【文档说明】2021高考数学（理）统考版二轮复习24分大题抢分练4 .docx，共(4)页，70.664 KB，由小赞的店铺上传

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24分大题抢分练(四)(建议用时：30分钟)20．(12分)已知E(m,0)为抛物线y2＝2x内一定点，过点E作两条不同的直线交抛物线于点A，B，C，D，点M，N分别是线段AB，CD的中点．(1)当AB⊥CD时，求△EMN的面积的最小值；(2)若m＝2且kAB＋kC

D＝2，证明：直线MN过定点，并求出定点坐标．[解](1)设直线AB的斜率kAB＝k(k≠0)，则直线CD的斜率kCD＝－1k，直线AB的方程为y＝k(x－m)，直线CD的方程为y＝－1k(x－m)．由y＝k(x－m)，y2＝2x

，得k2x2－(2mk2＋2)x＋m2k2＝0，易知Δ＞0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2mk2＋2k2＝2m＋2k2，x1x2＝m2，所以y1＋y2＝k(x1－m)＋k(x2－m)

＝k2m＋2k2－2mk＝2k.因为点M是线段AB的中点，所以Mm＋1k2，1k.同理可得N()m＋k2，－k.所以|EM|＝1k4＋1k2，|EN|＝k4＋k2，所以S△EMN＝12·|EM|·|

EN|＝122＋k2＋1k2≥2＋22＝1，当且仅当k2＝1k2，即k＝±1时取等号．所以当AB⊥CD时，△EMN的面积的最小值是1.(2)证明：由题意知，kAB＋kCD＝2，不妨设直线AB的斜率kAB＝n，则直线CD的斜率kCD

＝2－n，由(1)可知当m＝2时，M点坐标为2＋1n2，1n，同理可得N点坐标为2＋1(2－n)2，12－n，所以直线MN的方程是y－1n＝1n－12－n1n2－1(2－n)2·

x－2－1n2，化简得y＝2n－n22(x－2)＋12.所以直线MN过定点2，12.21．(12分)(2020·南通模拟)已知函数f(x)＝x－12sinx－alnx－π2，a∈R.(1)当a＝π2时，求曲线y＝f(x)在点

π2，fπ2处的切线方程；(2)当a＝0时，求函数g(x)＝f(x)－12sinx在π2，3π2上的最大值；(3)若存在x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，使得f(x1)＝f(x2)，证明：x1x2<4a2

.[解](1)a＝π2时，f(x)＝x－12sinx－12πlnx－π2，∴f12π＝－12－12πln12π，∵f′(x)＝1－12cosx－12π·1x，∴f′12π＝0，故y＝f(x)在点π2，f

π2处的切线方程为y＝－12－12πln12π.(2)a＝0时，g(x)＝f(x)－12sinx＝x－sinx－12π，∴g′(x)＝1－cosx>0在π2，3π2上恒成立，故g(x)在π2，3

π2上单调递增，当x＝3π2时，函数取得最大值1＋π.(3)证明：x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，令y＝x－sinx，x>0，则y′＝1－cosx≥0恒成立，即y＝x－sinx在x>0时，单调递增，故x－

sinx>0，即x>sinx.∵f(x1)＝f(x2)，∴x1－12sinx1－alnx1－12π＝x2－12sinx2－alnx2－12π，∴a(lnx2－lnx1)＝x2－x1－12(sinx2－

sinx1)>12(x2－x1)，∴2a>x2－x1lnx2－lnx1>0，令t＝x2x1，则t>1，下面证明x2－x1lnx2－lnx1>x1x2，即证明t－1lnt>t，令h(t)＝lnt－t－1t，t>1

，则h′(t)＝－(t－1)22tt<0，故h(t)在(1，＋∞)上单调递减，h(t)<h(1)＝0，∴lnt<t－1t，即t－1lnt>t，∴2a>x2－x1lnx2－lnx1>x1x2，∴x1x2<4a2.获得更多资源请扫码加入享学资源网

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