【文档说明】吉林省吉林市吉化第一高级中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题【精准解析】.doc，共(18)页，1.175 MB，由小赞的店铺上传

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数学本试卷共22小题，共120分，共4页，考试时间120分钟.考试结束后，请将答题卡和试题卷一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知全集{0,1,2,3,4}U=，集合{0,1,2}A=，{2,3,4}B=，则()UA

B=ð（）A.{0,1}B.{3,4}C.{2}D.{0,1,3,4}【答案】B【解析】【分析】根据题意求出3,4UA=ð，即可求解.【详解】全集{0,1,2,3,4}U=，集合{0,1,2}A=，3,4UA=ð()UAB=ð{3,4}.故选：B【点睛】此题考查集合的补集

和交集运算，属于简单题目，注意集合中的元素不能漏掉.2.函数()lg(21)fxx=+的定义域是（）A.(0,)+B.(1,)+C.1,2−+D.(,1)−【答案】C【解析】【分析】根据题

意解不等式210x+即可.【详解】由题：()lg(21)fxx=+，210x+，所以1,2x−+.故选：C【点睛】此题考查求已知函数定义域，关键在于准确求解不等式.3.过点(2,3)A−和点(0,1)B−的直线的斜率为（）A.-2

B.12−C.12D.2【答案】A【解析】【分析】根据两点确定的直线的斜率公式即可求解.【详解】根据斜率公式可得：过点(2,3)A−和点(0,1)B−的直线的斜率()31220k−−==−−−.故选：A【点睛】此题考查根据两点求直线的斜率，根据公式准确

求解即可.4.设,mn是两条不同的直线，,是两个不同的平面，给出下列条件，能得到m⊥的是（）A.,m⊥B.,m⊥⊥C.,mnn⊥D.//,mnn⊥【答案】D【解析】试题分析：A．,mm⊥，或m，或m与相交，故A不成

立；B：由,m⊥⊥，知m或m，从而m⊥不成立，故B不成立；C：mnnm⊥，，或m，或m与相交，故C不成立；D：mnnm⊥⊥，，故D成立；故选D．考点：空间直线与平面的位置关系5.若直线230xy++=与直线40kxy−+=平行，则实数k的值为（）A.-2B

.12−C.12D.2【答案】A【解析】【分析】根据两条直线平行关系利用公式求解参数.【详解】由题：直线230xy++=与直线40kxy−+=平行，必有两条直线斜率相等，所以2k=−，此时直线230xy++=与直线240xy−−+=平行.故选：A【点睛】此题考查根据

两条直线平行求参数的取值，根据斜率关系即可求解，注意考虑可能会出现直线重合的情况.6.某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，那么该几何体的俯视图是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据四个柱体

的体积为12分析出俯视图面积为12，分别判断即可.【详解】根据题意某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，即俯视图面积为12，A选项底面积为1，正方体体积为1；B选项底面积为4，圆柱体积为4；C选项底面积为12，直三棱柱体积为12；D选项，设图中等腰直角三角

形直角边长12,21,12rrrr+==+，底面面积：()()2212212222122322rrrr++=+=+，柱体体积不为12.故选：C【点睛】此题考查根据三视图结合体积关系识别俯视图，关键在于准确找出底面图形特征.7.若x2+y2–x+y–m=0表示一个圆的

方程，则m的取值范围是A.12m−B.12m−C.12m−D.m>–2【答案】A【解析】【分析】根据圆的一般方程中表示一个圆的条件是D2+E2﹣4F＞0，求出m的取值范围．【详解】当x2+y2–x+y–m=0表示一个圆的方程时

，（–1）2+12–4×（–m）>0，解得m>–12.故选A．【点睛】本题考查圆的一般方程表示圆的限制条件.8.如图，在长方体1111ABCDABCD−中，1ABBC==，12AA=，则异面直线11AB与1BD所成角为（）A.15B.30C.4

5D.60【答案】D【解析】【分析】连接1AD，异面直线11AB与1BD所成角为1ABD或其补角，解三角形即可得解.【详解】根据长方体性质，连接1AD，113,2ADBD==，11//ABAB，异面直线11AB与1BD所成

角为1ABD或其补角，BA⊥平面11ADDA，1DA平面11ADDA，1DABA⊥，1ABD中，111cos2AADBBDB==，所以160ABD=.故选：D【点睛】此题考查求异面直线所成角，通过平行线关系转化为解三角形问题.9.某食品加工厂2018年获

