【文档说明】湖南省多校联考2023-2024学年高二上学期12月月考试题+数学+含解析.docx，共(14)页，90.726 KB，由管理员店铺上传

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2023年下学期高二12月联考数学本试卷共4页。全卷满分150分,考试时间120分钟。注意事项：1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应的

答案标号涂黑,如有改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案;回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.1.1+2i1−3i=A.12+12iB.−12−12iC.12−12iD.−12+12i2.已知集合𝑀={𝑥∣log2𝑥<2},𝑁={𝑥∣𝑥2−𝑥−2<0},则𝑀∩𝑁=A.(0,4)B.(0,2)C.(−1,4)D.(−1,2

)3.若直线经过𝐴(1,0),𝐵(2,√3)两点,则直线𝐴𝐵的倾斜角为A.30∘B.45∘C.60∘D.135∘4.函数𝑓(𝑥)=sin𝑥1+cos𝑥(𝑥∈(−𝜋,𝜋))的图象大致为5.如图,边长为2的正方形𝐴′𝐵′𝐶′

𝐷′是用斜二测画法得到的四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的直观图,则四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为A.3√2B.6√2C.8√2D.4√26.已知直线𝑙:𝑦=𝑘(𝑥−1)与圆𝐶:(𝑥−1)2+(𝑦

−2)2=5相交于𝐴,𝐵两点,若∠𝐴𝐶𝐵<90∘,则实数𝑘的取值范围为A.(−√53,√53)B.(−2√55,2√55)C.(−√155,√155)D.(−23,23)7.已知−𝜋6,5𝜋6为函数𝑓(𝑥)=cos(𝜔𝑥+𝜑)(𝜔>0)的零点,且

在区间(−𝜋6,5𝜋6)上𝑓(𝑥)有且仅有两条对称轴,则𝜔⋅𝜑可以是A.5𝜋3B.7𝜋3C.8𝜋3D.10𝜋38.已知抛物线𝐶:𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)上存在两点𝐴,𝐵(异于原点𝑂),设直线𝑂𝐴,𝑂�

�,𝐴𝐵的斜率分别为𝑘1,𝑘2,𝑘3,若𝑘3=−2𝑘1,则𝑘2𝑘1=A.−34B.−23C.−12D.−32二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.某

产品售后服务中心选取了10个工作日,分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量(单位:次)为:6575737466231473130则这组数据的A.众数是31B.中位数是40C.极差是37D.10%分位数是30.510.如图所示,四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形,平面𝐴

𝐵𝐶𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐹,𝐸为𝐴𝐵的中点,𝐴𝐹⊥𝐵𝐹,𝐴𝐵=√2𝐴𝐹=2,则下列结论正确的是A.|𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=2√5B.直线𝐵𝐶到平面𝐴𝐷𝐹的距离为√3C.异面直线𝐴𝐷与𝐹𝐶所成角的余弦值为√63D.直线�

�𝐶与平面𝐵𝐶𝐹所成角的正弦值为1211.已知等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛,公差为𝑑,𝑎1<0,若𝑎10+𝑎15=𝑎12,则A.数列{𝑎𝑛}是递增数列B.𝑎13是数列{𝑎𝑛}中的最小项C.𝑆12和

𝑆13是数列{𝑆𝑛}中的最小项D.满足𝑆𝑛<0的𝑛的最大值为2512.已知焦点在𝑥轴上,对称中心为坐标原点的等轴双曲线𝐶的实轴长为2√2,过𝐶的右焦点𝐹,斜率存在且不为零的直线𝑙与𝐶交于𝐴,𝐵两点,点�

�关于𝑥轴的对称点为𝐷,则下列说法正确的是A.双曲线𝐶的标准方程为𝑥22−𝑦22=1B.若直线𝑙的斜率为2,则𝐴𝐵=10√23C.若点𝐵,𝐴,𝐹依次从左到右排列,则存在直线𝑙使得𝐴为线段𝐵𝐹的中点D.直线𝐴𝐷过定点𝑃(1

,0)三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量𝐚,𝐛的夹角的余弦值为14,|𝐚|=2,|𝐛|=4,则𝐚⋅(𝐛−𝐚)=________14.若空间向量𝐚=(1,1,1),𝐛=(1,2,1),𝐜=(1,0,𝑚)共面,则实数𝑚=_____

