【文档说明】宁夏银川市长庆高级中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试卷【精准解析】.doc，共(17)页，975.000 KB，由小赞的店铺上传

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宁夏长庆高级中学2020---2021学年第一学期高二年级数学期末试卷（理科）满分；150分.考试时间；120分钟.命题；本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择

题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)1.i是虚数单位，复数131ii−−的共轭复数是()A.2－iB.2＋iC.－1＋2iD.－1－2i【答案】B【解析】13i42i2i1i2−−==−−，那么它的共轭复数为2+i，故选B.2.()()0002

lim1xfxxfxx→+−=，则()0fx等于()A.2B.1C.12D.0【答案】C【解析】根据00x0f(x2x)f(x)lim2x→+−=f′（x0），将已知条件代入即可求出所求．解：∵00x0f(x2x)f(x)limx→+−=1，∴00x

0f(x2x)f(x)lim2x→+−=f′（x0）=12故选C．3.若实数37,25ab=+=，则a与b的大小关系是A.ab=B.abC.abD.不确定【答案】B【解析】试题分析：由题可设；,3725ab

+．即需证；22(37)(25),1022120,22110,84100++成立，则ab成立．考点：分析法证明不等式.4.函数()()3xfxxe=−的单调递增区间是（）A.(),2−B.()0,3C.()1,4D.()2,+【答案】D【解析】【分析】求导分析导函数

大于0的区间即可.【详解】易得()()'2xfxxe=−,当()'0fx时解得2x.故函数()()3xfxxe=−的单调递增区间是()2,+.故选：D【点睛】本题主要考查了求导分析函数单调区间的方法,属于基础题.5.下图是解决数学

问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是（）A.①综合法，②反证法B.①分析法，②反证法C.①综合法，②分析法D.①分析法，②综合法【答案】C【解析】【分析】由分析法和综合法的证明

思路即可得到答案．【详解】由已知到可知，进而得到结论的应为综合法；由未知到需知，进而找到与已知的关系为分析法，故选C.【点睛】本题考查分析法和综合法的证明思路，属于基础题．6.若()()221fxxfx=+，则()0f等于（）A.2B.0C.-2D.-4【答案】D【解析】【分析】先求导，

算出()1f，然后即可求出()0f【详解】因为()()221fxxfx=+，所以()()212fxfx=+所以()()1212ff=+，得()12f=−所以()42fxx=−+，所以()04f=−故选：D【点睛】本题考查的是导数的计算，较简单.7

.若()224lnfxxxx=−−，则()0fx的解集为（）A.()2+，B.()()102−+，，C.()0，+D.()10−，【答案】A【解析】【分析】求导，令()0fx，解不等式可得选项．【详解】因为()224lnfxxxx

=−−，所以()2'4224220xxfxxxx−−=−−=，又0x，故()2220xx−−，即()()2120xx+−，结合0x可得2x．故选：A．8.我们把平面几何里相似的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就称它们是相似体，

给出下面的几何体：①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥，则一定是相似体的个数是（）A.4B.2C.3D.1【答案】B【解析】分析：根据题意，结合题中所给的新定义，根据形状相同，大小不一定相同的几何体被视为相似体，逐一判断，可得结论.详解：两个长方体的

长宽高的比值不能确定，两个正三棱柱的高与底面边长的比不能确定，两个正四棱锥的高与底面边长不能确定，所以②④⑤不能确定是正确的，只有所有的球体和所有的正四面体都是相似体，所以有两个是正确的，故选B.点睛：该题属于新定义的问题，属于现学现用型，这就要求我们必须把握好题中的条件，然后对选项中的几何体逐一

判断，最后求得结果.9.已知函数()yxfx=‘的图象如图所示，下面四个图象中()yfx=的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数y＝xf′（x）的图象，依次判断f（x）在区间（﹣∞，﹣1），（﹣1，0），（0，1），（1，+∞）上的单

调性即可【详解】由函数y＝xf′（x）的图象可知：当x＜﹣1时，xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此时f（x）增，当﹣1＜x＜0时，xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此时f（x）减，当0＜x＜1时，xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此时f（x）减，当x＞1时，xf′（x）＞0，f′（x

）＞0，此时f（x）增．故选C．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查函数的图象问题．属于基础题．10.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为1

2n−，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,，则此数列的前55项和为()A.4072B.2026C.4096D.2048【答案】A【解析】【分析】利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行，然后令x＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行

转化求解即可．【详解】解：由题意可知：每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为Sn1212n−==−2n﹣1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则Tn()12nn+=，可得当n＝10

，所有项的个数和为55，则杨辉三角形的前12项的和为S12＝212﹣1，则此数列前55项的和为S12﹣23＝4072，故选A．【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列等差

数列的求和公式是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．11.若函数2322ln,0()4,0xxxfxxxx=−−的图像和直线yax=有四个不同的公共点，则实数a的取值范围是（）A.2(,4)e−B.

