【文档说明】宁夏银川市长庆高级中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试卷【精准解析】.doc，共(17)页，975.000 KB，由小赞的店铺上传

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宁夏长庆高级中学2020---2021学年第一学期高二年级数学期末试卷（理科）满分；150分.考试时间；120分钟.命题；本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)1.i是虚数单位，复数131ii−−的共

轭复数是()A.2－iB.2＋iC.－1＋2iD.－1－2i【答案】B【解析】13i42i2i1i2−−==−−，那么它的共轭复数为2+i，故选B.2.()()0002lim1xfxxfxx→+−=，则

()0fx等于()A.2B.1C.12D.0【答案】C【解析】根据00x0f(x2x)f(x)lim2x→+−=f′（x0），将已知条件代入即可求出所求．解：∵00x0f(x2x)f(x)limx→+−=1，∴00x0f(x2x)f(x)lim2x→+−=f′（x0）=12故选C．3.若实

数37,25ab=+=，则a与b的大小关系是A.ab=B.abC.abD.不确定【答案】B【解析】试题分析：由题可设；,3725ab+．即需证；22(37)(25),1022120,22110,841

00++成立，则ab成立．考点：分析法证明不等式.4.函数()()3xfxxe=−的单调递增区间是（）A.(),2−B.()0,3C.()1,4D.()2,+【答案】D【解析】【分析】求导分析导函数大于0的区间即可.【详解】

易得()()'2xfxxe=−,当()'0fx时解得2x.故函数()()3xfxxe=−的单调递增区间是()2,+.故选：D【点睛】本题主要考查了求导分析函数单调区间的方法,属于基础题.5.下图是解

决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是（）A.①综合法，②反证法B.①分析法，②反证法C.①综合法，②分析法D.①分析法，②综合法【答案】C【解析】【分析】由分析法和综合法的证明思路即可得到答案．【详解】由已知到

可知，进而得到结论的应为综合法；由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故选C.【点睛】本题考查分析法和综合法的证明思路，属于基础题．6.若()()221fxxfx=+，则()0f等于（）A.

2B.0C.-2D.-4【答案】D【解析】【分析】先求导，算出()1f，然后即可求出()0f【详解】因为()()221fxxfx=+，所以()()212fxfx=+所以()()1212ff=+，得()12f=−所以()42fxx=

−+，所以()04f=−故选：D【点睛】本题考查的是导数的计算，较简单.7.若()224lnfxxxx=−−，则()0fx的解集为（）A.()2+，B.()()102−+，，C.()0，+D.()10−，【答案】A【解析】【分析】求导，令()0fx，

解不等式可得选项．【详解】因为()224lnfxxxx=−−，所以()2'4224220xxfxxxx−−=−−=，又0x，故()2220xx−−，即()()2120xx+−，结合0x可得2x．故选：A．8.我们把平面几何里相似的概念推广到空间：如

果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就称它们是相似体，给出下面的几何体：①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥，则一定是相似体的个数是（）A.4B.2C.3D.1【答案】B【解析】分析：根据题意，结合题中所给

的新定义，根据形状相同，大小不一定相同的几何体被视为相似体，逐一判断，可得结论.详解：两个长方体的长宽高的比值不能确定，两个正三棱柱的高与底面边长的比不能确定，两个正四棱锥的高与底面边长不能确定，所以②④⑤不能确定是正确的，只有所有的球体和所有的正四面体都是相似体，所以有两个是正确的，故选B.点睛

：该题属于新定义的问题，属于现学现用型，这就要求我们必须把握好题中的条件，然后对选项中的几何体逐一判断，最后求得结果.9.已知函数()yxfx=‘的图象如图所示，下面四个图象中()yfx=的图象大致是（）A.B.C.D.【

答案】C【解析】【分析】根据函数y＝xf′（x）的图象，依次判断f（x）在区间（﹣∞，﹣1），（﹣1，0），（0，1），（1，+∞）上的单调性即可【详解】由函数y＝xf′（x）的图象可知：当x＜﹣1时，xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此时f（x）增，当﹣1＜x＜0时，xf′（x）＞

0，f′（x）＜0，此时f（x）减，当0＜x＜1时，xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此时f（x）减，当x＞1时，xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此时f（x）增．故选C．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查函数的图象问题．属于基础题．10.我国南宋数学家

杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为12n−，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,，则此数列的前55项和为()A.4072B

.2026C.4096D.2048【答案】A【解析】【分析】利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．【详解】解：由题意可知：每一行数字和为首项为1，公

比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为Sn1212n−==−2n﹣1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则Tn()12nn+

=，可得当n＝10，所有项的个数和为55，则杨辉三角形的前12项的和为S12＝212﹣1，则此数列前55项的和为S12﹣23＝4072，故选A．【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列等差数列的求和公式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．

