【文档说明】十年（2015-2024）高考真题分项汇编 数学 专题25 新定义综合（数列新定义、函数新定义、集合新定义及其他新定义） Word版无答案.docx，共(8)页，585.263 KB，由小赞的店铺上传

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专题25新定义综合（数列新定义、函数新定义、集合新定义及其他新定义）考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1数列新定义（10年10考）2024·全国新Ⅰ卷、2024·北京卷、2023·北京卷2022·北京卷、2021·全国新Ⅱ卷、2021·北京卷2020·全国新Ⅱ卷、2020·北京卷

2020·江苏卷2019·江苏卷、2018·江苏卷、2017·北京卷2017·江苏卷、2016·江苏卷、2016·北京卷2016·上海卷、2016·上海卷、2015·北京卷新高考数学新结构体系下，新定义类试题

更综合性的考查学生的思维能力和推理能力;以问题为抓手，创新设问方式，搭建思维平台，引导考生思考，在思维过程中领悟数学方法。题目更加注重综合性、应用性、创新性，本题分值最高，试题容量明显增大，对学科核心素养的考查也更深入。压轴题命题打破了试题题型、命题方式

、试卷结构的固有模式，增强试题的灵活性，采取多样的形式多角度的提问，考查学生的数学能力，新定义题型的特点是;通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移达到灵活解题的目

的;遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义照章办事”逐条分析、验证、运算，使问题得以解决，难度较难，需重点特训。考点2函数新定义（10年4考）2024·上海、2020·江苏、2018·江苏2015·湖北、2015·福建考点3集合新定义（10年3

考）2020·浙江卷、2018·北京卷2015·山东卷、2015·浙江卷考点4其他新定义（10年2考）2020·北京卷、2016·四川卷考点01数列新定义一、小题1．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）（多选）设正整数

010112222kkkknaaaa−−=++++，其中0,1ia，记()01knaaa=+++．则（）A．()()2nn=B．()()231nn+=+C．()()8543nn

+=+D．()21nn−=2．（2020·全国新Ⅱ卷·高考真题）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12naaa满足{0,1}(1,2,)iai=，且存在正整数m，使得(1,2,)imiaai+==成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)imiaai+==的最小

正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列12naaa，11()(1,2,,1)miikiCkaakmm+===−是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5Ckk=的序列是（）A．1

1010B．11011C．10001D．11001二、大题1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列1242,,...,maaa+是公差不为0的等差数列，若从中删去两项ia和()jaij后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列

1242,,...,maaa+是(),ij−可分数列．(1)写出所有的(),ij，16ij，使数列126,,...,aaa是(),ij−可分数列；(2)当3m时，证明：数列1242,,...,maaa+是()2,13−可分数列；(3)从1,2,...,42m+中一次

任取两个数i和()jij，记数列1242,,...,maaa+是(),ij−可分数列的概率为mP，证明：18mP．2．（2024·北京·高考真题）已知集合(),,,1,2,3,4,5,6,7,8,Mijkwijkwijkw=+++且为偶数．给定数

列128:,,,Aaaa，和序列12:,,sTTT，其中()(),,,1,2,,tttttTijkwMts==，对数列A进行如下变换：将A的第1111,,,ijkw项均加1，其余项不变，得到的数列记

作()1TA；将()1TA的第2222,,,ijkw项均加1，其余项不变，得到数列记作()21TTA；……；以此类推，得到()21sTTTA，简记为()A．(1)给定数列:1,3,2,4,6,3,1,9A和序

列()()():1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7，写出()A；(2)是否存在序列，使得()A为123456782,6,4,2,8,2,4,4aaaaaaaa++++++++，若存在，写出一个符合条件的；若

不存在，请说明理由；(3)若数列A的各项均为正整数，且1357aaaa+++为偶数，求证：“存在序列，使得()A的各项都相等”的充要条件为“12345678aaaaaaaa+=+=+=+”．3．（2023·北京·高考真

题）已知数列,nnab的项数均为m(2)m，且,{1,2,,},nnabm,nnab的前n项和分别为,nnAB，并规定000AB==．对于0,1,2,,km，定义max,{0,1,2,,}k

ikriBAim=∣，其中，maxM表示数集M中最大的数.(1)若1231232,1,3,1,3,3aaabbb======，求0123,,,rrrr的值；(2)若11ab，且112,1,2,,1,jjjrrrjm+−+=−，

求nr；(3)证明：存在,,,0,1,2,,pqstm，满足,,pqst使得tpsqABAB+=+．4．（2022·北京·高考真题）已知12:,,,kQaaa为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的{1,2,,}nm，在Q中存在12,,,,(0)iii

ijaaaaj+++，使得12iiiijaaaan+++++++=，则称Q为m−连续可表数列．(1)判断:2,1,4Q是否为5−连续可表数列？是否为6−连续可表数列？说明理由；(2)若12:,,,kQaaa为8−连续可表数列，求证：k的最小值为4；(

3)若12:,,,kQaaa为20−连续可表数列，且1220kaaa+++，求证：7k．5．（2021·北京·高考真题）设p为实数.若无穷数列na满足如下三个性质，则称na为p数列：①10ap+，且20ap+=；②414,1,2,nnaan−=

