【文档说明】贵州省遵义市2024-2025学年高二上学期12月考试数学试题 Word版含解析.docx，共(16)页，1.496 MB，由envi的店铺上传

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贵州高二数学考试注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在

本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第一册至必修第四册，选择性必修第一册到2.3节.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出

的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.以下关于复数534iz=+的四个命题中，错误的是（）A.1z=B.复数z在复平面内对应的点位于第四象限C.复数z的共轭复数34i5z−=D.复数z的虚部为45−【答案】C【解析】

【分析】先根据复数的除法计算出z，然后逐项判断即可.【详解】()()()534i534i34i34i34i55z−===−++−；A：2234155z=+−=，故正确；B：z在复平面内对应的点的坐标为

34,55−，位于第四象限，故正确；C：因为34i55z=−，所以34i55z=+，故错误；D：因为34i55z=−，所以虚部为45−，故正确；故选：C.2.在平面直角坐标系内，已知直线l的斜率为0，则直线l的倾

斜角为（）A.πB.π2C.π4D.0【答案】D【解析】【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系可得答案.【详解】在平面直角坐标系内，已知直线l的斜率为0，则直线l的倾斜角为0.故选：D.3.命题“xR，nN，使得exn”的否定是（）A.xR，nN，使得exn

B.xR，nN，使得exnC.xR，nN，使得exnD.xR，nN，使得exn【答案】B【解析】【分析】修改量词，否定结论，可得结果.【详解】修改量词否定结论可得：“xR，nN，使得exn”，故选：B.4.如图，这是正四棱台被截去一个三棱锥后所留下的几何体

，其中14ABAA==，112AD=，则该几何体的体积为（）A.26143B.26153C.2615D.2614【答案】A【解析】【分析】由正四棱台的性质，可求得正四棱台的高，从而可得正四棱台的体积.补全图中几何体可知截去的三棱锥的底面为三角形111ABC，高为正四棱台的高1AE，

从而可得截去的三棱锥的体积.两者做差即可得到题目中几何体的体积.【详解】因为14ABAA==，112AD=，根据正四棱台性质，其高为()()2222211111622214MOAEAAAEAAAOAM==−=−−=−−=，则该正四棱台的体积为()()11281

441641614333VSSSSh=++=++=下下上上.又由图可知截去三棱锥底面积为11112222ABCS==，所以三棱锥体积为111111214··214333ABCSAE==，即所求几何体体积为

28142142614333−=.故选：A5.过点()2,4P−且以直线2310xy++=的方向向量为法向量的直线方程为（）A.32140xy−+=B.3280xy−−=C.2380xy+−=D.23140xy++=【答案】A【解析】【分析】根据题意设所求直线为320xym−+=，由点在直线上求

参数，即可得方程.【详解】由题设，所求直线与2310xy++=垂直，可设所求直线为320xym−+=，又()2,4P−在320xym−+=上，则3(2)240m−−+=，得14m=，所以，所求直线为32140xy−+

=.故选：A6.经过点()1,1−，且倾斜角是直线210xy−+=的倾斜角的2倍的直线方程为（）A.1x=−B.4370xy−+=C.20xy−+=D.1y=【答案】B【解析】【分析】先根据倾斜角的关系求解出直线的斜率，然后可得直线的点斜式方程，化为一般式

方程即可.【详解】设所求直线倾斜角为，直线210xy−+=的倾斜角为，所以212tan4tan,tantan221tan3====−，所以直线的方程为()4113yx−=+，即为4370xy−+=，故选：B.7.已知点A为圆1C：228120xy

y+−+=上的动点，点B为圆2C：228280xyxy+−++=上的动点，下列说法正确的有（）A.两个圆心所在直线的斜率为45−B.两圆恰有3条公切线C.两圆公共弦所在直线的方程为4520xy−+=D.AB的最小值为415−【答案】D【解析】【分析】根据已知写

出圆的标准方程确定圆心和半径，圆心坐标求斜率判断A；由圆心距与半径和差关系判断圆的位置关系判断B、C；由两圆上点的距离最小为1212||()CCrr−+判断D.【详解】由221:(4)4Cxy+−=，则1(0,4)C，半径为12r=，由222:(4)(1)9Cxy−++=，则2(4,1)C−，半

径为23r=，所以12415044CCk+==−−，A错；1212||41CCrr=+，即两圆外离，有4条公切线，B、C错；min1212||||()415ABCCrr=−+=−，D对.故选：D的8.已知函数()yfx=的定义域为R，当12xx时，()()12123fxfx

xx−−，则()()212690fxfx−−−+的解集为（）A.(),3−B.()1,+C.3,2+D.1,2+【答案】C【解析】【分析】根据条件分析出()()3gxfxx=−的单调

