【文档说明】安徽省六安市第一中学2020届高三下学期适应性考试数学（理）试题【精准解析】.doc，共(27)页，2.173 MB，由小赞的店铺上传

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六安一中2020届高三年级适应性考试理科数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知1AxZx=−，集合2log2Bxx=，则AB=（）A.14xx−B.

04xxC.0,1,2,3D.1,2,3【答案】D【解析】【分析】先求解集合B再求AB即可.【详解】04Bxx=,∵1AxZx=−,∴1,2,3AB=,故选：D.【点睛】本题主要考查了对数的不等式求解以及交集的运算,属于基础题.2.设复

数()1zbibR=+，且234zi=−+，则z的虚部为（）A.2iB.2i−C.2D.2−【答案】D【解析】【分析】根据复数的乘法运算及复数相等的充要条件求出复数z，从而得到z的共轭复数，即可得解；【详解】解：因为()1zb

ibR=+所以221234zbbii=−+=−+，∴2b=，∴12zi=+，∴12zi=−，故z的虚部为2−，故选：D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，复数相等的充要条件，属于基础题.3.对某两名高

三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析.①甲同学的成绩的中位数为130；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110,120]内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④

乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步.其中正确的个数为（）A.4B.3C.2D.1【答案】C【解析】【分析】根据折线图逐项判断：①甲同学的最高成绩是130，故不可能是中位数；②根据甲同学成绩折线图提供的数据，即可估计该同学的平均成绩；

③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性且为正相关；④乙同学在第四次、第七次成绩有退步.【详解】①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高130，所以中位数不可能是130，故①错误；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[11

0,120]，故②正确；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性且为正相关，故③正确；④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确.故选：C.【点睛】本题考查折线图，属于基础题.4.函数()fx的图象如图所示，则函数()fx的解析式可能为（）

A.1()sinfxxxx=−B.1()cosfxxxx=−C.1()sinfxxxx=+D.1()cosfxxxx=+【答案】B【解析】【分析】确定奇偶性，排除A，C，再由(0,1)x时的函数值的正负，又排除一个，从而

可得正确选项．【详解】函数图象关于原点对称，函数是奇函数，四个选项中AC、是偶函数，BD、是奇函数，排除AC、，又(0,1)x时，()0fx，D不满足，排除D，只有B可满足．故选：B．【点睛】本题考查由函数图象选择函数解析式，解题时可根据图象确定函数的性质（如奇偶性、

单调性），函数值的正负，与坐标轴的交点等采用排除法确定出正确选项．5.下列结论正确的个数为（）①设，是两个不同的平面，m是直线且m.“//m”是“//”的必要而不充分条件；②已知命题:0px，总有(1)1xxe+，则0:0px，使得()0011xxe+；③

已知函数tan()0,||2yx=+的最小正周期为2，其图象过点(0,3)，则其对称中心为,0()46kkZ−；④已知随机变量()2~1,N，若(3)

0.6P=，则(11)0.1P−=A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】对于①，根据面面平行的判定和面面平行的性质可判断；对于②，由全称命题的否定是特称命题可判断；对于③：由正切函数的周期性和过的点可求得2

=，和3=，可判断；对于④，根据正态分布的对称性可判断；【详解】对于①，根据面面平行的判定知，由“//m”不能推出“//”，根据面面平行的性质知由“//”可得到“//m”，所以“//m”是“//”的必要而

不充分条件，故①正确；对于②，由全称命题的否定是特称命题得：命题:0px，总有(1)1xxe+，则0:>0px，使得()0011xxe+，故②不正确；对于③：因为函数tan()0,||2yx=+的最小正

周期为2，所以2=，又其图象过点(0,3)，所以tan3=，所以3=，所以tan(2)3yx=+，令2()32kxkZ+=，得,46kxkZ=−，所以其对称中心为,0()46kkZ−，故

③正确；对于④，因为随机变量()2~1,N，所以(1)0.5P=，又(3)0.6P=，所以(13)0.60.50.1P=−=，所以(11)(13)0.1PP−==，故④正确；综上可知：正确的命题有①③④，故选：C.