()；③,1mnmnmnaaapaap++++++，(),1,2,mn=．（1）如果数列na的前4项为2，-2，-2，-1，那么na是否可能为2数列？说明理由；（2）若数列na是0数列，求5a；（3）设数列na的前n项和为nS.是否存在p数列

na，使得10nSS恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，说明理由．6．（2020·北京·高考真题）已知na是无穷数列．给出两个性质：①对于na中任意两项,()ijaaij，在na中都存在一项ma，使2imjaaa=；②对于na中任意项(3)nan…，在

na中都存在两项,()klaakl．使得2knlaaa=．(Ⅰ)若(1,2,)nann==，判断数列na是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若12(1,2,)nnan−==，判断数列na是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若na是递增数列，且同时满足性质①和性

质②，证明：na为等比数列.7．（2020·江苏·高考真题）已知数列*()nanN的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有11111kkknnnSSa++−=成立，则称此数列为“λ~k”数列．（1）若等差数列

na是“λ~1”数列，求λ的值；（2）若数列na是“323−”数列，且an＞0，求数列na的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列na为“λ~3”数列，且an≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，

8．（2019·江苏·高考真题）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.（1）已知等比数列{an}满足：245132,440aaaaaa=−+=，求证:数列{an}为“M－数列”；（2）已知数列{bn}满足:111221,nnnbS

bb+==−，其中Sn为数列{bn}的前n项和．①求数列{bn}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}，对任意正整数k，当k≤m时，都有1kkkcbc+成立，求m的最大值．9．（201

8·江苏·高考真题）设*nN，对1，2，···，n的一个排列12niii，如果当s<t时，有stii，则称(,)stii是排列12niii的一个逆序，排列12niii的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1

，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记()nfk为1，2，···，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．（1）求34(2),(2)ff的值；（2）求(2)(5)nfn的表达式(用n表示)．10．（2017·北京·高考真题）设{}

na和{}nb是两个等差数列，记1122max{,,,}nnncbanbanban=−−−(1,2,3,)n=，其中12max{,,,}sxxx表示12,,,sxxx这s个数中最大的数．（Ⅰ）若nan=，21nbn=−，求123,,ccc的值，并证明

{}nc是等差数列；（Ⅱ）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当nm时，ncMn；或者存在正整数m，使得12,,,mmmccc++是等差数列．11．（2017·江苏·高考真题）对于给定的正整数k,若数列{an}满足aaaaaaa−−+−++−++++++=11

11......2nknknnnknknk对任意正整数n(n>k)总成立，则称数列{an}是“P(k)数列”.(1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”；（2）若数列{an}既是“P(2)数列”，又是

“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列.12．（2016·江苏·高考真题）记1,2,,100U=.对数列()*nanN和U的子集T，若T=，定义0TS=；若12,,,kTttt=，定义12kTtttSaaa=+++.例如：=1,3,66T时

，1366+TSaaa=+.现设()*nanN是公比为3的等比数列，且当=2,4T时，=30TS.（1）求数列na的通项公式；（2）对任意正整数()1100kk，若1,2,,Tk，求证：1TkSa+；（3）设,,CDCUDUSS

，求证：2CCDDSSS+.13．（2016·北京·高考真题）设数列A：1a，2a,…Na(2N).如果对小于n(2nN)的每个正整数k都有ka＜na，则称n是数列A的一个“G时刻”.记“()GA是数列A的所有“G时刻”组成的集合.（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出()

GA的所有元素；（2）证明：若数列A中存在na使得na>1a，则()GA；（3）证明：若数列A满足na-1na−≤1（n=2,3,…,N）,则()GA的元素个数不小于Na-1a.14．（2016·上海·高考真题）若无穷数列{}na满足：只要*(,)

pqaapqN=，必有11pqaa++=，则称{}na具有性质P.（1）若{}na具有性质P，且12451,2,3,2aaaa====，67821aaa++=，求3a；（2）若无穷数列{}nb是等差数列，无穷数列nc是公比为正数的

等比数列，151bc==，5181bc==，nnnabc=+判断{}na是否具有性质P，并说明理由；（3）设{}nb是无穷数列，已知*1sin()nnnabanN+=+.求证：“对任意1,naa都具有性质P”的充要条件为“{}nb是常数列”.15．（2

016·上海·高考真题）对于无穷数列{na}与{nb}，记A={x|x=na，*Nn}，B={x|x=nb，*Nn}，若同时满足条件：①{na}，{nb}均单调递增；②AB=且*NAB=，则称{na}与{

nb}是无穷互补数列．（1）若na=21n−，nb=42n−，判断{na}与{nb}是否为无穷互补数列，并说明理由；（2）若na=2n且{na}与{nb}是无穷互补数列，求数列{nb}的前16项的和；（3）若{na}与{nb}是无穷互补数列，{na}为等差数列且16a=36，求{na}与{nb

