【文档说明】广东省广州市广东实验中学2022-2023学年高三上学期第二次阶段考试数学答案.docx，共(22)页，1.130 MB，由管理员店铺上传

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广东实验中学2023届高三第二次阶段考试（数学）命题：徐妮、杨晋鹏审定：夏嵩雪校对：徐妮、杨晋鹏第一部分选择题（共60分）一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集{

0,1,2,3,4,5}U=，集合{1,2,3}A=，{2,3,4}B=，则()UBA=ð（）A.{1}B.{4}C.{0,5}D.{0,1,4,5}【答案】B【解析】【分析】由补集、交集的概念运算【详解】{0,4,5}UA=ð，则(

){4}UAB=ð．故选：B2.如图，角,的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆O分别交于A，B两点，则OAOB=uuruuur（）A.cos()−B.cos()+C.sin()−D.sin()+【答案】A【解析】【分析】利用任意角的

三角函数定义写出,AB两点的坐标，再求向量数量积即可【详解】由图可知(cos,sin)A，(cos,sin)B所以coscossinsincos()OAOB=+=−，故选：A.3.已知π02，()4cos

5−=，2sin2=，则sin=（）A.210B.7210C.210−D.7210−【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的基本关系式，求得()sin,cos−的值，再由sinsin[()]=−+，结合两角和的正弦公式，即可求解.【详解】由02

，可得02−−，因为()4cos5−=，2sin2=，可得()3sin5−=−，2cos2=，所以sinsin[()]sin()coscos()sin=−+=−+−32422525210=−+=.

故选：A.4.下列函数中，其图象与函数()2xfx−=的图象关于y＝－x对称的是（）A.()()2loggxx=−−B.()2loggxx=C.()2logxxg=−D.()()2loggxx=−【答案】D【解析】【分析】将函数()2xfx−=中

的x变为y−，y变为x−，整理可得答案.【详解】将函数()2xfx−=中的x变为y−，y变为x−得2yx−=整理得()2logyx=−，即图象与函数()2xfx−=的图象关于y＝－x对称的是()()2loggxx=−故选：D.5.已知函数()cos()(0,0)fxx=

+的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为4，将()fx的图象向右平移6个单位长度得到函数()gx的图象.若函数()gx的图象在区间423,上是增函数，则的取值范围为

（）A.,62B.5,36C.2,33D.3,44【答案】B【解析】【分析】由题意，根据余弦函数的周期性质，结合函数图象平移性质以及单调性，可得答案.【详解】由

函数()cos()(0,0)fxx=+的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为4，则函数()fx的周期44T==，则22==，则()()cos2fxxφ=+，由将()fx的图象向右平移6个单位长度得到函数()gx的图象，可得(

)cos263gxfxx=−=−+，由3,42x，272,336x−+++，函数()gx的图象在区间423,上

是增函数，故2237226kk++++，解得52236kk++，由0，当0k=时，5,36，故选：B.6.若过点(),Paa与曲线()lnfxxx=相切的直线有两条，则实数a的取值范围是（）.A.()e,+B.()

,e−C.10,eD.()1,+【答案】A【解析】【分析】设切点坐标，根据导数几何意义列等式，把有两条切线的问题转化为方程有两个解的问题，再的把方程有两个解的问题转化为函数图像有两个交点的问题，结合函数图像求a的范围即可.【详解】设切点为(),l

nmmm，()lnfxxx=的导函数为()1lnfxx=+，可得切线的斜率1lnkm=+，由切线经过点(),Paa，可得ln1lnmmamma−+=−，化简可得1lnmam=①，由题意可得方程①有两

解，设()lnmgmm=，可得()21lnmgmm−=，当em时，()0gm，所以()gm在()e,+上递减，当0em时，()0gm，所以()gm在()0,e上递增，可得()gm在em=处取得最大值1e，

