【文档说明】北京市怀柔区2023-2024学年高一下学期期末考试 数学 Word版含解析.docx，共(24)页，1.284 MB，由小赞的店铺上传

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怀柔区2023—2024学年度第二学期高一质量检测数学注意事项：1.考生要认真填写姓名和考号.2.本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），满分150分，考试时间120分钟.3.试题有答案必须填涂或书写在答题卡的对应位置，在试卷上作答无效.第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字

迹的签字笔作答.4.考试结束后，考生应将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回.第一部分（选择题共40分）一､选择题：共10道小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.在复平面内，复数z对应点的坐标是()2,2−，则iz=（）A.22i+B.22i−+C

.22i−D.22i−−2.已知向量()()2,,1,2==−atb，若ab⊥，则实数t（）A.1−B.1C.4−D.43.下列函数中，周期是π，又是奇函数的是（）A.sinyx=B.cos2yx=C

.πysin24x=+D.tanyx=4.为了得到函数sin(2)4yx=−的图象，可以将函数sin2yx=的图象A.向左平移4个单位长度B.向右平移4个单位长度C.向左平移8个单位长度D.向右平移8个单位长度5.在ABC中，角,,AB

C所对的边分别为,,abc，若38,5,cos5abA===，则角B为（）A.π6B.π3C.π6和5π6D.π3和2π36.sin75cos15cos75sin15−=（）A.32B.12C.0D.17.已知在ABC中，cos1bcAc++=，则判断ABC的形状（）A.锐角三角形B.钝角

三角形C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形8.已知,ab是两条不重合直线，,是两个不重合平面，则下列说法正确的是（）A.若a,b，则abB.若a,,bab⊥，则⊥C.若,,ab，则abD.若,,,labl⊥=

⊥，则ab⊥9.设非零向量,ab，则“()()abab+⊥−”是“ab=或ab=−”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件10.已知向量()1,3OA=，向量2OB=，且2OAOB−=，点P在以原点为圆心，2为半径的圆上，则PAPB

的取值范围是（）A.0,323+B.323,323−+C.643,0−D.643,643−+第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.设复数z满足()1i2iz+=，则

z=__________．12.已知角终边经过点()3,4P−，则tan=__________;cos=__________.13.已知圆锥的母线长为4，轴截面是一个顶角为2π3的等腰三角形，则该

圆锥的体积为__________.14.“堑堵”最早的文字记载见于《九章算术》“商功”章.《九章算术·商功》刘徽注：“邪解立方得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马；其一为鳖臑.其中“堑堵”是一个长方体沿不在同一面上的相对两棱斜解

所得的三棱柱，如图，长方体的长为3，宽为4，高为5，若堑堵中装满水，当水用掉一半时，水面的高为__________.的15.设函数()2π2cos112fxx=−−，则下列选项中所有正确选项序号____

______.①当1=时，()fx的最小正周期为2π；②若()π4fxf对任意的实数x都成立，则的最小正数为13；③将()fx的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()gx的图象，若()gx的图象关于原点对称，则()32kk=+Z；④函数()fx

的图象与直线12y=相交，若存在相邻两个交点间的距离为π6，则的所有可能值为2，4.三､解答题：共6道小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知向量()()2,2,1,abm==（1）若2m=，求ab及ab+的值；（2）若2ab+与

b平行，求实数m的值；（3）若a与b的夹角为45，求实数m的值.17.如图，已知正方体1111ABCDABCD−边长为2.（1）证明：1BC平面1ABD；（2）证明：1BDAC⊥；（3）求三棱锥11BABC−的体积.1

8.在ABC中，2sin2sin,8,77bAaBac=−==的（1）求b值；（2）求角C和ABC的面积.19.已知函数()23sincoscosfxxxx=+从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()fx存在且唯一.条件①：π13f=−；条件

②：()fx在区间ππ,36−单调，且ππ263ff−−=；条件③：函数()()12gxfx=−相邻两个零点间的距离为π2.选__________作条件（1）求值；

（2）求()fx在区间ππ,63−上的最大值与最小值及对应的x的值.20.如图1，在RtABC△中，90,,CDE=分别为,ACAB中点.将ADEV沿DE折起到1ADE△的位置（1A与C不重合），连11,ACAB，如图2.（1）求证：平面1ADE⊥平面

