【文档说明】湖北省十七所重点中学2022-2023学年高三下学期2月第一次联考数学试题 含答案【武汉专题】.docx，共(11)页，567.475 KB，由小赞的店铺上传

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2023届湖北省十七所重点中学高三第一次联考数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合222,40xAxBxx==−，则AB=（）A．B．{2}C．{12}xxD．{14}xx2．设1

cos3x=，则sin2x−=（）A．13B．13−C．223D．223−3．函数21()logfxx=的导函数为（）A．ln2()fxx=B．1()ln2fxx=C．ln2()fxx=−D．1()ln2fxx=−4．设复数z满足(12i

)(12i)4,(12i)(12i)6,zzzz++−=−++=则z的虚部为（）A．12B．12−C．14D．i4−5．某气象兴趣小组利用身边的物品研究当地的降雨量．他们使用一个上底面半径为15cm、下底面半径为12cm、高为25cm的水桶盛接降水．当水桶内

盛水至总高的一半时，水的体积约占水桶总体积的（）A．40%B．44%C．48%D．52%6．已知平面向量,ab满足|2|abab=+，则||||ab的最小值为（）A．2B．4C．8D．167．设集合()1210012100{1,2,,2023},,,,ASAAAAAAA=

=∣，则集合S的元素个数为（）A．1002023CB．1012023CC．2023100D．20231018．设随机变量(,)XBnp，当正整数n很大，p很小，np不大时，X的分布接近泊松分布，即e(

)()(N)!npinpPXini−=．现需100个正品元件，该元件的次品率为0.01，若要有95%以上的概率购得100个正品，则至少需购买的元件个数为（已知0.367879e=…）（）A．100B．101C．102D．103二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在

每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知递增的正整数列na的前n项和为nS．以下条件能得出na为等差数列的有（）A．()2NnSnnn=+B．()21NnSnn=+C．()22Nnnaan+=+D．()22Nnna

an=10．已知11lnee10bacabc−+−==，则（）A．abB．bcC．acD．2bac+11．已知222222:(3)9,:(4)1,:(1)(4)1PxyQxyRxy+−=−+

=++−=．点A，B，C分别在,,PQR上．则（）A．||AB的最大值为9B．||AC的最小值为22−C．若AB平行于x轴，则||AB的最小值为45−D．若AC平行于y轴，则||AC的最大值为117+12．已知正方体111

1ABCDABCD−的边长为2，点P，Q分别在正方形1111ABCD的内切圆，正方形11CDDC的外接圆上运动，则（）A．222PQCD+B．||32PQ−C．8PAQD．2PAQ三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知多项式23401234()fxaa

xaxaxax=++++满足对任意R,(cos)2cos4cos3f=+，则1234aaaa−+−=_________（用数字作答）．14．冰雹猜想是指：一个正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就析出偶数因数2n，这样经过若干次，最终回到1．问题提出八

十多年来，许多专业数学家前仆后继，依然无法解决这个问题．已知正整数列na满足递推式131,N,2,N,22nnnnnaaaaa++=请写出一个满足条件的首项150a，使得101a=，而1(1,2,,9)iai=_____________．1

5．设实数0a，不等式e22e1xxaxa−+对任意实数12x−恒成立，则a的取值范围为__________．16．设椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率22e，C的左右焦点分别为12,FF，点A在C上满122FAF=．12FAF的角平分线交椭圆于另一点B，交y轴

于点D．已知2ABBD=，则e=_______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在正三棱柱111ABCABC−中，点D为线段1AA的中点，侧面11ABBA的面积为32．（1）若111AAAB=证

明：11ACBD⊥；（2）求三棱柱111ABCABC−的体积与表面积之比的最大值．18．（12分）为调查某地区植被覆盖面积x（单位：公顷）和野生动物数量y的关系，某研究小组将该地区等面积划分为200个区块，从中随机抽取20个区块，得到样本数据(),(1,2,,20)iixyi=，部分数据

如下：x…2.73.63.2…y…57.864.762.6…经计算得：()()()202020202111160,1200,80,640iiiiiiiiixyxxxxyy======−=−−=．（1）利用最小二乘

估计建立y关于x的线性回归方程；（2）该小组又利用这组数据建立了x关于y的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系xOy下，横坐标x，纵坐标y的意义与植被覆盖面积x和野生动物数量y一致，（ⅰ）比较前者与后者的斜率大小，并证明；（ⅱ）求这两条直线的

