【文档说明】八年级数学第6讲 列方程解应用题（讲义）解析版.docx，共(27)页，689.263 KB，由管理员店铺上传

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第6讲列方程解应用题模块一：增长（降低）率知识精讲增长率问题公式：2(1)axb=其中a为初始值即变化前值，b为变化后值，x为增长率或者降低率．例题解析例1.（松江2018期中11）某商品原价为180元，连续两次提价x%后售价为300元

，依题意可列方程：.【答案】2180(1%)300x+=；【解析】180元的商品连续两次提价x%后为2180(1%)x+，故得方程2180(1%)300x+=.例2．（静安2018期末13）某厂去年1月份的产值为144万元，3月份下降到10

0万元，求这两个月平均每月产值降低的百分率．如果设平均每月产值降低的百分率是x，那么列出的方程是．2【答案】2144(1)100x−=；【解答】．解：设平均每月产值降低的百分率是x，则2月份的产值为144(1)x−万元，3月份的产值为2144(1)x−万元，

根据题意，得2144(1)100x−=．故答案为2144(1)100x−=．例3.(奉贤2018期末12)某商品经过两次连续涨价，每件售价由原来的100元涨到了179元，设平均每次涨价的百分比为x，那么可列方程：______【答案】100（1+x）2=17

9；【解析】解：设平均每次涨价的百分比为x，那么可列方程：100（1+x）2=179．故答案为：100（1+x）2=179．例4.某公司2014年各项经营收入中，经营电脑配件收入为500万元，占全部经

营总收入的13，该公司预计2016年经营总收入达到2160万元，求从2014年到2016年每年经营总收入的平均年增长率．【难度】★★【答案】()2150012160x+=，20%．【解析】设从2014年到2016年每年经营总收入的平均

年增长率为x，依题意可得：()2150012160x+=，解得：10.2x=，22.2x=−（舍），即得平均增长率是20%．【总结】考查降低（增长）率问题的应用．例5.一辆汽车，新车的购买价是20万元

，第一年使用后折旧20%，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同．已知在第三年年末，这辆车折旧后的价值是11.56万元，求这辆车第二、三年的折旧率．【难度】★★【答案】15%．【解析】设这辆车第二、三年的折旧率为x，依题意可得：()()220120%111.

56x−−=，3解得：10.15x=，21.85x=（舍），即得这辆车第二、三年的折旧率是15%．【总结】考查降低（增长）率问题的应用．例6.某工厂甲、乙两个车间在6月份共生产231台仪器，每个车间都比上月增产，且增产的百分率相同

，已知甲车间上个月月产量不少于100台，6月份比上个月增产5台，乙车间上月生产120台．问：甲车间上月生产多少台?6月份每个车间增产的百分率是多少?【难度】★★【答案】甲车间上月生产100台，增产百分率是5%【解析】设甲车间上月生产x台，则6月份生产()5x+台，依题意

可得：551201231xx+++=，整理得21066000xx−+=，解得：1100x=，26x=（舍），即得甲车间上月生产100台，每个车间增产百分率为5100%5%100=．【总结】考查降低（增长）率问题的

应用．例7.某农户种植花生，原来种植的亩产量为200千克，出油率为50%，现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量增长率的12，求新产品花生亩产量的增长率?【难度】★★【答案】20%．【解析】设新产品花生亩产量的增长率x，则出油率增长率为12x，

依题意可得：()1200150%11322xx++=，整理得22575160xx+−=，解得：10.2x=，23.2x=−（舍），即得新产品花生亩产量增长率是20%．【总结】考查降低（增长）率问题的应用．4例8.某工厂今年头三个月生产甲、乙两种产品，已知甲种产品1月份生产1

6件，以后每月比上月增长相同的百分率；乙种产品每月比上月增产10件．又知2月份的甲、乙两种产品的产量之比为2:3，且3月份的两种产品的产量之和为65件，求甲种产品每月的增长率和乙种产品1月份的产量．【难度】★★★【答案】甲产品每月产量增长率是25%，乙产品1月份的产量为20件．【解析】设甲种产

品每月的增长率为x，则甲2月份的产量为()161x+，3月份的产量为()2161x+，则乙3月份产量为()265161x−+，2月份的产量为()26516110x−+−，依题意可得：()()2161:65161102:3xx+−+