1ACD；（2）若平面1ADE与平面1ACB交于过1A直线m，求证DEm；（3）线段1AB上是否存在点Q，使得1AC⊥平面DEQ，若存在，指出Q点位置并证明；若不存在，说明理由.21.在平面直角坐标系xOy中，定义向量(),OAmn=为函数()sincosfxmxnx=+的有序相伴向

量.（1）设()()π2sin3hxxx=−R，写出函数()hx的相伴向量OM；为的的（2）若()fx的有序相伴向量为()0,1OB=，若函数()()sin,0,2πhxfxxx=+，与直线yk=有且仅有2个不同的交点，求实数k的取值范围

；（3）若()fx的有序相伴向量为(),0OBm=，当函数()fx在区间,ab上时值域为,ab，则称区间,ab为函数的“和谐区间”.当3m=−时，()fx是否存在“和谐区间”？若存在，求出()fx的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由.怀

柔区2023—2024学年度第二学期高一质量检测数学注意事项：1.考生要认真填写姓名和考号.2.本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），满分150分，考试时间120分钟.3.试题有答案必须填涂或书写在答题卡的对应位置，在试卷上作答无效.第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须

用黑色字迹的签字笔作答.4.考试结束后，考生应将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回.第一部分（选择题共40分）一､选择题：共10道小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.在复平面内，复数z对应点的

坐标是()2,2−，则iz=（）A.22i+B.22i−+C.22i−D.22i−−【答案】A【解析】【分析】根据题意，由条件可得22zi=−，再由复数的乘法运算，即可求解.【详解】因为复数z对应点的坐标是(

)2,2−，则22zi=−，所以()ii22i22iz=−=+.故选：A2.已知向量()()2,,1,2==−atb，若ab⊥，则实数t（）A.1−B.1C.4−D.4【答案】B【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算可得答案.【详解】若ab⊥，则2120

−=t，解得1t=.故选：B.3.下列函数中，周期是π，又是奇函数的是（）A.sinyx=B.cos2yx=C.πysin24x=+D.tanyx=【答案】D【解析】【分析】根据周期公式和奇函数定义判断各个选项；【详解】对于A.sinyx=周期是2π，A错误；对于B.cos

2yx=周期是2π=π2，因为cos(2)cos2xx−=是偶函数，B错误；对于C.πsin24yx=+周期是2π=π2，因为ππsin2sin(2)cos242yxxx=+=+=是偶函数，C错误；对于D.tanyx=周期是π，又是奇函数，D正确；故选：D.4.为了得到函

数sin(2)4yx=−的图象，可以将函数sin2yx=的图象A.向左平移4个单位长度B.向右平移4个单位长度C.向左平移8个单位长度D.向右平移8个单位长度【答案】D【解析】【详解】sin2sin248xx−=−

，据此可知，为了得到函数sin24yx=−的图象，可以将函数sin2yx=的图象向右平移8个单位长度.本题选择D选项.5.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，若38,5,cos5abA==

=，则角B为（）A.π6B.π3C.π6和5π6D.π3和2π3【答案】A【解析】【分析】根据题意，由正弦定理代入计算，结合三角形的大边对大角，即可求解.【详解】因为38,5,cos5abA===，则24s

in1cos5AA=−=，由正弦定理可得sinsinabAB=，则45sin15sin82bABa===，()0,πB，所以π6B=或5π6，又ba，所以BA，即B为锐角，所以π6B=.故选：A6.sin75cos15cos75sin15−=（）A.32B.12C.0D.1【答案】A

【解析】【分析】逆用正弦的差角公式进行求解.【详解】()sin75cos15cos75sin15sin7515sin6320−==−=故选：A7.已知在ABC中，cos1bcAc++=，则判断ABC的形状（）A.锐角三角形B

.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理可得答案.【详解】由余弦定理得222cos112+−++=+=bcabcAbcc，所以()22222+−+=+bcabcbbc，可得222cab=

+，所以ABC是直角三角形.故选：C.8.已知,ab是两条不重合直线，,是两个不重合平面，则下列说法正确的是（）A.若a,b，则abB.若a,,bab⊥，则⊥C.若,,ab，则abD.若,,,labl⊥=⊥，则a

b⊥【答案】B【解析】【分析】对于ACD，举例判断，对于B，利用面面垂直的判定定理结合已知条件分析判断.【详解】对于A，如图，当a,b时，,ab是异面直线，所以A错误，对于B，因为a,ba⊥，所以b⊥，因为b，所以⊥，所以B正确，对于C，如图，当,,ab