___15.已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1=1,𝑎2=2,且𝑎𝑛+1=𝑎𝑛+𝑎𝑛+2,则𝑎2029=________16.已知𝑃是椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)上异于上下顶点的任意一点,𝑂为坐标原点,过点𝑃作圆𝑂:𝑥2+𝑦2=

𝑏2的切线,切点分别为𝑀,𝑁,若存在点𝑃使得∠𝑀𝑃𝑁=90∘,则𝐶的离心率的最小值为________四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本小题满分1

0分)在△𝐴𝐵𝐶中,角𝐴,𝐵,𝐶所对的边分别为𝑎,𝑏,𝑐,且满足𝑏2𝑐cos𝐶+𝑐2𝑏cos𝐵=𝑎𝑏2+𝑎𝑐2−𝑎3.(1)求𝐴;(2)若𝑏+𝑐=2,求𝑎的最小值.18.(本小题满分12分)已知等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛

项和为𝑆𝑛,正项等比数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和为𝑇𝑛,𝑎1=2,𝑏1=1,𝑏3=3+𝑎2.(1)若𝑏2=−2𝑎4,求数列{𝑏𝑛}的通项公式;(2)若𝑇3=13,求𝑆3.19.(本小题满分12分)已知𝑃(𝑥0,𝑦0)是双曲线𝐶:𝑥25−𝑦2=

1上任意一点.(1)求证:点𝑃到双曲线𝐶的两条渐近线的距离的乘积是一个常数;(2)若点𝐴(4,0),求|𝑃𝐴|的最小值.20.(本小题满分12分)如图,在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中,𝐴𝐷⊥平面𝑃𝐴𝐵

,𝐴𝐷//𝐵𝐶,𝑃𝐴⊥𝐴𝐵,𝐸为侧棱𝑃𝐴上一点,平面𝐵𝐶𝐸与侧棱𝑃𝐷交于点𝐹,且𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐴𝐸=12𝐴𝐷=2,𝐷𝑃与底面𝐴𝐵𝐶𝐷所成的角为45∘.(1)求证:𝐹为线段𝑃𝐷的中点;(2)求平

面𝑃𝐷𝐶与平面𝑃𝐵𝐶的夹角的正弦值.21.(本小题满分12分)给定数列{𝑎𝑛},若满足𝑎1=𝑎(𝑎>0且𝑎≠1),且对于任意的𝑚,𝑛∈𝐍∗,都有𝑎𝑚+𝑛=𝑎𝑚⋅𝑎𝑛,则称{𝑎𝑛}为“指数型数列”.若数列{𝑎𝑛}满足:𝑎1=1,2

𝑎𝑛+1+𝑎𝑛⋅𝑎𝑛+1=𝑎𝑛,𝑎𝑛≠0.(1)判断数列{1+𝑎𝑛𝑎𝑛}是否为“指数型数列”?若是,给出证明;若不是,请说明理由;(2)若𝑏𝑛=2𝑛𝑎𝑛⋅𝑎𝑛+

1,求数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和𝑇𝑛.22.(本小题满分12分)已知椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的右焦点为𝐹,离心率为12，点𝐴(√33,−√112)在𝐶上.(1)求椭圆𝐶的标准方程;(2)过点𝑇(2𝑎,

0)作直线𝑙1(直线𝑙1的斜率不为0)与椭圆𝐶相交于𝑀,𝑁两点,过焦点𝐹作与直线𝑙1的倾斜角互补的直线𝑙2与椭圆𝐶相交于𝑃,𝑄两点,求PFQFTMTN的值.2023年下学期高二12月联考-数学参考答案、提示及评分细则1.【答案】D【解析】1+2i1−3

i=(1+2i)(1+3i)10=−12+12i.故选D.2.【答案】B【解析】𝑀=(0,4),𝑁=(−1,2),故𝑀∩𝑁=(0,2).故选B.3.【答案】C【解析】由直线经过𝐴(1,0),𝐵(2,√3)两点,可得直线的斜率为√3−02−1=

√3,设直线的倾斜角为𝜃,则tan𝜃=√3.又0∘≤𝜃<180∘,所以𝜃=60∘.故选C.4.【答案】A【解析】由𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)可知𝑓(𝑥)为奇函数,故排除C,D;又当𝑥∈(0,𝜋)时,𝑓(𝑥)>0,排除B,故选A.5.【答案】

