【文档说明】高中数学人教A版《选择性必修第一册》全书课件1.1.1.ppt，共(51)页，1.625 MB，由小赞的店铺上传

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1.1.1空间向量及其线性运算[教材要点]要点一空间向量的有关概念定义在空间，把具有________和________的量叫做空间向量．长度向量的________叫做向量的长度或________．表示法①几何表示法：空间

向量用________表示．②字母表示法：若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作AB→，其模记为|a|或|AB→|.大小方向大小模有向线段状元随笔空间向量在空间中是可以任意平移的，这是向量与有

向线段的本质区别．要点二几类特殊向量特殊向量定义表示法零向量长度为________的向量0单位向量模为________的向量|a|＝1或|AB→|＝1相反向量与a长度____而方向____的向量称为a的相反向量－a相等向量方向________且

模________的向量a＝b或AB→＝CD→01相等相反相同相等状元随笔空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量和相等向量的概念都与平面向量相同，因此可以进行类比学习．要点三空间向量的线性运算运算法则(或几何意义)运算律加法a＋b(1)交换律：a＋b＝__________；

(2)结合律：(a＋b)＋c＝________________减法a－ba－b＝a＋(－b)b＋aa＋(b＋c)数乘λa(1)|λa|＝________；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向________；当

λ＜0时，λa的方向与a的方向________；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb|λ||a|相同相反状元随笔1.当两个以上的空间向量相加时，可将三角形法则推广到多边形法则．．．．．：n个向量首尾顺次相接，则封闭折线的起点

指向终点的有向线段表示的向量就是它们的和，即A0A1→＋A1A2→＋A2A3→＋…＋An－2An－1＋An－1An＝A0An→.2．对空间向量数乘运算的理解：(1)实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ±a→无意义

．(2)任何实数与向量的积仍是一个向量．空间向量的数乘运算可以把向量的模扩大(当|λ|＞1时)，也可以缩小(当|λ|＜1时)；可以不改变向量的方向(当λ＞0时)，也可以改变向量的方向(当λ＜0时)．(3)注意实数与向量的乘积的

特殊情况：当λ＝0时，λa→＝0；当λ≠0时，若a→＝0，则λa→＝0.(4)①由于向量a→，b→可平移到同一个平面内，故a→±b→，λa→，λb→，λ(a→±b→)也都在这个平面内，而平面向量满足数乘运算的分配律，所以空间向量也满足数乘运算的分配律．②根据空间向量的数乘运算的定义，结合律显然也

成立．要点四共线向量与共面向量1．共线向量(1)定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相________或________，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作________________．(2)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是_______

______________．平行重合a∥b存在实数λ，使a＝λb状元随笔理解共线向量的定义时，要注意以下两点．(1)零向量和空间任一向量是共线向量．(2)共线向量不具有传递性，如a→∥b→，b→∥c→，但a→∥c→不一定成立，因为b→＝0→时，虽然a→∥b→，b→∥c→，

但a→不一定与c→共线．2．共面向量(1)定义：平行于同一平面的向量，叫做共面向量．(2)共面向量定理：如果两个向量a，b________，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是_________________________

_______________________．不共线存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb状元随笔(1)向量p→与a→，b→共面的充要条件是在向量a→与b→不共线的前提下才成立的，若a→与b→共线，则不成立．(2)

设非零向量a→，b→，c→所在的直线分别为a，b，c，则有a→∥平面α⇒a∥平面α或a⊂平面α；a，b，c三线共面⇒a→，b→，c→共面，反之不成立．[教材答疑]1．教材P3[想一想]：向量的线性运算结果，与向

量起点的选择没有关系．2．教材P3[？]交换律的证明：由于空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一个平面内的两个向量，而平面向量满足加法交换律，因此空间向量也满足加法交换律，如图(1)．结合律的证明：如图(2)，

(a＋b)＋c＝(OA→＋AB→)＋BC→＝OB→＋BC→＝OC→，a＋(b＋c)＝OA→＋(AB→＋BC→)＝OA→＋AC→＝OC→，所以(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．注意：证明平面向量加法的结合律时三个向量在同一

个平面内，证明空间向量加法的结合律时三个向量不在同一个平面内．[基础自测]1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同．()(2)空间两个向量的加减运算与平面内两向量的

加减法运算完全一致．()(3)空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．()(4)在四边形ABCD中，一定有AB→＋AD→＝AC→.()√√××2．如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，在下列选项中，与CD→相等的向量

是()A.AB→B.A1C1→C.B1A1→D.AA1→解析：与CD→相等的向量是B1A1→.答案：C3．(多选)已知空间向量AB→，BC→，CD→，AD→，则下列结论正确的是()A.AB→＝BC→＋CD→B.AB→－DC→＋BC→＝AD→

C.AD→＝AB→＋BC→＋CD→D.BC→＝BD→－DC→答案：BC4．在三棱锥A－BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则AB→＋12BC→－32DE→－AD→化简的结果为________．解析：延长DE交边BC于点F，则有AB→＋12BC→＝AF→，32