−=，整理得21656150xx+−=，解得：10.25x=，23.75x=−（舍），即得甲产品每月产量增长率是25%，乙产品1月份的产量为()26516125%101020−+−−=件．【总结】考查降低（增长）率问题的应用，注意各个月份产量的表示．模块二：工作效率知识精讲工作效率问题：工

作总量=工作效率工作时间；假设工作总量是1，则工作效率是1工作时间．例题解析例1．（静安2018期末4）某校计划修建一条500米长的跑道，开工后每天比原计划多修15米，结果提前2天完成任务．如果设原计划每天修x米，那么

根据题意可列出方程（）A.500500215xx−=+；B.500500215xx−=+；C.500500215xx−=−；D.500500215xx−=−.5【答案】A；【解答】解：设原计划每天修x米，则实际每天修（x+15）米．由题意，知原计划用的时间为500x天，实际用的

时间为：50015x+天，故所列方程为：500500215xx−=+．故选：A．例2.（松江2018期中12）某花木园，计划在园中载96棵桂花树，开工后每天比计划多种2棵，结果提前4天完成任务.设实际每天载x棵桂花树，则可列出方程

为.【答案】969642xx−=−；【解析】原计划时间为：962x−，实际上所用时间为96x，因为实际提前4天完成，故得方程为：969642xx−=−.例3.．（浦东四署2018期中14）李强同学借了一本书共280

页，要在两周的借期内读完，当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完.求他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x页，则可列方程为________________【答案】140140+=1421xx+；【解析】依题李强读前一半

时间为140x，读后一半的时间为14021x+，故140140+=1421xx+.例4.（金山2018期中24）为改善生态环境，某村计划在荒坡上种1000棵树.由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前5天完成任务，原计划每天种多少棵树？【答案】40棵；【解析】解：设有的计划每天

种x棵，根据题意得：10001000510xx−=+，去分母整理，得：21020000xx+−=，解得1240,50xx==−，经检验：1240,50xx==−都是原方程的根，但50x=−不合题意，舍去.答：原计划每天种树40棵.例5.有

一项工程，甲单独做比甲、乙合作的天数多5天，如果甲、乙先合作4天，再由乙单独做3天，才能完成全部工作的一半，问甲、乙单独完成此项工程各需要多少天．【难度】★★6【答案】甲单独完成需要15天，乙单独完成需要

30天．【解析】设甲单独完成需要x天，则甲乙合作完成需要()5x−天，乙单独完成需要2151155xxxx−=−−天，依题意可得215143552xxx+=−−，整理得213300xx−+=，解得：115x=，22x=−（舍），经检验均是原方程的解，但22x=−不符合题意，舍

去，即甲单独完成需要15天，乙单独完成需要215515305−=天．【总结】考查工程问题一个量作设一个量列式，注意分式方程要检验．例6.某工厂甲、乙两个车间各生产300个零件，按原来的工效，乙车间需要比甲车间多用一天的时间完成，现在甲、乙两车间都提高了工效，其中

甲车间工效提高了20%，而乙车间提高了一倍，结果生产同样的300个零件，乙车间比甲车间少用了2天就可完成，问甲、乙两车间原来生产300个零件各需要多少天?【难度】★★★【答案】甲车间原来生产300个零

件需要7.5天，乙车间需要8.5天．【解析】设甲原来需要x天，则乙原来需要()1x+天，依题意可得：12120%2xx+−=+，解得：7.5x=，即甲车间原来生产300个零件需要7.5天，乙车间需要8.5天．【总结】考查工程问题一个量作设

一个量列式．例7.已知甲、乙、丙三人做某项工作，甲独做所需要的时间是乙、丙两人合做这件工作的a倍，乙独做需要的时间是甲、丙两人合做这件工作的b倍，求丙独做所用的时间是甲、乙两人合做此工作的几倍．【难度】★★★【答案】

21abab++−．【解析】设甲、乙、丙需要的工作时间分别为x，y，z，7依题意可得111xayz=+，111ybxz=+，分别整理可得()111axabz+=−，()111byabz+=−，相加得()1121abxyabz+++=−，由此得2111

abzabxy++=+−．【总结】考查工程问题的应用，注意找准字母之间的关系．例8.一个水池有甲、乙两个进水管，单独开放甲管注满水池比单独开放乙管少用10小时，如果单独开放甲管10个小时后，加入乙管，需要6个小时把水池注满，那么单独开放一个水管，需要多少小时才可以把水池注满?【