C【解析】由直观图知:在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中,𝐴𝐵=2,且其对应高ℎ=2𝑂′𝐷′=4√2,所以四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为2×4√2=8√2.故选C.6.【答案】C【解析】过点𝐶作𝐶𝐻⊥𝐴𝐵,垂足为𝐻,由∠𝐴𝐶𝐵<90∘,可得∠𝐴𝐶

𝐻<45∘,有∠𝐻𝐴𝐶>45∘,有|𝐶𝐻||𝐴𝐶|>√22,可得|𝐶𝐻|>√102,有2√𝑘2+1>√102,可得−√155<𝑘<√155.故选C.7.【答案】A【解析】由题意知5𝜋

6−(−𝜋6)=𝜋=2𝜋𝜔,因此𝜔=2,𝑓(−𝜋6)=cos(−𝜋3+𝜑)=0,则−𝜋3+𝜑=𝜋2+𝑘𝜋,𝑘∈𝐙,于是𝜑=5𝜋6+𝑘𝜋,𝜔⋅𝜑=5𝜋3+2𝑘𝜋,𝑘∈𝐙.故选A.8.【答案】B【解析】设点𝐴,𝐵的坐标分别为(

𝑦122𝑝,𝑦1),(𝑦222𝑝,𝑦2),有𝑘1=2𝑝𝑦1,𝑘2=2𝑝𝑦2,𝑘3=𝑦2−𝑦1𝑦222𝑝−𝑦122𝑝=2𝑝𝑦1+𝑦2,由𝑘3=−2𝑘1,有2𝑝𝑦

1+𝑦2=−2×2𝑝𝑦1,可得𝑦1𝑦2=−23,有𝑘2𝑘1=2𝑝𝑦22𝑝𝑦1=𝑦1𝑦2=−23.故选B.9.【答案】ACD【解析】这组数据中31出现了2次,出现次数最多,因此众数是31,A正确;从小到

大排列10个数据分别为30,31,31,37,40,46,47,57,62,67,第5位和第6位为40和46,因此中位数是43,B错误;最大值为67,最小值为30,因此极差为67−30=37,C正确;10×10%=1是整数,10%分位数应取第1位与第2位的平均值,即30和3

1的平均值30.5,D正确.故选ACD.10.【答案】ACD【解析】|𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=2|𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗|=2√12+22=2√5,故A正确;易知𝐵𝐶//𝐴𝐷,𝐵𝐶⊂⊂平面𝐴𝐷𝐹,𝐴𝐷⊂平面𝐴𝐷𝐹,所以𝐵𝐶//平面𝐴𝐷

𝐹,由𝐴𝐹⊥𝐵𝐹,𝐴𝐷⊥𝐵𝐹,可知𝐵𝐹⊥平面𝐴𝐷𝐹,所以直线𝐵𝐶到平面𝐴𝐷𝐹的距离为𝐵𝐹=√2,故𝐵错误;异面直线𝐴𝐷与𝐹𝐶所成角即𝐵𝐶与𝐹𝐶所成角,因此余弦值为𝐵𝐶𝐹𝐶=√

63,故C正确;易知𝐴𝐹⊥平面𝐵𝐶𝐹,即∠𝐴𝐹𝐶=90∘,故𝐴𝐶与平面𝐵𝐶𝐹所成角的正弦值为𝐴𝐹𝐴𝐶=12,故D正确.故选ACD.11.【答案】AC【解析】因为𝑎10+𝑎15=𝑎12

,所以𝑎13=0,即𝑎1+12𝑑=0.因为𝑎1=−12𝑑<0,所以𝑑>0,数列{𝑎𝑛}是递增数列,所以A正确;因为数列{𝑎𝑛}是递增数列,所以最小项是首项𝑎1,所以B错误;因为𝑎1<0,𝑎13=0,所以当𝑛=12或𝑛=13时,𝑆𝑛取最小值,所以C正确;由不

等式𝑆𝑛=𝑑𝑛2(𝑛−25)<0,可得0<𝑛<25,所以满足𝑆𝑛<0的𝑛的最大值为24,所以D错误.故选AC.12.【答案】ABD【解析】设双曲线𝐶的标准方程为𝑥2𝑚2−𝑦2𝑚2=1(𝑚>0),由双曲线𝐶的实轴长为2√2,可得𝑚=√2,可知双曲线𝐶的标准方程为�

�22−𝑦22=1,故A正确;由上知𝐹(2,0),则直线𝑙的方程为𝑦=2(𝑥−2),设𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2),则𝐷(𝑥2,−𝑦2),联立方程{𝑥22−𝑦22=1,𝑦=2(𝑥