性，然后将不等式变形为()()212gxg−，结合单调性可求不等式解集.【详解】因为当12xx时，()()12123fxfxxx−−，即()()112212330fxxfxxxx−−−−，所以(

)()3gxfxx=−在R上单调递减，因为()()()()()21269021321232fxfxfxxf−−−+−−−−，所以()()212gxg−，所以212x−，解得32x，所以不等

式解集为3,2+，故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()()3sincos0fxxx=−的最小正

周期为π，则以下命题正确的有（）A.2=B.函数()fx的图象关于直线π6x=−对称C.将函数()fx的图象向右平移π6个单位长度，得到的图象关于y轴对称D.若方程()34fx=在(0,π)上有两个不等实数根12,xx，则()123cos2xx+=【答案】A

BC【解析】【分析】A：先根据辅助角公式化简()fx，再根据周期公式可求；B：计算π6f−的值，根据是否为最值作出判断；C：将()fx解析式中的x替换为π6x−可得结果；D：作出()3,4yfxy==的图象，根据对称性求得12xx+的值，则()12

cosxx+的值可知.【详解】A：()π3sincos2sin6fxxxx=−=−，因为πT=，所以2π2T==，故正确；B：因为πππ2sin22666f−=−−=−，即为最

小值，所以()fx的图象关于直线π6x=−对称，故正确；C：()fx的图象向右平移π6个单位长度可得πππ2sin22sin22cos2662yxxx=−−=−=−，显然2cos2yx=−为偶函数，所以图象关于y轴对称，故正确；D：()π2sin26fxx=

−，作出()3,4yfxy==的图象如下图所示，令ππ2π,62xkk−=+Z，所以ππ,23kxk=+Z，当0k=时，π3x=，当1k=时，5π6x=，由图象可知，()3,4yfxy==的交点关于

直线π3x=对称，所以12π23xx+=，所以122π3xx+=，所以()121cos2xx+=−，故错误；故选：ABC.10.已知m、n、l是三条不同的直线，、是两个不同的平面，下列选项正确的有（）A.若//l，l，m=，则//lmB.若lm⊥，ln⊥，m，n，则l⊥

C.若⊥，m，n，则mn⊥D.若l与不垂直，则l垂直于内无数条直线【答案】AD【解析】【分析】利用线面平行的性质定理可判断A选项；根据线面垂直的判定定理可判断B选项；根据已知条件判断线线位置关系，可判断C选项；根据空间线面位置关系可判断D选项.【详解】对于A选

项，因为//l，l，m=，由线面平行的性质定理可得//lm，A对；对于B选项，因为lm⊥，ln⊥，m，n，由于m、n不一定相交，则l与不一定垂直，B错；对于C选项，⊥，m，n，则m、n的位置关系不确定，C错；对于D选项，若l与不垂直，则平面内

与l在内的射影垂直的直线，垂直于直线l，这样的直线有无数条，D对.故选：AD.11.定义域为0xx的函数()fx对任意的非零实数x，y都满足()()()fxyfxfy=+.当01x时，()0fx.下列结论正确的是（）A.()lgfxx=B.()fx满足()()xffxf

yy=−C.()10f−=D.()fx在(),0−上单调递增【答案】BC【解析】【分析】A根据充分必要性说明；B利用题设条件证()()()xxffyfyfxyy+==，即可判断；C令1xy==、1xy==−即可判断；D先说明奇偶

性，再利用单调性定义及题设条件证明(0,)+的单调性，即说明(),0−上单调性.【详解】由()lgfxx=，易知()fx定义域为0xx，满足()()()fxyfxfy=+且01x时()0fx，必要性成立，但满足题设要求的函数不一定是(

)lgfxx=，A错；由()()()xxffyfyfxyy+==，则()()xffxfyy=−，B对；令1xy==，则()()()111(1)0ffff=+=，令1xy==−，则()()()

111(1)0ffff=−+−−=，C对，令1y=−，则()()()1()fxfxffx−=+−=，定义域为0xx，即为偶函数，令120xx，则222121111111()()()()()()()()xxxfxfxf

xfxfxffxfxxx−=−=−−=−，由2101xx，则12()()fxfx，即()fx在(0,)+上递增，故(),0−上递减，D错；故选：BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量()3,2a=，()1,2b=

−，()4,1c=，若()()2akcba+⊥−，则k的值为______.【答案】56−【解析】【分析】应用向量线性关系的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数值.【详解】由题设(34,2),2(7,2)akckkba+=++−=−−，又()()2akcba+⊥−，所以()()27(

34)2(2)0akcbakk+−=−+−+=，则5302506kk+==−故答案为：56−13.如图，在四面体OABC−中，OAOBOC3===，60AOCBOCAOB===，点M，N分别在OA，BC上，且2OMMA=，2BNNC=，则MN=______.【答案】5【解

