【文档说明】湖北省宜昌市第二中学2019-2020学年高二下学期4月线上检测数学试题 【精准解析】.docx，共(17)页，602.241 KB，由小赞的店铺上传

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数学试卷一､选择题(本题满分60分，共有12道小题，每小题5分)1.设函数()fx在1x=处存在导数为2，则0(1)(1)lim3xfxfx→+−=（）.A.23B.6C.13D.12【答案】A【解析】【分析】根据导数定义，化为导数表达

式即可．【详解】根据导数定义，00(1)(1)lim31(1)(1)lim3xxfxfxfxfx→→+−+−=12233==所以选A【点睛】本题考查了导数定义的简单应用，属于基础题．2.若直线l的一个方向向量

为()2,5,7a=，平面的一个法向量为()1,1,1u=−，则（）A.l∥αB.l⊥αC.l⊂αD.A､C均有可能【答案】D【解析】【分析】根据()2,5,7a=为直线l的一个方向向量，()1,1,1u=−为平面的一个法向量，判断两个向量共线或垂直即可.【详解】

已知直线l的一个方向向量为()2,5,7a=，平面的一个法向量为()1,1,1u=−，所以()1215170au=++−=所以au⊥所以l∥α或l⊂α故选：D【点睛】本题主要考查空间向量法判断直线与平面的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3

.曲线31233yxx=−+在点（1，43）处的切线的倾斜角为（）A.4B.3C.23D.34【答案】D【解析】【分析】首先对函数31233yxx=−+求导，求出()1f的值，根据导数的几何意义以及倾斜角与斜率的关系即可求解.【详解】由31233yxx=

−+，则22yx=−，所以21121xy==−=−，所以切线的斜率为1−，由tan1k==−，所以34=，故选：D【点睛】本题考查了导数的计算以及导数的几何意义、倾斜角与斜率的关系，属于基础题.4.若函数()2fxx=的导函数为()fx，则()fx=（）A.122xB.12x

C.12x−D.122x−【答案】C【解析】【分析】根据函数的求导法则可得11221()22fxxx−−==.【详解】函数12()22fxxx==导函数为11221()22fxxx−−==.故选：C【点睛】此题考查求函数的导函数，关键在于熟练掌握求导

公式，根据公式和求导法则求导函数.5.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（）A.18B.24C.30D.36【答案】C【解析】2343(1)30CA−

=6.若函数ln()xxfxe=的导函数为()fx，则(1)f=（）A.1B.2eC.1eD.0【答案】C【解析】【分析】根据函数的求导法则，()211l()nlnxxxxeexxxxxeef−−==，代入即可求得导数值.【详

解】由题：函数ln()xxfxe=的导函数为()211l()nlnxxxxeexxxxxeef−−==，所以(1)f=1e.故选：C【点睛】此题考查求导数值，关键在于熟练掌握求导法则和常见函数的导函数，根据法则准确计算求解.7.若连

续函数()fx的定义域为(0,)+，其导数为()fx，且()fxx+()0fx，(1)0f=则函数()0fx的解集为（）A.(0,1)B.(1,)+C.(0,)+D.R【答案】A【解析】【分析】构造函数()()Fxxfx

=，根据()fxx+()0fx，即可得到()()Fxxfx=的单调性，结合()1(1)0Ff==解不等式.【详解】由题：()fxx+()0fx，(0,)x+构造函数()()Fxxfx=，(0,)x+，()Fx=()fxx+()0fx

，所以()()Fxxfx=在(0,)x+单调递增，()1(1)0Ff==，(0,)x+，()0fx即()()Fxxfx=＜0，所以(0,1)x.故选：A【点睛】此题考查解抽象函数相关不等式，关键在于根

据题意准确构造恰当的函数，根据单调性和特殊值求解不等式.8.已知函数()fx的导函数为()fx，且3()(1)2fxfxx=−，则(1)f=（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】根据题意求出导函数2()3(1)2f

xfx=−，令x=1，即可得解.【详解】由题：函数()fx的导函数为()fx，且3()(1)2fxfxx=−，所以2()3(1)2fxfx=−，令1,(1)3(1)2xff==−，解得(1)1f=.故