难度】★★★【答案】单独开放甲注水管需要20小时注满水池，单独开放乙注水管需要30小时注满水池．【解析】设甲需要xh，则乙需要()10xh+，依题意可得10116110xxx++=+，整理得2121600x

x−−=，解得：120x=，28x=−，经检验均是原方程的解，但28x=−不符合题意，舍去，故单独开放甲注水管需要20小时注满水池，单独开放乙注水管需要30小时注满水池．【总结】考查工程问题的应用，合作加独做合为单位“1”，注

意分式方程要检验．．模块三：利润知识精讲单件利润=售价-成本；总利润=单件利润销售件数．例题解析例1.(长宁2018期末22)小明在普通商场中用96元购买了一种商品，后来他在网上发现完全相同的这一商品在网上购买比普通商场中每件少2元，他用90元在网上再次购买这一商品

，比上次在普通商场中多买了3件．问小明在网上购买的这一商品每件几元？8【答案】6元；【解析】解：设小明在网上购买的这一商品每件x元．，x2+4x-60=0，x1=-10，x2=6．经检验它们都是原方程的根，但x=-10不符合题意．答：

小明在网上购买的这一商品每件6元．例2.某各个体户以2元/kg的价格购进一种食品，以3元/kg的价格出售，每天可售出200kg，为促销，该个体户决定降价销售，经调查，这种食品每降价0.1元/kg，每天可多售出40kg，另外每天房租等固定成本24元，此人想每天盈

利200元，应将售价降低为多少元/kg?【难度】★★【答案】应将售价降低为2.7元/千克．【解析】设应将售价降低为x元/kg，依题意可得：()3220040242000.1xx−−+−=，整理得25027537

80xx−+=，即()()51410270xx−−=，解得：12.7x=，22.8x=，因为是促销，即应将售价每千克应降低为2.7元．【总结】考查利润问题的应用，总利润=单个利润×总销量．例3.甲、乙两家便利店到批发站采购一批饮料，共25箱

，由于两店所处的地理位置不同，因此甲店的销售价格比乙店的销售价格每箱多10元．当两店将所进的饮料全部售完后，甲店的营业额为1000元，比乙店少350元，求甲乙两店各进货多少箱饮料?【难度】★★【答案】甲店进货10箱饮料，乙店进货15箱

饮料．【解析】设甲店进货x箱饮料，则乙店进货()25x−箱饮料，依题意可得100010003501025xx+−=−，整理得226025000xx−+=，解得：110x=，2250x=，经检验均是原方程的解，但2250x=不符合题意，舍去，故甲店进货10箱饮料，

乙店进货15箱饮料．9【总结】考查销售问题，注意对题意的准确理解．例4.某水果店在水果批发市场用100元购进一批甲种水果，再用100元购进一批乙种水果，已知购进的乙种水果比甲种水果多10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价低0.5元/千克．（1）求甲乙两种水果各购进了多少千克?（2）购进水货当

天，甲乙两种水果都按照2.8元/千克出售，乙种水果很快售完，甲种水果先售出35，剩余的按售价打5折出售，这一天的水果买卖是否赚钱?如果赚钱了，赚多少?如果不赚钱，那么赔了多少?【难度】★★★【答案】（1）甲种水果购进40千克，乙种水果购进50千克

；（2）赚了29.6元【解析】（1）设购进甲种水果x千克，乙种水果x+10千克，由题意得1001000.510xx−=+，解得：x=40，经检验x=40是原方程的解，且符合题意，故购进甲种水果是40千克，乙种水果是40+10=50千克；（2）利润为：3250(2.82)40(2.82.

5)40(1.42.5)29.6055−+−+−=，故赚了29.6元．【总结】本题主要考察了利润问题，找出题目中的等量关系再列方程．例5.某中学库存960套旧课桌椅，准备修理后捐助给贫困山区学校，现在有甲乙两个木工小组都希望承揽这项业务，经协商研究得

知：甲小组单独修理这批桌椅比乙小组单独修理要多用20天；乙小组每天比甲小组多修理8套；学校每天需要付甲乙小组修理费分别是80元和120元；（1）求甲乙两个小组每天各修理课桌椅多少套?（2）在修理桌椅的过程中，学校委派一名维修工进行质量监控，由学校每天发出10元钱作为生活