【点睛】本题考查命题的判断，考查了空间中面面平行的判定和性质，全称命题与特定命题的关系，正切函数的图像与性质，正态分布的对称性，属于基础题.6.在各项均为正数的等比数列na中，11168313225aaaa

aa++=，则113aa的最大值是（）A.25B.254C.5D.25【答案】B【解析】【分析】na是等比数列，且11168313225aaaaaa++=，由等比数列的性质，可得()222668868225aaaaaa++=+=，又0na，求出68aa+.又11

368aaaa=，结合基本不等式可求113aa的最大值.【详解】na是等比数列，且11168313225aaaaaa++=，()222668868225aaaaaa++=+=.又0na，685aa+=，268113682524aaaaaa+=

=，当且仅当6852aa==时取等号.故选：B.【点睛】本题考查等比数列的性质和基本不等式，属于中档题.7.已知S为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式63Sxx−的展开式中常数项

的系数是（）A.20−B.20C.203−D.60【答案】A【解析】【分析】根据程序框图计算得到13S=，再利用二项式定理计算得到答案.【详解】模拟程序框图的运行过程，如下：0i=，1S=，1i=，4i，是，1211S−==−；2i=，24，是，1231S−−==−；3i=，34，是，321

33S−==，4i=，44，否，退出循环，输出S的值为13，二项式6133xx−的展开式中的通项是()662316631133rrrrrrrrTCxxCx−−−+=−=−，令30r−=，得3r=，∴常数项是()0334611203T

C=−=−，故选：A.【点睛】本题考查了程序框图，二项式定理，意在考查学生的计算能力，理解能力和应用能力.8.已知抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点为F，P是C第一象限上一点，以P为圆

心的圆过点F且与直线1x=−相切，若圆P的面积为25，则圆P的方程为（）A.22(1)(1)25xy−+−=B.22(2)(4)25xy−+−=C.22(4)(4)25xy−+−=D.22(4)(2)25xy−+−=【答案】C【解析】【分析】由抛物线的定义可知，直线1

x=−为抛物线的准线，进而得出抛物线的方程，由圆的面积求出圆的半径，进而求出圆心坐标，即可求圆的方程.【详解】曲线2:2(0)Cypxp=的焦点为F，P是C第一象限上一点，以P为圆心的圆过点F且与直线1x=−相切，由抛物线的定义得：直线1x=−为抛物线的准线，则12p=，所

以2p=，所以抛物线方程为：24yx=，因为圆P的面积为25，所以圆的半径为5，设()00,Pxy，因为圆与直线1x=−相切，所以052pxr+==，解得04x=，则2044y=.又0y，所以04y=，所以圆P的方程为22(

4)(4)25xy−+−=.故选：C.【点睛】本题考查了抛物线的定义、圆的方程等基本知识，考查了数学运算能力和逻辑推理能力，转化的数学思想，属于中档题目.9.把函数sin2yx=的图象沿x轴向左平移6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数()yfx=的图象

，对于函数()yfx=有以下四个判断：①该函数的解析式为2sin23yx=+；②该函数图象关于点,03对称；③该函数在06,上是增函数；④函数()yfxa=+在0,2上的最小值为3，

则23a=．其中，正确判断的序号是（）A.①②B.②③C.①②③D.①②④【答案】D【解析】【分析】先利用三角函数的平移变换和伸缩变换得到函数()2in23=+fsxx，再利用正弦函数的性质一一验证.【详解】把函数sin2

yx=的图象沿x轴向左平移6个单位得到sin2in263=+=+yxsx，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数()2in23=+fsxx，故①正确；因为2in2=0

