【文档说明】安徽省皖南八校2021届高三上学期第二次联考数学（文）试题 含答案.docx，共(13)页，799.316 KB，由小赞的店铺上传

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“皖南八校”2021届高三第二次联考数学（文科）2020.12考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择

题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．3．做选考题时，考生须按照题目要求作答，

并用2B铅笔在答题卡上把所选題目的题号涂黑．一、选择题：本题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合21|4Axx„，集合2|1Byyx，则A

B（）A．11,22B．1,12C．1,2D．10,22．若复数z满足(13)zii，则复数z的虚部为（）A．1B．2C．iD．2i3．已知

132312,log,log23abc，则（）A．abcB．cabC．cbaD．acb4．若等差数列na各项都是正数，12321aaa，且34545aaa，则1a的值为（）A．4B．3C．6D．25．执行如下图所示的程

序框图，若输出的120S，则判断框内应填入的条件是（）A．4?kB．5?kC．6?kD．7?k6．如图所示，在边长为2的正三角形中有一封闭曲线围成的阴影区域．在正三角形中随机撒一粒豆子，它落

在阴影区域内的概率为45，则阴影区域的面积为（）A．35B．235C．335D．4357．《海岛算经》第3题：今有南望方邑，不知大小．立两表东、西去六丈，齐人目，以索连之．令东表与邑东南隅及东北隅参相直．当东表之北却行五步，遥望邑西北隅，入索东

端二丈二尺六寸半．又却北行去表一十三步二尺，遥望邑西北隅，适与西表相参合．问邑方及邑去表各几何？答曰：邑方三里四十三步、四分步之三；邑去表四里四十五步．译文如下：现在要测量南边的一个长方形城市ABCD，不知

道大小．在东西两个方向上树立两个标杆E和F，EF相距6丈，标杆和人眼一样高，用绳索连接．令东边的标杆E和城市的东南角C和东北角B平齐．面向标杆E退5步到达G处，从G处向城市西北角A看，视线交绳索EF于距离东端的标

杆E2丈2尺6.5寸的H处．从G处再退到距离标杆E13步2尺的I处，再向城市西北角A望去，刚好和西边的标杆F重合．问城市的长AB和BE有多远？（1丈=10尺，1步=6尺，1尺=10寸）A．5362.5尺和7270尺B．5362.5

尺和7470尺C．5662.5尺和7270尺D．5662.5尺和7470尺8．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心O的距离等于球半径的一半，2,45ABACB，则球O的表面积为（）A．323B．343C．315D．2749．已知函数5||cos

sin()xxxxfxe，则函数()fx的大致图像为（）A．B．C．D．10．若过原点O的动直线l将圆22:(1)(2)10Exy分成的两部分面积之差最大时，直线l与圆E的交点记为A，B，则

三角形ABE的面积为（）A．10B．5C．3D．511．抛物线22(0)xpyp的焦点F恰好是双曲线22221(0,0)yxabab的上焦点，且两条曲线的交点连线过F，则双曲线的离心率为（）A．221B．22C．21D．22112．已知函数()xfxa

e与()ln1gxx存在公切线，则实数a的最小值（）A．2eB．1eC．12eD．13e二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x，y满足不等式组2202100xyxyx

„，则点(,)Pxy所在区域的面积等于_________．14．已知单位向量AB与AC的夹角为60°，若AMABAC，且AMAC，则实数的值为_____．15．函数()fx的导数为()fx，且2()2(0)tanfxxfxx，则(0)(0)

ff______．16．na为公差不为0的等差数列，且123,,,nkkkkaaaa恰为等比数列，其中1233,5,9kkk，则nk为_______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．

第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，213sinsincos22AAA．（1）求角A的大

小；（2）若ABC的外接圆半径为1，求bc的最大值．18．（12分）为研制新冠肺炎的疫苗，某生物制品研究所将所研制的某型号疫苗用在小白鼠身上进行科研和临床试验，得到如下统计数据：未感染病毒感染病毒总计未注射疫苗40px

注射疫苗60qy总计100100200现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为23．（1）能否有99.5%的把握认为注射此疫苗有效？（2）在未感染病毒的小白鼠中，按木注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病理分析，然后从这5只小白鼠中随机抽取3只对注

射疫苗的情况进行核实，求恰有1只为未注射过疫苗的概率．附：下面的临界值表仅供参考．20PKk…0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.0246.6357.87

910.828参考公式：22(),()()()()nadbcKnabcdabcdacbd．19．（12分）已知圆锥SO的侧面展开图为如图所示的半径为3，圆心角为23的扇形，扇形中6ASC．圆锥SO中，E为线段SC上一点，且