如图所示，所以110ea，解得ea.故选：A.7.已知函数()()sincos0fxaxbxab=+的图象关于6x=对称，且()085fxa=，则0sin26x+的值是（）A725−B.2425−C.725D.2425【答案】C【解析】【分析】先对函数化简变形

，然后由题意可得226fab=+，求得3ba=，再由()085fxa=可得04sin35x+=，再利用诱导公式和二倍角公式可求得结果【详解】因为()()22sincossinfxaxbxabx

=+=++，0ab.其中22sinbab=+，22cosaab=+，由于函数的图象关于6x=对称，所以226fab=+，即221322abab+=+，化简得3ba=，所以()00

008sin3cos2sin35fxaxaxaxa=+=+=，即04sin35x+=，所以20000227sin2sin2cos22sin16323325xxxx+=+−=−+=

+−=，故选：C.8.设14411,ln,2lnsincos33366abc===+，则（）A.bacB.c<a<bC.acbD.b<c<a【答案】B【解析】【分析】法一：

构造()()ln1fxxxx=−−，求导分析单调性，结合441ln333可得ba，再构造()()lnsincosgxxxx=+−，求导分析单调性可得106g，进而判断出ca即可.【详解】法一：若4,1,ln3xaxbxx==−=，令()()ln1fxxx

x=−−()()ln110,1,fxxxfx===+−在()1,+上单调递增，()()10fxf=441ln333，即ba，比较a与c的大小，先比较16与11lnsincos66+若()111,lnsincoslnsincos666xxx

=+=+令()()()cossin2sinlnsincos,1sincossincosxxxgxxxxgxxxxx−−=+−=−=++π0,2x时()()0,gxgx单调递减，10,,6gcacab.法二：秒杀211111lnsincosln1

sinsin,66333caca=+=+=另一方面由0x时，144431ln1ln133343xbabax−=−==，cab.故选：B二.多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的

四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9.已知向量(43)am=−，，(1)bm=，，则下列说法正确的是（）A.若ab⊥，则4m=B.若35m=，则ab∥C.2ab+的最小值为6D.若a与

b的夹角为锐角，则14−m【答案】BC【解析】【分析】由平面向量垂直、平行以及模长的坐标计算公式，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】A：若ab⊥，故可得()430mm+−=，解得1m=−或4m=，故A错误；B：当35m=时，1234,,1,55ab==

，此时31241055−=，则ab∥，故B正确；C：()26,3abm+=+，故2ab+()23636m=++，当3m=−时，取得最小值，故C正确；D：若a与b的夹角为锐角，则()430abmm=+−

，解得14m−；当a与b共线时，43mm=−，解得35m=，故331,,455m−，故D错误；综上所述，正确的选项是：BC.故选：BC.10.为了得到函数()2lneyx=的图象，可将函数lnyx=的图象（）A.纵坐标不变，横坐标伸

长为原来的2e倍B.纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21eC.向下平移两个单位长度D.向上平移两个单位长度【答案】BD【解析】【分析】()2lneln2yxx==+，可通过平移，也可通过伸缩得到.【详解】()2

2lnelnelnln2yxxx===++,可将函数lnyx=的图象向上平移两个单位长度得到ln2yx=+，也可将函数lnyx=的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21e得到()2lneyx=.故选：BD11.在AB

C中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（）A.若a>b，则coscosABB.c＝10，a＝12，∠A＝60°，则ABC有唯一解C.若a，b，c成等比数列，ba的取值范围为5151,22−+

D.若222sinsincos1ABC++，则△ABC为锐角三角形【答案】ABC【解析】【分析】A选项利用三角形中大边对大角即可判断出.B，D选项利用正余弦定理可判断.C选项，由a，b，c成等比数列

，用等比中项的性质，再结合三角形边的性质，两边之和大于第三边列不等式组即可.【详解】对于A：a>b可知A>B，由余弦函数单调性可知故A正确；对于B，在ABC中，c＝10，a＝12，sinsinacAC=，得533sin122C=，所