公共点坐标．附：y关于x的回归方程ˆˆˆyabx=+中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ˆˆˆ,niiiniixxyybaybxxx==−−==−−．19．（12分）在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知22ca

b=．（1）求cosC的最小值；（2）证明：6CA−．20．（12分）设点A为双曲线22:13yCx−=的左顶点，直线l经过点(1,2)−，与C交于不与点A重合的两点P，Q．（1）求直线,APAQ的斜率之和；（2）设在射线AQ上的点R满足APQARP=，求直线PR的斜率的最大值．21．（

12分）已知数列na满足：①对任意质数p和自然数n，都1npan=+；②对任意互质的正整数对(,)mn，都有mnmnaaa=．（1）写出na的前6项，观察并直接写出na与能整除n的正整数的个数的关系()Nn；（2）设数列2nn

a的前n项和为nS，证明：()5N3nSn．22．（12分）已知直线l与曲线2lnyx=相切于点()()2000,lnexxx．证明：（1）l与曲线2lnyx=恰存在两个公共点()()

()22000000,ln,,lnxxxxxx；（2）0023exx+．2023届湖北省十七所重点中学第一次联考参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．12345678ABDCBCDD7．D

对每个12023i，在12100,,,AAA中的从属关系有以下101种：（1）123100,,,,iAiAiAiA，（2）123100,,,,iAiAiAiA，（3）123100,,,,iAiAiAiA，…（101）123100,,,,iAiAiAi

A．由分步乘法计数原理，集合S中共2023101个元素．8．D记随机变量X为购买a个元件后的次品数．由题意，此时X可看成泊松分布．则(100)0.95PXa−，记100ta=−，则0.01(100)0e[0.01(100

)]0.95!tititi−+=+．由于t很小，故大致有010.95!etii=．分别计算0,1,2,3t=，左边约等于0.37，0.74，0.91，0.98，故3t，即103a．二、选择题：本

题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9101112ACDBCABDAB11．ABDA：||31||9ABPQ++=，

且能取到等号，故正确；同理B正确．C：试想一个将Q向左平移的过程，使得平移后的圆与Q有公共点的最短平移距离即AB的最小值，为224(31)345−+−=−，故错误；同理D正确．12．AB以A为原点，1,,ADAAAB为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系．设点(1cos,2,

1sin),(2,12cos,12sin)PQ++++．A：2(sin2sin)222PQCD=−+，故正确．B：2222||(cos1)(2cos1)(sin2sin)52cosPQ=−+−+−=−

−22sin22sinsin−2522cos48sin−−+．记22cost=，222||512526(32)PQtt−−−−=−，故正确．C：取11CD的中点M，AM穿过一侧的外接圆，取11AB的中点M，则

AM不穿过，故必存在点P，使得AP经过外接圆，设公共点为Q，此时PAQ共线，矛盾，故不正确．D：假设成立，则2(1cos)2(12cos)(1sin)(12sin)0APAQ=++++++恒成立．利用辅助角消去，则2522cos2sin4(1cos)

0++−++．取54x=，则左边2224102=−+−，故不正确．故选AB．三、填空题：每小题5分，共20分．13．114．12或13（写出一个即可）15．30,316．3214．本题采用逆推思想．5

12()128256326485()214284()12481680()2040510133612舍舍舍舍故填12或13．15．令0x=，得

303a．下证：30,3a均满足题意．当0x时，左边关于a递减，当0x时，e1exx−当1,02x−时，2e22exax−，仍关于a递减，故只需证明33a=成立．令ln0tx=，即证23ln()32103tttt=−−+．231()3,()321

tttt=−−+递增，(1)0=，故()t在(0,1)上递减，在(1,)+上递增，()(1)0t=．故填30,3．16．设点()00,Axy，则22200xyc+=．

设角平分线交x轴于T，易知()20,0Tex．直线()()20020:1yAByxexex=−−．设AB中点为M，则023Mxx=．22002223,,131OMABxeMykkee−=−−，得()()2202222023121eyeex−=−−．将点A与椭圆联立得()222

0220121eyxe−=−，故()222231221eee−=−−，解得32e=．故填32．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（1）取AB中点H，则1AHB

D⊥．由CH⊥平面111,ABBABD平面11ABBA，故1CHBD⊥．又AHCHH=，故1BD⊥平面1ACH．而1AC平面1ACH，故11ACBD⊥．（2）及0ABt=．表面积()2332St=+，体积2333428tVtt==．故由基本不等式，()223318438