18ECSE．（1）求证：SC平面OAE；（2）求点O到平面SEA的距离．20．（12分）已知函数22()2ln3fxxaxxxax．（1）求函数()fx的单调递增区间；（2）若()fx极大值大于2，求a的取值范围．21．（12分）抛物线22(0)ypx

p的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，PAl，垂足为A，若直线AF的斜率为3，且||4PF．（1）求抛物线C的方程；（2）若过F的直线与曲线C交于P，Q两点，直线,OPOQ与直线1x分别交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否经过定点？若是，求

出定点坐标；若不是，请说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线3cos:sinxaCya（a为参数），在以原点O为极点，x轴的非负

半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为2cos224．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为60°的直线m，直线m与直线l交于点A，求||PA的取值范围．23．

[选修4—5：不等式选讲]（10分）（1）设函数()|2|||fxxxa，若关于x的不等式()3fx…在R上恒成立，求实数a的取值范围；（2）已知正数x，y，z满足231xyz，求321xyz的最小值．“皖南八校”2021届高三第二次联考·数学（文科）参考答案、解析及评

分细则1．B∵11,,[0,1]22AB，∴1,12AB故选B．2．A∵23zii，∴3zi．∴z的虚部为1，故选择A．3．D∵02a，∴1a，∵221loglog13，∴0b，∴333log1log2log3，∴01c．

∴acb．故选择D．4．B∵na为等差数列，12321aaa，∴2321a，∴27a．∵34545aaa，∴4345a，∴42415,442aaad，∴123aad．故选择B．5．B第一次循环：011,2011kS；第二次循环：112,2

124kS；第三次循环：213,24311kS；第四次循环：314,211426kS；第五次循环：415,226557kS；第六次循环：516,2576120kS，满足条件则输出S的值，而此时6k，因此判

断框内应填入的条件是5k．故选B．6．D设阴影部分的面积为S，结合几何概型公式可得：45132222S，解得435S．故选：D．7．D依据题意||60EF尺，||30EG尺，||22.65EH尺，|

|80EI尺，易知||||||||,||||||||BGEGBIEIABHEABEF．设,BExABy，则303022.65xy①808060xy②得7470,5662.5xy故选：D．8．A如图所示1O，O分

别为的三角形ABC外接圆圆心和球的球心，设三角形ABC外接圆半径和球的球的半径分别为r，R，由正弦定理222sinABrACB，∴2r，由图可知2222RRr，∴283R，∴球的表面积23243SR．9．B5||cossin()()xxx

xfxfxe，得函数()fx为奇函数，可排除C选项；且5||6cossin66606fe，5||cossin()0fe，只有B选项符合条件．10．D动直线l将圆E分成的两部

分面积之差最大，即过原点的弦最短，弦心距最大，则lOE此时2||21025ABOE，则11||||255522ABESABOE，故选D．11．C设抛物线与双曲线的两个交点分别为A，B．将yc代入22221yxab得22||bABa将yc代入22(0)xpyp得||2

ABp，∴222bpa即2bpa由两曲线共焦点，∴2pc，∴22bca．∴2220caca．∴2210ee．∴12e，故选C．12．B设()xfxae和()ln1gxx的切点分别为,,(,ln1)mmaenn，则()fx和()

gx切线方程分别为1(),(ln1)()mmyaeaexmynxnn，即1(1),ln,()mmyaexmaeyxnfxn与()gx存在公切线，则方程1(1)lnmmaenmaen

有解，即ln(1)ln1,()(1)ln1annhxxx，1()ln1,()hxxhxx在(0,1)上递减，在(1,)递增，()hx在1x处取到最小值，∴lna的最小值为1，即a的最小值为1e．故选B．13．54作

出不等式表示的平面区域，如图ABC内部（含边界），由边界的三条直线方程可得10,,(1,0),(0,2)2ABC，∴1551224ABCS．故答案为：54．14．2∵AMAC，∴0AM

AC．∵AMABAC，∴()0ABACAC，即20ABACAC，∴111102，∴2．15．1∵2()2(0)tanfxxfxx，∴21()22(0)cosfxxfx，∴(0)2(0)1ff，∴(0)1f，(0

)0f，∴(0)(0)1ff．16．21n设数列nka为nb则132539,,bababa，∵2539aaa，∴2111428adadad即10ad，∴0d，∴10a，∴(1)nand，设nb的公比为q，则513342,22ad

badqad，∴2nnknabd即12nnkdd，∴21nnk．17．解：（1）因为213sinsincos22AAA，1分所以232cos1cos2sin21222AAA，即sin216A，3分因为(0,)A

，所以112,666A，所以2,623AA．5分（2）因为ABC的外接圆半径为1，所以32sin232aA，7分则222222223()2cos()3()4bcabcbcAbcbcbcbcbc…

