【文档说明】山东省淄博市淄川区第十中学2020届高三上学期期末考试数学试题含解析【精准解析】.doc，共(20)页，1.665 MB，由小赞的店铺上传

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数学试题（满分：150分，考试时间：120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合242{60MxxNxxx=−=−−，，则MN=A.

{43xx−B.{42xx−−C.{22xx−D.{23xx【答案】C【解析】【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，42,23MxxNxx=−=−，则22MN

xx=−．故选C．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2.若复数z满足(1)2izi+=−（i为虚数单位），则z=（）．A.12B.102C.2D

.322【答案】B【解析】【分析】由复数除法计算出z，再由复数模的运算计算模。【详解】由题意22(2)(1)22131(1)(1)222iiiiiiziiii−−−−−+====−++−，所以221310()()222

z=+−=．故选：B．【点睛】本题考查求复数的模，掌握复数的除法运算是解题关键．3.已知a＞b＞0，c＞1，则下列各式成立的是（）A.sina＞sinbB.ca＞cbC.ac＜bcD.11ccba−−＜【答案】B【解析

】【分析】根据函数单调性逐项判断即可【详解】对A,由正弦函数的单调性知sina与sinb大小不确定，故错误；对B,因为y＝cx为增函数，且a＞b，所以ca＞cb，正确对C,因为y＝xc为增函数,故ccab，错误；对

D,因为1cyx-=在()0,+为减函数，故11ccba-->，错误故选B．【点睛】本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性，属基础题．4.在平面直角坐标系xOy中，角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点()3,1−，则cos2=（

）A.35-B.35C.45−D.45【答案】D【解析】【分析】由任意角的三角函数的定义求得sin，然后展开二倍角公式求cos2．【详解】解：∵角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点()3,1−，∴10OP=，∴10sin10=

．则22104cos212sin12105=−=−=.故选D．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义，是基础题．5.已知,lm是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是A.若//,,//lmlm则B.若//,//,//lmlm

则C.若,,lmml⊥⊥则D.若,//,llmm⊥⊥则【答案】D【解析】由题意，A中，若//,lm，则//lm或l与m异面，所以不正确；B中，若//,//lm，则//lm或l与m相交或异面，所以不正确；C中，若,lmm⊥，则l⊥或l与平面斜交或平行，所以不正确

；D中，若,//llm⊥，则m⊥是正确的，故选D.6.在ABC中，2AB=，3AC=，3BAC=，若23BDBC=，则ADBD=（）A.229B.229−C.169D.89−【答案】A【解析】【分析】本题主要是找到两个基底向量AB，AC，然后用

两个基底向量表示AD，BD，再通过向量的运算即可得出结果．【详解】解：由题意，画图如下：则：()22223333BDBCACABABAC==−=−+，2233ADABBDABABAC=+=−+1233ABAC=+.∴12223333

ADBDABACABAC=+−+22242999ABACABAC=−+−24249cos999ABACBAC=−+−82423cos993=−+−229=.故选A．【点睛】本题主要考查基底向量的建立以及用

两个基底向量表示别的向量，考查平面向量的数量积的计算．本题属基础题．7.甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去、、ABC三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方

法种数为（）A.8B.7C.6D.5【答案】B【解析】根据题意满足条件的安排为：A（甲，乙）B（丙）C（丁）；A（甲，乙）B（丁）C（丙）；A（甲，丙）B（丁）C（乙）；A（甲，丁）B（丙）C（乙）；A（甲）B（丙，丁）C（乙）；A（甲）B（丁）C（乙，丙）；A

（甲）B（丙）C（丁，乙）；共7种，选B.8.用一个体积为36的球形铁质原材料切割成为正三棱柱的工业用零配件，则该零配件体积的最大值为（）A.932B.63C.18D.27【答案】D【解析】【分析】画出正三棱柱111ABCABC−内接于球O的直观图，设底面边长11ABx=，由球的体积

公式得3R=，再由勾股定理得正三棱柱的212293xhOO==−，代入体积公式VSh=，利用基本不等式可求得max27V=．【详解】如图所示，正三棱柱111ABCABC−内接于球O的直观图，1O为底面1