−2),消去𝑦整理得3𝑥2−16𝑥+18=0,有𝑥1+𝑥2=163,𝑥1𝑥2=6,可得|𝐴𝐵|=√(1+22)×[(163)2−4×6]=10√23,故B正确;由𝑥1>√2,𝑥2<−√2,有𝑥2+22<1−√22<√2,故不存在直线𝑙使得𝐴为线段�

�𝐹的中点,故C错误;设直线𝜄的方程为𝑚𝑦=𝑥−2,联立方程{𝑥22−𝑦22=1𝑚𝑦=𝑥−2,消去𝑥整理得(𝑚2−1)𝑦2+4𝑚𝑦+2=0,有𝑦1+𝑦2=−4𝑚𝑚2−1,𝑦1𝑦2=2𝑚2−1,直线𝐴𝑃斜率为𝑦1𝑥1−1

=𝑦1𝑚𝑦1+1,直线𝐷𝑃斜率为−𝑦2𝑥2−1=−𝑦2𝑚𝑦2+1,若直线𝐴𝐷过定点𝑃,则𝑦1𝑚𝑦1+1=−𝑦2𝑚𝑦2+1,即2𝑚𝑦1𝑦2+𝑦1+𝑦2=0,经检验,上述等式恒成立,则直线�

�𝐷过定点𝑃(1,0),故D正确.故选ABD.13.【答案】-2【解析】𝐚⋅(𝐛−𝐚)=𝐚⋅𝐛−𝐚2=2×4×14−22=−2.14.【答案】1【解析】由题可知𝐜=𝜆𝐚+𝜇𝐛,即(1,0,𝑚)=𝜆(1,1,1)+𝜇(1,2,1),故𝑚=𝜆+𝜇

=1.15.【答案】1【解析】因为𝑎1=1,𝑎2=2,且𝑎𝑛+1=𝑎𝑛+𝑎𝑛+2,所以𝑎3=𝑎2−𝑎1=1,𝑎4=𝑎3−𝑎2=−1,𝑎5=𝑎4−𝑎3=−2,𝑎6=𝑎5−𝑎4=−1,𝑎7=𝑎6−𝑎5=1,𝑎8=𝑎7−𝑎6=2,⋯,

所以{𝑎𝑛}是以6为周期的数列.因为2029=6×338+1,所以𝑎2029=𝑎1=1.16.【答案】√22【解析】当∠𝑀𝑃𝑁=90∘时,由于𝑀,𝑁为切点,所以𝑂𝑃=√2𝑏.又因为点𝑃在椭圆𝐶上,所以𝑏<√2𝑏≤𝑎,即2𝑏2≤𝑎2,解出√22≤

𝑒<1.17.【答案】(1)60∘(2)1【解析】(1)𝑏2𝑐cos𝐶+𝑐2𝑏cos𝐵=𝑎(𝑏2+𝑐2−𝑎2)=𝑎⋅2𝑏𝑐cos𝐴⇒𝑏cos𝐶+𝑐cos𝐵=2𝑎cos𝐴,即sin𝐵cos𝐶+sin𝐶cos𝐵=2sin𝐴cos𝐴,即s

in𝐴=2sin𝐴cos𝐴⇒cos𝐴=12⇒𝐴=60∘;(2)由余弦定理有𝑎2=𝑏2+𝑐2−𝑏𝑐=(𝑏+𝑐)2−3𝑏𝑐≥(𝑏+𝑐)2−3⋅(𝑏+𝑐2)2=1,当且仅当𝑏=𝑐=1时取等号,故𝑎的最小值

为1.18.【答案】(1)𝑏𝑛=2𝑛−1(2)𝑆3=18【解析】(1)设{𝑎𝑛}的公差为𝑑,{𝑏𝑛}的公比为𝑞,由𝑏3=3+𝑎2,得𝑞2=5+𝑑,又𝑏2=−2𝑎4,得𝑞=−6𝑑−4

,解得{𝑑=−1136,𝑞=−136(舍去)或{𝑑=−1,𝑞=2,因此数列{𝑏𝑛}的通项公式为𝑏𝑛=2𝑛−1;(2)由𝑏1=1,𝑇3=13,得𝑞2+𝑞−12=0,解得𝑞=3或-4(舍),当𝑞=3时,由𝑞2=5+𝑑得𝑑=4,则