利20万元，经调整食品结构，开发新产品.计划从2019年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（已知lg20.3010=，lg30.4771=）.（）A.2023年B.2024年C.2025年D.2026年【答案】C【

解析】【分析】列出函数关系，设第n年获利y元，则201.2,nynN=，解不等式201.260n即可得解.【详解】设第n年获利y元，则201.2,nynN=，2019年即第1年，201.260n，1.2lg3lg30.4771log36.0

3lg1.2lg32lg210.47710.60201n===+−+−，所以7n，即从2025年开始这家加工厂年获利超过60万元.故选：C【点睛】此题考查函数模型的应用，涉及解指数不等式，转化为对数进行

计算，利用换底公式计算化简.10.如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确

的是()A.①②B.①②③C.①D.②③【答案】B【解析】对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，又∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC，对于②，∵

点M为线段PB的中点，∴OM∥PA，∵PA⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，∴OM∥平面PAC，对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确．11.已知圆C的方程为224690xyxy+−++

=，若圆C上恰有3个点到直线l的距离为1，则l的方程可能是（）A.3410xy++=B.4310xy++=C.4350xy−−=D.3450xy−−=【答案】A【解析】【分析】将问题转化为圆心到直线的距

离问题求解.【详解】圆C的方程为224690xyxy+−++=，其标准方程为()()22234xy−++=，圆心()2,3C−，半径2r=，若圆C上恰有3个点到直线l的距离为1，则圆心到直线的距离为1，A.3

410xy++=，圆心()2,3C−到直线的距离612115−+=，符合题意；B.4310xy++=，圆心()2,3C−到直线的距离89105−+=，不合题意；C.4350xy−−=，圆心()2,3C−到直线的距离8951255+−=，不合题意；D.3450xy−−=，圆心()2,3C−到直

线的距离61251355+−=，不合题意.故选：A【点睛】此题考查直线与圆的位置关系的辨析，关键在于将题目条件到直线距离为1的点有三个，转化为圆心到直线的距离.12.已知[]x表示不超过x的最大整数，如：[1]1=，[3.

5]3=，[1.5]2−=−，()[]gxx=为取整函数，0x是函数2()lnfxxx=−的零点，则()0gx等于（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据函数2()lnfxxx=−在()0,+?单

调递增，结合根的存在性定理得出()02,3x，即可得解.【详解】2()lnfxxx=−在()0,+?单调递增，()2(2)ln210,3ln303ff=−=−，所以()02,3x，所以()02gx=.故选：B【点睛】此题考查函数零点问题和函数的新定义问题，关键在于根据根的存在性定理

准确判定零点所在的区间.二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.13.如图，正方体1111ABCDABCD−的所有棱中，其所在的直线与直线1BA成异面直线的共有________条.【答案】6【解析】【分析】根据几何体依次写出

与直线1BA成异面的直线即可得解.【详解】正方体1111ABCDABCD−的所有棱中，其所在的直线与直线1BA成异面直线如下：111111,,,,,ADDCDDBCCDCC，一共6条.故答案为：6【点睛】此题考查异面直线的辨析，关键在于根据几何体特征准确找出与直线1BA成异面的直线.

14.已知23,0()log,0xxfxxx=，则18ff=________.【答案】127【解析】【分析】根据分段函数关系依次求出138f=−，再求()318fff=−即可得解.【详解】23,0()log,0xxfxxx=

，211log388f==−则()31138273fff−===−.故答案为：127【点睛】此题考查分段函数求值，关键在于准确识别分段区间，正确求值.15.设直线2yxa=+与圆22220xyay+−−=相交于A，B两点，若|

|23AB=，则a=________【答案】2【解析】【分析】求出圆心到直线的距离2ad=，根据圆的弦长公式解方程()2223dr+=，即可得解.【详解】直线2yxa=+，即20xya−+=，圆22220xyay+−−=的标准方程为()2222xyaa+−=+，圆心()0,a，半径22r

a=+，相交于A，B两点，||23AB=，圆心到直线的距离0222aaad−+==，根据圆的弦长公式可得：()2223dr+=，即22322aa+=+，22a=，解得2a=.故答案为：2【点睛】此题考查根据直线与圆形成的弦长，求解参数的值，关键