析】.【分析】由空间向量加减数乘的几何意义得122333MNOBOCOA=+−，再应用空间向量数量积的运算律求MN的模长.【详解】由1222()3333MNMAABBNOAOBOABCOBOAOCOB=++=+−+=−+−122333OBOCOA=+−，所以22222122414

448||()333999999MNOBOCOAOAOBOCOBOCOBOAOCOA=+−=+++−−4142245=+++−−=，所以||5MN=.故答案为：514.如图，在三棱锥PABC−中，2PAPBPC===，2ABBC==，ABBC⊥，E为

PB的中点，过E作平面，则平面截三棱锥PABC−外接球所得截面面积的最小值为___.【答案】π【解析】【分析】先求得三棱锥PABC−外接球半径，进而求得平面截三棱锥PABC−外接球所得截面面积的最小值.【详解】取AC中点F，连接,PFBF.由2ABBC==，ABBC⊥，可得2AC=,1AFB

F==,又2PAPC==，则,3PFACPF⊥=，又2PB=，1BF=，则PFBF⊥，又,,BFACFBFAC=面ABC，则PF⊥面ABC，又F为ABCV外心，则三棱锥PABC−外接球球心O在直线PF上，延长PF交球O于P，连接BP，则2BFPFPF=，

设球O半径为R，则()21323R=−，解之得，233R=，则233OP=，又E为PB中点，则OEPB⊥，2222233133OEOPPE=−=−=，则平面截三棱锥PABC−外接球所得截面面积的最小时即为以PB为

直径的圆的面积，该圆面积为2ππPE=故答案为：π四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线l经过直线2380xy−+=和10xy+−=的交点，且与直线32180xy−+=垂直，若直线m与直线l关于点()1,1−对称，求

直线m的方程.【答案】2320xy++=【解析】【分析】先求出交点坐标，根据垂直关系求出直线l的方程，然后采用相关点法求解出直线m的方程.【详解】因为238010xyxy−+=+−=，所以12xy=−=，所以交点是()1,2−，设直线l的方程为230xym++=，代入

()1,2−，则4m=−，所以:2340lxy+-=，因为直线m与直线l关于点()1,1−对称，设直线m上任意一点的坐标为(),xy，(),xy关于()1,1−的对称点为()2,2xy−−−，且()2,2xy−−−在直线l上，的所以()()223240xy−−+−−=，即2320xy++=，所

以直线m的方程为2320xy++=.16.2021年9月24日，中国轻工业联合会、中国乐器协会授予正安县“吉他之都”称号.遵义市某中学的同学们利用暑假到正安参加社会实践活动，对县城20至50岁的市民是否会弹吉他进行调查.若会弹吉他，则

称为“吉他达人”，否则称为“非吉他达人”.同学们随机抽取2800人进行调查，统计后发现“吉他达人”有1000人，进一步对“吉他达人”各年龄段人数进行统计后，得到了各年龄段“吉他达人”人数的频率分布直方图：（1）

根据直方图估计“吉他达人”年龄的平均数；（2）若从年龄在)20,30的“吉他达人”中采用分层抽样法抽取5人参加“吉他音乐节”表演，再从这5人中随机选取2人作为领队，求2位领队来自同一组的概率.【答案】（1）31.5（2）25【解析】【分析

】（1）由平均数的计算公式即可求解；（2）结合组合数，由古典概型计算公式即可求解.【小问1详解】由题意可得：22.50.227.50.332.50.237.50.1542.50.147.50.0531.5++

+++=平均数为31.5【小问2详解】由))0,20,2525,3的频率为0.2,0.3可得两组人数比为2:3，故5人中，来自))0,20,2525,3的人数分别为2和3，所以从这5人中随机选

取2人作为领队，求2位领队来自同一组的概率为222325CC2C5+=,故2位领队来自同一组的概率为25.17.在ABCV中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos3sinbAbAac+=+.（1）求B；（2）若2b=，求ABCV面

积的最大值.【答案】（1）π3（2）3【解析】【分析】（1）通过正弦定理进行边化角，再结合两角和差的正弦公式公式以及辅助角公式可求解出B的值；（2）先通过余弦定理结合基本不等式求解出ac的最大值，然后根据面积公式可求ABCV面积的最大值.【小问1详解】因为cos3si

nbAbAac+=+，所以sincos3sinsinsinsinBABAAC+=+，所以()sincos3sinsinsinsinBABAAAB+=++，所以3sinsinsinsincosBAAAB=+，因为()0,πA，所以sin0A，所以3sincos1

