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2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题69合情推理与演绎推理最新考纲1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．2.了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一

些简单推理．3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.基础知识融会贯通1．合情推理(1)归纳推理①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳

)．②特点：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．②特点：由特殊到特殊的推

理．(3)合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结

论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．重点难点突破【题型一】归纳

推理命题点1与数字有关的等式的推理【典型例题】《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：2，3，4，5，则按照以上规律，若10具有“穿墙术”，则n＝（）A．48B．63C．99D．1

20【解答】解：根据题意，2，则有2，3，则有3，4，则有4，5，则有5，若10，则有n＝102﹣1＝99；故选：C．【再练一题】观察下列各式：72＝49，73＝343，74＝2401，…，则72020的末两位数字为（）A．01B．43C．

07D．49【解答】解：72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649，77＝823543，即7n的末两位数分别为49，43，01，07，具备周期性，周期为4，2020＝504×4+4，则72020的末两位数为与74的末两位数相同，即01，故选：A．命题点2与不等式

有关的推理【典型例题】已知，经计算f（4）＞2，，f（16）＞3，，则根据以上式子得到第n个式子为．【解答】解：观察已知中等式：f（4）＝f（22）＞2，f（8）＝f（23），f（16）＝f（24）＞3，f（32）＝f（25），…，则f（2n+1）（n∈N*）故答案

为：f（2n+1）（n∈N*）【再练一题】已知x＞1，观察下列不等式：x2；x23；x34；…按此规律，第n个不等式为．【解答】解：由x2；x23；x34；…按此规律，第n个不等式为：xnn+1，故答案为：xnn+1命题点3与数列有关的推理【典型例题】把数列{an}的各项按照如图规律排成三角形数

阵；若an＝2n﹣1，n∈N*，则该数阵的第20行所有项的和为．【解答】解：由该数阵的规律可得：第1行的最后一项的项数为1＝12，第2行的最后一项的项数为4＝22，第3行的最后一项的项数为9＝32则第n行的最后一项的项数为n2，则

该数阵的第20行最后一项的项为﹣a，第一项为：﹣a由已知有：第20行共20×2﹣1＝39项，则从左到右按相邻两项分组，每一组的和为2，则该数阵的第20行所有项的和S＝2×19﹣a38﹣（2×202﹣1）＝﹣76

1，故答案为：﹣761．【再练一题】如图所示，直角坐标平面被两坐标轴和两条直线y＝±x等分成八个区域（不含边界），已知数列{an}，Sn表示数列{an}的前n项和，对任意的正整数n，均有an（2Sn﹣an）＝1，当an＞0时，点Pn（an，an+1）（）A．只能在区域②B．只能在区域②

和④C．在区域①②③④均会出现D．当n为奇数时，点Pn在区域②或④，当n为偶数时，点Pn在区域①或③【解答】解：任意的正整数n，均有an（2Sn﹣an）＝1，则Sn（an），∴Sn+1（an+1），∴an+1（an+1﹣an），即an+

1﹣an，∵an＞0，∴an+10，解得an+1＜﹣1或0＜an+1＜1，故点Pn（an，an+1）只能在区域②和④故选：B．命题点4与图形变化有关的推理【典型例题】如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到

一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有255个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共

得到255个正方形，则有1+2+…+2n﹣1＝255，∴n＝8，∴最小正方形的边长为（）7．故选：A．【再练一题】按如图的规律所拼成的一图案共有1024个大小相同的小正三角形“△”或“∇”，则该图案共有（）A．16层B．32层C．64层D．128层【解答】解：设该图案共有n层，则1+3+5+…+

（2n﹣1）＝1024，即n2＝210，所以n＝25＝32，故选：B．思维升华归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．(2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．(3)与数列有关的推理．通常

是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．【题型二】类比推理【典型例题】已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…其中第一项是20，接下来的两

项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推那么该数列的前50项和为（）A．1044B．1024C．1045D．1025【解答】解：将已知数列分组，使每组第一项均为1，即：第一组：20，第二组：20，21，第三组：20，21，22，…第k组：20，21，22，…

，2k﹣1，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2k﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，k，总共的项数为N＝1+2+3+…+k，当k＝9时，45，故该数列的