在于熟练掌握弦长公式，结合圆心到直线的距离，准确求解.16.给出下列结论：①若集合{|0}Axx=，{|12}Bxx=−，则ABA=；②函数2()1xfxx=+的图象关于原点对称；③函数1()fxx=在其定义域上是

单调递减函数；④若函数()fx在区间[,]ab上有意义，且()()0fafb，则()fx在区间(,)ab上有唯一的零点.其中正确的是________.（只填序号）【答案】②【解析】【分析】①ABA，②函

数是奇函数，图象关于原点对称，③不能说在定义域单调递减，④考虑函数33()sin,,22fxxx=−即可.【详解】①若集合{|0}Axx=，{|12}Bxx=−，则(0,2ABA=，原说法不

正确；②函数2()1xfxx=+，2()()1xfxfxx−−==−+，是定义在R上的奇函数，所以图象关于原点对称，原说法正确；③函数1()fxx=在()(),0,0,−+分别递减，不能说在其定义域上是单调递减函数，所以原说法不正确；④若函数()fx在区间[

,]ab上有意义，且()()0fafb，考虑函数33()sin,,22fxxx=−，()fx在区间33,22−上零点不唯一，所以原说法不正确.故答案为：②【点睛】此题考查集合与函数相关概念和性质的辨析，需要熟练掌握常见概念和性质及定理.17.若三棱锥PA

BC−的所有顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABC，2ABAC==，90BAC=，且三棱锥PABC−的体积为433，则球O的体积为________.【答案】2053【解析】【分析】根据几何体特征补图成

长方体，长方体的体对角线就是该锥体外接球的直径，即可求得体积.【详解】PA⊥平面ABC，2ABAC==，90BAC=，且三棱锥PABC−的体积为433，即114322323PA=，解得23PA=，由题可得,,PAABAC两两互相垂直，对几何体补图成如图所

示的长方体，不共面的四点确定一个球，所以长方体与三棱锥有同一个外接球，球的直径为长方体体对角线长，即222124425PAABAC++=++=，所以外接球半径为5，体积()34205533V==.故答案为：2053【点睛】此题考查求三棱锥外接球的体积，关

键在于准确求出外接球的半径，解决此类问题，多做积累，特殊几何体常见的处理办法.三、解答题：本大题共5小题，共52分，解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.18.若圆C经过点3(2,)A−和(2,5)B−−，且圆心C

在直线230xy−−=上，求圆C的方程.【答案】22(1)(2)10xy+++=【解析】【详解】因为12ABk=,AB中点为(0，－4)，所以AB中垂线方程为y+4=－2x，即2x+y+4=0，解方程组得所

以圆心C为(－1，－2).根据两点间的距离公式，得半径r=,因此，所求的圆C的方程为22(1)(2)10xy+++=.19.已知直线1l的方程为34120.xy+−=（Ⅰ）若直线2l与1l平行，且过点(1,3)−，求直线2l

的方程；（Ⅱ）若直线2l与1l垂直，且2l与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线2l的方程.【答案】（Ⅰ）3490.xy+−=；（Ⅱ）43460xy−=【解析】试题分析：（1）由于两直线平行，可设直线方程为340xym++=，将点()1,3−

代入，可求得直线2l的方程；（2）由于两直线垂直，故设直线方程为430xyn−+=，然后求出横截距和纵截距，利用所围成三角形面积建立方程，求出n的值.试题解析：（Ⅰ）由直线2l与1l平行，可设2l的方程为340xym++=.将1,3xy=−=带入，得3120m−++=，解得

9m=−，直线2l的方程为3490.xy+−=（Ⅱ）由直线2l与1l垂直，可设2l的方程为430xyn−+=，令0y=，得4nx=−，令0x=，得3ny=，故三角形面积14243nnS=−=，化简得296n=，即46n=，直线2l的方程是43460xy−

=.20.某工厂生产一种产品，根据预测可知，该产品的产量平稳增长，记2015年为第1年，第x年与年产量()fx（万件）之间的关系如下表所示：x1234()fx4.005.527.008.49现有三种函数模型：()fxaxb=+，()2xfxab=

+，0.5()logfxxa=+（1）找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取1,3x=这两年的数据求出相应的函数解析式；（2）因受市场环境的影响，2020年的年产量估计要比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，估计2020年的年产量.【答案

】（1）模型为()fxaxb=+较好，理由见解析，相应的函数为35()22fxx=+（2）8.05万件【解析】【分析】（1）根据单调性排除0.5()logfxxa=+，检验()2xfxab=+，发现数据差距比较大，选