补贴；现在有三种修理方案：方案一由甲单独修理；方案二由乙单独修理；方案三由甲乙共同修理；选择哪种方案，更省钱?【难度】★★★【答案】（1）甲小组每天修理16套旧桌椅，则乙小组每天修理24套旧桌椅；（2）方案三．10【解析】（1）设甲小组每天修理x套旧桌椅，则乙小组每天修理()8x+套

旧桌椅，依题意可得960960208xx−=+，整理得283840xx+−=，解得：116x=，224x=−，经检验均是原方程的解，但224x=−不符合题意，舍去，即得甲小组每天修理16套旧桌椅，则乙小组每天修理24套旧桌椅；（2）方案一需要的费用为(8010)

960165400+=元；方案二需要的费用为(12010)960245200+=元；方案三需要的费用为(8012010)960(1624)5040+++=元，可知方案三更省钱．【总结】考查工程问题的应用，注意分式方程要检验．模块四：行程

知识精讲行程问题中三个变量：路程、速度和时间，关系如下：路程=速度时间可以通过等式的相关计算推导出速度、和时间的相关计算公式．例题解析例1.（浦东四署2019期末4）某特快列车在最近一次的铁路大提速后，时速提高了30千米/小时，则该列车行驶

350千米所用的时间比原来少用1小时，若该列车提速前的速度是x千米/小时，下列所列方程正确的是（）A.350350130xx−=−；B.350350130xx−=−；C.350350130xx−=+；D.350350130xx−=+.【答案】

C；【解析】提速前所用时间为：350x，提速后所用时间为：35030x+，依题可得：350350130xx−=+.例2.（浦东四署2019期中13）一列高铁与一列动车组在全长约为1318千米的京沪高速铁路上运行，已知高铁列车比动

车列车平均速度每小时快105千米，且高铁列车比动车组列车11全程运行时间少3小时，如果设高铁的平均速度是x千米/小时，则根据题意可列方程：.【答案】131813183105xx−=−；【解析】高铁所用时间为1318x，动

车所用时间1318105x−，因为高铁列车比动车组列车全程运行时间少3小时，故得131813183105xx−=−.例3.(奉贤2018期末22)中国的高铁技术已经然走在了世界前列，2018年的“复兴号

”高铁列车较“和谐号”速度增加每小时70公里．上海火车站到北京站铁路距离约为1400公里，如果选择“复兴号”高铁，全程可以少用1小时，求上海火车站到北京火车站的“复兴号”运行时间．【答案】4；【解析】解：设复兴号用时x小时，则和谐号用时（x+1）小时，根据题意得：=70+，解得：x=4或x

=-5（舍去）答：上海火车站到北京火车站的“复兴号”运行时间为4小时．例4.（嘉定2019期末22）甲、乙两位同学同时从学校出发，骑自行车前往距离学校20千米的效野公园.已知甲同学比乙同学平均每小时多骑行2千米，甲同学在路上因事耽搁了

30分钟，结果两人同时到达公园.问：甲、乙两位同学平均每小时各骑行多少千米？【答案】10千米/小时，8千米/小时；【解析】设甲平均每小时行驶x千米，则20200.52xx−=−，化简为：22800xx−−=解得：128,10

xx=−=，经12-8,10xx==检验：不符合题意，舍去是原方程的解.答：甲平均每小时行驶10千米，乙平均每小时行驶8千米.例5．（长宁2019期末23）小王开车从甲地到乙地，去时走A线路，全程约100千米，返回时走B线路，全程约60千米．小王开车去时的平均速度比返回时的平均速度快20千

米/小时，所用时间却比返回时多15分钟．若小王返回时的平均车速不低于70千米/小时，求小王开车返回时的平均速度．12【答案】80千米/小时；【解析】解：设小王开车返回时的平均速度为x千米/小时（x≥70），则小王开车去时

的平均速度为（x+20）千米/小时，根据题意得：10060152060xx−=+，解得：x＝80或x＝60（舍去），经检验：x＝80是原方程的解．答：小王开车返回时的平均速度为80千米/小时．例6.甲、乙二人同

时从张庄出发，步行15千米到李庄，甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到半小时，二人每小时各走多少米?【难度】★★【答案】甲每小时走6千米，乙每小时走5千米．【解析】设甲每小时走x千米，则乙每小时走()1x−千米，依题意可得：1515112

xx−=−，整理得2300xx−−=，解得：16x=，25x=−（舍），经检验均是原方程的解，但25x=−不符合题意，故舍去，所以甲每小时走6千米，乙每小时走5千米．【总结】考查行程问题的应用，注意分式方程要检验．．例

