【文档说明】广东实验中学2021届高三上学期第一次阶段考试（9月） 数学答案.pdf，共(6)页，872.813 KB，由小赞的店铺上传

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广东实验中学2020-2021学年高三第一次阶段考试参考答案数学1.解：∵，∴．故选：B．2．解：或，即由sin2α＝不一定得到tanα＝2，反之，由tanα＝2一定得到sin2．∴“sin2α＝”是“tanα＝2”的必要不充分条件．故选：B．3．解：由x1+x2+x3+x4+x5＝2

50，得，又，∴，∴y1+y2+y3+y4+y5＝．故选：D．4．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，1），故z＝的最小值为，命题P为真命题；直线x＝2的倾斜角为正确，故命题q为真命题．则p∧q为真命题；（￢p）∧

（￢q）为假命题；（￢p）∧q为假命题；p∧（￢q）为假命题．故选：A．5．解：由题意得，两个单位向量，因为（﹣2）⊥，所以（﹣2）•＝0，所以＝2•＝1，所以cos＜，＞＝＝，又因为＜，＞∈[0，π]

，所以＜，＞＝，故选：B．6．解：∵α∈（0，），∴α+∈（，），又cos（α+）＝，∴sin（）＝．∵β∈（﹣，0），∴﹣∈（，），又cos（﹣）＝，∴sin（﹣）＝＝．∴cos（α+）＝cos[（

）﹣（）]＝cos（）cos（）+sin（）sin（）＝．故选：C．7．解：设P1B＝a，∠P1AB＝θ，则CP1＝1﹣a，∠P1P2C、∠P3P2D、∠AP4P3均为θ，∴tanθ＝＝，又tanθ＝＝＝，∴CP2＝＝﹣2．而tan

θ＝＝＝＝，∴DP3＝2a﹣1．又tanθ＝＝＝＝，∴AP4＝＝﹣4．依题设1＜AP4＜2，即1＜﹣4＜2，∴5＜＜6，即有＜a＜，则＜tanθ＜，故选：B．8．解：，x＞0，易得，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x＞e时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x＝e时，函数取得最

大值f（e）＝，，x＞0，当0＜x＜n时，g′（x）＜0，函数单调递减，当x＞n时，g′（x）＞0，函数单调递增，当x＝n时，函数取得最小值g（n）＝（）n，由y＝f（x）与函数y＝g（x）的图象分别位于直线y＝1的两侧，可知＜1且（）n＞1，解可得，n＜e，n∈N*，故满足条

件的集合{1，2}故选：A．9．解：已知函数＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），x∈R，则A、﹣2≤f（x）≤2正确；B、当2x﹣＝kπ，k∈Z，即x＝+，k∈Z，f（x）在区间（0，π）上只有

2个零点，则f（x）在区间（0，π）上只有1个零点错误；C、f（x）的最小正周期为π，正确；D、当x＝时，函数＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣）＝2，x∈R，所以x＝为为f（x）图象的一条对称轴，正确．故选：ACD．10．解：由m，

n是不同的直线，α，β是不同的平面，知：在①中，若m、n互为异面直线，m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β，①是真命题；α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n平行或异面，故错误；在②中，m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β，或α与β相交或平行，故②错误；在③中n⊥α，m∥α，则n⊥m，故③是真命

题；在④中，α⊥β，m⊥α，n∥m，则n∥β，也可能n⊂β，故④错误．故选：AC．11．解：设{an}的首项为a1，公差为d，由S17＝S18，即17a1+d＝18a1+d，得a1＝﹣17d，∴an＝（n﹣18）d，Sn＝＝d，所以a18＝0，S35＝0．a1

7﹣a19＝﹣d﹣d＝﹣2d，S19﹣S16＝d﹣d＝0．故选：BD．12．解：由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为a﹣c，最大值为a+c，所以A正确；根据在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运

行时间，故B正确；卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即＝＝﹣1+越小，则e越大，椭圆越扁，故C不正确．因为运行速度是变化的，速度的变化，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连