DE→＋AD→＝AD→＋DF→＝AF→，故AB→＋12BC→－32DE→－AD→＝0.答案：0题型一空间向量的概念——自主完成1．(多选)下列说法中正确的是()A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相

反B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|C．空间向量的减法满足结合律D．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p解析：|a|＝|b|，说明a与b模相等，但方向不确定；对于a的相反向量b＝－a，故

|a|＝|b|，从而B正确；只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；根据相等向量的定义知D正确．故选BD.答案：BD2．下列关于单位向量与零向量的叙述正确的是()A．零向量是没有方向的向量，两个单位向量的模相等B．零向量的方向是任意的，所有单位向量都相等C．零向量

的长度为0，单位向量不一定是相等向量D．零向量只有一个方向，模相等的单位向量的方向不一定相同解析：因为零向量的方向是任意的，且长度为0，两个单位向量的模相等，但方向不一定相同，故选C.答案：C3．(多填题)如图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，顶点

连接的向量中，与向量AA′→相等的向量有________；与向量A′B′→相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量)解析：根据相等向量的定义知，与向量AA′→相等的向量有BB′→，CC′→，DD′→，与向量A′B′→相反的向量有B′

A′→，BA→，CD→，C′D′→.答案：BB′→，CC′→，DD′→；B′A′→，BA→，CD→，C′D′→.状元随笔解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向．(2)注意点：注意一些

特殊向量的特性．①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同

．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．题型二空间向量的线性运算——师生共研例1(1)(多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为BD1→的是()A.A1D1→－A1A→－

AB→B.BC→＋BB1→－D1C1→C.AD→－AB→－DD1→D.B1D1→－A1A→＋DD1→解析：(1)A中，A1D1→－A1A→－AB→＝AD1→－AB→＝BD1→；B中，BC→＋BB1→－D1C1→＝BC1→＋C1D1→＝BD1→；C中，AD→－

AB→－DD1→＝BD→－DD1→＝BD→－BB1→＝B1D→≠BD1→；D中，B1D1→－A1A→＋DD1→＝BD→＋AA1→＋DD1→＝BD1→＋AA1→≠BD1→.故选AB.答案：(1)AB(2)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，

设AA1→＝a，AB→＝b，AD→＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：①AP→；②A1N→；③MP→＋NC1→.结合数乘向量、三角形法则及平行四边形法则求解.解析：(2)①∵点P是C1D1的中点，∴AP→＝AA

1→＋A1D1→＋D1P→＝AA1→＋AD→＋12AB→＝a＋c＋12b，②∵点N是BC的中点，∴A1N→＝A1A→＋AB→＋BN→＝－AA1→＋AB→＋12AD→＝－a＋b＋12c，③∵点M是AA1的中点，∴MP→＋NC1→

＝MA1→＋A1D1→＋D1P→＋NC→＋CC1→＝12a＋c＋12b＋12c＋a＝32a＋12b＋32c.答案：(2)见解析状元随笔和空间向量的线性运算相关的结论．(1)位置向量：AB→＝OB→－OA→.(2)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，

有AC1→＝AB→＋AD→＋AA1→.(3)若G为△ABC的重心，则AG→＋BG→＋CG→＝0→.(4)若O为空间中任意一点，则①点P是线段AB中点的充要条件是OP→＝12(OA→＋OB→)；②若G为△ABC的重心，则OG→＝

13(OA→＋OB→＋OC→)．方法归纳进行向量的线性运算，实质上是在正确运用数乘运算律的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和．运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中．跟踪训练1如图，已知空间四边形OABC，M，N分别是边OA，BC的

中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，试用a，b，c表示向量OG→.解析：OG→＝OM→＋MG→＝12OA→＋23MN→＝12OA→＋23(MA→＋AB→＋BN→)＝12OA→＋2312OA→＋OB→－OA

→＋12BC→＝12OA→＋23OB→－12OA→＋12(OC→－OB→)＝16OA→＋13OB→＋13OC→＝16a＋13b＋13c.题型三共线向量定理的应用——师生共研例2(1)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知AB→＝e1＋ke2，BC→＝5e1＋4e2，DC

→＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，实数k＝________.解析：(1)AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝(e1＋ke2)＋(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝7e1＋(k＋6)e2.设AD→＝λAB→，则7e1＋(k

＋6)e2＝λ(e1＋ke2)，所以λ＝7λk＝k＋6，解得k＝1.答案：(1)1(2)如图所示，已知空间四边形ABCD，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且CF→＝23CB→，C

G→＝23CD→.求证：四边形EFGH是梯形．解析：(2)证明：∵E，H分别是边AB，AD的中点，∴AE→＝12AB→，AH→＝12AD→.则EH→＝AH→－AE→＝12AD→－12AB→＝12(AD→－AB→)＝12BD→.∵FG→＝CG→－CF→＝23CD→－23CB→＝23(CD→－CB