7.已知A、B两地相距125km，甲乙两人同时A、B两地出发，相向而行，每走10km甲比乙快36分钟，经5小时两人相遇，求甲乙两人的速度．【难度】★★【答案】甲的速度为50/3kmh，乙的速度为25/3kmh．【解析】设甲的速度为/xkmh，依题意可得10512510

35xx+=+（），整理得232512500xx+−=，解得：1503x=，225x=−，经检验均是原方程的解，但225x=−不符合题意，故舍去，所以甲的速度为50/3kmh，乙的速度为1255025/53

3kmh−=．【总结】考查行程问题的应用，注意分式方程要检验．13例8.甲、乙两人分别从相距27千米的A、B两地同时出发，相向而行，3小时相遇，随后两人按照原来的速度继续前进，甲到达B地比乙到达A地少用1小时21分钟，求两人的速度．【难度】★★★【答案】甲的速度为5/

kmh，乙的速度为4/kmh．【解析】设甲的速度为/xkmh，乙的速度为/ykmh．依题意可得()32727272720xyyx+=−=，解得：54xy==，经检验54xy==是原方程组的解，且符合题意，故甲的速度为5/kmh，乙的速度为4/kmh

．【总结】考查行程问题的应用，，注意分式方程组要检验．．模块五：几何图形知识精讲（1）关于线段长度类问题，主要列无理方程求解；（2）与面积相关的问题；（3）图形中的动点问题．例题解析例1.函数y=2x图像上一点P到点A（5，0）的

距离是5，求点P的坐标．【难度】★【答案】()124P，，()200P，．【解析】设()2Pxx，，依题意可得()()22525xx−+=，解得：12x=，20x=，经检验12x=，20x=均是原方程的解，故得()124P，或()200P，．【

总结】考查点坐标的求取，根据点所在的直线设点坐标，注意无理方程要验根．例2.已知直角三角形的两条直角边的差是2cm，它的面积是12cm2，求这两条直角边的长．14【难度】★【答案】两直角边长分别为6cm和4cm、【解析】设较长一边为xcm，则另一直角边为()2

xcm−，依题意可得()12122xx−=，整理得22240xx−−=，解得：16x=，24x=−（舍），即得一边长为6cm，另一边长为624cm−=．【总结】考查根据面积的相应表示进行列方程求解．例3.（黄浦2018期中25）如图，x轴表示一

条东西方向的道路，y轴表示一条南北方向的道路，小丽和小明分别从十字路口O点处同时出发，小丽沿着x轴以4千米时的速度由西向东前进，小明沿着y轴以5千米/时的速度由南向北前进．有一颗百年古树位于图中的P点处，古树与x轴、

y轴的距离分别是3千米和2千米．问：（1）离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等？（2）离开路口经过多少时间，两人与这颗古树所处的位置恰好在一条直线上？【答案】（1）149；（2）1110；【解析】解：（1）设离开路口后经过x小时，

两人与这棵古树的距离恰好相等．由题意P（2，3）．A（4x，0），B（0，5x），∵PA=PB，∴（2-4x）2+32=22+（3-5x）2，解得1409x=或（舍弃），答：经过149小时，两人与这棵古树的距离恰好相等．（2）

设离开路口经过y小时，两人与这颗古树所处的位置恰好在一条直线上．作PE⊥OB于15E，PF⊥OA于F．∵B，P，A共线，∴∠BPE=∠PAF，∴tan∠BPE=tan∠PAF，∴533242yy−=−，解得：11010y=或（舍去），答：离开路口经过1110小时，两人与这颗古树所处的位置

恰好在一条直线上例4.将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度围成一个正方形，两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?若能，求出两段铁丝的长度，若不能，请说明理由．【难度】★★【答案】

不能．【解析】设一个正方形边长为xcm，则另一个边长为()5xcm−，依题意可得()512xx−=，方程无解，即不可能．【总结】考查面积问题的应用，一边作设，一边相应表示出来列方程求解即可．例5.如图，笔直公路上A、B两点相距10千米，C、D为两居民区，DA⊥AB于A，CB⊥AB于

B，已知DA=6千米，CB=8千米，现要在公路AB段上建一超市E，使C、D两居民区到E的距离相等，则超市E应建在离A处多远处．【难度】★★【答案】离A处处16【解析】设AExkm=，则10BEx=−，依题意可得()222268