时，,ab是异面直线，所以C错误，对于D，如图，当,,,labl⊥=⊥时，a与b，所以D错误，故选：B9.设非零向量,ab，则“()()abab+⊥−”是“ab=或ab=−”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条

件D.即不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】结合向量的运算，根据充分条件和必要条件的定义即可判断【详解】因为()()abab+⊥−所以()()222200ababababab+−=−===，又ab=不能推出ab=或ab=−；但若“ab=或ab=−”，

则一定有ab=，所以“()()abab+⊥−”是“ab=或ab=−”的必要不充分条件，故选：B.10.已知向量()1,3OA=，向量2OB=，且2OAOB−=，点P在以原点为圆心，2为半径的圆上，则PAPB的取值范围是（）A.0,323+B.323

,323−+C.643,0−D.643,643−+【答案】D【解析】【分析】根据题意可得AOB为等边三角形，则(2,0)B或(1,3)B−，设(2cos,2sin)P，然后分两种情况，再根据向量数量积的运算构造函数模型，通过函数思想求解即可.【详解】因为()1

,3OA=，所以2OA=，因为2OAOBBA−==，2OB=，所以AOB为等边三角形，因为(1,3)A，所以(2,0)B或(1,3)B−，设(2cos,2sin)P，当(2,0)B时，则(12cos,32sin),(22cos,2sin)PAPB

=−−=−−，所以(12cos)(22cos)(32sin)(2sin)PAPB=−−+−−224cos6cos24sin23sin=−++−(6cos23sin)6=−++π43sin63=−++，因为π1sin13−+

，所以π4343sin433−−+，所以π64343sin66433−−+++，所以643643PAPB−+，当(1,3)B−时，则(12cos,32sin),(12cos,32si

n)PAPB=−−=−−−，所以(12cos)(12cos)(32sin)(32sin)PAPB=−−−+−−224cos14sin43sin3=−+−+643sin=−，因为1sin1−，所以4343sin43

−−，所以643643sin643−−+，所以643643PAPB−+综上，PAPB的取值范围是643,643−+.故选：D【点睛】关键点点睛：此题考查向量的数量积运算，考查向

量的坐标运算，考查三角函数恒等变换公式的应用，解题的关键是根据题意设出,,ABP的坐标，然后用坐标计算数量积，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.设复数z满足()1i2iz+=，则z=__________．【答案

】2【解析】【分析】根据对数的除法运算求解复数z，即可求得模长z.【详解】解：复数z满足()1i2iz+=，则()()()2i1i2i22i1i1i1i1i2z−+====+++−，所以22112z=+=.故答案

为：2.12.已知角的终边经过点()3,4P−，则tan=__________;cos=__________.【答案】①.43−②.35##0.6【解析】【分析】利用三角函数的定义易得正切值和余弦值.【详

解】依题意，3,4xy==−，223(4)5rOP==+−=，则43tan,cos.35yx==−=故答案为：43−；35.13.已知圆锥母线长为4，轴截面是一个顶角为2π3的等腰三角形，则该圆锥的体积为_

_________.【答案】8π【解析】【分析】根据题意求出底面的半径和圆锥的高，再用圆锥的体积公式即可得解.【详解】如图，图为圆锥的轴截面示意图，由题意可得，π4,3PBBPD==所以底面半径为π4sin233DB==，圆锥的高为π4cos23PD==，

所以圆锥的体积为()2211ππ2328π33VDBPD===,故答案为：8π.14.“堑堵”最早的文字记载见于《九章算术》“商功”章.《九章算术·商功》刘徽注：“邪解立方得二堑堵，邪解堑堵，其一为阳马；其一为

鳖臑.其中“堑堵”是一个长方体沿不在同一面上的相对两棱斜解所得的三棱柱，如图，长方体的长为3，宽为4，高为5，若堑堵中装满水，当水用掉一半时，水面的高为的__________.【答案】10522−【解析】【分析】根据直三棱柱及直四棱柱求出体积，由题意建立方程求解即可.【详解】由题

意，堑堵的体积1543302V==，当水用掉一半时，由相似可得充满水的直四棱柱底面梯形的上底长x满足545xh−=，解得445xh=−，所以直四棱柱的体积()4845331522hhxhV−