33+s，故②正确；因为0,6x，则22,333x+，sinyx=不单调，故③错误；因为0,2x，则42,333x+，2in23,23+−sx，若函数()yfx

a=+在0,2上的最小值为3，则23a=．故④正确；故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质及图象变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10.已知x与y之间的几组数据如下表：x1234y1mn4参考公式：线性回归方程ybxa=+$$$，其中()()()121ni

iiniixxyybxx==−−=−，aybx=−$$；相关系数()()()()12211niiinniiiixxyyrxxyy===−−=−−.上表数据中y的平均值为2.5，若某同学对m赋了三个值分别为1.5，2，2.5得到三条线性回

归直线方程分别为11ybxa=+，22ybxa=+，33ybxa=+，对应的相关系数分别为1r，2r，3r，下列结论中错误．．的是（）A.三条回归直线有共同交点B.相关系数中，2r最大C.12bbD.12aa【答案】D【解析】【分析】由题意可得

5mn+=，分别取m与n的值，由公式计算出1122123,,,,,,babarrr的值，逐一分析四个选项，即可得到答案．【详解】由题意，1410mn+++=，即5mn+=．若1.5m=，则3.5n=，此时12342.5

4x+++==，2.5y=．()()()()()()()()()()4112.512.522.51.52.532.53.52.542.542.55.5iiixxyy=−−=−−+−−+−−+−−=，()()()42222211.5

0.50.51.55iixx=−=−+−++=，()()()42222211.5111.56.5iiyy=−=−+−++=．则15.51.15b==，12.51.12.50.25a=−=−，15.50.9356.5r=；

若2m=，则3n=，此时12342.54x+++==，2.5y=．()()()()()()()()()()4112.512.522.522.532.532.542.542.55iiixxyy=−−=−−+−−+−−+−−=

，()4215iixx=−=，()()()42222211.50.50.51.55iiyy=−=−+−++=．2515b==，22.512.50a=−=，25155r==；若2.5m=，则2.5n=，此时12342.5

4x+++==，2.5y=．()()()()()()()()()()4112.512.522.52.52.532.52.52.542.542.54.5iiixxyy=−−=−−+−−+−−+−−=，()4215iixx=−=，

()()422211.51.54.5iiyy=−=−+=，34.50.954.5r==．由样本点的中心相同，故A正确；由以上计算可得，相关系数中，2r最大，12bb，12aa，故B，C正确，D错误．故选：D．【点睛】本题考查线性回归方程与相关系数的求法，考查计算能力，是中档

题．11.已知向量,ab满足1a=，a与b的夹角为3，若对一切实数x，2xabab++…恒成立，则||b的取值范围是（）A.1,2+B.1,2+C.[1,)+D.(1,)+【答案】C【解析】【分析】|2|||abaxb++…平方，利用向量的数量积公式，

展开整理得，对一切实数x，222||3||||10xbxbb++−−…恒成立，从而有0解不等式，即可得出结论.【详解】解：因为||1a=，a与b的夹角为3，所以1||cos||32abbb==．把|2|||abaxb++…两边平方，整理可得222||3|||

|10xbxbb++−−…，所以()224||43||||10bbb=−−−，即(||1)(2||1)0bb−+…，即||1b…．故选:C．【点睛】本题考查向量的模与数量积的关系，将问题等价转化为一元二次不等式恒成立，属于基础题.12.若函数()ln

fxxxh=−++，在区间1,ee上任取三个实数a，b，c均存在以()fa，()fb，()fc为边长的三角形，则实数h的取值范围是（）A.11,1e−−B.11,3ee−−C.11,e−+D.()3,e

−+【答案】D【解析】【分析】利用导数求得()fx在区间1,ee上的最大值和最小，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求得h的取值范围.【详解】()fx的定义域为()0,+，()'111xfxxx−=−+=，所以()fx在1,1e上递减，在(

)1,e上递增，()fx在1x=处取得极小值也即是最小值，()1ln111fhh=−++=+，1111ln1fhheeee=−++=++，()ln1feeeheh=−++=−+，()1ffee

，所以()fx在区间1,ee上的最大值为()1feeh=−+.要使在区间1,ee上任取三个实数a，b，c均存在以()fa，()fb，()fc为边长的三角形，则需()()()fafbfc+恒成立，且()10f，也即()()()maxminfafbfc+