前50项和为S50＝21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+29﹣1+1+2+4+8+169+31＝1044．故选：A．【再练一题】设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，则△ABC的内切圆半径为r．将此结论类比到空间四面体：设四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S

4，体积为V，则四面体的内切球半径为r＝（）A．B．C．D．【解答】解：设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，则△ABC的内切圆半径为r．设四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，体积为V，设四面体

的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为：V（S1+S2+S3+S4）r，∴r．故选：C．思维升华(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察

、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．【题型三】演绎推理【典型例题】某演绎推理的“三段”分解如下：①函数f（x）＝1gx是对数函

数；②对数函数y＝logax（a＞1）是增函数；③函数f（x）＝lgx是增函数，则按照演绎推理的三段论模式，排序正确的是（）A．①→②→③B．③→②→①C．②→①→③D．②→③→①【解答】解：①函数f（x）＝1gx是对数函数；②对数函数y＝logax（a＞1

）是增函数；③函数f（x）＝lgx是增函数，大前提是②，小前提是①，结论是③．故排列的次序应为：②→①→③，故选：C．【再练一题】矩形的对角线互相垂直，正方形是矩形，所以正方形的对角线互相垂直．在以上三段论的推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D

．结论错误【解答】解：大前提，“矩形的对角线互相垂直”，小前提，正方形是矩形，结论，所以正方形的对角线互相垂直，大前提是错误的，因为矩形的对角线相等．以上三段论推理中错误的是：大前提，故选：A．思维升华演绎推理是由一般到特殊的推

理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，当大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．基础知识训练1．已知222233+=，333388+=，44441515+=，…，依此

规律，若99bbaa+=，则2+ab的值分别是（）A．79B．81C．100D．98【答案】D【解析】由222233+=，333388+=，44441515+=，…，依此规律2211nnnnnn+=−−，2n，则99b

baa+=，可得9b=，29180a=−=，故2801898ab+=+=，故选：D．2．下面几种推理过程是演绎推理的是（）A．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B．由三角形的

性质，推测空间四面体的性质C．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分D．在数列na中，111111,2nnnaaaa−−==+，可得231,1aa==，由此归纳出na的通项公式

1na=【答案】C【解析】解：∵A中是从特殊→一般的推理，均属于归纳推理，是合情推理；B中，由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质，是由特殊→特殊的推理，为类比推理，属于合情推理；C为三段论，是从一般→特殊的推理，是演绎推理；D为不完全归纳推

理，属于合情推理．故选：C．3．下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是（）①2019不能被2整除；②一切奇数都不能被2整除；③2019是奇数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①【答案】C【解析】解：根据题意，按照演绎推理的三段论，应为：大前提：一切奇

数都不能被2整除，小前提：2019是奇数，结论：2019不能被2整除；∴正确的排列顺序是②③①．故选：C．4．将正整数排列如图：则图中数2019出现在（）A．第44行第84列B．第45行第84列C．第44行第83列D．第45行第83列【答案】D【解析】依题意，经过观察，第n行的最后一个数为n2，而

令n2≤2019得，n≤44，所以2019在第45行，2019﹣442＝83，所以2019在第45行，第83列．故选：D．5．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是（）①各棱长相等，同一顶点上

的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．A．①B．②C．①②③D．③【答案】C【解析】正四面体中，各棱长相等，各侧面是全等的等边三角形，因此，同一顶点上的任两条棱的

夹角都相等；①正确；对于②，正四面体中，各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角中，它们有共同的高，底面三角形的中心到对棱的距离相等，相邻两个面所成的二面角都相等，②正确；对于③，各个面都是全等的正三角形，各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任两条棱的夹

角都相等，③正确．①②③都是合理、恰当的．故选：C．6．正切函数是奇函数，()()2tan2fxx=+是正切函数，因此()()2tan2fxx=+是奇函数，以上推理（）A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．以上均

不正确【答案】C【解析】大前提：正切函数是奇函数，正确；小前提：()()2tan2fxx=+是正切函数，因为该函数为复合函数，故错误；结论：()()2tan2fxx=+是奇函数，该函数为偶函数，故错误；结合三段论可得小前提不正确.故答案选C7．观察下列各式：12345777497343724

01,716807,=====，，，，则20197的末尾两位数字为（）A．49B．43C．07D．01【答案】B【解析】根据题意，得2345749734372401,716807,====，，677117649,7823543==，8975764801,7