(0,4)C.2(,0)e−D.2(,0)(0,4)e−【答案】D【解析】【分析】当x=0时，显然符合题意；当x≠0时，问题可转化为()22,04,0xlnxxgxxxx=−−＜和直线ya=有三个不同的公共点，从而得到结果.【详解】由题意可

知：原点显然满足题意，问题可转化为()22,04,0xlnxxgxxxx=−−＜和直线ya=有三个不同的公共点，如图所示：由图易得：()2a,00,4e−故选D【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式

，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．12.袋子里有编号为2,3,4,5,6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球.教师把所取两球编号的和只告诉

甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号.甲说：“我无法确定.”乙说：“我也无法确定.”甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了.”根据以上信息,你可以推断出抽取的两球中A.一定有3号球B.一定没有3号球C.可能有5号球D.可能有6号球【答案】D【解析】甲说：“我无法确定.”说明两球编

号的和可能为7包含（2，5），（3，4），可能为8包含（2，6），（3，5），可能为9包含（3，6），（2，7）乙说：“我无法确定.”说明两球编号的乘积为12包含（3，4）或（2，6）根据以上信息,可以推断出抽取的两球中可能有6号球故选D点睛：本题是一道通俗易懂的合情推理题目，主要考查

同学们的逻辑思维能力和推理能力，问题难度不大，认真审题是关键.13.已知定义在R上的函数()fx满足()()33−=+fxfx，且对任意12，xx（0，3)都有()()21210−−fxfxxx，若32a−=，2log3b=，ln4ce=，则下面结论正确的是（）A.()()()fafbfc

B.()()()fcfafbC.()()()fcfbfaD.()()()fafcfb【答案】C【解析】【分析】由条件()()33−=+fxfx，可知函数()fx关于3x=对称，由对任意12，xx（0，3)都有()()21210

−−fxfxxx，可知函数在x（0，3)时单调递减，然后根据单调性和对称性即可得到abc，，的大小．【详解】因为()()33−=+fxfx，得函数()fx关于3x=对称，又对任意12，xx（0，3)都有()()21210−−fxfxxx，所以函数()

fx在x（0，3)时单调递减，因为3020221log32ab−===，所以()()()2faffb，又()()ln4=442fcfe==，，所以()()2fcf=，所以()()()fcfbfa，故选C.【点

睛】本题主要考查函数值的大小比较,利用条件求出函数的单调性和对称性,利用单调性和对称性之间的关系是解决本题的关键.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题:(本大题共4小题，每小题5分，共20分)14.在复平面内，复数()()222zmmmi=++−−对应的点在第一象限，求实数m的

取值范围是________．【答案】()()2,12,−−+【解析】【分析】由已知建立不等式组，解之可得答案．【详解】根据题意得出22020mmm+−−，解得21m−−或>2m，所以实数m的

取值范围是()()2,12,−−+．故答案为：()()2,12,−−+．15.121(1)xxdx−−+=________．【答案】2【解析】【分析】利用定积分的几何意义及其计算公式，可得结论．【详解】由题意

，可得()1112221111111(1)2|02222xxdxxdxxdxx−−−−−+=−+=+=+=.故答案为：2．16.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，则销售量Q

(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p2.问该商品零售价定为________元时毛利润最大(毛利润＝销售收入－进货支出)．【答案】30【解析】【分析】【详解】由题意知：毛利润等于销售额减去成本，即L（p）=pQ﹣20Q=Q（p﹣20

）=（8300﹣170p﹣p2）（p﹣20）=﹣p3﹣150p2+11700p﹣166000，所以L′（p）=﹣3p2﹣300p+11700．令L′（p）=0，解得p=30或p=﹣130（舍去）．此时，L（30）=23000．因为在p=30附近的左侧

L′（p）＞0，右侧L′（p）＜0．所以L（30）是极大值，根据实际问题的意义知，L（30）是最大值，故答案为30【点睛】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查利用导数求函数的最值，由于函数为单峰函数，故极值就为函数的最值．一般实际应用题，先理解题

意，构建数学模型，写出数学表达式，用数学知识解决实际应用题．注意要结合实际，比如取整问题．17.已知,ab为正实数，直线yxa=−与曲线ln()yxb=+相切，则23ab+的最小值为__________.【答案】526+【解析】【分析

】函数求导，由切线方程yxa=−可得1ab+=，再利用基本不等式求得最值.【详解】ln()yxb=+的导数为1yxb=+，由切线的方程yxa=−可得切线的斜率为1，可得切点的横坐标为1b−，切点为(1,0)b−，代入yxa

