【文档说明】湖北省七市州2024-2025学年高三上学期联合统一调研测试数学试题 Word版含解析.docx，共(22)页，1.740 MB，由小赞的店铺上传

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2024届湖北省七市州高三年级联合统一调研测试数学限时120分钟满分150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2230,log1A

xxxBxx=−=∣∣，则()AB=Rð（）A.()0,2B.(0,2C.(1,2D.()2,32.已知复平面内坐标原点为O，复数z对应点,Zz满足()43i34iz−=+，则OZ=（）A.45B.34C.1D.23.已知正方形ABCD的边长为2，若B

PPC=，则APBD=（）A.2B.2−C.4D.4−4.已知椭圆22:1xCym+=(0)m，则“2m=”是“椭圆C的离心率为22”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.过点()1,1P−的直线l与圆22:410Cxyx++−=交于,AB

两点，则AB的最小值为（）A.23B.15C.3D.26.已知公差为负数的等差数列na的前n项和为nS，若347,,aaa是等比数列，则当nS取最大值时，n=（）A.2或3B.2C.3D.47.若

ππcos,,tan223sin−=−，则πsin23−=（）A.46718+−B.46718−C.427318+−D.427318−8.能被3个半径为1的圆形纸片完全覆盖的最大的圆的半径是（）A.263B.62C.

233D.3132+二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知,AB为随机事件，()()0.5,0.4PAPB==，则下列结论正确的有（）A.若,AB为互斥事件，则()0.9PAB+=B.

若,AB为互斥事件，则()0.1PAB+=C.若,AB相互独立，则()0.7PAB+=D.若()0.3PBA=∣，则()0.5PBA=∣10.如图，棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，E为棱1DD的中点，F为正方形11CCDD内一个动点（包括边界），且1BF∥平面1AB

E，则下列说法正确的有（）A.动点F轨迹的长度为2B.三棱锥11BDEF−体积的最小值为13C.1BF与1AB不可能垂直D.当三棱锥11BDDF−的体积最大时，其外接球的表面积为25π211.我们知道，函数()yfx=的图象关于坐标原点成中心

对称图形的充要条件是函数()yfx=为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数()yfx=的图象关于点(),Pab成中心对称图形的充要条件是函数()yfxab=+−为奇函数.已知函数()422xfx=+，则下列结论正确的有（）A.函数()fx的值域为(0,2B

.函数()fx的图象关于点()1,1成中心对称图形C.函数()fx的导函数()fx的图象关于直线1x=对称D.若函数()gx满足()11ygx=+−为奇函数，且其图象与函数()fx的图象有2024个交

点，记为()(),1,2,,2024iiiAxyi=，则()202414048iiixy=+=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()πsin(0)3fxx=+满足()2π3fxf

„恒成立，且在区间π,π3上无最小值，则=__________.13.已知双曲线22:13yCx−=的左右顶点分别为,AB，点P是双曲线C上在第一象限内的点，直线,PAPB的倾斜角分别为,，则tantan=__________；当2tantan

+取最小值时，PAB的面积为__________.14.已知函数()211ln39fxaxbx=+−+有零点，当22ab+取最小值时，ba的值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写

出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）如图，四棱锥PABCD−的底面是矩形，2,22,ABBCPBC==是等边三角形，平面PBC⊥平面,,ABCDOF分别是,BCPC的中点，AC与BD交于点E.（1）求证：BD⊥平面PAO；（2）平面OE

F与直线PD交于点Q，求直线OQ与平面PCD所成角的大小.16.（15分）某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学（其中男生30名，女生

30名）在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：一周参加体育锻炼次数01234567男生人数12456543女生人数45564321合计5791110864（1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”.请完成

以下22列联表，并依据小概率值0.1=的独立性检验，判断能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系.性别锻炼合计不经常经常男生女生合计（2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题.以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“

极度缺乏锻炼”的人数为X，求()EX和()DX；（3）若将一周参加体育锻炼的次数为6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男

生人数为Y，求Y的分布列和数学期望.附：()()()()22(),nadbcnabcdabcdacbd−==+++++++0.10.050.01x2.7063.8416.63517.（本小题15分）已知各项均不为0的数列

na的前n项和为nS，且1111,4nnnaaaS++==.（1）求na的通项公式；（2）若对于任意*,2nnnSN…成立，求实数的取值范围.18.（17分）如图，O为坐标原点，F为抛物线22yx=的焦点，过F的直线交抛物线于,A