11ABC的中心，因为343633RVR===球．设底面边长11ABx=，则212293xhOO==−，22222133296(9)272232663xxxxVShx==−=−正三棱柱，等号成立当且仅当2293263xxx=−=，故选D.【点睛】本题以实际问

题为背景，本质考查正三棱柱内接于球，考查正三棱柱体积的最值，考查空间想象能力和运算求解能力，注意利用三元基本不等式求最值，使问题求解计算变得更简洁．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，

部分选对的得3分，有选错的得0分．9.若220xx−−是2xa−的充分不必要条件，则实数a的值可以是（）．A.1B.2C.3D.4【答案】BCD【解析】【分析】求出220xx−−的解集，确定a的范围后再选择．【详解】由220xx−−得12x−，因此由若220x

x−−是2xa−的充分不必要条件，则2a．故选：BCD．【点睛】本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础．10.（多选题）某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在)50,60元的学生有6

0人，则下列说法正确的是（）A.样本中支出在)50,60元的频率为0.03B.样本中支出不少于40元的人数为132C.n的值为200D.若该校有2000名学生，则定有600人支出在)50,60元【答案】BC【解析】【分析】根据频率分

布直方图求出每组的频率，补齐第四组的频率，结合频数与频率和样本容量的关系即可判定.【详解】样本中支出在)50,60元的频率为()10.010.0240.036100.3−++=，故A错误；样本中支出不少于40元的人数为0.0366060

1320.03+=，故B正确；602000.3n==，故n的值为200，故C正确；若该校有2000名学生，则可能有0.32000=600人支出在[50，60）元，故D错误.故选：BC.【点睛】此题考查根据频率分布直方图求每组的频率，补齐

频率分布直方图，用数据特征估计总体的特征.11.把函数sin2yx=的图象沿x轴向左平移12个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数()yfx=的图象，对于函数()yfx=有以下四个判断，其中不正确的判断

（）．A.该函数的解析式为2sin26yx=+B.该函数的图象关于点,03对称C.该函数在06,上是增函数D.若函数()yfxa=+在06,上的最小值为3，则23a=【答案】BD【解析】【分析】先求出函数()fx的解析式，然后

由正弦函数性质判断．【详解】由题意()2sin2()2sin(2)126fxxx=+=+，A正确；()2sin(2)1336f=+=0，B错；[0,]6x时，2[,]662x+，所以()fx在06,上是增函数，C正确；由上可得，(0)2sin36faa

+=+=，31a=-，D错．故选：BD．【点睛】本题考查三角函数图象变换，考查正弦函数性质．掌握三角函数图象变换是解题基础．掌握正弦函数性质是解题关键．12.已知双曲线22221(0,0)xyabab−=

的左、右焦点分别为12,FF，P为双曲线上一点，且122PFPF=，若1215sin4FPF=，则下面有关结论正确的是（）A.6e=B.2e=C.5ba=D.3ba=【答案】ABCD【解析】【分析】根据1215sin4FPF=对12FPF分类讨论

，利用双曲线的定义以及122PFPF=，再结合12FPF对应的余弦定理，即可计算出离心率的值，从而可求,ab的关系.【详解】若12FPF为锐角时，12215114os4cFPF=−=，如

图所示，因为122PFPF=，122PFPFa−=，所以124,2PFaPFa==，所以222222121221212cos164412164PFPFFFaacPFFPFPFa+−+−===，所以224ca=，所以2ca=，所以

2e=，所以2224aba+=，3ba=，故BD正确；若12FPF为钝角时，12215114os4cFPF=−−=−，如图所示，因为122PFPF=，122PFPFa−=，所以124,2PFaPFa==，所以222222121221212cos164412164PF

PFFFaacPFFPPFFa+−+−===−，所以226ca=，所以6ca=，所以6e=，所以2226aba+=，5ba=，故AC正确.故选：ABCD.【点睛】本题考查双曲线性质的综合应用，着重考查了离心率以及根据离心率求等量关系，强调了分类讨论的思想，难度一般.双曲线中的焦点三角形要注意