10xx+=+−，解得：6.4x=，经检验6.4x=是原方程的解，故超市应建在离A处6.4km处．【总结】考查根据勾股定理确定相应长度表示进行求解．17例6.有一块长x米，宽120米（x>120）的长

方形，投资方计划将它分成甲乙丙三部分，其中甲和乙为正方形，甲为住宅区，乙为商场，丙为公司，若已知丙地的面积为3200米，求x的值．【难度】★★【答案】160或200．【解析】依题意可得()()1201201203200xx−−−=，整理得2360320000xx

−+=，解得：1160x=，2200x=，即x的值为160或200．【总结】考查根据面积的相应表示进行列方程求解．例7.有一块长为80米，宽为50米的长方形绿地，其中有三条直路（图中的阴影部分，道路的一边AD与长方形绿地的一边平行，且道路

的出入口AB、CD、EF、KI、GH、IJ的长度都相等，其余部分种植绿化）．已知道路的面积为352平方米，求道路出入口的边的长度【难度】★★【答案】2m【解析】设边的长度为xm，依题意可得2802502352xxx+−=，整理得2901760xx−+=，解得：12x=，288x=（舍），18即

得路宽为2m．【总结】考查根据面积的相应表示进行列方程求解．例8.等腰Rt△ABC中，8cmABBC==，动点P从点A出发，沿AB向点B移动.通过点P引平行于BC、AC的直线与AC、BC分别交于点R、Q，问：AP等于多少厘米时，平

行四边形PQCR的面积等于16cm2．【难度】★★【答案】4cm【解析】设APxcm=，则8BPx=−，由题意可知APR和PBQ均为等腰直角三角形，依题意可得()816xx−=，解得：124xx==，即AP长为4cm．【

总结】考查动点问题的应用求解．例9.m、n为两条互相垂直的笔直公路，工厂A在公路n上，距公路m为1千米，B与工厂A在公路m的同侧，且距公路m为2千米，距公路n为3千米．现要在公路m上建造一个车站P，使它与A、B的距离之和为25千米，求P的位置．19【难度】★★★【答案】点P在两道路

交点上下方2km或211km处．【解析】以公路n、m分别为x、y轴建立平面直角坐标系，依题意得()10A，，()123B，或()23B−，，设()0Py，，依题意可得()22212325yy+++−=或()22212325yy++++=，整理得2112440yy−+=

或2112440yy++=，解得：12y=，2211y=，32y=−，4211y=−，经检验均是原方程的解，但32y=−，4211y=−不符合题意，故舍去，所以点P在两道路交点上下方2km或211km处．【总结】考查根据题目条件建立平面直角坐标系进行点坐标的确定进而确定相应位置．

例10.已知A（0，-1），B（0，4），点P在坐标轴上，且PA+PB=35，求点P的坐标．【难度】★★★【答案】()120P，，()220P−，，333502P+，，433502P−，．【解析】当P在

x轴上时，设()0Px，，依题意可得22221435xx+++=，解得：12x=，22x=−，即得()120P，，()220P−，；当P在y轴上时，设()0Px，，依题意可得4135xx−++=，20解得：13352x+=，23352x−=，即得333502

P+，，433502P−，．【总结】考查根据题目条件进行相应作设求解，注意分类讨论．模块六：其他例题解析例1.有一个非零数，它与4的和的正平方根再加上2后恰好等于它本身，求这个数．【难度】★【答案】5【解析】设这个数为x，依题意可得42xx++=，解得：15x=，

20x=（舍），即这个数是5．【总结】考查数位问题根据题目条件作设求解．例2有一个两位数，如果个位上的数与十位上的数的和是5，并且个位上的数的平方比十位上的数大1，求这个两位数．【难度】★【答案】32．【解析】设十

位数为x，则个位数为5x−，依题意可得()251xx−−=，整理得211240xx−+=，解得：13x=，28x=（舍），则这个数个位上是2，这个数是32．【总结】考查数位问题根据题目条件作设求解．例3.某剧场有

座位800个，每排的座位数一样多，在每排增加5个座位，并增加2排后就有座位1020个，问原来座位多少排?原每排多少个座位．【难度】★★【答案】这个剧院有10排，每排有80个座位；或这个剧院有32排，每排有25个座位．21【解析】设原来有x排，则