以△ABC有唯一解，故B正确；对于C，∵a，b，c成等比数列，设bcqab==，q>0，则b＝aq，2caq=，∴222aaqaqaqaqaaaqaq++−，∴222101010qqqqqq−−+−−+，∴51

5122q−+，故C正确；对于D，若222sinsincos1ABC++，则222sinsin1cosABC+−，故222sinsinsin0ABC+−，由正弦定理得：2220abc+−，

由余弦定理得2222cosabCabc=+−，则cos0C，C为锐角，另外两个角不能确定为锐角还钝角，是故D错误；故选：ABC12.已知数列na满足1aa=，121nnnaaa+=+−，记数列2

na−的前n项和为nS，nS对Nn恒成立，则下列说法正确的有（）A.若0a，则数列2na−为递减数列B.若22a，则数列na为递增数列C.若a＝3，则的可能取值为3512D.若a＝3，则155232nnS−−【答案】BCD【解析】【

分析】对于A，取特殊情况，可得答案；对于B，构造函数，作图，利用数形结合思想，可得答案；对于C、D，同B，可得数列的取值方程，整理求得数列相邻两项的大小关系，利用放缩法，解得裂项相消和等比数列求和，可得答案.【详解】对于A，令121nnnna

aaa+=+−=，解得2na=，即数列na的不动点为2，所以当a＝2时，2na=，此时2na−为常数列，A错误；对于B，作出函数21yxx=+−与函数y＝x的图像如图：由图可知B正确；对于C，作出函数21yxx=+−与函数y＝x的图像如图：由图可知：123nn

aa+，∴11132na，∴21221117812,1489nnnnnaaaaa+=−+=−+，即189nnnaaa+，又∵1221nnnnnaaaaa+−−=−=，∴()12nnnnaaaa+−=−，一方面，由189nn

aa+得1179nnnaaa++，∴()1917nnnaaa++，()()21219217nnnnnnaaaaaa++−=−−，∴()()()()()()()2222222121223119922291717nnnnnSaaaaaaaaaa++=−+−++−−+−

++−=−∵12na+，且当n→＋∞，12na+→，∴()945941717nS−=，∵35451217，∴另一方面，由()()212132223nnnnnnnnnaaaaaaaaa+−−−+−=+−==，23na，得12112nnnaaa+−=−−，112123na

−，又∵121a−=，2223a−=，35212a−=，且()11222nnaa+−−，∴()()()3121225151552221312122122232nnnnSaaa−−=−+−++−+++

++=−，所以CD正确.故选：BCD.第二部分非选择题（共90分）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图所示的平面直角坐标系、设钟表秒针针尖的坐标为P（x，y），若秒针针尖的初始坐标为022,22

P当秒针由点P0的位置（此时t＝0）开始走时，点P的纵坐标y与时间t（单位：秒）的函数关系为______.【答案】sin304yt=−+，()0t【解析】【分析】确定(),Pxy对应的角度，再

根据点P在单位圆上，写出函数的解析式.【详解】由题意，半径2222122r=+=，函数的周期60T=，所以t时刻秒针针尖经过的圆弧对应的角度为26030tt=，以x轴正半轴为始边，(),Pxy所在射线

为终边，得0P对应的角度为4，秒针是顺时针，则(),Pxy对应的角度为430t−，所以t时刻(),Pxy的纵坐标sin304yt=−+，()0t.故答案为：sin304yt=−+，()0t.14.等差数列{}na前n项和为nS，281112aaa

++=，则13S=___________.【答案】52【解析】【分析】由281112aaa++=结合等差数列的性质可得74a=，然后利用等差数列的求和公式可求得结果【详解】()()28111111()71031812aaaadadadad++=+

++++=+=164ad+=，即74a=()1131371313134522aaSa+====故答案为：5215.计算：()23tan123sin124cos122−=−_______.【答案】43−【解析】【分析】把tan12化为sin12tan12cos12=，逆用