}得通项公式．16．（2015·北京·高考真题）已知数列na满足：*1aN，136a，且1218{23618nnnnnaaaaa+=−，，，()12n=，，．记集合*|nManN=．（Ⅰ）若16a=，写出集合M的所有元素；（Ⅱ）若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：

M的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．考点02函数新定义一、小题1．（2015·湖北·高考真题）已知符号函数1,0,sgn{0,0,1,0.xxxx==−()fx是R上的增函数，()()()(1)gxfxfaxa=−，则A．

sgn[()]sgngxx=B．sgn[()]sgngxx=−C．sgn[()]sgn[()]gxfx=D．sgn[()]sgn[()]gxfx=−2．（2015·福建·高考真题）一个二元码是由0和1组成的数字串()*12nxxxnN，其中()1,2,,kxkn=称为第k

位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码127xxx的码元满足如下校验方程组：4567236713570,{0,0,xxxxxxxxxxxx=

==其中运算定义为：000,011,101,110====．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于．二、大题1．

（2024·上海·高考真题）对于一个函数()fx和一个点(),Mab，令()()22()()sxxafxb=−+−，若()()00,Pxfx是()sx取到最小值的点，则称P是M在()fx的“最近点”．

(1)对于1()(0)fxxx=，求证：对于点()0,0M，存在点P，使得点P是M在()fx的“最近点”；(2)对于()()e,1,0xfxM=，请判断是否存在一个点P，它是M在()fx的“最近点”，且直

线MP与()yfx=在点P处的切线垂直；(3)已知()yfx=在定义域R上存在导函数()fx，且函数()gx在定义域R上恒正，设点()()()11,Mtftgt−−，()()()21,Mtftgt++．若对任意的tR，存在点P

同时是12,MM在()fx的“最近点”，试判断()fx的单调性．2．（2020·江苏·高考真题）已知关于x的函数(),()yfxygx==与()(,)hxkxbkb=+R在区间D上恒有()()()fxhxgx．（1）若()()2222()fxxxgxxxD=+=−+=−

+，，，，求h(x)的表达式；（2）若2()1()ln(),(0)fxxxgxkxhxkxkD=−+==−=+，，，，求k的取值范围；（3）若()()()()422342248432(02)fxxxgxxhxtt

xttt=−=−=−−+，，，,2,2Dmn=−，求证：7nm−．3．（2018·江苏·高考真题）记()(),fxgx分别为函数()(),fxgx的导函数．若存在0xR，满足()()00fxgx=且()()00fxgx=，则称

0x为函数()fx与()gx的一个“S点”．（1）证明：函数()fxx=与()222gxxx=+−不存在“S点”；（2）若函数()21fxax=−与()lngxx=存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数()2fxxa=−+，()xbegxx=．对任

意0a，判断是否存在0b，使函数()fx与()gx在区间()0,+内存在“S点”，并说明理由．考点03集合新定义一、小题1．（2020·浙江·高考真题）设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：①对于任意x，yS，

若x≠y，都有xyT②对于任意x，yT，若x<y，则yxS；下列命题正确的是（）A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素D．若S有3个元

素，则S∪T有4个元素2．（2015·山东·高考真题）集合M，N，S都是非空集合，现规定如下运算：MNS=()()(){|xxMNNSSM且}xMNS．假设集合Axaxb=，Bxcxd=，Cxexf=

，其中实数a，b，c，d，e，f满足：（1）0ab，0cd；0ef；（2）badcfe−=−=−；（3）badcfe+++．计算ABC=．3．（2015·浙江·高考真题）设A，B是有限集，定义(,)()()dABcardABca

rdAB=−，其中card()A表示有限集A中的元素个数，命题①：对任意有限集A，B，“AB”是“(,)0dAB”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A，B，C，(,)(,)(,)dACdABdBC+，A．命题①和命题②都成

立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立4．（2015·湖北·高考真题）已知集合22(,)|1,,AxyxyxyZ=+，(,)|2,2,,Bxyxy

xyZ=，定义集合12121122(,)|(,),(,)ABxxyyxyAxyB=++，则AB中元素的个数为A．77B．49C．45D．30二、大题1．（2018·北京·高考真题）设n为正整数，集合A=()12{|,,,,0,1,1,2,,}nkt

tttkn==．对于集合A中的任意元素()12,,,nxxx=和()12,,,nyyy=，记M（，）=()()()1111222212nnnnxyxyxyxyxyxy+−−++−−+++−−．（Ⅰ）

当n=3时，若()1,1,0=，()0,1,1=，求M（,）和M（,）的值；（Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素,，当,相同时，M（，）是奇数；当,不同时，M（，）是偶数．求集合B中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A

的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素,，M（，）=0．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．考点04其他新定义1．（2020·北京·高考真题）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（Day）．

历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它

们的算术平均数作为2的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（）．A．30303sintannnn+B．30306sintannnn+C．60603sintannnn+D．60606sintannnn+2．（

2016·四川·高考真题）在平面直角坐标系中，当(,)Pxy不是原点时，定义P的“伴随点”为2222(,)yxPxyxy−++，当P是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A，则点

A的“伴随点”是点A.②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．③若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．其中的真命题是．