线）在相同的时间，内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故D正确；故选：ABD．13．解：根据题意，如图等腰△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝6，设该三角形底边上的高为AD，其内切圆半径为r

，BD＝BC＝3，AD＝＝3，则S△ABC＝×BC×AD＝9，而S△ABC＝×r×（AB+AC+BC）＝9，则r＝，则其内切圆面积S＝πr2＝；故答案为：．14．解：使用间接法：从8个专业中任选3个专业填报，共有𝐴83＝336种，其中甲，乙同时兼报的有：𝐶61A＝36，故符合题意的填报志愿

的方法种数为：336﹣36＝300种．故答案为：300．15．解：①∵AD∥BC，∴锐角∠SDA＝即为异面直线SD与BC所成的角，其余弦值＝＝．②∵SA⊥平面ABCD，∴平面SAD⊥平面ABCD，∴点

C到交线AD的距离即为点C到平面SAD的距离，为CD•sin60°＝．故答案为：，．16．解：由线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，可得|PF2|＝|F1F2|＝2c，由直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，可得|OA|＝a，设PF1的中点

为M，由中位线定理可得|MF2|＝2a，在直角三角形PMF2中，可得|PM|＝＝2b，即有|PF1|＝4b，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，即4b﹣2c＝2a，即2b＝a+c，即有4b2＝（a+c）2，即4（c2﹣a2）＝（a+c）2，可得a＝c，即e＝，故答案为：．17

．解：（1）设数列{an}的公差为d，则，解得d＝3或d＝﹣7（舍），„（2分）∴an＝3+3（n﹣1）＝3n．„（4分）（2）∵，其最小正周期为，故数列{bn}的首项为1，∵公比q＝2，∴，∴„（6分）∴，

令，„①，两边都乘以2得，„②②﹣①得，＝„（9分）故，„（10分）18．解：（1）若选择①：因为，，所以„（2分）所以，因为B+C∈（0，π），所以，„（4分）又因为cos（B﹣C）＝cosBcosC+sinBsinC＝1，所以B﹣C＝0，„（6分）若选择②：（法一）由题意知，tanB

＞0，tanC＞0，所以„（2分）因为当且仅当时，上式的等号成立，且B，C∈（0，π）„（3分）所以„（5分）所以„（6分）（法二）设tanB，tanC为方程，的两根,解得，„（3分）且B，C∈（0，π）所以„（5分）所以„（6分）（2）由正弦定理知：„（7分）因为，，所

以b＝c＝2„（9分）所以△ABC的周长为„（10分）所以△ABC的面积„（12分）19．解：（1）证明：连结AB1，∵四边形ABB1A1为菱形，∠B1BA＝60°，∴△ABB1是等边三角形，∵O是线段AB的中点，∴B1O⊥

AB，„（2分）∵平面ABB1A1⊥平面ABC，平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，∴B1O⊥平面ABC，∵B1O⊂平面B1OC，∴平面ABC⊥平面B1OC．„（4分）（2）解：连结OC，∵B1O⊥AB，A

B⊥B1C，B1O∩B1C＝B1，∴AB⊥平面B1OC，∴AB⊥OC，„（5分）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OB1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝2，则A（﹣1，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），C1（﹣2，2，），„（6分）＝（﹣2，

0，0），＝（1，1，0），＝（﹣1，2，），设平面C1AC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝，得＝（，﹣，3），„（8分）平面ABC的法向量＝（0，0，1），„（9分）设二面角C1﹣AC﹣B的平面角为θ，则cosθ＝＝，sinθ＝＝．„（11分）∴二面角C1﹣AC﹣B的正弦值为

．„（12分）20．解：（1）由频率分布直方图计算平均值为：μ＝35×0.02+45×0.15+55×0.15+65×0.2+75×0.28+85×0.16+95×0.04＝67.1（百元），„（2分）又知道σ＝14，所以μ