每排有800x个座位，依题意可得()800251020xx++=，整理得2423200xx−+=，解得：110x=，232x=，经检验均是方程的解且符合题意．即这个剧院有10排，每排有8008010=个座位；或这个剧院有32排，每排有8002532=个座位．【总结】考

查根据题目条件进行相应方程求解列式的应用，注意两种解都成立，另分式方程解完别忘记检验．例4.植树节前，园林局把植数1600棵的任务交给了一个小队，小队被分成若干个组，计划每个组植树的棵树相同，但后来又4个组另有任务不能参加，所以其他组就

要比原计划多植树20棵，每个小分队共分成了多少个组．【难度】★★【答案】20【解析】设共分成了x个小组，依题意可得16001600204xx−=−，整理得243200xx−−=，解得：120x=，216x=−（舍），即共分成了20个小组．【总结】考查工程问题的

应用，解完别忘记检验．例5.学校甲、乙、丙三个摄影兴趣小组进行了一次摄影作品交流活动，活动时，每位同学向不同组的每个组员送一张摄影作品，这样互相交流的摄影作品共310张，已知甲组人数是丙组人数的2倍，乙组比甲组少3人，这三个摄影小组各有多

少人?【难度】★★【答案】甲组有10人，乙组有7人，丙组有5人．【解析】设丙组有x人，则甲组有2x人，乙组有()23x−人，依题意可得()()()()223232232310xxxxxxxxx+−+−++−+=，整理得2891550xx−−

=，22即()()58310xx−+=，解得：15x=，2318x=−（舍），即丙组有5人，甲组有10人，乙组有7人．【总结】考查握手问题的应用．例6.小强放学回家后，向爸爸、妈妈询问火箭队与雄鹿队的当天的篮球比赛的结果，妈妈说：“本场比赛火箭队

的姚明比雄鹿的易建联多得了12分”．爸爸说：“如果把姚明的分数乘以易建联的得分再加上36分，恰好等于他们两人的得分之和的15倍，并且，如果姚明的得分不超过30分，则雄鹿队胜，否则，火箭队胜”，请你帮小强算一下，这场比赛，究竟是哪个队胜了?

姚明和易建联各得了多少分?【难度】★★【答案】姚明得分为36分，易建联得分为24分，火箭队获胜．【解析】设姚明得分为x分，则易建联得分为()12x−分，依题意可得()()12361512xxxx−+=+−，整理得242+2160xx−=，解得：

136x=，26x=（舍），即姚明得分为36分，则易建联得分为24分，可知火箭队获胜．【总结】考查根据题意列方程进行方程的求解．随堂检测1.某公司1996年出口创收135万元，1997年、1998年每年都比上一年增加a%，那么1998年

这个公司出口创收_________元．【难度】★【答案】()21351%a+．【解析】考查增长率问题的应用．2.甲、乙两个工程队合修一条路要6天完成，如果各队单独修路，则甲队比乙队少用5天，设甲、乙两队单独修路所需天数分别为x天和y天，则可列方程组为（）23A．65xyxy+=

=−B．65xyxy+==+C．11165xyxy+==−D．11165xyxy+==+【难度】★【答案】C【解析】考查工程问题的应用．3.已知点A（12，2），B（3，-1），在x轴上找一点P，

使PA=2PB．【难度】★【答案】()160P，，()260P−，【解析】设()0Px，，依题意可得()()2222122231xx−+=−+，整理得236x=，解得：16x=，26x=−，即得()1

60P，或()260P−，．【总结】考查满足一定条件的点坐标求取的应用．4.甲、乙两组工人合做某项工作，10天以后，因甲组另有任务，乙组再单独做2天才完成，如果单独完成这项工作，甲组比乙组可以快4天，求各组单独完成这项工作所需要的天数．【难度】★★【答案】甲单独

做需要20天，则乙单独做需要24天．【解析】设甲单独做需要x天，则乙单独做需要()4x+天，依题意可得111102144xxx++=++，整理得218400xx−−=，解得：120x=，22x=−，经检验均是原方程的解，但22x=−不符合题意，故舍去．即甲单独做需要20天，则乙单独

做需要20424+=天．【总结】考查工程问题的应用，注意分式方程解完要检验．5.有一面积为150平方米的长方形饲养场，饲养场一边靠墙（墙长18米），另三边用竹篱笆24围成，如果竹篱笆的长为35米，求饲养场的长和