11.若函数2322ln,0()4,0xxxfxxxx=−−的图像和直线yax=有四个不同的公共点，则实数a的取值范围是（）A.2(,4)e−B.(0,4)C.2(,0)e−D.2(,0)(0,4)e−【答案】D【解析】【分析】当x=0时，显然符合题意

；当x≠0时，问题可转化为()22,04,0xlnxxgxxxx=−−＜和直线ya=有三个不同的公共点，从而得到结果.【详解】由题意可知：原点显然满足题意，问题可转化为()22,04,0xlnxxgxxxx=−−＜和直线ya=有三个不同的公共点，如图所示：由图易得：()2

a,00,4e−故选D【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形

，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．12.袋子里有编号为2,3,4,5,6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球.教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号.甲说：“

我无法确定.”乙说：“我也无法确定.”甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了.”根据以上信息,你可以推断出抽取的两球中A.一定有3号球B.一定没有3号球C.可能有5号球D.可能有6号球【答案】D【解析】甲说：“我无法确定.”说明两球编号的和可能为7包含（2，5），

（3，4），可能为8包含（2，6），（3，5），可能为9包含（3，6），（2，7）乙说：“我无法确定.”说明两球编号的乘积为12包含（3，4）或（2，6）根据以上信息,可以推断出抽取的两球中可能有6号球故选D点睛：本题是一道通俗易懂的合情推理题目，主要考查同学们的逻辑思维能力和推理能力，问题难度不

大，认真审题是关键.13.已知定义在R上的函数()fx满足()()33−=+fxfx，且对任意12，xx（0，3)都有()()21210−−fxfxxx，若32a−=，2log3b=，ln4ce=，则下面结论正确的是（）A.()()()f

afbfcB.()()()fcfafbC.()()()fcfbfaD.()()()fafcfb【答案】C【解析】【分析】由条件()()33−=+fxfx，可知函数()fx关于3x=对称，由对任意12，xx（0，3)都有()()21210−−fxfxxx，可知函数

在x（0，3)时单调递减，然后根据单调性和对称性即可得到abc，，的大小．【详解】因为()()33−=+fxfx，得函数()fx关于3x=对称，又对任意12，xx（0，3)都有()()21210−−fxfxxx，所以函数()fx在x（0，3)时单调递减，

因为3020221log32ab−===，所以()()()2faffb，又()()ln4=442fcfe==，，所以()()2fcf=，所以()()()fcfbfa，故选C.【点睛】本题主要考查函数值的大小比较,利用条件求出

函数的单调性和对称性,利用单调性和对称性之间的关系是解决本题的关键.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题:(本大题共4小题，每小题5分，共20分)14.在复平面内，复数()()222zmmmi=++−−对应的点在第一象限，求实数m的取值范围是________．【答案】()()2,12,

−−+【解析】【分析】由已知建立不等式组，解之可得答案．【详解】根据题意得出22020mmm+−−，解得21m−−或>2m，所以实数m的取值范围是()()2,12,−−+．故答案为：()()2,12,−−+．15.121(1)xxdx−−+=__

______．【答案】2【解析】【分析】利用定积分的几何意义及其计算公式，可得结论．【详解】由题意，可得()1112221111111(1)2|02222xxdxxdxxdxx−−−−−+=−+=+=+=.故答案为：2．16.某商场从

生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p2.问该商品零售价定为________元时毛利润最大(毛利润＝销售收入－进货支出)．【答案】30【解析】【分析】【详解】

由题意知：毛利润等于销售额减去成本，即L（p）=pQ﹣20Q=Q（p﹣20）=（8300﹣170p﹣p2）（p﹣20）=﹣p3﹣150p2+11700p﹣166000，所以L′（p）=﹣3p2﹣300p+11700．令L′（p）=0，解得p

=30或p=﹣130（舍去）．此时，L（30）=23000．因为在p=30附近的左侧L′（p）＞0，右侧L′（p）＜0．所以L（30）是极大值，根据实际问题的意义知，L（30）是最大值，故答案为30【点睛】本题以实际问题

为载体，考查函数模型的构建，考查利用导数求函数的最值，由于函数为单峰函数，故极值就为函数的最值．一般实际应用题，先理解题意，构建数学模型，写出数学表达式，用数学知识解决实际应用题．注意要结合实际，比如取整问题．17.已知,ab为正实数，直

线yxa=−与曲线ln()yxb=+相切，则23ab+的最小值为__________.【答案】526+【解析】【分析】函数求导，由切线方程yxa=−可得1ab+=，再利用基本不等式求得最值.【详解】ln()yxb=+的导数为1yxb=+，由切线的