B两点，直线AO交抛物线的准线于点D，设抛物线在B点处的切线为l.（1）若直线l与y轴的交点为E，求证：DEEF=；（2）过点B作l的垂线与直线AO交于点G，求证：2||ADAOAG=.19.（17分）微积分

的创立是数学发展中的里程碑，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.对于函数()()1(0),fxxfxx=在区间,ab上的图像连续不断，从几何上看，定积分1badxx便是由直线,,0xaxby===和曲线1()(0)yfxxx==所围成的区域（称为曲边梯形

ABQP）的面积，根据微积分基本定理可得1lnlnbadxbax=−，易知曲边梯形ABQP的面积小于梯形ABQP的面积，即ABQPABQPSS曲边梯形梯形，代入数据，进一步可以推导出不等式：211lnlnaba

bab−−+.（1）请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：lnln2ababab−+−；（2）已知函数()2lnFxmxnxxx=++，其中,mnR.（i）证明：对任意两个不相等的正数12,xx，曲线

()yFx=在点()()11,xFx和点()()22,xFx处的切线均不重合；（ii）当1n=−时，若不等式()()2sin1Fxx−…恒成立，求实数m的取值范围.湖北省七市州高三年级联合统一调研测试本次考试物理方向清北线136分，985线1

11分，211线105分，一本线87分，本科线67分：历史方向清北线122分，985线97分，211线90分，一本线74分，本科线44分1.B一元二次不等式的解法+对数不等式的解法+集合的交､补运算解法一基本量法因为2230|03,|lo

g1{|2}AxxxxxBxxxx=−===∣，所以()|2,|02BxxABxx==RR痧剟，故选B.解法二排除法因为2B，所以R2Bð，又2A，所以()R2ABð.故排除A，D；因为12B，所以R12Bð，又12A，所以()R12ABð，故排除C.

故选B.2.C复数的几何意义+复数的模解法-基本量法由题意，得()()()()34i43i34i25ii43i43i43i25z+++====−−+，（题眼）所以复数z在复平面内对应的点为()0,1Z，所以()0,1OZ=，所以22011OZ

=+=，故选C.解法二模的几何意义法由题意，得34i43iz+=−，（题眼）所以222234i34i34143i43i4(3)OZz+++=====−−+−，故选C.3.B平面向量的数量积+向量的线性运算解法一

基向量法由题意知点P为BC的中点，所以()()()2111222APBDABBPADABABBCADABABADABBCADBCAB=+−=+−=−+−22221122222ABBC=−+=−+=−，故选B.解法二坐标法如图，以B为原点建立平面直角坐标系，则()()()(

)0,0,0,2,2,2,1,0BADP，所以()()1,2,2,2,APBD=−=所以()12222APBD=+−=−，故选B.4.A充分条件与必要条件的判断+椭圆的几何性质由12121emm=−=，得2;m=由21201emm=−=

，得12m=.（易错警示：只考虑焦，点在x轴上的一种情形，从而编解）所以“2m=”是“椭圆C的离心率为22”的充分不必要条件，故选A.5.A直线与圆的位管关系圆C的标准方程为22(2)5xy++=，所以圆C的圆心()2,0C−，半径5r=.因为22(12)125−++

=，所以点P在圆C内，连接CP，则当ABCP⊥时，AB取得最小值.（题眼）（知识拓展：过圈内一点的弦最长为固的直径，最短为以流，点为中点的弦）因为22(12)12CP=−++=，所以22min||2||23ABrCP=−=，故选A.6.B等差数列的通项公式与

前n项和公式+等比中项的性质+数列中的最值问题设等差数列的公差为(0)dd，则由347,,aaa是等比数列，得()()()2111326adadad+=++，（提示：等比中项性质的应用）整理得()1230dad+=，所以123ad+=0，即132ad=−，（题眼）所以()2

2112(2)2222nnnddSnadndnnd−=+=−=−−.因为0d，（易错提示：忽略题设条件中该等差数列的公差为负数，导数错解）所以当2n=时，nS取得最大值2d−，故选B.7.D同角三角函数的基本关系+二倍角公式+两角差的正弦公式由co

stan3sin=−，得sincoscos3sin=−，（方法战巧：对于化简求值问题，当式中含有切与弦的混合式时，往往化切为弦）结合22sincos1+=，整理得3sin1=，所以1sin3=，（题眼）因为ππ,22−，（提醒：在利用同角三角函