=−，得1ab+=，,ab为正实数，则23232323()()2352526babaababababab+=++=++++=+，当且仅当63ab=，即62,36ab=−=−时，取得最小值526+.故答案为：526+【点睛】本题考查

导数的运算、导数的几何意义及基本不等式求最值，属于基础题.三、解答题:(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18.已知函数f(x)＝x3－x2＋x＋1，求其在点(1，2)处的切线与函数g(x)＝x2围成的图形的面积．【答案】43

【解析】【分析】先求导数，确定切线斜率，根据点斜式得切线方程，再确定积分区间，最后根据定积分得面积.【详解】因为(1，2)为曲线f(x)＝x3－x2＋x＋1上的点，设过点(1，2)处的切线的斜率为k，则k＝f′(1)＝(3x2－2x＋1)|x＝

1＝2，所以过点(1，2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.由22yxyx==可得交点A(2，4)，O(0，0)，故y＝2x与函数g(x)＝x2围成的图形的面积()022320218424333Sxxdxxx=−=−=−=【点睛】本题

考查导数几何意义、利用定积分求面积，考查基本分析求解能力，属基础题.19.设,xy为正实数，且1xy+=，求证：11119xy++【答案】证明见解析.【解析】【分析】对1111xy++利用1xy+=化简，得到52

xyyx++然后利用基本不等式可得答案.【详解】因为,xy为正实数，且1xy+=，所以111111111131xyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy++=+++=+++=+++++++352549yxxyyxyxyxyxxyxxyy+=++++

=+++=+，当且仅当12xy==等号成立.所以11119xy++.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之

积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.20.已知函数()312fxxx=−.

(1)求函数()fx的极值；(2)当3,3x−时，求函数()fx的最值．【答案】（1）()fx的极大值为()216f−=，极小值为()216f=−；（2）()fx的最大值为()216f−=，最小值为()216f=−【解

析】【分析】（1）直接利用导数求函数的极值.(2)比较端点函数值和极值的大小即得解.【详解】(1)f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，令f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)＝0，解得x

＝2或x＝－2，x，f′(x)，f(x)的变化如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增16单调递减－16单调递增∴函数f(x)的极大值为f(－2)＝16，极小值为f(2)＝－16.(2)由(1)知，f(－2)＝16，f(2)＝－16，又

f(－3)＝9，f(3)＝－9，∴当x∈[－3,3]时，函数f(x)的最大值为f(－2)＝16，最小值为f(2)＝－16.【点睛】(1)本题主要考查利用导数研究函数的极值和最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)设()yfx=是定义在闭区间,ab上的函数，(

)yfx=在(),ab内有导数，可以这样求最值：①求出函数在(),ab内的可能极值点（即方程/()0fx=在(),ab内的根12,,,nxxx）；②比较函数值()fa，()fb与12(),(),,()nfxfxfx，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（2）如果是开区间(,)ab，则必

须通过求导，求函数的单调区间，最后通过分析确定函数的最值.21.中国民间十字绣有着悠久的历史，如下图，①②③④为十字绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图案包含()fn个小正方

形．（1）求出(5)f的值；（2）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出(1)fn+与()fn之间的关系式，并根据你得到的关系式猜测出()fn的表达式；（3）求1111(1)(2)1(3)1()1ffffn++++−−−(2n)的值．【答案】（1）(5)41f=；（2）(1)

()4fnfnn+−=，2()221fnnn=−+；（3）3122n−【解析】【分析】（1）按着规律画出第五个图即可求得()5f；（2）根据规律可确定()()14fnfnn+−=，再利用累加法可求()fn的表达式；（3）先化简()11fn−，再利用裂项相消法进行求

和.【详解】（1）按所给图案的规律画出第五个图如下：由图可得(5)41f=.（2）可得(2)(1)41ff−=；(3)(2)842ff−==；(4)(3)1243ff−==；(5)(4)1644ff−==；……由上式规律，可得()(1)4(1

)fnfnn−−=−,(1)()4fnfnn+−=累加可得2(11)(1)()(1)4[12(1)]4222nnfnfnnn+−−−=+++−==−，又(1)1f=，∴2()221fnnn=−+.(3)当2n时，211111()1222(1)121

fnnnnnnn==−=−−−−，∴()()()()1111121311ffffn++++−−−1111111131111122231222nnnn=+−+−++−=+−=−−L【点睛】思路点睛：本题考查利用累加法求数列通项公式和裂项相消法求和，

（1）若已知1a和1()nnaafn−−=求通项，利用累加法进行求解；（2）裂项相消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有：①已知1(1)nann=+求和，即111=(+11nnnn−+）；②已知1(21)(21)nann=−+求和，即1111()(21)(21)22121nnnn=