+===，即2220250hh−+=，解得10522h−=或10522h+=（舍去）.故答案为：10522−15.设函数()2π2cos112fxx=−−，则下列选项中所有正确选项的序号__________.①当1=时，()fx

的最小正周期为2π；②若()π4fxf对任意的实数x都成立，则的最小正数为13；③将()fx的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()gx的图象，若()gx的图象关于原点对称，则()32kk=+Z；④函数()fx的图象与直线12y=相交，若存在相邻两个交点间的距离为π6，

则的所有可能值为2，4.【答案】②③④【解析】【分析】先化简()fx，对于①，用求周期公式即可判断；对于②，根据题意可得π4x=过()fx图象的最高点，从而列方程可求解；对于③，图象变换得到新的解析式，奇函数性质可解；；对于④，结合图像和函数周期性即可得解

.【详解】()2ππ2cos1cos2126fxxx=−−=−,对于①，当1=时，()πcos26fxx=−的最小正周期为2π2ππ2T===，故①错误；对于②，因为()π4fxf

对任意的实数x都成立，即π4x=过()fx图象的最高点，所以π4x=满足方程()π22πZ6xkk−=，即()ππ122π4Z463kkk−==+所以的最小正数为13，故②正确；对于③，因为()fx的图象向左平移π6个单位长度后得到函数

()gx的图象，所以()πππππcos2cos266636gxfxxx=+=+−=+−因为()gx的图象关于原点对称，所以()gx为奇函数，所以()ππ

ππZ362kk−=+，解得()32kk=+Z，故③正确；对于④，因为函数()fx的图象与直线12y=相交，所以()π1cos262fxx=−=，设一对相邻三个交点对应的横坐标为123xxx，，不妨令123πππππ5π222636363xxx−=−−=−=

、、解得123ππ11π12412xxx=−==，，因为相邻两个交点间的距离为π6，所以21πππ4126xx−=−−=，解得2=；3211πππ1246xx−=−=，解得

4ω=，根据()fx的周期性可知，满足题意的的所有可能值为2，4.故④正确；故答案为：②③④.【点睛】关键点点睛：对于②的关键是根据题意发现π4x=过()fx图象的最高点，从而列方程可解；对于③的关键是通过图像变换得到新的解析

式，然后利用奇函数的性质得到()ππππZ362kk−=+从而得解，对于④的关键是图象交点问题转化为方程解的问题，然后取特殊的三个相邻交点的横坐标，根据函数的周期性发现相邻两个交点间的距离为π6只有两种情况，从而得解.三､解答题：共6道小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证

明过程.16.已知向量()()2,2,1,abm==（1）若2m=，求ab及ab+的值；（2）若2ab+与b平行，求实数m的值；（3）若a与b的夹角为45，求实数m的值.【答案】（1）6ab=，5ab+=（2）1

m=（3）0m=【解析】【分析】（1）直接利用数量积的坐标运算求解ab，先求出ab+的坐标，再求其模；（2）先求出2ab+的坐标，再由两向量平行列方程求解；（3）利用向量的夹角公式直接列方程求解即可.【小问1详解】当2m=时，()1,2b=，所以21226,(3,

4)abab=+=+=，所以22345ab+=+=；【小问2详解】因为()()2,2,1,abm==，所以2(5,4)abm+=+，因为2ab+与b平行，所以54mm=+，解得1m=；【小问3详解】因为a与b

的夹角为45，()()2,2,1,abm==，所以2222cos,2221abmababm+===+，所以24441mm+=+，解得0m=.17.如图，已知正方体1111ABCDABCD−边长为2.（1）证明：1BC平

面1ABD；（2）证明：1BDAC⊥；（3）求三棱锥11BABC−的体积.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）43【解析】【分析】（1）根据题意，由线面平行的判定定理，即可证明；（2）根据题意，由线面垂直的性

质定理即可证明；（3）根据题意，由等体积法代入计算，即可求解.【小问1详解】在正方体1111ABCDABCD−中，连接1AB交1BA于E，连接AC，交BD于O，连接OE，则1//OECB，且1CB平面1

ABD，OE平面1ABD，所以1//BC平面1ABD.【小问2详解】因为1111ABCDABCD−为正方体，则1AA⊥平面ABCD，且BD平面ABCD，所以1AABD⊥，又BDAC⊥，1ACAAA=∩，1,ACAA平面1ACA，所以BD⊥平面1ACA，又1AC平面1ACA，所以1BDAC⊥