数的基本关系求值时，一定要注意角的范围）所以222cos1sin3=−=，所以2427sin22sincos,cos212sin99===−=，所以πππ421734273sin2sin2coscos2sin333929218−

−=−=−=，故选D.8.C圆与圆的位置关系+利用函数的单调性求最值第1步：根据圆的对称性作出图形要求出被完全覆盖的最大的圆的半径，由圆的对称性知只需麦虑三个圆的圆心拽成等边三角形的情况，（题眼）设三个圆的圆心分别

为123,,OOO，被覆盖的圆的圆心为O，如图所示，123OOO为等边三角形，设圆1O与圆2O的交点分别为,AB，连接AB并延长交圆O，于点C，交12OO于点H.解法一函数法第2步：利用函数的单调性求圆0的最大半径连接11,OAOO，设13OOOOx==，则13,22x

xOHOH==，所以22211314HAOAOHx=−=−，所以23124xOAOHHAx=+=+−.由231040xx−，得2303x，（提醒：求参数范围时，注意除需考虑函数的定义域外

，还需结合实际）又331OCOOOCxOA=+=+，所以OA为目O的最大半衪.设()232310243xfxxx=+−，则()22433243xxfxx−−=−.由()fx=0，得33x=，所以当303x时，()0fx，函数()fx单调递增：

当32333x时，()0fx，函数()fx单调递减.所以max323()33fxf==，即被完全覆盖的最大的圆的半径为233，此时1223311OOOOOO===，即圆123,,OOO中的任一圆圴经过另外两圆的圆心.解法二三角函

数法第2步：利用三角函数知识求圆O的最大半径连接11,OAOO，设1AOH=，则111coscos,sinsinOHOAAHOA====，所以13cos2cos,33OHOOOO===，则332c

oscos1,sin33OCOOOCOAOHHAOC=+=+=+=+，所以OA为圆O的最大半径.因为cos23π23sinsin(3633OA=+=+„，（方法：利用三角函数求最值时，需利用辅助角公式化为()si

n(yAxB=++或()cos)yAxB=++的形式，然后利用三角函数的有界性求解）所以当ππ62+=，即π3=时，OA取得最大值233，即被完全覆盖的最大的圆的半径为233，此时1223311OOOOOO===，即圆123,,OOO中的任一圆均经过另外两圆的圆心.9.ACD互斥

事件的概率+对立事件的概率+条件概率+独立事件的概率乘法公式对于A，根据互斥事件的加法公式可得，()()()0.50.40.9PABPAPB+=+=+=，故A正确；对于B，若,AB为互斥事件，则()0PAB=，所以()()()()1()1

01PABPABPABPABPAB+====−=−=，故B不正确；对于C，由于,AB是相互独立事件，所以()()()PABPAPB=，所以()()()()0.50.40.50.40.7PABPAPBPAB+=+−=+−=，故C正确；对于D，由()()()()0.5PABPABPBAPA=

==∣0.40.7=，故C正确；对于D，由()()()()0.5PABPABPBAPA===∣0.3，得()0.15PAB=，所以()()()0.40.15()0.5()1()0.5PBAPBPABPBAPAPA−−====−∣故D正确.综上所述，选ACD.

10.ABD立体几何中的轨迹问题+三棱锥的体积公式+线面位置关系的判定+棱锥的外接球问题如图，对于A，分别取111,CDCC的中点,MN，连接11,,BMBNMN，则由正方体的性质可得1BN∥1,AEMN∥1AB.因为1,MNBN平面1ABE，1

1,ABAE平面1ABE，所以MN∥平面11,ABEBN∥平面1ABE.又1,MNBN平面11,BMNMNBNN=，所以平面1BMN∥平面1ABE，所以点F的运动轨迹为线段MN，（题眼）即动点F轨迹的长度为2MN=，故A

正确.对于B，1,,11,1233BDEFDEFDEFVSBCS−==，易知当F与M重合时，1DEFS取得最小值，即()1min111122DEFS==，所以()1,min211323BDEFV−==，故B正确.对于C，当F为线段MN