利用定义以及顶角的余弦定理进行问题分析.三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.设()5224100125321xaaxaxaxa+=++++，则的值为_________．【答案】80【解析】【分析】

由二项式定理的通项公式求解即可.【详解】由题()5rr2r5r102rr155TC2xC2x−−−+==,令10-2r=6,得r=2,∴2335aC280==故答案为80【点睛】本题考查二项式定理，是基础题.14.设随机变量X服从正态分布N(2,9)若P(X＞c＋1)＝P(X＜c

－1)，则c等于________．【答案】2【解析】∵μ＝2，由正态分布的定义知其图象关于直线x＝2对称，于是112cc++−＝2，∴c＝2.15.已知函数()fx是定义在R上的奇函数，且()()2fxfx+=−，则T=________，当01x时()(1)fx

xx=+，则(4)(5)ff+等于________．【答案】(1).4(2).2【解析】【分析】利用()()2fxfx+=−得出周期，由周期性和单调性计算函数值．【详解】因为()()2fxfx+=−，所以(4)(2)()fxfxfx+=−+=，所以周期为4T=，函数为奇函

数，则(0)0f=，(4)(0)0ff==，(5)(1)2ff==，所以(4)(5)2ff+=．故答案为：4；2．【点睛】本题考查函数的周期性和奇偶性，函数定义域为R，若1()()fxafx+=，或()()fxafx+=−，或1()()f

xafx+=−，则()fx是周期函数，且周期为2Ta=（0a）．16.圆1C：222290xyaxa+++−=和圆2C：2224140xybyb+−−+=只有一条公切线，若aR，bR，且0ab，则2241ab+的最小值为__________．【答案】4【解析】由题设中可知两圆相内切，

其中1122(,0),3;(0,2),1CarCbr−==，故22124CCab=+，由题设可知22431ab+=−，即2244ab+=，则2222222222411411161()(4)(8)(88)4444baabababab+=+

+=+++=，应填答案4．点睛：本题以两圆的相内切这种位置关系为背景，精心设置了一道“两圆相内切”作为已知条件的最值问题，求解时则通过巧妙变形222222222241141116()(4)(8)44baabababab+=++=++，这是解答本题的难点，然后再

运用基本不等式从而使得问题简捷、巧妙获解．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列na的前n项和nS满足231nnSa=−，其中nN．(1)求数列na的通项公式；(2)设23nnnabnn=+，求

数列nb的前n项和为nT．【答案】(1)()1=3nnanN−；(2)31nn+．【解析】【分析】（1）由31=22nnSa−可得113122nnSa−−=−，两式相减可化为()132nnaan−=从

而判断出na是等比数列，进而求出数列na的通项公式；（2）利用（1），化简可得231131nbnnnn==−++，利用裂项求和法求解即可.【详解】(1)()*31=22nnSanN−∵，①当11311,22nSa==−，∴11a=，当2n

，∵113122nnSa−−=−，②①-②：13322nnnaaa−=−，即：()132nnaan−=又，对都成立，所以是等比数列，（2）【点睛】本题主要考查等比数列的定义与通项公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题.裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是

有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111nnkknnk=−++；（2）1nkn++()1nknk=+−；（3）()()1111212122121nn

nn=−−+−+；（4）()()11122nnn=++()()()11112nnnn−+++；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.已知函数()23sin22cos1,fxxxxR=−−．(I)求函数()fx的最小正

周期和最小值；(II)在ABC中，A，B，C的对边分别为,,abc，已知()3,0,sin2sincfCBA===，求a，b的值．【答案】(Ⅰ)()fx的最小正周期22T==,最小值为-4;(Ⅱ)a1,2b==.【解析】【分析】(I)由三角恒等变形化

简f(x)=π2sin2x2,6−−即可求解；(Ⅱ)()fC0=，得πC3=,再由正余弦定理得a的方程即可求.【详解】(Ⅰ)，所以的最小正周期,最小值为.(Ⅱ)因为()πfC2sin2C20,6