40353607...==发现427k−的末尾两位数为49，4-17k的末尾两位数为43，47k的末尾两位数为01，417k+的末尾两位数为07，（1,2,3...k=）；由于201945051=−，所以2019

7的末两位数字为43；故答案选B8．下面给出了四种类比推理：①由实数运算中的=abba类比得到向量运算中的=abba；②由实数运算中的((ab)c=abc)类比得到向量运算中的((ab)c=abc)；③由向量a的性质22||aa=类比得到复数z的

性质22||zz=；④由向量加法的几何意义类比得到复数加法的几何意义；其中结论正确的是A．①②B．③④C．②③D．①④【答案】D【解析】①设a与b的夹角为，则cosabab=rrrr，cosbaba=rrrr，则abba=rrrr成立；②由于向量的数量积是一个实数，

设abm=rr，bcn=rr，所以，()abcmc=rrrr表示与c共线的向量，()abcna=rrrr表示与a共线的向量，但a与b不一定共线，()()abcabc=rrrrrr不一定成立；③设复数(),zxy

ixyR=+，则222zxy=+，()()22222zxyixyxyi=+=−+是一个复数，所以22zz=不一定成立；④由于复数在复平面内可表示的为向量，所以，由向量加法的几何意义类比可得到复数加法的几何意义，这个类比是正确的。故选：D。9．某大型商场共有编号为甲、乙、丙、丁

、戊的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散500名乘客所需的时间如下：安全出口编号甲，乙乙，丙丙，丁丁，戊甲，戊疏散乘客时间（s）120220160140200则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（）A．甲B．乙C．丁D．戊【答案】C【解析】设某高铁换乘

站设有编号为甲，乙，丙，丁，戊的五个安全出口疏散乘客时间分别为a、b、c、d、e，则a+b＝120，b+c＝220，c+d＝160，d+e＝140，a+e＝200，解得：a＝60，b＝60，c＝160，d＝0，e＝140，则疏散乘客最快的一个安全出口

的编号是丁，故选：C．10．下面使用类比推理，得到的结论正确的是（）A．直线,,abc，若//,//abbc，则//ac.类比推出:向量a→，b→，c→，若a→∥b→，b→∥c→，则a→∥c→.B．三角形的面积为()12Sabcr=++，其中a，b，c为三角形的边长，r为

三角形内切圆的半径，类比推出，可得出四面体的体积为()123413VSSSSr=+++，（1S，2S，3S，4S分别为四面体的四个面的面积，r为四面体内切球的半径）C．同一平面内，直线,,abc，若,acbc⊥⊥，则

//ab.类比推出:空间中，直线,,abc，若,acbc⊥⊥，则//ab.D．实数,ab，若方程20xaxb++=有实数根，则24ab.类比推出:复数,ab，若方程20xaxb++=有实数根，则24

ab.【答案】B【解析】对于A中，因为0和任意向量都平行，所以若0b=时，则无法得到//ac，所以是错误的；对于B中，若四面体DABC−的四个面的面积为1234,,,SSSS，四面体DABC−的表面积为1234SSSSS=+++，若内切球的半径

为r，其体积为12341()3VSSSSr=+++，所以是正确的；对于C中，在空间中存在异面垂直，所以空间中，直线,,abc，若,acbc⊥⊥，则直线,ab可以是任意夹角，所以是错误的；对于D中，若方程20

xaxb++=有实数根，则24ab，但在复数方程2(1)0xixi++−=有实根，但不满足24ab，所以类比：复数,ab，若方程20xaxb++=有实数根，则24ab是不正确的，故选B．11．将正整数依次排列如下：123456789101112131415161718

192021………………由表知第5行第3列的数是13，若第2020行第2列的数是a，则a的各位数字中，数字0的个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】由题前n行中共有1+2+3+…+n()12

nn+=个整数，故第2019行中最后一个数：()20192019120391902+=，第2020行中第二列的数为：203919022039192+=，故0的个数为1故选：B12．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”,某高中学校为弘

扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识竞赛，现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐,规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为,,abc()abc且,,abcN；选手最后得分为各场得分之和，在六场比赛

后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都是11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，下列说法正确的是()A．乙有四场比赛获得第三名B．每场比赛第一名得分a为4C．甲可能有一场比赛获得第二名D．丙可能有一场比赛获得第一名【答案】A