的中点时，因为11MBNB=，所以1BFMN⊥.又MN∥1AB，所以11BFAB⊥，故C不正确.对于1,,11,12D,33BDDFDDFDDFVSBCS−==，易知当F与N重合时，,DDFS取得最大值，连接1,DNDN，所以()1111m

axBDDFBDDNVV−−=.由正方体的性质知111BDDD⊥，所以11BDD为直角三角形，易知点N在平面11BDD上的投影为11RtBDD的斜边1BD的中点，设为G，连接NG，则三棱锥11BDDN−，即三棱锥11NBDD−

的外接球的球心O在直线NG上，（关键：求解多面体的外接球相关问题，确定球心位置是求解问题的关揵）设球O的半径为R，易知123,2BDNG==，则由222(2)(3)RR+=，（提示：棱锥外接球的球心可能在校锥内，也可能在棱锥外）得524R=，所以球O的表面积2254ππ2SR

==，故D正确.综上所述，选ABD.11.BCD函数的值域+函数图象的对称性对于A，因为222x+，所以40222x+，所以函数()fx的值域为()0,2，故A不正确；对于B，由题意，()422xfx=+，令()()1411122xFxfx+=+−=−

+，显然函数()Fx的定义域为R，关于原点对称，且()()1114422112022222112xxxxxFxFx++−++−=−+−=+−=++++，所以函数()14122xFx+=−+是奇函数，所以函数()fx的图象关于点()1,1中心对称，故B正确；对于C，因为()()2

22242ln242ln22ln2242422122xxxxxxxxfx−=−=−=−+++++，（题眼）（提示：()lnxxaaa='）所以()()22222222222ln22ln22ln22221222122xxxxxxx

xxfxfx−+−−+−−=−=−=−=++++++，所以函数()fx的导函数()fx的图象关于直线1x=对称，故C正确；对于D，因为函数()gx满足()11ygx=+−为奇函数，所以函数()gx的图象关于点()1,1中心对称，又函数()fx的图象关于点

()1,1中心对称，所以()()()20412204122041iiixyxxxyyy=+=+++++++202420244048=+=，故D正确.故选BCD.12.14正弦函数的图象与性质由题意知()2πππ2π3

32kk+=+Z，所以()134kk=+Z①.因为函数()fx在区间π,π3上无最小值，所以()πππ2π,332π3ππ2π32kkk+−++Z…„，解得()576226kkk−+Z剟②.又0，所以由①②可得，14=.13.326直线与双曲

线的位置关系+斜率公式由题意知()()1,0,1,0AB−.设()()0000,1,0Pxyxy，则220013yx−=，所以220033yx=−，（题眼）所以00tantan1PAPBykkx==+.()20020031311xyxx−==−−，（知识拓展：设

点,MN为双曲线()222210,0xyabab−=上关于原点对称的两点，点P是双曲线上异于,MN的任意一点，若直线,PMPN的斜率均存在，则必有22PMPNbkka=）()()()()220000000222000003131313122tantan2311111P

APBxxyxxyykkxxxxx−−−−+=+=+===+−−−−.令031xt−=，则()0123txt+=，所以222tantan33113tt+==+−.222299933,82281191888tttttt==

+−−++−−+（难点：通过换元转化表达式，从而利用二次函数的性质求出最小值）则当118t=，即8t=时，2tantan+取得最小值，此时000113,26,2262622PABxySABy==

===.14.24函数的零点+利用导数求函数的最值+点到直线的距离公式第1步：根据零点的定义结合对数的运算将原问题转化为点到直线的距离问题设函数()fx的零点为t，则211ln039atbt+−+=，即()191e0*3ratb++−=.