方程yxa=−可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为1b−，切点为(1,0)b−，代入yxa=−，得1ab+=，,ab为正实数，则23232323()()2352526babaababababab+=++

=++++=+，当且仅当63ab=，即62,36ab=−=−时，取得最小值526+.故答案为：526+【点睛】本题考查导数的运算、导数的几何意义及基本不等式求最值，属于基础题.三、解答题:(本大题共6小题，共70分，解答

应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18.已知函数f(x)＝x3－x2＋x＋1，求其在点(1，2)处的切线与函数g(x)＝x2围成的图形的面积．【答案】43【解析】【分析】先求导数，确定切线斜率，根据点斜式得切线方程，再确定积分区间，最后根据定积分得面积.【详解】因为(1，2

)为曲线f(x)＝x3－x2＋x＋1上的点，设过点(1，2)处的切线的斜率为k，则k＝f′(1)＝(3x2－2x＋1)|x＝1＝2，所以过点(1，2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.由22yxyx==可得交

点A(2，4)，O(0，0)，故y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形的面积()022320218424333Sxxdxxx=−=−=−=【点睛】本题考查导数几何意义、利用定积分求面积，考查基本分析求解能力，属基础

题.19.设,xy为正实数，且1xy+=，求证：11119xy++【答案】证明见解析.【解析】【分析】对1111xy++利用1xy+=化简，得到52xyyx++

然后利用基本不等式可得答案.【详解】因为,xy为正实数，且1xy+=，所以111111111131xyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy++=+++=+++=+++++++352549yx

xyyxyxyxyxxyxxyy+=++++=+++=+，当且仅当12xy==等号成立.所以11119xy++.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”

就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发

生错误的地方.20.已知函数()312fxxx=−.(1)求函数()fx的极值；(2)当3,3x−时，求函数()fx的最值．【答案】（1）()fx的极大值为()216f−=，极小值为()216f=−；（2）()fx的最大值为()216f−=，最小值为()216f

=−【解析】【分析】（1）直接利用导数求函数的极值.(2)比较端点函数值和极值的大小即得解.【详解】(1)f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，令f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)＝0，解得x＝2或x＝－2，x，f′(x)，f(x)的变化如下表：x(－∞，－2)－

2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增16单调递减－16单调递增∴函数f(x)的极大值为f(－2)＝16，极小值为f(2)＝－16.(2)由(1)知，f(－2)＝16，f(2)＝－16，又f(－3)＝9，f

(3)＝－9，∴当x∈[－3,3]时，函数f(x)的最大值为f(－2)＝16，最小值为f(2)＝－16.【点睛】(1)本题主要考查利用导数研究函数的极值和最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)设()yfx=是定义在闭区间,ab上的函数

，()yfx=在(),ab内有导数，可以这样求最值：①求出函数在(),ab内的可能极值点（即方程/()0fx=在(),ab内的根12,,,nxxx）；②比较函数值()fa，()fb与12(),(),,()nfxfxfx，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（2

）如果是开区间(,)ab，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后通过分析确定函数的最值.21.中国民间十字绣有着悠久的历史，如下图，①②③④为十字绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图案包含

()fn个小正方形．（1）求出(5)f的值；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出(1)fn+与()fn之间的关系式，并根据你得到的关系式猜测出()fn的表达式；（3）求1111(1)(2)1(3)1()1ffffn++++−−−(2n)的值．【答案】（1）(5)41

f=；（2）(1)()4fnfnn+−=，2()221fnnn=−+；（3）3122n−【解析】【分析】（1）按着规律画出第五个图即可求得()5f；（2）根据规律可确定()()14fnfnn+−=，再利用累加法可求()fn的表达式；（3）先

化简()11fn−，再利用裂项相消法进行求和.【详解】（1）按所给图案的规律画出第五个图如下：由图可得(5)41f=.（2）可得(2)(1)41ff−=；(3)(2)842ff−==；(4)(3)1243ff−==；(5)(4)1644ff−==；……由上式规律，可得()(1)4(

1)fnfnn−−=−,(1)()4fnfnn+−=累加可得2(11)(1)()(1)4[12(1)]4222nnfnfnnn+−−−=+++−==−，又(1)1f=，∴2()221fnnn=−+.(3)当2n时，211111()12

22(1)121fnnnnnnn==−=−−−−，∴()()()()1111121311ffffn++++−−−1111111131111122231222nnnn=+−+−++−=+−=−

−L【点睛】思路点睛：本题考查利用累加法求数列通项公式和裂项相消法求和，（1）若已知1a和1()nnaafn−−=求通项，利用累加法进行求解；（2）裂项相消法是一种常见的求和方法，其适用题型主

要有：①已知1(1)nann=+求和，即111=(+11nnnn−+）；②已知1(21)(21)nann=−+求和，即1111()(21)(21)22121nnnn=−−+−+；③已知11nann=++求和，即111nnnn=+−+