宽．【难度】★★【答案】饲养场长为15m，宽为10m．【解析】设饲养场长为xm，依题意可得351502xx−=，整理得2353000xx−+=，解得：115x=，220x=（舍），即饲养场长为15m，宽为10m．【总结】考查面积问题的应用．6.修建360米长的一段高速公路,甲工程队单独

修建比乙工程队多用10天，甲工程队每天比乙工程队少修建6米.甲工程队每天修建的费用为2万元,乙工程队每天修建的费用为3.2万元.（1）求甲、乙两个工程队每天各修建多少米；（2）为在35天内完成修建任务

应请哪个工程队修建这段高速公路才能在按时完成任务的前提下所花费用较少?并说明理由【难度】★★【答案】（1）甲每天修12m，则乙每天修18m；（2）甲．【解析】（1）设甲每天修xm，则乙每天修()6xm+，依题意可得360360106xx−=+，整理得262160

xx+−=，解得：112x=，218x=−（舍），即甲每天修12m，则乙每天修18m；（2）甲需要30天，乙需要20天，所以在35天内都可以完成．甲所需的费用为30260=万元，乙所需的费用为203

.264=万元，6064，所以选择甲．【总结】考查工程问题的应用．7.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛．【难度】★★25【答案】

8【解析】设应邀请需要x个队参赛，依题意可得()1472xx−=，整理得2560xx−−=，解得：18x=，27x=−（舍），即应邀请6个队参赛．【总结】考查比赛问题，注意赛制是单循环还是双循环．8.初二（1

）班班委会主动为班级上一位生病住院的同学筹集部分医药费，计划筹集600元，由全体班委同学分担，后来又6位同学知道消息后也自愿参加了捐助和班委同学一起分担，因此每个班委的同学比原来少分担了50元，问：该班委有几个人?按照原计划每个班委平均分摊多少元．【难度】★★【答案】班委有6个人，原计划每个班

委分摊100元【解析】设班委有x个人，依题意可得600600506xx−=+，整理得26720xx+−=，解得：16x=，212x=−，经检验均是原方程的解，但212x=−不符合题意，故舍去．即班委有6个人，原计划每个班委分摊6001006=元．【

总结】考查列方程解应用题的应用，注意分式方程解完要检验．9.制造一种产品，原来每件的成本是500元，销售价是625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月将比第一个月提高6%，为了使两个月后的原销售利润

不变，该产品的成本价平均每月应降低多少?【难度】★★【答案】10%【解析】设成本价平均每月降低x，依题意可得：()()()2625120%16%5001625500x−+−−=−，26解得：10.1x=，21.9x=（舍），即成本价平均每月降低10%．【总结】考查利润问题的应用，根据题

目条件找到等量关系．10.一汽艇用一定速度驶完一段路程，若汽艇每小时少走8千米，则走完全程要多用4小时，若汽艇每小时多走8千米，则走完全程可少用2小时，试求这段路的长度以及汽艇原来的速度．【难度】★★【答案】这段路长192km，汽艇原来速度为24/kmh．【解析】设这

段路长为xkm，汽艇原来的速度为/ykmh，依题意可得4828xxyyxxyy−=−−=+，即得()()84828xyyyy=−=+，解得：12121920240xxyy====，，经检验2200xy==

不是原方程组的解，故舍去，即这段路长192km，汽艇原来速度为24/kmh．【总结】考查行程问题的应用，注意这是一个分式方程组，解完后要检验．11.有两块正方形的木板，其中大块的面积比小块的面积大45平方分米，已知小木块的边长比大木块的边长短3分米，求这两块木板的面积分别是

多少．【难度】★★【答案】大块木板面积为281dm，小块木板的面积为236dm．【解析】设小块木板的边长为xdm，则大块木板的边长为()3xdm+，依题意可得()22345xx+−=，解得：6x=，即得大块木板面积为()226381dm+=，小块木板的面积为22

636dm=．【总结】考查面积问题的应用．12.坐标轴上有B、C两动点．B从P(4，0)点以1Bv=的速度沿x轴负方向运动，同时C点从27y轴某处以2Cv=的速度直线运动．问两点能否在OP的中点A处相遇，若能，求C点的起始坐标；若不能，说明原因．【难度】★★★【答案】()1023C，，()2023

C−，．【解析】依题意可得运动时间2t=，则有224BC==，此时2OA=，设()0Cy，，则有2224y+=，解得：23y=，即得()1023C，或()2023C−，．【总结】考查简单的图形运动问题的结合应用．