，也即当1ab==、ce=时，()()21eff成立，即()211heh+−+，且()10f，解得3he−.所以h的取值范围是()3,e−+.故选：D【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题

.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填写在答题卷相应位置上.13.设等差数列na的前n项和nS，44a=，515S=，若数列11nnaa+的前m项和为20202021，则m=________.【答案】2020【解析】【分析】由基本量法求出首项1a

和公差d，得通项公式na，然后由裂项相消法求数列11nnaa+的前m项和即得【详解】由题意知，nS为等差数列na的前n项和，设公差为d，由44a=，515S=.得113451015adad+=+=，解得111da==，则1(1)1nann=+−=，所以11111(

1)1+==−++nnaannnn.则111111202011223112021mSmmm=−+−++−=−=++，解得2020m=，故答案为：2020.【点睛】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式，考查裂项相消法求数列的和，掌握基本量法是解等差数列的关键．

在数列求和中裂项相消法，错位相减法，分组（并项）求和法，倒序相加法等是特殊数列的特殊方法，务必掌握．14.若实数x,y满足不等式组03434xxyxy++，且恒有()1axy+，则实数a的取值范围是______．【答案】)4,+．【解析】【分析】先作出

不等式组对应的可行域，再求出0=1(1)yyxx−+−−的最大值即得解.【详解】不等式组对应的可行域为图中的阴影平面区域.由题1yax+，0=1(1)yyxx−+−−表示平面区域内的点与点B()1,0−连线的斜率，当(),xy取点A()0,4时，1yx+的最大值为4=01+4，所以4

a.所以)4,a+．故答案为：)4,+【点睛】本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15.已知双曲线()2222:1,0xyCabab−=的左右焦点为12,FF，过2F作x轴的垂线与C相交于,AB两点，1FB与y

轴相交于D.若1ADFB⊥，则双曲线C的离心率为_________.【答案】3【解析】【分析】由已知可得212=bAFABa=，结合双曲线的定义可知2122bAFAFaa−==，结合222cab=+，从而可求出离心率.【详解】解：1

22,//FOFOODFB=,1DFDB=，又1ADBF⊥，则122AFABAF==.22bAFa=，212=bAFABa=，2122bAFAFaa−==，即22222baca==−解得3ca=，即3e=.故答案为:3.【点睛】本题考查了双曲线的定义，考查了双曲线的

性质.本题的关键是根据几何关系，分析出22bAFa=.关于圆锥曲线的问题，一般如果能结合几何性质，可大大减少计算量.16.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，点M，N分别是棱BC，1CC的中

点，则点1A到平面AMN的距离是________；若动点P在正方形11BCCB（包括边界）内运动，且1//PA平面AMN，则线段1PA的长度范围是________.【答案】(1).43(2).32,52【解析】【分析】利用等体积法得11AAMNMAA

NVV−−=，得到点到面的距离；取11BC的中点E，1BB的中点F，连接1AE，1AF，EF，取EF中点O，连接1AO，可证点P的轨迹是线段EF，可得当P与O重合时，线段1PA的长度最小，当P与E（或F）重合时，1PA的长度取最大值.【详解】设点1A到平面AMN的距

离是d，依题意得5AM=，2MN=，3AN=，所以222529cos2252AMMNANAMNAMMN+−+−==1010=−，所以210sin110AMN=−−31010=，所以1sin2AMNSAMMNAMN=△131052210

=32=，又11222222AANS==△，则由11AAMNMAANVV−−=，得1112332AMNAANdSS=△△，所以222232d=43=.取11BC的中点E，1BB的中点F，连接1AE，1AF，EF，

取EF中点O，连接1AO，∵点M，N分别是棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中棱BC，1CC的中点，∴1//AMAE，//MNEF，∵AMMNM=，1AEEFE=，∴平面//AMN平面1AEF.∵动点P在正方形11BCCB（包括边界）内运动，且1//PA面AMN，∴点P的轨