=−−=所以.又所以，得.因为，由正弦定理得，由余弦定理得，，又c=3a，所以a1,b2==.【点睛】本题考查三角恒等变换，正余弦定理，是中档题.19.如图，三棱柱111ABCABC−中，M，N分别为1CC，11AB的中点．（1）证明：直

线//MN平面1CAB；（2）1BABCBB==，1CACB=，1CACB⊥，160ABB=，求平面1ABC和平面111ABC所成的角（锐角）的余弦值．【答案】（1）见解析（2）77【解析】【分析】（1）设1AB与1AB交于点O，通过证明MNCO是平

行四边形证得//MNCO，得线面平行；（2）证明,,OAOBOC两两垂直，然后以1,,OBOBOC为,,xyz轴建立空间直角坐标系，设1OB=，写出各点坐标，求出两平面的法向量，利用法向量夹角的余弦得二面角的余弦．【详解】证明：（

1）设1AB与1AB交于点O，连接CO，ON，因为四边形11ABBA是平行四边形，所以O是1AB的中点，N是11AB的中点，所以1//ONAA，112ONAA=．又因为M是1CC的中点，所以1//CMAA，112

CMAA=．所以//CMON且CMON=，所以四边形CMNO是平行四边形，所以//MNCO．又因为MN平面1CAB，CO平面1CAB，所以直线//MN平面1CAB．（2）因为1ABBB=，所以平行四边形11ABBA是菱形，所以11BAAB⊥．又因为1CACB=，所以1COAB

⊥．又1CACB⊥，且O是1AB的中点，所以AOCO=．又因为BABC=，所以BOCBOA≌，所以BOCBOA=，故OCOB^，从而OA，OB，OC两两垂直．以O为坐标原点，OB，1OB，OC所在直线分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系Oxyz−，设1OB=，因为160ABB

=，1BABB=，所以1ABB△是等边三角形，所以30,,03A−，130,,03B，30,0,3C，(1,0,0)B．11330,,33ACAC==，1131,0,3CB

CB==−．因为OA，OB，OC两两垂直，所以OB⊥平面1ABC，所以(1,0,0)OB=是平面1ABC的一个法向量；设(,,)mxyz=是平面111ABC的一个法向量，则111100mACmCB

==，即33033303yzxz+=−=，令3z=，得1x=，3y=−，所以(1,3,3)m=−r，所以17cos,77OBm==．所以平面1ABC和平面111ABC所成的角（锐角）的余弦值为77．【点睛】本题考

查证明线面平行，考查用空间向量法求二面角．掌握线面平行的判定定理是证明线面平行的关键．立体几何中求空间角，常常是建立空间直角坐标系，用向量法求解，这样直接用计算方法求解可以减少思维量，但对运算求解能力有一

定的要求．20.为了推行“智慧课堂”教学，某老师分别用传统教学和“智慧课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期屮考试后，分别从两个班级屮各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于

70分者为“成绩优良”.分数)5059，)6069，)7079，)8089，90100，甲班频数56441乙班频数13655（1）由以上统计数据填写下面22列联表，并判断“成绩优良与教学方式是否有关”?甲班乙班总计成绩优良成绩不优良总

计附：22()()()()()nadbcKacbdabcd−=++++.临界值表2()PKk0.100.050.0250.010k2.7063.8415.0246.635（2）现从上述40人中，学校按成绩是否

优良采川分层扣样的方法扣取8人进行考核.在这8人中,记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列及数学期望.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）利用频数与频率，求解两个班的成绩，得到2×2列联表中的数据，求出2K的观测值，判断即

可；（2）由表可知在8人中成绩不优良的人数为158340=，则X的可能取值为0，1，2，3，分别求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．试题解析：（1）甲班乙班总计成绩优良91625成绩不优良11415总计202040根据22列联表中的数据，得2

K的观测值为()2409416115.2275.02425152020k−=∴在犯错概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.（2）由表可知在8人中成绩不优良的人数为158340=，则X的

可能取值为0，1，2，3.()31131533091CPXC===；()2111431544191CCPXC===；()12114215662455CCPXC===；()3431543455CPXC===.∴X的分布