选：B【点睛】此题考查根据导函数求参数的取值，关键在于熟练掌握导函数的公式和求导法则，根据法则进行计算求解.9.函数()sin24sin3fxxxx=−+的零点个数为（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B【解析】【分析】求出导函数，根据导函数判定原函数单调递增，结合(

0)0f=，即可得到零点个数.【详解】由题：()sin24sin3fxxxx=−+，()22()2cos24cos34cos4cos12cos10fxxxxxx=−+=−+=−，当且仅当1cos,2,23xxkkZ==+时导函数等于0，所以()sin24sin3fxxxx=−+在

R上单调递增，又因为(0)0f=所以函数()sin24sin3fxxxx=−+有且仅有一个零点.故选：B【点睛】此题考查函数零点问题，根据导函数判断单调性，结合特殊值，判断函数零点的个数.10.()()2018

lnfxxx=+，若()0'2019fx=，则0x等于（）A.2eB.1C.ln2D.e【答案】B【解析】【分析】可求出导函数()2019fxlnx=+，从而根据0()2019fx=即可得出0x的值．【详解】()12018fx

lnx=++，00()20192019fxlnx=+=，00lnx=，解得01x=．故选：B【点睛】本题主要考查了基本初等函数的求导公式，积的导数的计算公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于容易题．11.已知函数()fx在R上

有导函数，()fx图象如图所示，则下列不等式正确的是（）A.()()()fafbfcB.()()()fbfcfaC.()()()fafcfbD.()()()fcfafb【答案】A【解析】【分析】由题意设函数()2,0fxa

xa=，则()'2,0fxaxa=，则函数()'fx为增函数，再利用一次函数的增减性即可得解.【详解】解：设函数()2,0fxaxa=，则()'2,0fxaxa=，则函数()'2,0fxaxa=为增函数，又abc，则()()()fafbfc，故选：A.【

点睛】本题考查了导数的运算，重点考查了函数的单调性的应用，属基础题.12.已知函数()lnfxaxx=−，若()1fx在区间()1,+内恒成立，则实数a的取值范围是（）.A.(),1−B.(,1−C.()

1,+D.)1,+【答案】D【解析】【详解】∵()lnfxaxx=−，()1fx在1（，）+内恒成立，∴1lnxax+在1（，）+内恒成立，设()1lnxgxx+=，∴1x+（，）时，()2ln0xgxx=−

，即gx（）在1（，）+上是单调递减的，∴()()11gxg=，∴1a，即a的取值范围是[1+，），故选D.点睛：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，由()0fx，得函数单调递增，()0fx得函数单调递减；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的

一种手段．通过分离参数可转化为()ahx或()ahx恒成立，即()maxahx或()minahx即可，利用导数知识结合单调性求出()maxhx或()minhx即得解.二､填空题(本题满分20分，共有4道小题，每小题5分)13.若函数()sinfxx=

的图象在点(0,0)处的切线方程为_______．【答案】yx=【解析】【分析】求出导函数，根据导函数得切线斜率，即可求得切线方程.【详解】()sinfxx=，()cos,(0)1fxxf==，即函数()sinfxx=的图象在点(0,0)处的切线斜率为1，所以切线方程为

：yx=.故答案为：yx=【点睛】此题考查导数的几何意义，根据导函数求函数在某点处的切线方程，关键在于准确求出导函数.14.某老师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，且老师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么这位老师一天的课表的所有排法有______种

．【答案】474.【解析】【分析】采用间接法，首先求解出任意安排3节课的排法种数；分别求出前5节课连排3节和后4节课连排3节的排法种数；作差即可得到结果.【详解】从9节课中任意安排3节共有：39504A=种其中前5节课连排3节共有：

33318A=种；后4节课连排3节共有：33212A=种老师一天课表的所有排法共有：5041812474−−=种本题正确结果：474【点睛】本题考查有限制条件的排列问题的求解，对于限制条件较多的问题，通常采用间接法来进行求解.15.已知

直线l的一个方向向量()2,3,5d=，平面的一个法向量()4,,umn=−，若l⊥，则mn+=______．【答案】16−【解析】【分析】由题意得出//du，由此可得出4235mn−==，解出实数m、n的值，由此可得出mn+的值.【详解】l⊥，//du，且()2,3,5d=