迹是线段EF，∵2211215AEAF==+=，22112=+=EF，∴1AOEF⊥，∴当P与O重合时，1PA的长度取最小值221232(5)22AO=−=.当P与E（或F）重合时，1PA的长度取最大值为115AEAF==

.∴1PA的长度范围为32,52.故答案为：43；32,52.【点睛】本题考查了等体积法求点面距，考查了平面与平面平行，直线与平面平行，考查了立体几何中的轨迹问题，属于中档题.三、解答题：本大题共6小

题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足2a=，cos(2)cosaBcbA=−.（1）求角A的大小；（2）求ABC周长的范围.【答案】（1）3；（2）(4,6.【解析】【分析】（1）将cos(2)co

saBcbA=−利用正弦定理和两角和的正弦公式化简得sin2sincosCCA=，从而可得A的值.（2）由余弦定理和基本不等式，以及三角形两边之和大于第三边，可得周长范围.【详解】（1）由已知，得coscos2cosaBbAcA+=.由正弦定理，得sincossincos2sincosA

BBACA+=.即sin()2sincosABCA+=，因为sin()sinABC+=.所以sin2sincosCCA=.因为sin0C，所以1cos2A=，因为0A，所以3A=.（2）由余弦定理2222cosabcbcA=+−，得

224bcbc+=+即2()34bcbc+=+.因为22bcbc+所以223()()44bcbc+++，即4bc+（当且仅当2bc==时等号成立）.又∵bca+，即24bc+，所以46abc++，即周长的范围为(4,6.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理

在解三角形中的应用，考查利用基本不等式求最值问题，属于基础题.18.如图，在三棱柱111ABCABC−中，侧面11ABBA是菱形，160BAA=，E是棱1BB的中点，CACB=，F在线段AC上，且2AFFC=.（1）证明：1//CB面1AEF；（2）若CACB⊥，面CAB⊥面11ABBA，求

二面角1FAEA−−的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）52929.【解析】【分析】（1）连接1AB交1AE于点G，连接FG，利用三角形相似证明1//FGCB，然后证明1//CB面1AEF．（2）过C作COAB⊥于O，以O为原点，OA，1OA，OC分别为x轴，y轴，z轴的

正方向建立空间直角坐标，不妨设2AB=，求出面1AFE的一个法向量，面1ABA的一个法向量，然后利用空间向量的数量积求解即可．【详解】解：（1）连接1AB交1AE于点G，连接FG．因为11AGABGE

，所以1112AAAGGBEB==，又因为2AFFC=，所以1AFAGFCGB=，所以1//FGCB，又1CB面1AEF，FG面1AEF，所以1//CB面1AEF.（2）过C作COAB⊥于O，因为CACB=，所以O是线段AB的中点．因为面CAB⊥面11ABBA

，面CAB面11ABBAAB=，所以CO⊥面1ABA．连接1OA，因为1ABA是等边三角形，O是线段AB的中点，所以1OAAB⊥.如图以O为原点，OA，1OA，OC分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标，不妨设2AB=，则(1,0,0)A，1(0,

3,0)A，(0,0,1)C，(1,0,0)B−，12(,0,)33F，由11AABB=，得(2,3,0)B−，1BB的中点33(,,0)22E−，133(,,0)22AE=−−，112(,3,)33AF=−−.设面1AFE的一

个法向量为1111(,,)nxyz=，则111100AEnAFn==，即11112303333022xyzxy−+=−−=，得方程的一组解为111135xyz=−==，即1(1,3,5)n=−.面1A

BA的一个法向量为2(0,0,1)n=，则121212529cos,29nnnnnn==，所以二面角1FAEA−−的余弦值为52929.【点睛】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能

力．19.已知D为圆22:(2)24Exy++=上一动点，(2,0)F，DF的垂直平分线交DE于点P，设点P的轨迹为曲线1C.（1）求曲线1C的轨迹方程；（2）经过点(0,1)M且斜率存在的直线l交曲线1C于Q、N两点，点B与点Q关于坐标原点对称，曲线1C与y轴负半轴交于点