+.22.已知函数()3fxaxbxc=++在点2x=处取得极值16c−.(1)求,ab的值；(2)若()fx有极大值28，求()fx在3,3−上的最小值．【答案】(1)1,12ab==−;(2)4−.【解析】【分析】（1）f′（x）=3

ax2+b，由函数f（x）=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c﹣16．可得f′（2）=12a+b=0，f（2）=8a+2b+c=c﹣16．联立解出．（2）由（1）可得：f（x）=x3﹣12x+c，f′（x）=3x2﹣12=3（x+2

）（x﹣2），可得x=﹣2时，f（x）有极大值28，解得c．列出表格，即可得出．【详解】解：因()3fxaxbxc=++.故()23fxaxb=+由于()fx在点x=2处取得极值c-16.故有()()20,216,ffc==−即120,821

6,ababcc+=++=−化简得120,48,abab+=+=−解得a=1，b=-12.（2）由（1）知()312fxxxc=−+；()()()2312322fxxxx==−−+.令()0fx=，得12x=−，22x=.当(),2x−−时，()0fx

，故()fx在(),2−−上为增函数；当()2,2x−时，()0fx，故()fx在()2,2−上为减函数；当()2,x+时，()0fx，故()fx在()2,+上为增函数.由此可知()fx在12x=−处取得极大值；()216fc−=+，()fx

在22x=处取得极小值()216fc=−.由题设条件知16+c=28，得c=12.此时()3921fc−=+=，()393fc=−+=，()2164fc=−+=−，因此()fx在3,3−上的最小值为()24f=−.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨

论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.设函数()32.fxxaxbxc=+++（I）求曲线().yfx=在点()()0,0f处的切线方程；（II）设4ab==，若函数()fx有三个不同零点，求c的取值范围【答案】（1）ybxc=+（2）320,27c

【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得切线斜率为()0f，再根据点斜式写切线方程；（2）由函数图像可知，极大值大于零且极小值小于零，解不等式可得c的取值范围试题解析：解：（I）由()32fxxa

xbxc=+++，得()232fxxaxb=++．因为()0fc=，()0fb=，所以曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线方程为ybxc=+．（II）当4ab==时，()3244fxxxxc=+++，所

以()2384fxxx=++．令()0fx=，得23840xx++=，解得2x=−或23x=−．()fx与()fx在区间(),−+上的情况如下：x(),2−−2−22,3−−23−2,3

−+()fx+0-0+()fxc3227c−所以，当0c且32027c−时，存在()14,2x−−，222,3x−−，32,03x−，使得()()()1230fx

fxfx===．由()fx的单调性知，当且仅当320,27c时，函数()3244fxxxxc=+++有三个不同零点．24.已知函数f（x）＝－2xlnx＋x2－2ax＋a2，其中a>0.（Ⅰ）设g（x）为f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f

（x）≥0恒成立，且f（x）＝0在区间（1，＋∞）内有唯一解.【答案】（Ⅰ）当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减当x∈（1，＋∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增（Ⅱ）见解析【解析】【分析】【详

解】（Ⅰ）由已知，函数f（x）的定义域为（0，＋∞）g（x）＝f'（x）＝2（x－1－lnx－a）所以g'（x）＝2－22(1)xxx−=当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减当x∈（1，＋∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增（Ⅱ）由f'（x）＝2（x－1－lnx－a

）＝0，解得a＝x－1－lnx令Φ（x）＝－2xlnx＋x2－2x（x－1－lnx）＋（x－1－lnx）2＝（1＋lnx）2－2xlnx则Φ（1）＝1＞0，Φ（e）＝2（2－e）＜0于是存在x0∈（1，e），使得

Φ（x0）＝0令a0＝x0－1－lnx0＝u（x0），其中u（x）＝x－1－lnx（x≥1）由u'（x）＝1－1x≥0知，函数u（x）在区间（1，＋∞）上单调递增故0＝u（1）＜a0＝u（x0）＜u（e）＝

e－2＜1即a0∈（0，1）当a＝a0时，有f'（x0）＝0，f（x0）＝Φ（x0）＝0再由（Ⅰ）知，f'（x）在区间（1，＋∞）上单调递增当x∈（1，x0）时，f'（x）＜0，从而f（x）＞f（x0）＝0当x∈（x0，＋∞）时，f'（x）＞0，从而f（x）＞f（x0）＝0又当x∈（0，1]时

，f（x）＝（x－a0）2－2xlnx＞0故x∈（0，＋∞）时，f（x）≥0综上所述，存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）＝0在区间（1，＋∞）内有唯一解.考点：本题主要考查导数的运算、导数在

研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想.