二倍角的余弦公式和正弦公式，运用辅助角公式，最后化简求值.【详解】原式3sin123cos121323(sin12cos12)3sin123cos1243sin(48)cos1222431sin122cos24si

n24cos24sin48sin482−−−−=====−【点睛】本题考查了同角三角函数商关系，考查了二倍角的正弦公式、余弦公式、辅助角公式.16.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现

代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若()fx是()fx的导函数，()fx是()fx的导函数，则曲线y＝f（x）在点（x，f（x））处的曲率()()32

21xfxfK=+，则曲线()fxx=在（1，1）处的曲率为______；正弦曲线()singxx=（x∈R）曲率的平方2K的最大值为______.【答案】①3225②.1【解析】【分析】（1）由题意，求导，代入公式，可得答案；（2）由题意，整理曲率的函

数解析式，换元求导，求最值，可得答案.【详解】（1）由题意得()12fxx=，()3214fxx−=−，则()112f=，()114f=−，则()()()3322225111fKf==+.（2）由题意得，()cosgxx=，()singxx=−，∴(

)()2223322sinsin1cos2sinxxKxx==+−，令22sin1,2tx=−，则232tKt−=，令()32tptt−=，则()()32643226ttttpttt−−−−==，显然当t∈[1,2]时，()0pt，p（t）单调递减，所以()()max11

ptp==，∴2K的最大值为1.故答案为：3225，1.四.解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且2sin2sinbAaB=.（1）求sinA；（2）若5,10bca+==

，求ABC的面积.【答案】（1）154；（2）3154.【解析】.【分析】（1）根据正弦定理，结合同角的三角函数关系式进行求解即可；（2）根据余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可.【小问1详解】由2sin2sinbAaB=，故4sinco

ssinbAAaB=由正弦定理知：sinsinbAaB=，所以1cos4A=.因为cos0A，所以A为锐角，故215sin1cos4AA=−=；【小问2详解】由（1）及余弦定理知：2211024bcbc=+−，故221102

bcbc+=+，故25()102bcbc+=+.由5bc+=，所以6bc=，所以ABC的面积1115315sin62244SbcA===.18.已知等比数列na的前n项和为132nnSb=+（b为常数）．（1）求b的值和数列na的通项公式；（2）记mc

为na在区间()3,3mmmN−中的项的个数，求数列mmac的前n项和nT．【答案】（1）12b=−；1*3,nnanN−=（2）113.244nnnT=+−【解析】【分析】（1）依题意等比数列na的公比不为1，再根据等比数

列前n项和公式得到1111nnaaqSqq=−−−，即可得到1112abq==−−且3q=，从而求出1a、b，即可得解；（2）首先令1333mnm−−，nN，即可求出n的取值范围，从而求出mc，即可得到()

113mmmacm−=+，再利用错位相减法求和即可；【小问1详解】解：由题设132nnSb=+，显然等比数列na的公比不为1，若na的首项、公比分别为1a、q，则()1111111nnnaqaa

qSqqq−==−−−−，∴1112abq==−−且3q=，所以11a=，故na的通项公式为1*3,nnanN−=．当1*3,nnanN−=时，()1131131322nnnS−==−−；【小问2详解】解：令1333mnm−−

，nN，解得01nm−，所以11nm+数列na在()*3,3mmmN−中的项的个数为1m+，则1mcm=+，所以()113mmmacm−=+，∵()0112.33313nnTn−=++++，①∵()12323331

3nnTn=++++②两式相减得∴()()()0111231132233313113132nnnnnnnTnn−−−+−−=+++−+=+−+=−．∴113.244nnnT=+−19.如图，三棱台ABC－DEF中，∠ABC＝90°，AC＝2AB＝2DF，四边形AC

FD为等腰梯形，∠ACF＝45°，平面ABED⊥平面ACFD.（1）求证：AB⊥CF；（2）求直线BD与平面ABC所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】(1)延长AD、BE、CF交于点P，由平面ABED⊥平面ACFD推导出CP⊥平面ABED，进而可得出CP⊥AB；(2)