﹣2σ＝67.1﹣28＝39.1，„（3分）A家庭的月收入为4100元＝41百元＞μ﹣2σ＝39.1，所以A家庭不属于“收人较低家庭”；„（4分）（2）①将样本的频率视为概率，抽取一户家庭某月收入低于8000元的概率为（0.002+0.015+0.015+0.02+0.028）

×10＝0.8，随机抽取n户家庭月收入均低于8000元的概率为0.8n≥0.5，n≤3；„（6分）②由（1）知μ＝67.1百元＝6710元，故A家庭月收入低于μ，可获赠两次购物卡，设所获得的金额为随机变量Y，则Y的取值分别为200，300，400，500，600，„（7分）P（Y＝200）＝，P（

Y＝300）＝，P（Y＝400）＝，P（Y＝500）＝2，P（Y＝600）＝；„（10分）则A家庭预期获得的购物卡金额为E（Y）＝元．„（12分）21．解：（1）由条件，M到F（1，0）的距离等于到直线x＝﹣1的距离，所以，曲线C是以F为焦点、直线x＝﹣1为准线的抛物线，其方

程为y2＝4x„（2分）（2）设lPQ：y＝k（x﹣1），代入y2＝4x得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0由韦达定理„（3分）∴，∴„（5分）∵，∴PQ⊥RS只要将A点坐标中的k换成，得B（1+2k2，﹣2k）„（6

分）∴＝（当且仅当k＝±1时取“＝”）„（7分）所以，最小时，弦PQ、RS所在直线的方程为y＝±（x﹣1），即x+y﹣1＝0或x﹣y﹣1＝0（3）∵，即A，T，B三点共线∴是否存在一定点T，使得，即探求直线AB是

否过定点„（9分）由（II）知，直线AB的方程为即（1﹣k2）y＝k（x﹣3），„（10分）∴直线AB过定点（3，0）故存在一定点T（3，0），使得．„（12分）22．解：（1）当a＝1时，f（x）＝（2

x2﹣4x）lnx+x2，f′（x）＝（4x﹣4）lnx+2x﹣4+2x＝4（x﹣1）（lnx+1），„（1分）因为x∈[1，+∞），所以f′（x）≥0，所以f（x）为单调递增函数，所以f（x）min＝f（1）＝1．„（3分）（2）f′（x）＝（4x﹣

4a）lnx+2x﹣4a+2x＝4（x﹣a）（lnx+1），x∈[1，+∞），当a≤1时，f′（x）≥0，所以f（x）为单调递增函数，f（x）min＝f（1）＝1，符合题意；„（4分）当a＞1时，在[1，a）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（a，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增

，所以f（x）min＝f（a）＝（2a2﹣4a2）lna+a2＝﹣2a2lna+a2＝1，解得a＝1，与a＞1矛盾，舍去，故实数a的取值范围为（﹣∞，1]．„（6分）（3）由（2）可知，当＜a≤1时，在[1，+∞）上，f（x）为单调递增函数，f（x）min＝1，此时函数f（

x）的零点个数为0；„（7分）当a＞1时，f（x）min＝f（a）＝﹣2a2lna+a2，令g（x）＝﹣2x2lnx+x2，x∈（1，+∞），则g′（x）＝﹣4xlnx﹣2x+2x＝﹣4axlnx＜0，函数

g（x）单调递减，令g（x）＝﹣2x2lnx+x2＝0，解得x＝，„（8分）所以当x∈（1，），g（x）＞0，x＝e，g（x）＝0，x∈（，+∞），g（x）＜0，所以当a∈（1，）时，f（x）min＞0，此时函数f（x）在[1，+∞）上的零点个数为0；„（9分）当a＝时，f（x）min＝0

，此时函数f（x）在[1，+∞）上的零点个数为1；„（10分）a∈（，+∞），f（x）min＜0，此时函数f（x）在[1，+∞）上的零点个数为2．„（11分）综上，可得a∈（，）时，函数f（x）在[1，+∞）上的零点个数为0；a＝时，函数f（x）在[1，+∞）上的零点个数为1；a∈（，+∞），

函数f（x）在[1，+∞）上的零点个数为2．„（12分）