，()4,,umn=−，4235mn−==，解得6m=−，10n=−.因此，16mn+=−.故答案为：16−.【点睛】本题考查利用直线与平面垂直求参数，将问题转化为直线的方向向量与平面法向量共线，考查化归与

转化思想的应用，属于基础题.16.函数32()33(2)4fxxaxax=+++−有极值，则a的取值范围是______．【答案】()(),12,−−+【解析】【分析】三次函数()fx有极值，则()0fx=有两个不等的实根，则，可解得a的取值范围.【详解】由题意可得：(

)()23632fxxaxa=+++.若函数()fx有极值，则一元二次方程()236320xaxa+++=有两个不同的实数根，所以2(6)433(2)0aa=−+，整理可得：36(1)(2)0aa+−，据此可知a的取值范围是2a或1a−．【点睛】本题考查导数与极

值.函数的极值点必为导函数的零点，但在导函数的零点处函数不一定取得极值，还需验证导函数验在零点附近的正负.如果三次函数的导函数(二次函数)对应的方程有两个相同的实根，那么三次函数是没有极值的.三､解答题(共6道题，本题

满分70分)17.已知集合3,2,1,0,1,2M=−−−，若a，b，c∈M，则：（1）2yaxbxc=++可以表示多少个不同的二次函数？（2）2yaxbxc=++可以表示多少个图象开口向上的二次函数？【答案】（1）180；（2）72.【解析】【分析】（

1）根据2yaxbxc=++，表示二次函数，由此可判断a的取值情况，再分别判断b，c的取值情况，然后利用分步乘法计数原理求解.（2）根据二次函数的性质，开口向上，则0a，由此可判断a的取值情况，再分别判断b，c的取值情况，然后利用分步乘法计数原理求解.【详解】（1）因为a不能取

0，所以有5种取法，b有6种取法，c有6种取法，所以2yaxbxc=++可以表示566180=个不同的二次函数.（2）2yaxbxc=++的图象开口向上时，a不能取小于等于0的数，所以有2种取法，b有6种取法，c有6种取法，所以2yaxbxc

=++可以表示26672=个图象开口向上的二次函数【点睛】本题主要考查分步乘法计数原理，还考查了分析问题的能力，属于基础题.18.长方体1111ABCDABCD−中，12,1,1ABBCAA===（1）求直线1AD与1BD所成角；（2）求直线1AD与平面11BBD

D所成角的正弦.【答案】（1）直线11ADBD与所成角为90°；（2）105．【解析】试题分析：（1）建立空间直角坐标系，求出直线AD1与B1D的方向向量，利用向量的夹角公式，即可求直线AD1与B1D所成角；（2）求出平面B1BDD1的法向量，利用向量的夹角公

式，即可求直线AD1与平面B1BDD1所成角的正弦．解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0），D1（1，0，1），B1（0，2，1），D（1，0，0）．∴，∴cos=1126−=0，∴=9

0°，∴直线AD1与B1D所成角为90°；（2）设平面B1BDD1的法向量=（x，y，z），则∵，=（﹣1，2，0），∴，∴可取=（2，1，0），∴直线AD1与平面B1BDD1所成角的正弦为225=．考点：直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．19.设函数2()

1lnfxxx=+−（1）求()fx的单调区间；（2）求函数()()gxfxx=−在区间1[,2]2上的最小值．【答案】（1）见解析；（2）1【解析】【分析】(1)利用导数求函数的单调区间.(2)利用导数先求函数的单调区间，即得函数的最小值.【详解】（1）定义域为()0,+，()12fxxx=−

＇，由()0fx＇得22x，∴()fx的单调递减区间为20,2，单调递增区间为2+2，；（2）2(l)1nxgxxx+−=−()()()2111'21xxgxxxx+−=−−=，由()'0gx得1x，∴()gx在112，上单调递减，

在（1，2）上单调递增，∴()gx的最小值为()11g=.【点睛】(1)本题主要考查利用导数求函数单调区间和最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）用导数求函数的单调区间：求函数的定义域D→求导'()fx→解不等式'()fx＞()0得解集P→求DP,得函数的单调递增（减）区