设DF＝a，可得出2PAa=，BC3a=，过点P作PM⊥BC于点M，计算出点D到平面ABC的距离h，即可求得直线BD与平面ABC所成角的正弦值.【小问1详解】证明：延长AD、BE、CF交于点P，∵四边形ACFD为等腰梯形，∠ACF＝45°，∴∠APC＝90°，

即CP⊥AP，∵平面ABED⊥平面ACFD，平面ABED平面ACFD＝AP，CP平面ACFD，∴CP⊥平面ABED，∵AB平面ABED，∴CP⊥AB.【小问2详解】由AC＝2AB＝2DF，可知D为P

A的中点，设AB＝DF＝a，则2PAa=，BC3a=，由（1）知，CP⊥AB，∵∠ABC＝90°，即AB⊥BC，CPBCC=，CP、BC平面PBC，∴AB⊥平面PBC，∴AB⊥PB，∴22PBPAABa=−=，1222BDPAa==，过点P作PM⊥BC于点M

，∵AB⊥平面PBC，PM平面PBC，∴AB⊥PM，又ABBCC=，AB、BC平面ABC，∴PM⊥平面ABC，∴PM⊥BC，由（1）知，CP⊥平面ABED，∴CP⊥PB，∴PMBCCPPB=，即32PMaaa=，∴2633PMaa==，∵D为PA的中点，∴D

到平面ABC的距离1626hPMa==，∴直线BD与平面ABC所成角的正弦值为636322ahBDa==.20.已知函数()22cos23sincosfxxxxa=++（0，aR）．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函

数()fx解析式的两个合理条件作为已知，条件①：()fx的最大值为1；条件②：()fx的一条对称轴是直线π12x=−；条件③：()fx的相邻两条对称轴之间的距离为π2．求：（1）函数()fx的解析式；（2）若将函数()fx图像上的点纵坐标不变，横坐标变为原

来的12，再向右平移π12个单位，得到函数()gx的图像，若()gx在区间0,m上的最小值为()0g，求m的最大值．【答案】（1）选择条件①③得()2sin216fxx=+−；（2）3【解析】【分析】（1）由题知()2

sin216fxxa=+++，进而结合已知条件选择①③能确定函数()fx解析式，再求解即可；（2）结合函数平移变换得()2sin416gxx=−−，进而根据题意得74660mm−，再解不等式即可得答案.【小问

1详解】解：()22cos23sincosfxxxxa=++cos23sin212sin216xxaxa=+++=+++，当选条件②，()fx的一条对称轴是直线π12x=−时，π2,Z1262kk

−+=+，即0,Z2kk=+，显然不成立，条件①③能确定函数()fx解析式，因为()fx的最大值为1，()fx的相邻两条对称轴之间的距离为π2所以211++=a，22T

==，解得1=，2a=−，所以，()2sin216fxx=+−【小问2详解】解：根据题意得()2sin416gxx=−−，因为0,xm，所以4,4666xm−−−

，因为()gx在区间0,m上的最小值为()0g所以，74660mm−，解得03m.所以，m的最大值为3.21.已知函数()()()4log41xfxkxkR=++是偶函数.（I）证明：对任意实数b，函数()yfx=的图象与直线32yxb=

−+最多只有一个交点；（II）若方程()44log23xfxaa=−有且只有一个解，求实数a的取值范围.【答案】（I）证明见解析；（II）()31,−+.【解析】【分析】（I）先利用偶函数的定义()()fxfx=−结合对数的运算性质求出k的值，

然后利用定义法证明函数()yfx=在R上单调递增，即可证明出所证结论；（II）由()44log23xfxaa=−，得出142223xxxaa+=−，令20xt=，将问题转化为关于t的方程()241103aatt−−−=有且只有一个正根，然后分三种情况讨论

