0.(3)因为点O(0,0)不在曲线C上，设过点O的曲线C的

切线与曲线C相切于点M(x0，y0)，则切线斜率k＝y0x0＝1(1－x0)2，由于y0＝11－x0，所以x0＝12，所以切点M12，2，切线斜率k＝4，切线方程为y－2＝4x－12

，即y＝4x.16．已知直线l：y＝4x＋a和曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求实数a的值及切点的坐标．解析：设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，因为ΔyΔx＝(x0＋Δx)3－2(x0＋Δx)2＋3－(x30－2x20＋3)Δx＝(Δx)

2＋(3x0－2)Δx＋3x20－4x0.所以当Δx→0时，ΔyΔx→3x20－4x0，即f′(x0)＝3x20－4x0，由导数的几何意义，得3x20－4x0＝4，解得x0＝－23或x0＝2.所以切点的坐标为－23，4927或(2,3

)．当切点为－23，4927时，有4927＝4×－23＋a，所以a＝12127，当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a，所以a＝－5.综上，当a＝12127时，切点为－23，49

27；a＝－5时，切点为(2,3).获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com