𝑆3=3×2+3×22×4=18.19.【答案】(1)略(2)√153【解析】(1)证明:由已知可得𝑎=√5,𝑏=1,所以双曲线的渐近线方程为𝑦=±1√5𝑥,点𝑃(𝑥0,𝑦0)到直线𝑦=1√5𝑥,

即直线𝑥−√5𝑦=0的距离𝑑1=|𝑥0−√5𝑦0|√6,点𝑃(𝑥0,𝑦0)到直线𝑦=−1√5𝑥,即直线𝑥+√5𝑦=0的距离𝑑2=|𝑥0+√5𝑦0|√6,所以点𝑃到双曲线𝐶的两条浙近线的距离的乘积为𝑑1𝑑2=

|𝑥0−√5𝑦0|√6⋅|𝑥0+√5𝑦0|√6=|𝑥02−5𝑦02|6,又𝑃(𝑥0,𝑦0)在双曲线𝐶上,所以𝑥025−𝑦02=1,所以𝑥02−5𝑦02=5,所以𝑑1𝑑2=56是一个常数;

(2)解:因为𝑥025−𝑦02=1,所以𝑦02=𝑥025−1≥0,解得𝑥0≤−√5或𝑥0≥√5,所以|𝑃𝐴|2=(𝑥0−4)2+𝑦02=(𝑥0−4)2+𝑥025−1=65𝑥02−8𝑥0+15=65(𝑥0−103)2+53

,当𝑥0=103时,|𝑃𝐴|2的最小值为53,所以|𝑃𝐴|的最小值为√153.20.【答案】(1)略(2)√105【解析】(1)证明:因为𝐴𝐷⊥平面𝑃𝐴𝐵,𝑃𝐴,𝐴𝐵⊂平面𝑃𝐴𝐵,所以𝐴𝐷⊥𝐴𝐵,

𝐴𝐷⊥𝑃𝐴,又因为𝑃𝐴⊥𝐴𝐵,且𝐴𝐷∩𝐴𝐵=𝐴,所以𝑃𝐴⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷,∠𝑃𝐷𝐴为𝐷𝑃与平面𝐴𝐵𝐶𝐷所成的角,由∠𝑃𝐷𝐴=45∘,有𝑃𝐴=𝐴𝐷=4,所以𝐸为𝑃𝐴中点,因为�

�𝐷//𝐵𝐶,𝐵𝐶⊄平面𝐴𝐷𝑃,𝐴𝐷⊂平面𝐴𝐷𝑃,所以𝐵𝐶//平面𝐴𝐷𝑃,又因为𝐵𝐶⊂平面𝐵𝐶𝐸,平面𝐵𝐶𝐸∩平面𝐴𝐷𝑃=𝐸𝐹,所以𝐵𝐶//𝐸𝐹,所以𝐸𝐹//𝐴𝐷,所以𝐹为线段𝑃𝐷的中

点;(2)解:由(1)可知𝐴𝐷,𝐴𝐵,𝐴𝑃两两垂直,如图所示,以𝐴𝐷,𝐴𝐵,𝐴𝑃分别为𝑥,𝑦,𝑧轴建立空间直角坐标系.则𝑃(0,0,4),𝐷(4,0,0),𝐶(2,2,0),𝐵

(0,2,0),所以𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(4,0,−4),𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(2,−2,0),设平面𝑃𝐷𝐶的法向量为𝐧1=(𝑥,𝑦,𝑧),则{𝐧1⋅𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)⋅(4,0,−4)=4𝑥−4𝑧=0,𝐧1⋅𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)

⋅(2,−2,0)=2𝑥−2𝑦=0,取𝑥=1,得𝐧1=(1,1,1),设平面𝑃𝐵𝐶的法向量为𝐧2=(𝑎,𝑏,𝑐),由𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(2,0,0),𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(0,−2,4),则

{𝐧2⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑎=0,𝐧2⋅𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=−2𝑏+4𝑐=0,取𝑏=2,得𝐧2=(0,2,1),所以|cos⟨𝐧1,𝐧2⟩|=3√3×√5=√155,所以平面𝑃𝐷𝐶与平面𝑃𝐵𝐶的夹角的正弦值为√105.21.【答案】(