【解析】由题可知()626111148abc++=++=,且,,abc都是正整数=8abc++当4a时，甲最多可以得到24分，不符合题意当6a时，2bc+，不满足推断出，a=5,b=2,c=1最后得出结论:甲5个项目

得第一,1个项目得第三乙1个项目得第一,1个项目得第二，4个项目得第三丙5个项目得第二,1个项目得第三,所以A选项是正确的.13．数列3571,,,4916猜想数列的通项公式na=______．【答案】221nn−【解析】根据数列3571,,,,4916即：

2222211221231241,,,,1234−−−−猜想数列的通项公式为：221nnan−=本题正确结果：221nn−14．凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系如下表.凸多面体面数(F)顶点数

(V)棱数(E)三棱柱569长方体6812五棱柱71015三棱锥446四棱锥558猜想一般结论:F＋V－E＝____.【答案】2【解析】由题知：三棱柱：5,6,9FVE===，则=2FVE+−，长方体：6,8,12FVE===，则=2FVE+−，五棱柱：7,10,15FVE===，则=2FVE+

−，三棱锥：4,4,6FVE===，则=2FVE+−四棱锥：5,5,8FVE===，则=2FVE+−，通过观察可得面数、顶点数、棱数的关系为=2FVE+−。15．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为()12nn

…，其余每个数是它下一行左右相邻两数的和，如1111111111222363412=+=+=+，，，…，则第7行第3个数（从左往右数）为____.【答案】1105【解析】设第n行的第m个数为(,)anm，由题意可得11(6,1),(7,1)67aa==，所以111(7,2)(6,1)(7,

1)6742aaa=−=−=，111(6,2)(5,1)(6,1)5630aaa=−=−=，111(7,3)(6,2)(7,2)3042105aaa=−=−=，16．容器中有,,ABC3种粒子，若相同种类的两颗粒子发

生碰撞，则变成一颗B粒子；不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成另外一种粒子.例如，一颗A粒子和一颗B粒子发生碰撞则变成一颗C粒子.现有A粒子10颗，B粒子8颗，C粒子9颗，如果经过各种两两碰撞后，只剩1颗粒子.给出下列结论：①最后一颗粒子可能是A粒子②最后一颗粒子一定是C粒子③最后一颗粒子

一定不是B粒子④以上都不正确其中正确结论的序号是________.（写出所有正确结论的序号）【答案】①③【解析】1、最后剩下的可能是A粒子10颗A粒子两两碰撞，形成5颗B粒子；9颗C粒子中的8个两两碰撞，形成4颗B粒子；所有的17颗B粒子两两碰

撞，剩下一颗B粒子；这个B粒子与剩下的一颗C粒子碰撞形成A粒子。2、最后剩下的可能是C粒子10颗A粒子中的9颗与9颗C粒子两两碰撞，形成9颗B粒子；所有的17颗B粒子两两碰撞，最后剩一颗B粒子；这个B粒子与剩下的一颗A粒子碰撞形成C粒子。3、最后剩下的不可能是B粒子A、B、C三种粒子

每一次碰撞有以下6种可能的情况：A与A碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗A粒子；（B多1个，AC共减少两个）B与B碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗B粒子；（B少1个，AC总数不变）C与C碰撞，会产生一颗B粒子，减少两颗C粒子；（B多1个，AC共减少两个）A与B碰撞，会产生一颗C粒子，减少A、B

各一颗粒子。（B少1个，AC总数不变）A与C碰撞，会产生一颗B粒子，减少A、C各一颗粒子。（B多1个，AC共减少两个）B与C碰撞，会产生一颗A粒子，减少B、C各一颗粒子。（B少1个，AC总数不变）可以发现如下规律：（1）从B粒子的角度看：每

碰撞一次，B粒子的数量增多一个或减少一个。题目中共有27颗粒子，经过26次碰撞剩一颗粒子，整个过程变化了偶数次，由于开始B粒子共有8颗，所以26次碰撞之后，剩余的B粒子个数必为偶数，不可能是1个。所以，最后剩