择()fxaxb=+数据差距较小；（2）根据（1）计算出的模型方程计算(6)f即可得解.【详解】解：（1）符合条件的函数模型是()fxaxb=+若模型为()2xfxab=+，由已知得(1)4(3)7

ff==，∴2487abab+=+=，12a=，3b=∴1()232xfx=+所以(2)5f=，(4)11f=，与已知差距较大；若模型为0,5()logfxxa=+，()fx为减函数，与已知不符；若模型为(

)fxaxb=+，由(1)4(3)7ff==，∴437abab+=+=，32a=，52b=∴35()22fxx=+，所以(2)5.5f=，(4)8.5f=，与已知符合较好.所以相应的函数为35()22fxx=+（2）2020年预计年产量为35(6)611.522f=

+=11.5(130%)8.05−=，所以2020年产量应为8.05万件【点睛】此题考查函数模型的应用，根据拟合效果决策选择的函数模型，并利用模型进行预测.21.如图，已知矩形ABCD中，AB=10，

BC=6，将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰在CD上，即A1O⊥平面DBC．（Ⅰ）求证：BC⊥A1D；（Ⅱ）求证：平面A1BC⊥平面A1BD；（Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ

）．【解析】试题分析：（Ⅰ）由线面垂直得A1O⊥BC，再由BC⊥DC，能证明BC⊥A1D．（Ⅱ）由BC⊥A1D，A1D⊥A1B，得A1D⊥平面A1BC，由此能证明平面A1BC⊥平面A1BD．（Ⅲ）由=，能求出点C到平面

A1BD的距离．证明：（Ⅰ）∵A1O⊥平面DBC，∴A1O⊥BC，又∵BC⊥DC，A1O∩DC=O，∴BC⊥平面A1DC，∴BC⊥A1D．（Ⅱ）∵BC⊥A1D，A1D⊥A1B，BC∩A1B=B，∴A1D⊥平面A1BC，又∵A1D⊂平面A1BD，∴平面A1BC⊥平面A1BD．解：（Ⅲ）设C到平面A

1BD的距离为h，∵=，∴=，又∵=S△DBC，，∴．∴点C到平面A1BD的距离为．考点：点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定．22.已知函数2()22(0)fxaxaxba=−++在区间[2,0]−上有最小值1，最大值9.（1）求实数a，b的值；（2）设()()fxgxx=

，若不等式()22loglog0gxkx−在区间[2,4]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）设()()()21212xxFxf=−+−−），若函数()Fx有三个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）1a=，1b=−（2）0k（3）102【解析】【分析】（

1）()fx在区间[2,0]−上为单调递减，解方程组(2)9(0)1ff−==即可得解；（2）换元令2logtx=，不等式()22loglog0gxkx−化为120tktt+−−，分离参数即可求解；（3）换元|21|xm=−，结合图象讨论2(2)120mm

+−+−=的根的情况．【详解】解：（1）因为函数()fx对称轴为1x=，0a，所以()fx在区间[2,0]−上为单调递减所以(2)9(0)1ff−==，442921aabb+++=+=，解得：1a=，1b=

−（2）2211()2xxgxxxx−+==+−令2logtx=，∴1,22t不等式()22loglog0gxkx−化为120tktt+−−即2121ktt−+在1,22上恒成立因为11,22t，所以22121110ttt−+=−

所以0k（3）函数()Fx有三个零点则方程()()212120xxf−+−−=有三个不同根设|21|xm=−其图象如下图由题意，关于m的方程：221(2)0mmm−++−=即2(2)120mm+−+−=有两根，且这两根有三种情况：一根为0，一根在(0,1)内；或一根为1，一根在(0,

1)内：或一根大于1，一根在(0,1)内若一根为0，一根在(0,1)内：把0m=代入2(2)120mm+−+−=中，得12=，此时方程为2302mm−=，得0m=，32m=，不合愿意；若一根为1，一根在(0,1)内：把1m=代入2(2)120mm+−+−=中，得0=，此时方

程为2210mm−+=，得120mm==，不合题意；若一根大于1，一根在(0,1)内：设2()(2)12hmmm=+−+−，由题意得(0)0(1)0hh1200−−，∴102综

上得：102【点睛】此题考查函数的综合应用，利用单调性结合值域求参数值，利用换元法处理不等式恒成立求参数范围，解决复合函数零点问题，综合性强．