−−+−+；③已知11nann=++求和，即111nnnn=+−++.22.已知函数()3fxaxbxc=++在点2x=处取得极值16c−.(1)求,ab的值；(2)若()fx有极大值28，求()fx在3,3−上的最小值

．【答案】(1)1,12ab==−;(2)4−.【解析】【分析】（1）f′（x）=3ax2+b，由函数f（x）=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c﹣16．可得f′（2）=12a+b=0，f（2）=8a+2b+c=c﹣16．联立解出．（2）由（1）可得：f（x）=x3﹣12x+c，f′（x）=

3x2﹣12=3（x+2）（x﹣2），可得x=﹣2时，f（x）有极大值28，解得c．列出表格，即可得出．【详解】解：因()3fxaxbxc=++.故()23fxaxb=+由于()fx在点x=2处取得极值c-16.故有()()20,216,

ffc==−即120,8216,ababcc+=++=−化简得120,48,abab+=+=−解得a=1，b=-12.（2）由（1）知()312fxxxc=−+；()()()2312322fxxxx==

−−+.令()0fx=，得12x=−，22x=.当(),2x−−时，()0fx，故()fx在(),2−−上为增函数；当()2,2x−时，()0fx，故()fx在()2,2−上为减函数；当()2,x+时，()0fx，故()fx在()2,+上为增函数.由此可知()

fx在12x=−处取得极大值；()216fc−=+，()fx在22x=处取得极小值()216fc=−.由题设条件知16+c=28，得c=12.此时()3921fc−=+=，()393fc=−+=，()2164fc=−+=−，因此()fx在3,3−上的最小值为()24f=−.【点睛】本题

考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.设函数()32.fxxaxbxc=+++（I）求曲线().yfx=在点()()0,0f处的切线方程；（II

）设4ab==，若函数()fx有三个不同零点，求c的取值范围【答案】（1）ybxc=+（2）320,27c【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得切线斜率为()0f，再根据点斜式写切线方程；（2）由函数图像可知，极大值大于零且极小值小于零

，解不等式可得c的取值范围试题解析：解：（I）由()32fxxaxbxc=+++，得()232fxxaxb=++．因为()0fc=，()0fb=，所以曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线方程为

ybxc=+．（II）当4ab==时，()3244fxxxxc=+++，所以()2384fxxx=++．令()0fx=，得23840xx++=，解得2x=−或23x=−．()fx与()fx在区间(),−+上的情况如下：x(),2−−2−

22,3−−23−2,3−+()fx+0-0+()fxc3227c−所以，当0c且32027c−时，存在()14,2x−−，222,3x−−，32,03

x−，使得()()()1230fxfxfx===．由()fx的单调性知，当且仅当320,27c时，函数()3244fxxxxc=+++有三个不同零点．24.已知函数f（x）＝－2xlnx＋x2－2ax＋a2，其中a>0.（Ⅰ）设

g（x）为f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）＝0在区间（1，＋∞）内有唯一解.【答案】（Ⅰ）当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减当x∈（

1，＋∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增（Ⅱ）见解析【解析】【分析】【详解】（Ⅰ）由已知，函数f（x）的定义域为（0，＋∞）g（x）＝f'（x）＝2（x－1－lnx－a）所以g'（x）＝2－22(1)xxx−=当x∈（0，1）时，g

'（x）＜0，g（x）单调递减当x∈（1，＋∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增（Ⅱ）由f'（x）＝2（x－1－lnx－a）＝0，解得a＝x－1－lnx令Φ（x）＝－2xlnx＋x2－2x（x－1－lnx）＋（x－1－lnx）2＝（1＋lnx）2－2xlnx则Φ（1）＝1＞0

，Φ（e）＝2（2－e）＜0于是存在x0∈（1，e），使得Φ（x0）＝0令a0＝x0－1－lnx0＝u（x0），其中u（x）＝x－1－lnx（x≥1）由u'（x）＝1－1x≥0知，函数u（x）在区间（1，＋∞）上单调递增故0＝u（1）＜a0＝u（x0）＜u（e

）＝e－2＜1即a0∈（0，1）当a＝a0时，有f'（x0）＝0，f（x0）＝Φ（x0）＝0再由（Ⅰ）知，f'（x）在区间（1，＋∞）上单调递增当x∈（1，x0）时，f'（x）＜0，从而f（x）＞f（x0）＝0当x∈（x0，＋∞）时，f'（x）＞0，从而f（x）＞f（x0）＝0又当x∈（0，

1]时，f（x）＝（x－a0）2－2xlnx＞0故x∈（0，＋∞）时，f（x）≥0综上所述，存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）＝0在区间（1，＋∞）内有唯一解.考点：本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创

新意识，考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想.