下的不可能是B粒子。（2）从A、C粒子的角度看：每次碰撞之后，A、C粒子总数或者不变、或者减少两个。题目中A、C粒子之和为19个，无论碰撞多少次，A、C粒子都没了是不可能的。所以，剩下的最后一颗粒子一定是A或C.17．已知：2223sin45sin105sin1652++=；2223si

n10sin70sin1302++=；2223sin30sin90sin1502++=.通过观察上述三个等式的规律，写出能反映一般规律的等式，并证明你的结论．【答案】()()2223sinsin60sin1202

++++=【解析】已知2223sin45sin105sin1652++=；2223sin10sin70sin1302++=；2223sin30sin90sin1502++=.发现三个角为公差是60的等差数列，形式为平方和等于定值32所以()()2223sinsin60si

n1202++++=证明：等式左边可化为()()()1111cos21-cos21201-cos2240222−++++()()1=1cos21-cos21201-cos2-1202−+++()()31=-cos2cos2120cos

2-12022+++3=2原式得证18．观察下列等式：按照以上式子规律：（1）写出第5个等式，并猜想第个等式；（*nN）（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第个等式成立.（*nN）【答案

】(1)2)12()23()2()1(−=−++++++nnnnn，*nN.(2)见解析.【解析】（1）第5个等式为256789101112139++++++++=；第n个等式为2)12()23()2(

)1(−=−++++++nnnnn，*nN.（2）①当1n=时，等式左边1=，等式右边2(21)1=−=，所以等式成立.②假设()*nkkN=时，等式成立，即2(1)(2)(32)(21)kkkkk++++++−=−，（1k³，*kN）那么，当1nk=+时，(1)[(1)1

][(1)2]kkk+++++++[3(1)2]k++−(1)(2)(3)(31)kkkk=++++++++(1)(2)kkk=++++++(32)(31)3(31)kkkkk−+−+++−2(21)8kk=−+24418kkk=−++

2(21)k=+2]1)1(2[−+=k.即1nk=+时等式成立.根据①和②，可知对任何*nN，等式都成立.19．设()2xxaafx−+=，()2xxaagx−−=（其中0a，且1a）（1）请将()5g用()()32fg，()()32gf来表示；（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推

测能否将其推广【答案】（1）()()()()()53232gfggf=+；（2）结论为：()()()()()gxyfxgygxfy+=+，可以推广【解析】（1）由题意得：()5552aag−−=又()()()()332233225

5323222222aaaaaaaaaafggf−−−−−+−−+−+=+=()()()()()53232gfggf=+（2）由()()()()()53232gfggf=+，即()()()()()233232gfggf+=+推测：()()()()()gxyfxgygxfy+=+证明：因

为()2xxaafx−+=，()2xxaagx−−=所以()()2xyxyaagxy−++−+=，()2yyaagy−−=，()2yyaafy−+=所以()()()()2222xxyyxxyyaaaaaaaafxgygxfy−−−−+−−++==+()()2xyxyaagxy−++−==

+可知()()()()()gxyfxgygxfy+=+可以推广20．已知()*1111()111114732fnnNn=++++−，()*3()31gnnnN=+.（1）当1,2,3n=时，分别比较(n)f与()gn的大小（直接给出结论

）；（2）由（1）猜想(n)f与()gn的大小关系，并证明你的结论.【答案】（1）见解析；（2）见证明【解析】证明（1）当1n=时，(1)2f=，3(1)4g=，(1)(1)fg，当2n=时，5(2)2f

=，3(2)7g=，(2)(2)fg，当3n=时，20(3)7f=，3(3)10g=，(3)(3)fg.（2）猜想：()*()()fngnnN，即3111111113114732nn+++++−

.下面用数学归纳法证明：①当1n=时，上面已证.②假设当nk=时，猜想成立，即3111111113114732kk+++++−，则当1nk=+时

，11111(1)111111473231fkkk+=+++++−+3131131kk+++32334343131(31)kkkkk++=+=++.因为2233(31)(34)kk+

+，所以3233434(1)(31)kkgkk++=++，所以，当1nk=+时猜想也成立.综上可知：对*nN，猜想均成立.21．如图（A），（B），（C），（D）为四个平面图形:（A）（B）（C）（D）（I）数出每个平面图形的交点数、边数、区域数，并将列联表补充完整；