，9分即2()34bc…，当且仅当3bc时取等号，11分故23,bcbc„的最大值为23．12分18．解：（1）依题意，由2403pp，得80p，所以20,120,80qxy．2分所以，22列联表如下表所示：未感染病毒感染病毒总计未注射疫苗

4080120注射疫苗602080总计100100200由22200(40206080)33.37.87910010012080K，所以有99.5%的把握认为注射此疫苗有效；5分（2）设“恰有1只为未注射过疫苗”为事件A，由于在未感染病毒

的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例402603抽取，故抽取的5只小白鼠中有2只未注射疫苗，分别用1、2来表示，3只已注射疫苗的小白鼠用a、b、c来表示，7分从这5只小白鼠中随机抽取3只，可能的情况有：(1,2,)a、(1,2,)b、(1,2,)c、(1,,)ab、

(1,,)ac、(1,,)bc、(2,,)ab、(2,,)ac、(2,,)bc、(,,)abc，共10种，9分其中恰有1只为未注射过疫苗有：(1,,)ab、(1,,)ac、(1,,)bc、(2,,)ab、(

2,,)ac、(2,,)bc，共6种，11分所以63()105PA，即恰有1只为未注射过疫苗的概率为35．12分19．解：圆锥底面半径为1，高22,136OAC，∴2OAC，∴OAOC．又∵OSOA，∴OSOCO

，∴OA平面SOC，又∴SC平面SOC，∴SCOA．∵OSOA，且∴OAOC，∴OAOC．2分∵19ECSC，∴13EC，∴2ECSCOC，∴OCECSCOC．∴OECSOC∽，∴SCOE．4分又∵OEOAO，∴SC平面OAE．5分（2）因为SE是三棱

锥SAOE的高，所以SCAE，在RtSAE中可求得此时817,33SEAE．7分由已知可得，∵OESCSOOC，∴2212233SOOCOESC，8分∵11,33SOAEOSAEOAESAEVVSSESh．∴11113232OAO

ESESEAEh．∴23417OAOEhAE．12分20．解：1()2()ln2232()ln2fxxaxxaxaxax．1分（1）0a„时(,)e单增，()fx

的单调递增区间为(,)e；0ae时，()fx在(0,)a和(,)e单增，()fx的单调递增区间为(0,)a和(,)e；ae时，()fx在(0,)单增，()fx的单调递增区间为(0,)；ae时，()fx在(0,)e和(,)a

单增，()fx的单调递增区间为(0,)e和(,)a．5分（2）由（1），0a„和ae时，无极大值，不成立．7分当ae时，极大值()222efeae，解得14eae，由于1131310444eeeeeee，所以ae．8分当0ae时，极

大值2()(2ln)2faaa，得222lnaa，令2ta，则12()2ln2gttt．22124(),()22tgtgtttt在4t取得极大值(4)0g，且(1)0g．而,aete，而()

gt在(1,)e单增，所以()0gt解为(1,)e，则(1,)ae．11分综上(1,)(,)aee．12分21．解：（1）∵直线AF的斜率为3，∴直线AF的方程为32pyx，当2px时，3yp可得A点坐标为,32pp．∵P

Al，A为垂足，∴P点纵坐标为3p，∵||4PF，∴P点横坐标为42p，∴P点坐标4,32pp为代入抛物线方程得∴23242ppp，∴2p．故抛物线C的方程为24yx

．5分（2）设直线PQ的方程为11221,,,,xmyPxyQxy，联立241yxxmy，整理得：221212440,16160,4,4ymymyymyy，7分直线OP的方程为1114yyxxxy，同理：直线

OQ的方程为24yxy，令1x得，12441,,1,AByy，设AB中点T的坐标为,TTxy，则1212124421,22TTyyyyxymyy，所以(1,2

)Tm．9分21212221121244444||16164yyyyyyABmyyyy．圆的半径为216162mr．所以以AB为直径的圆的方程为222(1)(2)44xymm．展开可得22(1)44xymy，令0y，可得2(1)4

x，解得3x或1x．从而以AB为直径的圆经过定点(1,0)和(3,0)．12分22．解：（1）曲线C化为普通方程为：2213xy．2分由2cos224，得cossin4，所以直线l的直角坐标方程为40xy

．4分（2）设点P到直线l的距离为d，(3cos,sin)P，∴|3cossin4|2d．∴6|3cossin4|||sin603dPA．∴62sin43||3PA．8分∴26||,263PA．10分23．解：（1）()

|2||||2||2|fxxxaxxaa…．原命题等价于min()3,|2|3fxa厖，∴5a„或1a…．5分（2）由于,,0xyz，所以32132132(23)23xyzxyzxyzxyzxy

…221(323)1683z．当且仅当23231yxzyxz，即::3:3:1xyz时，等号成立．321xyz的最小值为1683．10分