A，连接AB、AN，是否存在实数使得对任意直线l都有ANABkk=成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22164xy+=；（2）存在，3=.【解析】【分析】（1）由中垂线的性质可得26+=PFPE，

由椭圆的定义可知，点P轨迹是以E，F为焦点的椭圆，即可求出曲线1C的轨迹方程.（2）设直线l的方程为1ykx=+，联立方程和韦达定理可得122623kxxk+=−+，122923xxk=−+，设()11,Qxy()22,Nxy，()0,2A−，()11,Bxy−−，经过化简可得12

12222++==−AQANyykkxx，23AQABkk=−，进而可得3=ANABkk，即可得出结论3=.【详解】（1）2622+=+===PFPEPDPEEDEF由椭圆的定义可知，点P轨迹是以E，F为焦点的椭圆，226,2==ac，6,2==ab∴椭圆1C的方程为2

2164xy+=（2）设l直线的方程为1ykx=+，联立221164ykxxy=++=，可得()2223690kxkx++−=，设()11,Qxy，()22,Nxy，则有122623kxxk+=−+，122923xxk=−+

，()0,2A−因为112AQykx+=，222ANykx+=，所以()2121222212121239222232AQANkxxkxxyykkkkkxxxx+++++===+−−=−，又因为点B与点Q关于原点对称，所以()11,Bxy−−，即112ABy

kx−+=−，则有21112111224AQAByyykkxxx+−+−==−−，由点Q在椭圆22:164xyC+=上，得2211243yx−=，所以23AQABkk=−，所以2323AQANANABAQABkkkkkk−===−，即3ANABkk=，所以

存在实数3=，使ANABkk=成立.【点睛】本题考查了利用椭圆的定义求轨迹方程，直线和椭圆的综合应用等基本知识，考查了理解辨析能力、运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想，属于中档题目.20.已知函数2()

log(1)afxxkxa=−.（1）讨论()fx单调性；（2）取ae=，若()fxyx=在[1,]e上单调递增，求k的取值范围.【答案】（1）当0k时，在(0,)+单调递增；当0k时，在区间10,2lnka上是单调递增，在区间1,2lnka+

单调递减；（2）0k或1k³.【解析】【分析】（1）对函数()fx求导，可得1()2lnfxkxxa=−，然后再对k进行分类讨论，再根据导数和函数单调性的关系即可求出结果；（2）由题意可知，lnxykxx=−，令l

n()xuxkxx=−，然后再分()0ux和()0ux，利用分离参数法，以及导数在函数单调性中的应用，即可求出结果.【详解】（1）2()logafxxkx=−，1()2lnfxkxxa=−①当0k时，()0fx，()fx在(0,)+单调递增；②当0k时，()0fx

=，212lnxka=，()fx在区间10,2lnka上是单调递增，()fx在区间1,2lnka+单调递减.（2）2lnlnxkxxykxxx−==−，令ln()xuxkxx=−.①当2ln()0xuxkx，令2ln

()xxx=，则312ln()xxx−=，()0xxe==所以()x在区间(1,)e上是单调递增，()x在区间(,)ee上是单调递减.∴(1)0k=.221ln1ln()0()xxuxkkhxxx−−=−=.332ln()0

()0xhxkhex−+==，∴0k②当2ln1()0()2xuxkkexe=max()0()(1)1uxkhxh==，∴1k³综上，0k或1k³.【点睛】本题主要考查了导数在函数单调性和最值中的应用，属于中档题.21.某项比赛中甲、乙两名选手将要进行决赛，比赛

实行五局三胜制.已知每局比赛中必决出胜负，若甲先发球，其获胜的概率为12，否则其获胜的概率为13.（1）若在第一局比赛中采用掷硬币的方式决定谁先发球，试求甲在此局获胜的概率；（2）若第一局由乙先发球，以后每局由负方发球规定胜一局得3分，负一局得0分，记X为比赛结束时甲的总得分，求随机变量