设(),Pab为直线191:e3Rltxy+−=0上任意一点，原点()0,0O到直线l的距离1292e19rdt+=+.连接OP，则22OPabd=+…，第2步：换元，构造函数求22ab+的最小值令

21193tmm+=…，（提醒：在换元时，一定要结合条件求出新元的取值范围）则()()()2e1e,mmmdgmgmmm−===，当113m时，()0gm，函数()gm单调递减，当1m时，()0gm，函数()gm单调递增，所以(

)min()1egmg==，即22ab+的最小值为22e,ab+的最小值为2e，第3步：根据最小值成立的条件求结果此时2119t+=，得223t=，所以直线l的斜率22k=，所以124bak=−=，此时22ee,33ab==.15.线面垂直与平行的判定定理+直线与平面所成的角+空间向量

的应用解：（1）第1步：由面面垂直的性质证POBD⊥因为PBC为等边三角形，O是BC的中点，所以POBC⊥，（方法技项：当条件中出现等边三角形时，可利用等边三角形三线合一的性质推出线线垂直）又平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC平面ABCDBC=，所以PO⊥平面A

BCD.又BD平面ABCD，所以POBD⊥.第2步：利用向量法证AOBD⊥()22114422BDAOBCBABCBABCBA=+−=−=−=0，所以BDAO⊥，（提醒：注意利用向量相关知识证线线垂直）所以AOBD⊥.第3步：由线面垂直的判定定理证

结论又,POAO平面,PAOPOAOO=，所以BD⊥平面PAO.（2）第1步：利用线面平行的判定定理与性质定理证Q是PD的中点因为,EO分别为,BDBC的中点，所以EO∥DC，（方法技巧：当条件中出现中点时，可利用三角形中

位线定理推出线线平行）又EO平面,PDCDC平面PDC，所以EO∥平面PDC，（7分）又平面OEF平面PDCQF=，所以EO∥QF，所以QF∥DC，因为F是PC的中点，所以Q是PD的中点.解法一第2步：建立空间直角坐标系

，写出相关点的坐标与相关向量的坐标易知,,OEOCOP两两垂直，以O为原点，,,OEOCOP所在直线分别为,,xyz轴建立如图所示的空间直角坐标系，（提醒：建立空间直角坐标系时，要抓住空间几何图形的结构特征，充分利用图形

中的垂直关系（或在图形中构造垂直关系））则()()()()20,0,0,0,0,6,0,2,0,2,2,0,1,2OPCDQ，62，所以()()2,0,0,0,2,6CDPC==−.第3步：求出平面

PCD的一个法向量设平面PCD的法向量为(),,nxyz=，由00CDnPCn==，得20260xyz=−=，取()0,3,1n=，第4步：利用向量的夹角公式求结果261,,2

2OQ=，易知π0,2，则62sincos,223nOQ===，（提示：线面角的正弦值是该直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值的绝对值）所以π4=.解法二第2步：根据定义作出线面角如图，过点O作PC的垂线，垂

足为H，连接QH.（关键：求斜线与平面所成的角的关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一，点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直的性质来确定垂足的位置）易知DCBC⊥，因为PO⊥平面,ABCD

DC平面ABCD，所以PODC⊥.又BC平面,PBCPO平面,PBCPOBCO=，所以DC⊥平面PBC，所以平面PBC⊥平面PCD，且平面PBC平面PCDPC=，故易得OH⊥平面PCD，故真线OQ与平面PCD所成的角

.OQH=（题眼）第3步：解直角三角形求结果在直角三角形OHC中，π,23OCHOC==，所以62OH=.因为DC⊥平面,PBCPC平面PBC，所以DCPC⊥，又QF∥DC，所以QFPC⊥.在直角三角形QFH中，21,2QFFH

==，所以62QH=.（12分）在直角三角形OQH中，62OHQH==，所以π4=.16.独立性检验+离散型随机变量的期望与方差+二项分布与超几何分布解：（1）第1步：补全22列联表完成列联表如下.性别锻炼合计不经常经常

男生72330女生141630合计213960第2步：根据公式求2的值零假设为0H：性别因素与学生体育锻炼的经常性无关.根据列联表中的数据计算，得22260(7162314)60(730)1403.5903030213

93030213939−===0.1706x=.第3步：对照临界表得结论根据小概率值0.1=的独立性检验，推断0H不成立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1.（2）第1步：判断X服从二项分布因为学校总的学生人数

远大于所抽取的学生人数，故X近似服从二项分布，随机抽取1名学生为“极度缺乏锻炼”者的概率516012p==，则120,12XB，第2步：根据公式求出期望与方差故()1520123EX==，()

1115520121236DX==.（提示：若(),Bnp，则()Enp=，()()1)Dnpp=−（3）第1步：根据超几何分布求出相应概率由题意可知，10名“运动爱好者”中有7名男生，3