3VttStt==+，等号成立当且仅当3t=．18．（1）ˆˆ6408,60243680ba===−=．故回归方程为ˆ836yx=+．（2）（ⅰ）设前者和后者的斜率分别为12,kk．()()()()()()20202111220202111ˆ,ˆiiiiiiii

iixxyyyykbkbxxxxyy====−−−====−−−则()()()()220211202022211iiiiiiixxyykrkxxyy===−−==−−，r为y与x的相关系数．又112||1,,0lrkk=，故12kk．下证：12kk

．若12kk=，则||1r=，即836(1,2,,20)iiyxi=+=恒成立．带入表格中的一组数据得：58.182.736+，矛盾．故12kk，即前者斜率小于后者．（ⅱ）注意到，两直线都过(,)xy，且12kk，故公共点仅有(3,60)．1

9．（1）由余弦定理，222222cos1222abcabcCabab+−−==−…，等号成立当且仅当4::1:1:2abc=．（2）方法一：当CA时，06CA−．当CA时，设线段AC的中垂线交AB于点D．()222222222,2coscacbbcADD

BcADAbcabca−===−=+−+−．在CDB△中，由正弦定理，sinsin()BCDADCADBDB==−．2222(2)22ADbbDBabab==−，故sin1sin()22BCA−，由21cos122C−−．故506C

AC−．则6CA−．方法二：由正弦定理，22sinsinsin(2sinsin)CAABA−=−．由二倍角公式，221sinsin(cos2cos2)2SCAAC=−=−．而1[cos()cos()]sin()sin()2SACACACACCACA=−++−−−−=−+，故22sin2

sin(2sinsin)sin1sin()sinsin22BABABCABB−−==．由（1）21cos122C−−，故506CAC−．则6CA−．20．（1）na的前6项

分别为1，2，2，3，2，3．na的大小与能整除n的自然数个数相同．（2）方法一：由（1），因为大于2n小于n的数不被n整除，故1,N221,N22nnnann++当2nk=为偶

数时，212342121123142112111222222222222kkkkkS−++−++++++++++2222311321312122kk+++=+++1223444441424243143

33334444k−++++−=+−+−+14444(1)3344kkkk+++++−144(1)515333443kkk+++=−−．其中第一行2分，其余共4分．21nk=−为

奇数时，21253kkSS−，得证．方法二：设1112121222111111222222nnnT=++++++++12111222nnnn++++．先说明()NnnSTn．nT中为1(1,2,,)2kkn=的

项数恰为(1,)ijkijn=的正整数解数ka，故1212222nnnnaaaTS+++=．再证()5N3nTn．1n=时，11523T=成立；2n时，221212111111111222111222111222nnnnnnT−−−=+++

−−−12111212121n+++−−−211111322n−++++121511323n−=+−．其中前两行和后两行各2分．21．（1）(1,0)A−．l斜率显然存在

，故可设:(1)2lymx=++，即(1)12ymx−+=．设()()221122,,,:13yPxyQxyCx−=即22(1)2(1)03yxx+−−+=，即22(1)(1)2(1)032yymxxx−++−−+=．设,APAQ的斜率12,kk，则(1,2)1iiiykix==+

，故12,kk为方程21()03kkm−−−=的两个实根，由韦达定理，123kk+=−．（2）设:(1)(0)PRytxrr=++．将1:(1)APykx=+与C方程联立，得：211221136,33kkPkk+−−．将AP与PR方程联立，得：

点1111,rkrPktkt−−−．故()()()21221161||3rkAPkkt+=−−，同理()()()2222261||||3rkAQARkkt+=−−，故()()()()()()2212221

122616133rkrkkktkkt++=−−−−，即()()()()1212122212141011kktkkkkkk−+++−−=++，又1212,3kkkk+=−，整理得()2121551212kkt++=−−，等号成立

当且仅当121kk=−．综上，直线PR的斜率的最大值为512−．22．（1）()200002ln:lnxlyxxxx=−+．令()2200002ln()lnlnxfxxxxxx=−−−．002ln2ln2(1ln)(),(),()xxxfxfxfxxxx−=−=在(0,e)递增，(e

,)+递减．又()00,(1)0fxf=，故存在1(1,e)x，()10,()fxfx=在()10,x递减，()10,xx递增，()0,x+递减．而()0010,0fxfx=，故存在()00001,,0xxfxx=．

（2）先证明2300exx，即3020exx．由（1），只需320e0fx，即332200022000e2lnelnln0xxxxxx−−−．整理，只需()()()300030031ln3lne1e2lnxxxxx−−−．令0ln1tx=，即

证333(1)(3)()e112ttttt−−−=+．33329e(1)()0,()2ttttt−−=在(1,)+递增()(1)0t=，得证．下证23000023xxxx+，这等价于2003300120xxxx−+成立．获

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