→)＝23BD→，∴EH→∥FG→且|EH→|＝34|FG→|≠|FG→|.又F不在EH上，故四边形EFGH是梯形．答案：(2)见解析状元随笔证明四边形EFGH为梯形，必须证明两点：①EH→∥FG→，|EH→|≠|FG→|；②F不在EH上，否则E

，F，G，H四点可能共线．方法归纳1．证明(或判断)A，B，C三点共线，只需证明存在实数λ，使AB→＝λBC→即可．也可用“对空间任意一点O，有OB→＝tOA→＋(1－t)OC→”来证明三点共线．证明三点共线时，关键是利用向量的线性

运算将相关向量线性表示．2．证明两直线平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算并结合共线向量定理证明向量共线，再利用两向量不在同一条直线上得到线线平行．说明：对于空间的线面平行、面面平行的证明问题，可根据判定定理将其转化为证明线线平行，然后利用共线

向量定理进行证明．跟踪训练2已知非零向量a、b，且AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D解析：因为AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝(a＋2b)＋

(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝3a＋6b，所以AD→＝3AB→.又直线AB，AD有公共点A，故A，B，D三点共线．答案：A题型四共面向量定理的应用——微点探究微点1判断向量是否共面例3设a、b、c是空间不共面的三个向量，若p＝3a＋

2b＋c，m＝a－b＋c，n＝a＋b－c，试判断p，m，n是否共面．解析：显然m与n不共线，假设m、n、p共面，则存在实数x，y使得p＝xm＋yn，所以3a＋2b＋c＝x(a－b＋c)＋y(a＋b－c)＝(x＋y)a＋(－x＋y)b＋(x－y)c.因为a，b，c不共面，所以

x＋y＝3，－x＋y＝2，x－y＝1，此方程组无解，所以p不能用m，n表示，即p，m，n不共面．微点2判断四点是否共面例4如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别为A1D1，D1C1，AA1，CC1的中点，求证：M

，N，P，Q四点共面．证明：令D1A1→＝a，D1C1→＝b，D1D→＝c，∵M，N，P，Q均为棱的中点，∴MN→＝12b－12a，MP→＝MA1→＋A1P→＝12a＋12c，MQ→＝MD1→＋D1C1→＋C1Q→＝－12a＋b＋12c.令MQ→＝λMN→＋μMP→(λ，μ∈R)，则－12a

＋b＋12c＝λ12b－12a＋μ12a＋12c＝12(μ－λ)a＋12λb＋12μc，∴12(μ－λ)＝－12，12λ＝1，12μ＝12，解得λ＝2，μ＝1.∴MQ→＝2MN→＋MP→，∴

向量MQ→，MN→，MP→共面，∴M，N，P，Q四点共面．状元随笔需注意的是共面向量所在的直线不一定共面，只有这些向量都过同一点时，向量所在的直线才共面(向量的起点、终点共面)．方法归纳证明空间向量共面或四点共面的方法1．向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组

合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面．2．若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面．3．用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行．跟踪训练3(1)在下列条件中，

使M与A，B，C一定共面的是()A.OM→＝2OA→－OB→－OC→B.OM→＝15OA→＋13OB→＋12OC→C.MA→＋MB→＋MC→＝0D.OM→＋OA→＋OB→＋OC→＝0解析：(1)由MA→＋MB→＋MC→＝0得MA→＝－MB→－MC→，故M，A，B，C四点共面．答案

：(1)C(2)已知O是空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且OA→＝2xBO→＋3yCO→＋4zDO→，则2x＋3y＋4z＝________.解析：(2)由OA→＝2xBO→＋3yCO→＋4zDO→得OA→＝－2xOB→－3yOC→－4zOD→，所以

－2x－3y－4z＝1，即2x＋3y＋4z＝－1.答案：(2)－1易错辨析错把向量与平面平行认为线面平行例5已知AB，CD是异面直线，CD⊂α，AB∥α，M，N分别是AC，BD的中点．证明：MN∥α.证明：因为CD⊂α，AB∥α，且AB，CD是异面直线，所以在平面α内存

在向量a，b使得AB→＝a，CD→＝b，且两个向量不共线．由M，N分别是AC，BD的中点，得MN→＝12(MA→＋AB→＋BN→＋MC→＋CD→＋DN→)＝12(AB→＋CD→)＝12(a＋b)．所以MN→，a，b

共面，所以MN∥α或MN⊂α.若MN⊂α，则AB，CD必在平面α内，这与已知AB，CD是异面直线矛盾．故MN∥α.【易错警示】易错原因纠错心得本题易由MN→＝12(a＋b)直接得到MN∥α.忽略对MN⊂α这种情况的讨论.线面平行要

求直线必须在平面外，而在利用向量证明线面平行时，需要说明对应的直线和平面之间的位置关系.