交点数边数区域数（A）452（B）58（C）125（D）15（II）观察表格，若记一个平面图形的交点数、边数、区域数分别为,,EFG，试猜想,,EFG间的数量关系（不要求证明）.【答案】（I）列联表见解析；（II）1E+GF=−.【解析】（I）（II）观察表格，若记一个平面图

形的交点数、边数、区域数分别为,,EFG，猜想,,EFG之间的数量关系为1E+GF=−.22．函数()1xfxx=-0x（），令1()=()fxfx，*1()=(())nnfxffxnN+．（1）求23()()fxfx，并猜想()nfx的表达式

（不需要证明）；（2）()()ngxfx=与250xyn−−=相切，求n的值．【答案】（1）见解析；（2）4【解析】（1）211()=(())==1211xxxfxffxxxx−−−−，3212()=(())=

=13112xxxfxffxxxx−−−−.猜想()=1nxfxnx−*0xnN（，）.（2）设切点为00(,)Pxy，()=1xgxnx−，21()=1gxnx−（）,切线斜率2011251knx==−（）*0xnN

（，），解得04xn=−.所以00044y=4151xnnxnnn−==−−+.所以00441625255nxynnn=−=−+=，解得=4n.能力提升训练1．下列说法中运用了类比推理的是（）A．人们通过大量试验得出掷硬币出现正面向上的概率为0.5B

．在平面内，若两个正三角形的边长的比为1:2，则它们的面积比为1:4.从而推出：在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1:2，则它们的体积比为1:8C．由数列的前5项猜出该数列的通项公式D．数学中由周期函数的定

义判断某函数是否为周期函数【答案】B【解析】选项A:是归纳推理；选项B：是类比推理；选项C:是归纳推理；选项D:是演绎推理.2．某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”结论显然是错误的，是因为（）A．大前提错误B．推

理形式错误C．小前提错误D．非以上错误【答案】B【解析】大前提：“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提：“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能进行类比，所以不符合三段论的推理形

式，可知推理形式错误.本题正确选项：B3．观察下列各式：658753125,515625,578125,5390625====…，则20115的末四位数字（）A．8125B．5625C．3125D．0625【答案】A【解析】由于030O

MN=，末四位为3125，末四位的周期为4，故20112004755+=，末四位和75一样，为8125，故选A.4．有一段“三段论”，其推理是这样的：对于可导函数()fx，若()0'0fx=，则0xx=是函数

()fx的极值点,因为函数()3fxx=满足()'00f=，所以0x=是函数()3fxx=的极值点”，结论以上推理()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．没有错误【答案】A【解析】对于可导函数f（x），如果f'

（x0）＝0，且满足当x＞x0时和当x＜x0时的导函数值异号时，那么x＝x0是函数f（x）的极值点，而大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）＝0，那么x＝x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，∴大前提错误，故选：A．5．在“一带一路”知识测验后

，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙【答案】A【解析】若甲预

测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高

，即乙预测正确，不符合题意，故选A．6．如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数的点）按如下规则表上数字标签：原点处标0，点()1,0处标1，点()1,1−处标2，点()0,1−处标3，点()1,1−−处标4，点()1,0−点标5，点()

1,1−处标6，点()0,1处标7，以此类推，则格点坐标()22,23的标签为（）A．2109B．2107C．2207D．2209【答案】C【解析】由题意，观察图象的点可得()1,0处标1，即21；点(2,1)处标9，即

23；点(3,2)处标25，即25，由此推断，点(1,)nn+处标2(21)n+，当23n=时，点(24,23)处标2(2231)2209+=，所以点(22,23)位于点(24,23)向左移动两格，所以点(22,2

3)处标2207，故选C。7．()1写出以下各式的值：()()22sin60sin303sin60sin30+−+−=______；()()22sin150sin1203sin150sin120+−+−=______；22sin15sin153sin15sin

l5++=______．()2结合()1的结果，分析式子的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并证明你的结论．【答案】（1）14，14，14；（2）见解析.【解析】()()()2211sin60sin303sin60sin304+−+−=，()()221sin150sin1203sin1

50sin1204+−+−=，221sin15sin153sin15sinl54++=，()2当αβ30+=，221sinαsinβ3sinαsinβ4++=，证明：αβ30+=，则β30α=−，()()2222sinαsinβ3si

nαsinβsinαsin30α3sinαsin30α++=+−+−，221313sinα(cosαsinα)3sinαcosαsinα2222=+−+−，222222133331