BB−=，所以π2sin16B−=，所以π1sin62B−=，因为ππ5π,666B−−，所以ππ66B−=，所以π3B=.【小问2详解】因为2b=，所以222222cos4bacacBacac=+−+−=，所以2242acacac+=+，所

以4ac，所以13sin324ABCSacBac==，当且仅当2ac==时取等号，所以ABCV面积的最大值为3.18.已知()0,0E，()2,0F−是圆M的一条直径的两个端点，P为圆M上任意一点，直线20xy+−=分别与x轴

、y轴交于A，B两点.角2π3的终边与单位圆221xy+=交于点C.（1）求圆M在点C处的切线方程；（2）求PAB面积的最大值；（3）求22PAPB+的取值范围.【答案】（1）310xy+−=；（2）32+；（3）[1645,1645]−+.【解析】分析】（1）根据题设有圆:M22(1)1x

y++=、13(,)22C−，则3CMk=，进而可得切线斜率，应用点斜式写出切线方程；（2）要使PAB面积的最大，只需圆上点到直线20xy+−=距离最大，结合点线距离公式、三角形面积公式求最大面积；（3）若D是AB的中点，则2MAMBMD+=，且(1

,1)D，再由PBPMMB=+，PAPMMA=+，应用向量数量积的运算律求目标式的范围.【小问1详解】由题设，(1,0)M−且圆M的半径为1，则圆:M22(1)1xy++=，又)2π2π,(cossin33C，即13(,)22C−，显

然在圆M上，则323112CMk==−+，所以圆M在点C处的切线的斜率为33−，所求切线为331()232yx−=−+，整理得310xy+−=.【小问2详解】由题设，(2,0),(0,2)AB，则||22AB=，【M到20xy+−=的距离32d=，则P到20xy+−=

最大距离为312+，所以PAB面积的最大值为1322(1)3222+=+；【小问3详解】设D是AB的中点，则2MAMBMD+=，且(1,1)D，故||5DM=，由PBPMMB=+，PAPMMA=+，且2221,9,5PMMAMB==

=，所以2222PBPMMBPMMB=++，2222PAPMMAPMMA=++，所以2222222()PAPBPMMAMBPMMAMB+=++++164PMMD=+，对于PMMD，当,PMMD同向共线时最大，反向共线时最小，所以[5,5]PMMD−，综

上，22PAPB+[1645,1645]−+.19.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面PBC，24ABDC==，22BC=，ABBC⊥，//DCAB.（1）证明：平面ABCD⊥平面PAB.（2）若π3ABP=，求点C到平面PAD的距离.（3）求

满足题设条件的所有几何体中，PD与平面ABCD所成角的正弦值的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）223；（3）33.【解析】【分析】（1）由线面垂直的性质有PABC⊥，根据线面、面面垂直的判定定理

证结论；（2）构建合适空间直角坐标系，应用向量法求点面距离；（3）同（2）构建空间直角坐标系，令(0,2]OPa=且24OPOAOBOAOB=+=，及ODP是PD与面ABCD所成角的平面角，确定,DP的坐标，结合sinOPODPDP=求最大值即可.【小问1详解】由PA⊥平面PBC，

BC平面PBC，则PABC⊥，又ABBC⊥，由PAABA=都在面PAB内，则⊥BC面PAB，BC面ABCD，所以平面ABCD⊥平面PAB.【小问2详解】由（1）易知PAPB⊥，又π3ABP=，过P作POAB⊥于O，由面ABCD⊥面P

AB，面ABCD面PABAB=，PO面PAB，所以⊥PO面ABCD，过O作//OzBC，易知OzAB⊥，故可构建如下图示空间直角坐标系，又24ABDC==，22BC=，//DCAB，则(0,3,0),(3,0,0),(

0,1,22),(0,1,22)APCD−−，所以(3,3,0),(0,2,22),(0,2,0)APADDC===，若(,,)mxyz=是面PAD的一个法向量，则3302220mAPxymADyz=

+==+=，令1z=−，则(6,2,1)m=−−，所以点C到平面PAD的距离||223||mDCm=.【小问3详解】同（2）构建空间直角坐标系，易知ODP是PD与面ABCD所成角的平面角，显然P在以AB为直径的圆上，令(0,2]OPa=，的显然24OPOAOBOAOB=+

=，可得222424OAaOBa=+−=−−或222424OAaOBa=−−=+−，当222424OAaOBa=+−=−−时，2(0,4,22)Da−−，(,0,0)Pa，则224823DPaa=+−+=，所以sin23OPaODPDP

==，此时最大值为13；当222424OAaOBa=−−=+−时，2(0,4,22)Da−，(,0,0)Pa，则224823DPaa=+−+=，所以sin23OPaODPDP==，此时最大值为13；

综上，PD与平面ABCD所成角的正弦值的最大值为33.