间.20.已知函数()()323fxaxbx=+，在1x=时有极大值3.（1）求a、b的值；（2）求函数()fx在1,3−上的最值.【答案】（1）2a=−，3b=；（2）最大值()115f−=，最小值()381f=−.【解析】【分析】（

1）求出函数()yfx=的导数()fx，由题意得出()()1310ff==，列出a、b的方程组，可解出实数a、b的值；（2）由（1）得出()3269fxxx=−+，利用导数求出函数()yf

x=在区间1,3−上的极值，并与端点函数值比较大小，可得出函数()yfx=在区间1,3−上的最大值和最小值.【详解】（1）()()323fxaxbx=+Q，()296fxaxbx=+，由题意得()()13331960fabfab=+==+=

，解得23ab=−=；（2）由（1）知()3269fxxx=−+，则()()21818181fxxxxx=−+=−−.令()0fx=，得0x=或1x=，列表如下：x1−()1,0−0()0,11()1,33()fx−0+0−()fx15极小值0极大值381−因此，函数()

yfx=在区间1,3−上的最大值()115f−=，最小值()381f=−.【点睛】本题考查导数与导数的极值、以及利用导数求最值，解题时要注意导数与极值、最值之间的关系，同时要注意导数求函数最值的基本步骤，考查分析问题和解决

问题的能力，属于中等题.21.已知函数f（x）＝x2+2alnx.(1)若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求实数a的值；(2)若函数()()2gxfxx=+在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围.【答案】（1）3−；（2）72a−.【解

析】【分析】（1）求出函数的导数，由导数的几何意义得()'21f=，解方程即可；（2）根据函数的单调性与导数的关系可得()'0gx在[1，2]上恒成立，等价于为21axx−在[1,2]上恒成立,利用导数求出函数()21hxxx=−在[1，

2]上的最小值，从而可得出结论．【详解】(1)函数()22lnfxxax=+的导数为()2'2afxxx=+，由已知f′(2)=1，即4+a=1，解得a=−3.(2)由()222lngxxaxx=++，得()2

22'2agxxxx=−++，由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，则g′(x)0在[1,2]上恒成立，即22220axxx−++在[1,2]上恒成立，即21axx−在[1,2]上恒成立,令()21hxxx=−,在[1,2]上()21'20hxx

x=−−，所以h(x)在[1,2]为减函数，()()min722hxh==−，72a−.【点睛】利用单调性求参数的范围的常见方法：①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参

数需注意若函数在区间,ab上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;②利用导数转化为不等式()'0fx或()'0fx恒成立问题求参数范围．22.已知函数()()321,,3fxxaxbxc

abcR=+++.(1)若函数()fx在1x=−和2x=处取得极值，求,ab的值；(2)在(1)的条件下，当2,3x−时，()2fxc恒成立，求c的取值范围.【答案】（1）122ab=−=−；（2）103c

−.【解析】【分析】（1）由题意得2()2fxxaxb=++，然后再根据题意得到1x=−和2x=是方程220xaxb++=的两根，于是由二次方程根与系数的关系可得所求．（2）利用导数求出函数()fx在区间2,3−上的最小值，进而可得所求范围．

【详解】（1）∵321()3fxxaxbxc=+++，∴2()2fxxaxb=++．又函数()fx在1x=−和2x=处取得极值，∴1x=−和2x=是方程220xaxb++=的两根，∴()12212ab−+=−−=，解得122ab=−=−．经检验得1,2

2ab=−=−符合题意，∴1,22ab=−=−．（2）由（1）得2()2(1)(2)fxxxxx==+−−−，∴当21x−−或23x时，()0,()fxfx单调递增；当12x−时，()0,()fxfx单调递减．又()210(2),233fcfc−=−=−

，∴()()1023minfxfc==−．∵当2,3x−时，()2fxc恒成立，∴1023cc−，解得103c−，∴实数c的取值范围为10(,)3−−．【点睛】求函数()fx在区间[,]ab上的最值的方法：(1)若函数在区间[,]ab上单调递增或递减，()fa与()fb一个为最大值

，一个为最小值；(2)若函数在闭区间[,]ab内有极值，要先求出[,]ab上的极值，与()fa，()fb比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；(3)函数()fx在区间(,)ab上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经

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