11sinαcosαcosαsinααsinαcosαsinαsinαcosα42422444sin=+−++−=+=.8．已知数列na满足111,21nnnaaaa+==+（1）请写出这个数列的前

4项，并猜想这个数列的通项公式.（2）请证明你猜想的通项公式的正确性.【答案】（1）12111111,,,357aaaa====，猜想121nan=−；（2）见解析.【解析】（1）由已知121nnnaaa+=+得12111111,,,357aaaa====猜想：

121nan=−.（2）由121nnnaaa+=+两边取倒数得：1112nnaa+=+，∴数列1na是以111a=为首项，以2为公差的等差数列，∴()111122121nnnnaan=+−=−

=−9．一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图①②③④分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照此规律，第n步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为()fn．（1）求出(2)f，(3)f，(4)f的值；（2）利用归纳推理，归纳出(1)fn+与()fn的关系式；并猜想()

fn的表达式，不需要证明。【答案】（1）(2)5f=，(3)13f=，(4)25f=．（2）2()221fnnn=−+【解析】（1）由题图可得()f25=，()f313=，()f425=．（2）()(

)f2f1441−==，()()f3f2842−==，()()f4f31243−==，……归纳可得：()()fn1fn4n+−=，*nN．猜想()2fn2n2n1=−+10．平面图形很多可以推广到空间中去，例如正三角形可以推广到正四面体，圆可以推广到球，平行四边形可以推广到平行六

面体，直角三角形也可以推广到直角四面体，如果四面体ABCD中棱,,ABACAD两两垂直，那么称四面体ABCD为直角四面体.请类比直角三角形中的性质给出2个直角四面体中的性质，并给出证明.（请在结论1~3中选择1个，结论4，5中选择1个，写出它们在直角四面体中的类似结论，并给出证明，多选不得

分，其中h表示斜边上的高，,rR分别表示内切圆与外接圆的半径）直角三角形ABC直角四面体ABCD条件ABAC⊥,,ABACABADACAD⊥⊥⊥结论172171()01230.9244040120EX=+++=结论222sinsin1BC

+=结论3222111hABAC=+结论41111ABAChr++=结论5()()2222122RABBCCA=++【答案】证明见解析【解析】记ABCABDACDBCD、、、的面积依次为123SSSS、、、，平面BCD与ABACAD、、所成角依次为、、，点A到平面BC

D的距离为drR，，分别表示内切球与外接球的半径，内切球的球心为O，直角三角形ABC直角四面体ABCD条件ABAC⊥ABACABADACAD⊥⊥⊥，，结论172171()01230.9244040120EX=+

++=2222123SSSS++=结论2221sinBsinC+=222sinsinsin1++=结论3222111hABAC=+22221111dABACAD=++结论41111ABAChr++=11111ABACA

Ddr+++=结论5()()2222122RABBCCA=++()22222RABBCCA=++证明：设ABaACbADc===、、，过A作AEBC⊥，垂足为E，联结DE，过A作AHDE⊥，垂足为H，易证：DEBC⊥，AH⊥平面BCD

，则dAH=，结论1：()22222222222212311112224SSSabacbcabacbc++=++=++，在RtABC中，22ABACabAEBCab==+，2222222abDEADAEc

ab=+=++()2222222222222221=214abacbabSabcabc++=+++s2222123SSSS++=；结论2：2222222222222abcADAEabcabdAHDEababacbccab

+====++++，∴222222sindbcaabacbc==++。同理，222222sinacabacbc=++，222222sinababacbc=++∴222222222222222sinsinsin1bcacababacbc++++==++；结论3：

∵222222abcdabacbc=++，∴22222222221abacbcdabc++=，又222222222222222111111bcacabABACADabcabc++++=++=，∴22221111dABACAD=++结论4

：DABCOABCOABDOACDOBCDVVVVV−−−−−=+++，∴222222111111111632323232abcabracrbcracbcabr=+++++.从而22222211111abacbcac

bcabrabcabcabcabccbad++=+++=+++，即11111rABACADd=+++；结论5：将直角四面体ABCD补形成为以ABACAD、、为长、宽、高的长方体，则长方体的体对角线即为直角四面体ABCD的外接球的直径，即()22222RABBCCA=++.获得更多资

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