列为：X0123P33914491664554455所以()334466436401239191455455455EX=+++=.点睛：数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型

随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望.21.已知椭圆22221(0)xyabab+=的左右焦点分别为1F和2F，由4个点(,)Mab−

、(,)Nab、2F和1F组成了一个高为3，面积为33的等腰梯形．（1）求椭圆的方程；（2）过点1F的直线和椭圆交于两点A、B，求2FAB面积的最大值．【答案】（1）22143xy+=（2）3【解析】【分析】（1）由梯形的条件得3b=，223332ac+=，求得a，b后

得椭圆方程；（2）直线的斜率不能为0，设直线方程为1xmy=−，直线与椭圆交于()11,Axy，()22,Bxy．直线方程代入椭圆方程化简后应用韦达定理得1212,yyyy+，而2FAB的面积为121212FFyy−，代入1212,yyyy+后，变形整理，令211tm=+换元后由函数单调性可得面

积的最大值．【详解】解：（1）由条件，得3b=，且223332ac+=，所以3ac+=．又223ac−=，解得2a=，1c=，所以椭圆的方程22143xy+=．（2）显然，直线的斜率不能为0，设直线

方程为1xmy=−，直线与椭圆交于()11,Axy，()22,Bxy．联立方程221431xyxmy+==−，消去x得，()2234690mymy+−−=，因为直线过椭圆内的点，无论m为何值，直线和椭圆总相交．∴122634myym+=+，122934yym=−+212121212

FABSFFyyyy=−=−()()2221212222211412413413mmyyyymm++=+−==+++()2214211391mm=++++．令211tm=+，设19ytt=+，易知10

,3t时，函数单调递减，1,3t+函数单调递增，所以当211tm=+=即0m=时，min109y=，2FABS取最大值3．【点睛】本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交中的面积问题．直线与椭圆相交，常常采用设而不求思想求解．即直线方程为1xmy

=−，直线与椭圆交于()11,Axy，()22,Bxy，直线方程与椭圆方程联立后消元应用韦达定理得1212,yyyy+（或者1212,xxxx+）代入题中其他条件计算化简．22.已知函数21()2ln(2)2fxxaxax=+−+．（1）当1a=时，求函数()fx

的单调区间；（2）是否存在实数a，使函数34()()9gxfxaxx=++在(0,)+上单调递增？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()fx的单调递增区间为(0,1和)2,+，单调递减区间

为()1,2（2）存在,724a【解析】【分析】（1）求出导函数'()fx，由'()0fx确定增区间，由'()0fx确定减区间；（2）求出导函数'()gx，假设存在，则'()0gx在(0,)+上恒成立，而不等式恒成立，又可用分离参数法转化为求函数的最值．【详解】（1）当1a=时，21()

2ln3(0)2fxxxxx=+−．所以2()3fxxx=+−=232(2)(1)xxxxxx−+−−=令()0fx，则01x或2x，令()0fx，则12x，所以()fx的单调递增区间为(0,

1和)2,+，单调递减区间为()1,2（2）存在724a，满足题设，因为函数34()()9gxfxaxx=++=23142ln229xaxxx+−+所以224()23agxxxx=+−+要使函数()gx在0,（+）上单调递增，224()20,(0,)

3agxxxxx=+−++即3243660xxxa+−+，(0,)x+324366xxxa+−−，(0,)x+令32436()6xxxhx+−=，(0,)x+，则2()21(21)(1)hxxxxx=+−=−+，所以当10,2x时

，()0hx，()hx在10,2上单调递减，当1,2x+时，()0hx，()hx在1,2+上单调递增，所以12x=是()hx的极小值点，也是最小值点，且17224h=−，∴324366xxx+−

−在(0,)+上的最大值为724．所以存在724a，满足题设．【点睛】本题考查研究函数的单调性，研究函数的最值．一般情况下，我们用'()0fx确定增区间，用'()0fx确定减区间，另外用导数研究不等式恒成立问题，都是转化为求函数的最值，为此分离参数法

用得较多．