X的分布列和数学期望.【答案】（1）512；（2）答案见解析，469.【解析】【分析】（1）由题意可知，甲取得发球权的概率为12，甲没取得发球权的概率也为12，再分甲获得发球权，则获胜；和甲没有发球权，则获胜两种情况的概率，再相加即可求出结果；（2）根据题意，可知

X的可能取值为0，3，6，9；分别求出四种情况下的概率，然后再列出分布列，即可求出期望.【详解】（1）若甲获得发球权，则获胜的概率为111224=，如果甲没有发球权，则获胜的概率为111236=，所以甲获胜的概率为11

54612+=.（2）比赛结束时甲的总得分X的可能取值为0，3，6，9.X0=时，比赛的结果为：“乙乙乙”，∴2111(0)3226pX===3X=时，比赛的结果为：“甲乙乙乙”，“乙甲乙乙”，“乙乙甲乙”，∴1211212

121125(3)33223232322318pX==++=，6X=时，比赛的结果为：“甲甲乙乙乙”，“甲乙甲乙乙”，“甲乙乙甲乙”，“乙甲甲乙乙”，“乙甲乙甲乙”“乙乙甲甲乙”，∴11211121211211221121(6)3332233

2323322332332pX==++++212122111213323233223354+=.9X=，∴151317(9)16185454pX==−−−=.X的分布列为X0369P1

65181354175415131746()036961854549EX=+++=.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，解题时要认真审题，注意概率性质的运用，属于中档题．22.在直角坐标系xOy中，

以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的参数方程为22cos2sinxy=+=（为参数），直线l经过点()1,33M−−且倾斜角为.（1）求曲线C的极坐标方程和直线l的参数方程；（2）已知

直线l与曲线C交于,AB，满足A为MB的中点，求tan.【答案】（1）4cos=，1cos33tsinxty=−+=−+；（2）3.【解析】【分析】（1）由曲线C的参数方程消去参数可得曲线

C的普通方程，由此可求曲线C的极坐标方程；直接利用直线的倾斜角以及经过的点求出直线的参数方程即可；（2）将直线的参数方程，代入曲线C的普通方程224xyx+=，整理得()263sincos320tt−++=，利用韦达定理，根据A为MB的中点，解出即可.【详解】（1）由

22cos2sinxy=+=（为参数）消去参数，可得()2224xy−+=，即224xyx+=，已知曲线C的普通方程为224xyx+=，cosx=，222xy=+，24cos=，即4cos=，曲线C的极坐标方程为4cos=，直线l经过

点()1,33M−−，且倾斜角为，直线l的参数方程：1cos33sinxtyt=−+=−+（t为参数，0）.（2）设,AB对应的参数分别为At，Bt.将直线l的参数方程代入C并整理，得()263sincos320tt−++=，()63sin

cosABtt+=+，32ABtt=.又A为MB的中点，2BAtt=，()23sincos4sin6At=+=+，8sin6Bt=+，232sin326ABt

t=+=，即2sin()16+=，0，7666+，62+=，即3=，tan33=.【点睛】本题考查了圆的参数方程与极坐标方程之间的互化以及直线参数方程的应用，考查了计算能力，属于中档

题.23.已知()()2fxxmmmR=−+．（1）若不等式()2fx的解集为13,22，求m的值；（2）在（1）的条件下，若a，b，c+R，且4abcm++=，求证：4436acbcababc++．【答案】（

1）1；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用12x=和32x=是方程()2fx=的解可求得m；（2）由（1）得41abc++=，用“1”代换得()44111444acbcababcabcabc++=++++

，然后由柯西不等式得结论后可证．【详解】解：（1）由题意12223222mmmm−+=−+=，解得1m=；（2）由（1）知41abc++=，∴()244111111449444acbcababcabcabcabcabc++=++++

++=4436acbcababc++．【点睛】本题考查已知绝对值不等式的解求参数，考查由柯西不等式证明不等式成立．解题关键是由已知条件凑配出柯西不等式的形式，从而完成证明．