.【小问3详解】111111111142223323ABCBBCBBABCVVSAB−−====.18.在ABC中，2sin2sin,8,77bAaBac=−==（1）求b值；（2）求角C和A

BC的面积.【答案】（1）3（2）π3C=，ABC的面积为63【解析】【分析】（1）根据正弦定理边化角和二倍角公式可得1cos7=−A，再利用余弦定理计算得出结果；（2）根据余弦定理推论计算得出角；再根据三角形面积公式计算的结果；【小问1

详解】在ABC中，由正弦定理得22sinsin2sinsin2sinsincossinsin,77BAABBAAAB=−=−因为sin0,sin0BA，所以1cos7=−A，由余弦定理得2222cosabcbcA=+−，代入2264492,2150bbbb=+−−−=，解得3b

=或=5b−（舍）【小问2详解】由余弦定理推论得222649491cos22832abcCab+−+−===，因为0πC，所以角π3C=；因此ABC的面积为113sin8363222abC==.19.已知函数()23sincoscosfxxxx

=+从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()fx存在且唯一.条件①：π13f=−；条件②：()fx在区间ππ,36−单调，且ππ263ff−−=；条件③：函数()()12gxfx=−相邻两

个零点间的距离为π2.选__________作为条件（1）求值；（2）求()fx在区间ππ,63−上的最大值与最小值及对应的x的值.【答案】（1）1=（2）当π6x=−时，()min0fx=；

当π6x=时，()max32fx=【解析】【分析】先化简()fx，（1）若选条件，分别求解，舍掉不满足()fx存在且唯一，逐一检验即可得解，（2）由（1）得到()fx解析式，求出相位范围即可求解.【小问1详解】(

)231cos2π13sincoscossin2sin22262xfxxxxxx+=+=+=++，若选条件①，π13f=−,ππ1sin21362++=−，即ππ3sin2362+=−，无解，不合题意；若选条件②，

因为ππ263ff−−=，()()maxmin31,22fxfx==−所以π362f=且π132f−=−所以π6x=过()fx图象的最高点，π3x=−过(

)fx图象的最低点，又因为()fx在区间ππ,36−单调，所以1πππ2π2632T=−−==解得1=，当1=−时，()π1π1sin2sin26262fxxx=−++=−−+，当ππ,36x−时，π5ππ2,6

66x−−，所以()fx在区间ππ,36−不单调，不符合题意，所以1=；若选条件③，因为()πg=sin26xx+相邻两个零点间的距离为π2，所以1π22T=，即πT=，又2ππ2T==，解得1=，不合题意；综上，1=；【小问2详解】由

（1）知()π1sin262fxx=++，当ππ,63x−时，ππ5π2,666x+−，所以，当πππ2,666xx+=−=−即时，()minπ1sin062fx

=−+=；当πππ2,626xx+==即时，()maxπ13sin222fx=+=.20.如图1，在RtABC△中，90,,CDE=分别为,ACAB的中点.将ADEV沿DE折起到1ADE△的位置（1A与C不重合），连1

1,ACAB，如图2.（1）求证：平面1ADE⊥平面1ACD；（2）若平面1ADE与平面1ACB交于过1A的直线m，求证DEm；（3）线段1AB上否存在点Q，使得1AC⊥平面DEQ，若存在，指出Q点位置并证明；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析.（

2）证明见解析.（3）在线段1AB上存在点Q，即为1AB的中点,使得1AC⊥平面DEQ.【解析】【分析】（1）先证明1,DEDCDEDA⊥⊥，根据线面垂直的判断定理得DE⊥平面1ACD，再由面面垂直的判断定理即可证明；（2）先证

明//DE平面1ACB，再由DE平面1ADE，且平面1ADE平面1ACBm=，根据线面平行性质得DE//m.（3）线段1AB上存在点Q，即为1AB的中点，取1AC中点M，连接,,DMMQQE，证明1AC⊥平面DEM，再由,,,DEQM四点在同一个平面得到1AC⊥平面DEQ.【小问1详解】因