名女生，Y服丛超几何分布，（题眼）则()()()03127373331010CCCC12170,1,2C120C12040PYPYPY========()21307373331010CCCC21321357,3C12040C12024PY=======，第2步：列分

布列故所求分布列为Y0123P11207402140724第3步：求数学期望()372.1.10EY==（另解：()1721701232.1120404024EY=+++=）17，根据递推关系求数列的通项公式+等差数列的定义及通项公式+等差数列的前项和公式+根据不等式恒成立求参数的取

值范围解：（1）第1步：根据na与nS之间的关系，结合已知递推关系证数列的奇数项与偶数项分别成等差数列由题意，141nnnSaa+=+，当2n…时，1141nnnSaa−−=+，两式相减得()()1142nnnnaaaan+−=−….因为0na，故()1142nnaan+−

−=…，所以1321,,,,naaa−及242,,,,naaa均为公差为4的等差数列.第2步：由递推关系求2a当1n=时，由11a=及12114aaS+=，得23a=，第3步：根据等差数列的通项公式求na所以()()211412211nann−=+−=−−，()()2341221nan

n=+−=−，所以21nan=−.（2）第1步：根据等差数列的前n项和公式转化不等式由（1）及已知，得2nSn=，所以对任意2*,2nnnN…恒成立.第2步：构造数列，利用数列的增减性求出新数列的最大值设22nnnb=，则222111(1)21222nnnnnnnnnbb++++−++−=−

=.（题眼）当1212n−+，即1,2n=时，110,nnnnbbbb++−；（提酷：数列是一种特珠的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值）当12n+，即*3,nnN…时，110,nnnnbbbb++

−.所以12345bbbbb，故()3max98nbb==，第3步：求实数的取值范围所以实数的取值范围是9,8+.18.直线与抛物线的位置关系解：易知直线AB的斜率不为1

0,,02F，设直线AB的方程为12xmy=+，（方法技坅：如果直线很显然不与x轴平行或重合，但有可能与x轴垂直时，可设直线方程为xmyt=+，避免讨论）()()1122,,,AxyBxy，由2122xmyyx=+=，得2210ymy−−=，21212Δ

44021myymyy=++==−.（易错警示：在处理直线与圖锥曲线的相交问题中，易忽略判别式的作用）（1）第1步：利用导数的几何意义求出直线l的方程，得点E的坐标不妨设A在第一象限，B在第四象限，由2yx=−，得12yx=−，22222

,0yxy=，l的斜率为22221112yxy−=−=，l的方程为()2221yyxxy−=−，即2212yyxy=+，（二级结论：点()00,Pxy是抛物线()220ypxp=上一点，过点P作拋物线的切线，切线方程为())00yypxx=+令0x=，得

22yy=，即20,2yE.第2步：求点D的坐标211122,1,yxyy==−直线OA的方程为121122yyxxyxxy===−，令12x=−，得2yy=，即21,2Dy−.第3步：利用向量知识证结论又211,0,,222yFDEEF==−

，即DEEF=，得证.（2）解法一第1步：求点G的纵坐标由（1）知l的垂线的方程为()222yyyxx−=−−，即222212yyyxy=−++，由22222122yyyxyyyx=−++

=−，得G的纵坐标()2222Gyyy=+.（题眼）第2步：根据四点共线转化所证等式,,,AODG四点共线，要证明2||ADAOAG=，只需证明22111Gyyyyy−=−（*）.（关键：根据四点共线将所证问题转化为证明点的坐标间

的关系）第3步：利用根与系数的关系化简证得结论()2222221222211yyyyyy+−=+=()()222211221222112Gyyyyyyyyy+−=−+−=()*式成立，即2||ADAOAG=，得证.解法二第1步：

由DB∥x轴得相关线段比连接DB，由（1）知，()2221,,,2DyBxy−，则DB与x轴平行，AFAOABAD=①第2步：由DF∥BG得相关线段比连接DF，则DF的斜率为221122yy=−−−，易知l的垂线BG的斜率为2y

−，则DF与BG平行，AFADABAG=②第3步：证结论由①②得AOADADAG=，即2||ADAOAG=，得证.19.不等式的证明+导数的几何意义+根据不等式恒成立求参数的取值范围解：（1）第1步：在曲线()()10yfxxx==上取一点作曲线的切线在曲线()()10yfxxx=