：①10a−=；②10a−，Δ0=；③10a−，方程有一个正根一个负根.分析这三种情况，可求出实数a的取值范围.【详解】（I）由函数()fx是偶函数可得：()()fxfx=−，()()44log41log41xxkxkx−++=+−，44

1log241xxkx−+=−+，即2xkx=−对一切xR恒成立，12k=−.由题意可知，只要证明函数()()43log412xxfxx+=++在定义域R上为单调函数即可.任取1x、2xR且12xx，则()21

2142141log41xxyyxx+−=+−+，21xx，210xx−，2141141xx++，即21441log041xx++，21yy.函数()4log41xyx=++在R上为单调增函数.对任意实数b，函数()yfx=的图象与直线32xyb=−+最多只有一个交点；（II）

若方程()44log23xafxa−=有且只有一解，也就是方程142223xxxaa+=−有且只有一个实根.令20xt=，问题转化为方程：()241103aatt−−−=有且只有一个正根.（1）若1a=，则34t=−，不合题意；（

2）若1a时，由304a==或3−，当34a=时，2t=−不合题意；当3a=−时，12t=；（3）若1a时，0，若方程一个正根与一个负根时，则1011aa−−.综上：实数a的取值范围是()31,−+.【点睛】

关键点睛：利用函数的奇偶性求参数、函数的零点问题，涉及函数的单调性以及二次函数的零点问题，解题时要注意将这些知识点进行等价转化处理，属于中等题.22.已知函数11()ttttfxxxx+=+−(0,xt为正有理数)．（1）求函数()fx的单调区间；

（2）证明：当2x…时，()0fx„．【答案】（1）()fx的增区间为(0,1)，减区间为(1,)+，（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）对函数求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间，（2）由于()fx在[2,)+单调递减，所以11()(2

)222ttttfxf+=+−„，令11(0)()222ttttgtt+=+−，所以只要证()0gt即可，而(1)0g=，所以只要证明：当1t…时，()0gt„，而1111()2222221ttttttttgt+−=+−−+=，所以令122)1(1)(ttt

htt−+=−，然后利用导数求()ht的最大值小于等于零即可.【小问1详解】函数的定义域为(0,)+．()111111111111()11ttttttttfxtxxtxtxxxxttt−+−−−−=+−+=−+−（0,xt为正有理

数)，当01x时，110tx−，10tx−，所以()0fx；当1x时，110tx−，10tx−，所以()0fx，所以()fx在(0,1)上单调递增，在(1,)+上单调递减，所以(

)fx的增区间为(0,1)，减区间为(1,)+；【小问2详解】因为()fx在[2,)+单调递减，所以11()(2)222ttttfxf+=+−„．记11(0)()222ttttgtt+=+−，因此要证()0fx

，只要证()0gt即可而1()gtgt=且(1)0g=，因此只要证明：当1t…时，()0gt„．而1111()2222221ttttttttgt+−=+−−+=．令122)1(1)(tt

thtt−+=−，则1121()2(ln2)12ttthtt−=+−，令1mt=，则01m„．令()212(01)mFmmm=+−„，则()22ln2mFmm=−，令()22ln2(01)mGmmm=−„，则2()22(ln2)0mGx=−，所以

()Gm(0，1]上单调递增，又(0)ln20,(1)22ln20GG=−=−，又()Gm在(0，1]上连续，故存在0(0,1]m，使得当()00,mm时，()0Gm，当(0,1mm时，()0Gm，所以()Fm在()

00,m上单调递减，在(0,1m单调递增．又(0)(1)0FF==，所以()0Fm„．即()0ht„，所以()ht在[1,)+单调递减，所以()(1)0hth=„，即()0gt„．综上所述，当2x…时，()0f

x„．【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（2）问解题的关键是结合（1）将问题转化为证明当1t…时，1111()22222210ttttttttgt+−=+−−+=，构造函数122)1(1)(

ttthtt−+=−，然后转化为利用导数求其最大值不大于零即可，考查数学转化思想，属于难题.在获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com