为在RtABC△中，,DE分别为,ACAB中点，所以,DEDCDEDA⊥⊥，将ADEV翻折到1ADE△的位置后，即1,DEDCDEDA⊥⊥，因为1,DCDADDC=平面1ACD，1DA平面1ACD，所以DE⊥平面1ACD，因为

DE平面1ADE，所以平面1ADE⊥平面1ACD.【小问2详解】因为在RtABC△中，,DE分别为,ACAB中点，所以//DECB，因为CB平面1ACB，DE平面1ACB，所以//DE平面1AC

B，又因为DE平面1ADE，且平面1ADE平面1ACBm=，是的所以DE//m.【小问3详解】在线段1AB上存在点Q，即为1AB中点，使得1AC⊥平面DEQ.证明如下：取1AC中点M，连接,,DMMQQE，由（1）可知，DE⊥平面1ACD，因为1AC平面1ACD，

所以1ACDE⊥，因为D为AC中点，所以1DADC=，即1DAC为等腰三角形，所以1DMAC⊥，因为,DEDMDDE=平面DEM，DM平面DEM，所以1AC⊥平面DEM，因为Q为1AB的中点，即////MQCBDE，所以,,,DEQM四点在同一个平面.所以1AC⊥平面DEQ.21.在平面

直角坐标系xOy中，定义向量(),OAmn=为函数()sincosfxmxnx=+的有序相伴向量.（1）设()()π2sin3hxxx=−R，写出函数()hx的相伴向量OM；（2）若()fx的有序相伴向量为()0,1OB=，若函数

()()sin,0,2πhxfxxx=+，与直线yk=有且仅有2个不同的交点，求实数k的取值范围；的（3）若()fx有序相伴向量为(),0OBm=，当函数()fx在区间,ab上时值域为,ab，则称区间,ab为函数的“和谐区间”.当

3m=−时，()fx是否存在“和谐区间”？若存在，求出()fx的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由.【答案】（1）()1,3−（2）2k=或11k−（3）答案见详解【解析】【分析】（1）根据两角差的正弦公式即可求解；（2）画出()()sin,0

,2πhxfxxx=+的图像以及直线yk=的图像，数形结合可得k的取值范围；（3）结合函数图像，对,ab进行分类讨论即可求解.【小问1详解】因为()πππ132sin2sincoscossin2sincossin3cos33322hxxxxxx

xx=−=−=−=−，所以函数()hx的相伴向量()1,3OM=−；【小问2详解】若()fx的有序相伴向量为()0,1OB=，则()cosfxx=，所以()()((π2sin,0,πcossin,0,π4sincossin

cossin,0,2ππ2sin,0,2π4xxxxxhxfxxxxxxxxx++=+=+==−−−，如图所示，当()()(ππ0,1,2;,π1,244xhxxhx−时，时，，的()

(()(7π7ππ,1,2;,2π1,244xhxxhx−时，时，；由图像可知，若函数()hx与直线yk=有且仅有2个不同的交点，则2k=或11k−；【小问3详解】若()fx的有序相伴向量为()

,0OBm=，则()sinfxmx=，当3m=−时，()3sinfxx=−，当3m=−时，假设存在()fx是否存在“和谐区间”，则由()33fx−，得33ab−，①若,0ab，则由),0,πab，知()0

fx，与值域),0,πab矛盾，故存在“和谐区间”，②同理，,0ab时，也，不存在；下面讨论0ab≤≤③若π2b，则π0,,2ab，故()fx的最小值为3−，于是3a=−，所以ππ,,22ab−，所以()fx的最大值为3，故

3b=，此时()fx的定义域为3,3−，值域为3,3−，符合题意，④若π02b，当π2a−时，同理可得3,3ab=−=，舍去，当π2a−时，()fx在,ab上单调递减，所以3sin,3sinabba=−=−，于是()3sinsinab

ab+=−+，若ba−，即0ab+，()sinsinba−，故sinsin0ab+，()3sinsin0ab−+，与()3sinsinabab+=−+矛盾，若ba−，同理，矛盾，所以=−ba，即sin3bb=，由图像可知，当π

0,2x时，sin3xx，因为π0,2b，所以0b=，从而0a=，从而ab=，矛盾，综上所述，()fx有唯一“和谐区间”3,3−.【点睛】此题为向量和三角函数相结合的新定义问题；主要把握住它们之间的转换关系即可，

熟记三角恒等变换的有关公式；求取值范围转换为函数问题，数形结合解决问题.