=上取一点2,,2abMab++过点2,2abMab++作曲线()()10yfxxx==的切线，分别交,APBQ于12,MM，第2步：根据面积关系证明不等式因为21ABQPABMMSS曲边梯形梯形.所以()1211lnln222baAMBMAB−+

=.()2baab−+，即lnln2ababab−+−.（2）（i）解法一第1步：利用导数的几何意义求两条切线的方程由题意得()2ln1Fxmxxn=+++，不妨设120xx，则曲线()yFx=在点()()11,xF

x处的切线()()()1111:lyFxFxxx−=−，即()()()1111yFxxFxxFx=+−，（方法技项：设()00,Pxy是曲线()yFx=上的一点，则以P为切点的切线方程为()()000yyFxxx−−=）同理可得，曲线()yFx=在点()()22,xFx处的切线()()

()22222:lyFxxFxxFx=+−.第2步：利用反证法求12,xx的等量关系假设1l与2l重合，（方法技巧：当用直接证法证明比较困难，尤其是证两条直线是异面直线或重合关系时，常采用反证法）则

()()()()()()12111222FxFxFxxFxFxxFx=−=−，化简可得()()212121lnln201(0)xxmxxmxxm−+−=+=−，两式消去m可得212121lnln20xx

xxxx−−−=+，得212121lnln2xxxxxx−+=−.（题眼）第3步：利用（1）中结论证结论由（1）的结论知212121lnln2xxxxxx−+−，与上式矛盾，所以对任意两个不相等的正数12,xx，曲线()yFx=在点(1x，())1Fx和点()()22,

xFx处的切线均不重合.解法二前面解法同解法一，得到212121lnln20xxxxxx−−−=+，即2212111ln201xxxxxx−−=+.设()211xttx=，（方法技巧：换元构造法在处理多变

元函数问题中应用较多，就是用新元去代替该函数中的部分（或全部）元，通过换元可以使变量化多元为少元，即达到减元的目的）()1ln2,11tgtttt−=−+，则()22214(1)0(1)(1)tgttttt−=−=++，所以()gt在()1,+上单调递增，所以()11ln12011gt−

−=+，与()0gt=矛盾.所以对任意两个不相等的正数12,xx，曲线()yFx=在点(1x，())1Fx和点()()22,xFx处的切线均不重合.（ii）第1步：构造函数()()()2sin1hxFxx=−−，取特殊值求出m的取值范围由题意，当

1n=−时，不等式()()2sin1Fxx−…恒成立，设()()2ln2sin1hxmxxxxx=−+−−，则()0hx…在(0，+）上恒成立，（方法枝巧；作差构造法是处理导数问题的最基本､最常用的方法之一.此法一般构造函数()(

)()hxfxgx=−，进而转化为求函数min()0hx…（或max()0hx„），即求函数的最值问题）所以()10h…，得10m−…，即1m….（方法技巧：先探求必要条件，再验证充分性，这种方法指对某些“含参恒成立”问题，可以尝试通过取函数定义域

中某一个或多个数，得到一个必要条件，再验证其充分性.当然，用这种先探必要条件的方法求出来的参数范围不一定就是实际范围，但是可以框定大前提，缩小参数的讨论范围，在一定程度上可以減少分类讨论的类别.对于恒成立求参数范围问题，若其他方法不好使，不妨尝试一下

）第2步：利用放缩法转化不等式下证：当1m…时，()0hx…在()0,+上恒成立.因为1m…，所以()()2ln2sin1hxxxxxx−+−−….第3步：构造函数，利用导数研究新函数的单调性，求出最值证结论设()()2ln2

sin1Hxxxxxx=−+−−，则()()2ln2cos1Hxxxx=+−−.①当)1,x+时，由()22,ln0,2cos12xxx−−−厖?知()0Hx…恒成立，所以()Hx在)1,

+上单调递增，所以当)1,x+时，()()10HxH=….②当()0,1x时，设()()2ln2cos1Gxxxx=+−−，则()()122sin1Gxxx=++−.当()0,1x时，()12sin12,0xx−−…，则()0Gx在()0,

1上恒成立，所以()()GxHx=在()0,1上单调递增.所以当()0,1x时，()()10HxH=，所以()Hx在()0,1上单调递减，所以当()0,1x时，()()10HxH=.综上所述，实数m的取值范围是)1,+.