1)数列{1+𝑎𝑛𝑎𝑛}为指数型数列,证明略(2)𝑇𝑛=1−12𝑛+1−1【解析】(1)由𝑎𝑛+1𝑎𝑛+2𝑎𝑛+1=𝑎𝑛,两边同时除以𝑎𝑛+1𝑎𝑛得1+2𝑎𝑛=1𝑎𝑛+1,所以2+2𝑎𝑛=1𝑎𝑛+1+1,且1+𝑎1𝑎

1=1+1𝑎1=2,所以1+𝑎𝑛𝑎𝑛是首项为2,公比为2的等比数列,所以1+𝑎𝑛𝑎𝑛=2×2𝑛−1=2𝑛,又1+𝑎𝑚𝑎𝑚⋅1+𝑎𝑛𝑎𝑛=2𝑚⋅2𝑛=2𝑚+𝑛,所以1+𝑎𝑚+𝑛�

�𝑚+𝑛=1+𝑎𝑚𝑎𝑚⋅1+𝑎𝑛𝑎𝑛,所以数列{1+𝑎𝑛𝑎𝑛}为指数型数列;(2)由(1)知1+𝑎𝑛𝑎𝑛=2𝑛,所以𝑎𝑛=12𝑛−1,故𝑏𝑛=2𝑛𝑎𝑛⋅

𝑎𝑛+1=2𝑛(2𝑛−1)(2𝑛+1−1)=12𝑛−1−12𝑛+1−1,所以𝑇𝑛=𝑏1+𝑏2+⋯+𝑏𝑛=1−13+13−17+17−115+⋯+12𝑛−1−12𝑛+1−1=1−12𝑛+1−1.22.【答案】(1)𝑥24+𝑦23=1(2)1

4【解析】(1)由𝑒=𝑐𝑎=12,可得𝑎=2𝑐,𝑏=√𝑎2−𝑐2=√4𝑐2−𝑐2=√3𝑐,可得椭圆𝐶的方程为𝑥24𝑐2+𝑦23𝑐2=1,代人点𝐴的坐标有112𝑐2+1112𝑐2=1,解得𝑐=1,故椭圆𝐶

的标准方程为𝑥24+𝑦23=1;(2)由(1)知𝑎=2,点𝑇(4,0),当斜率不存在时,直线𝑙1为𝑥=4,此时与椭圆𝐶无交点,设点𝑃,𝑄,𝑀,𝑁的坐标分别(𝑥1,𝑦1),(𝑥2,𝑦2),(𝑥3,𝑦3),(𝑥4,𝑦4),直线𝑙

2的方程为𝑦=𝑘(𝑥−1),直线𝑙1的方程为𝑦=−𝑘(𝑥−4),联立方程{𝑥24+𝑦23=1,𝑦=𝑘(𝑥−1),消去𝑦整理得(4𝑘2+3)𝑥2−8𝑘2𝑥+4𝑘2−12=0,有𝑥1+𝑥2=8𝑘24𝑘2+3,𝑥1𝑥2=4𝑘2−124𝑘2+

3,联立方程{𝑥24+𝑦23=1,𝑦=−𝑘(𝑥−4),消去𝑦整理得(4𝑘2+3)𝑥2−32𝑘2𝑥+64𝑘2−12=0,有𝑥3+𝑥4=32𝑘24𝑘2+3,𝑥3𝑥4=64𝑘2−124𝑘2+3,又由右焦点𝐹

(1,0),有|𝑃𝐹|⋅|𝑄𝐹||𝑇𝑀|⋅|𝑇𝑁|=√1+𝑘2|𝑥1−1|×√1+𝑘2|𝑥2−1|√1+(−𝑘)2|𝑥3−4|×√1+(−𝑘)2|𝑥4−4|=|𝑥1−1|×|𝑥2−1||𝑥3−4|×|𝑥4−4|=|𝑥

1𝑥2−(𝑥1+𝑥2)+1||𝑥3𝑥4−4(𝑥3+𝑥4)+16|,对𝑥1,𝑥2,𝑥3,𝑥4消元,可得到原式=|4𝑘2−124𝑘2+3−8𝑘24𝑘2+3+164𝑘2−124𝑘2+3−128𝑘24𝑘2+3+16|=|4𝑘2−12−8

𝑘2+4𝑘2+364𝑘2−12−128𝑘2+16(4𝑘2+3)|=936=14,故|𝑃𝐹|⋅|𝑄𝐹||𝑇𝑀|⋅|𝑇𝑁|的值为14.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com