【文档说明】上海市青浦区2021-2022学年高考二模数学试题 含解析.docx，共(18)页，1002.064 KB，由小赞的店铺上传

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青浦区2021学年第二学期高三年级测试数学学科试卷（时间120分钟，满分150分）2022.06一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1.已知i为虚数单位，复数i(1

3i)z=+，则z=_________．【答案】10【解析】【分析】先将复数z化成izab=+的形式，再求模即可得答案.【详解】解：因为2i(13i)3ii=-3+iz=+=+，所以2||(3)110z=−+=.故答案为：10.2.已知集合(1,2)A=−，)1,B=+，

则集合AB=_________．【答案】)1,2【解析】【分析】由已知，根据题意给出的集合A、集合B的范围，可直接求解AB.【详解】由已知，集合(1,2)A=−，)1,B=+，所以集合AB=)

1,2.故答案为：)1,2.3.已知角的终边过点()1,2P−，则tan的值为_________．【答案】2−【解析】【分析】根据三角函数的定义计算即可.【详解】解：因为角的终边过点()1,2P−，所以2tan21yx===−−故答案为：-2.4.已知函数()yfx=

反函数为2xy=，则(3)f=_________．.的【答案】2log3【解析】【分析】根据互为反函数的定义域和值域的关系，即可求解.【详解】令232log3xx==,所以()23log3f=故答案为:

2log35.若实数x，y满足约束条件2122xyxyyx−+−，则目标函数2zxy=+的最小值为_________．【答案】3【解析】【分析】根据约束条件，作出可行域，结合图象分析可得，当目标函数122zyx=−+过点A时，截距最小，z有最小值，

代入点坐标，即可得答案.【详解】作出约束条件对应的可行域，如下图所示联立212xyxy−=+=，可得点(1,1)A，目标函数2zxy=+整理为122zyx=−+，由图象可得，当目标函数122zyx=−+过点(1,1)A

时，截距最小，z有最小值，此时123z=+=.故答案为：36.已知F为抛物线2:4Cyx=的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若||10AB=，则线段AB的中点M到直线10x+＝的距离为_____．【答案】5【解析】【分析】根据题意，作出抛物线的简图，求出抛物线的焦点坐标以及准

线方程，分析可得MN为直角梯形ABDC中位线，由抛物线的定义分析即可．【详解】如图，抛物线24yx=的焦点为(1,0)F，准线为x＝-1，即1x+＝0．分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，则有||||||||||10ABAFBFACBD=+=+=.过AB的中点M作准线的垂线，垂足

为N，则MN为直角梯形ABDC中位线，11||(||||)10522MNACBD=+==，即M到准线x＝-1距离为5．故答案为：5【点睛】本题考查抛物线的几何性质以及抛物线的定义，注意利用抛物线的定义进行转

化分析，属中档题．7.已知数列na的前n项和27nSnn=−,且满足11622kkaa++,则正整数k=_____【答案】8【解析】【详解】由题意，可得116,128,2nnnSnaSSnn−=−==−=−，所以28nan=

−，所以1282(1)8414kkaakkk++=−++−=−，即1641422k−，解得1529k，的又kN+，所以8k=.8.一块边长为10cm的正方形铁片按如图(1)所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图

(2)所示的正四棱锥容器，则当x=6cm时，该容器的容积为________cm3.图(1)图(2)【答案】48【解析】【详解】由题意可知道，这个正四棱锥形容器的底面是以6cm为边长的正方形，侧高为5cm，高为4cm，所以所求容积为48cm3.9.受疫情防控需求，现有四位志愿者可自主选择到三个不同的

核酸检测点进行服务，则三个核酸检测点都有志愿者到位的概率是_________.（结果用最简分数表示）【答案】49【解析】【分析】先计算总共的选择数，再计算三个核酸检测点都有志愿者到位的数量，即可得答案.【详解】解：四个志愿者总的选择共333381N=

=种，要满足三个核酸检测点都有志愿者到位，则必有2个人到同一核酸检测点，故从4人中选择2人出来，共有24C6=种，再将这2人看成整体1人和其他2人共3人，选择三个核酸检测点，共33A6=种，所以6636n==，所以364819nPN===.故答案为：

49.10.若命题：“存在整数x使不等式()21(2)0kxkx−−−成立”是假命题，则实数k的取值范围是_________．【答案】3535,22−+；【解析】【分析】依题意，不存在整数x使不等式()21(2)0kxkx−−−成立，设不等式()21(2)0kxkx−−−的解集

为A，分情况讨论k大于0且不等于1，k等于1，小于0和等于0四种情况讨论，可得答案．【详解】“存在整数x使不等式()21(2)0kxkx−−−成立”是假命题，即不存在整数x使不等式()21(2)0kxkx−−−成立．设不等式2(1)(2)0kxkx−−−的解集为A，当0k=时，得2x，不

合题意；当0k且1k时，原不等式化为1[()](2)0xkxk−+−，12kk+，(2,)1Akk=+，要使不存在整数x使不等式()21(2)0kxkx−−−成立，须13kk+，解得：353522k−+剟且1k；当1k=时，A=

，合题意，当0k时，原不等式化为[(x−1)](2)0kxk+−，()1,2,Akk=−++，不合题意，综上所述，353522k−+剟．故答案为：3535,22−+11.已知数列na的通项公式

为2nna=，数列nb是首项为1，公比为q的等比数列，若1kkkbab+，其中1,2,,10k=…，则公比q的取值范围是_________．【答案】1092,2【解析】【分析】根据1kkab+，可得2q，再根据kkba结合指数运算可得122k

q−，利用指数函数单调性求1max2kq−，运算整理．【详解】1,2,,10k=…∵1kkab+，即2kkq，则2q又∵kkba，即12kkq−，则122kq−∵2q，则12q，∴922q，

则1092q∴10922q故答案为：1092,2．12.已知集合1,[,1]6Asstt=++，其中1A且16st+，函数()1xfxx=−，且对任意aA，都有()faA，则t的值是_________．【答案】512+或3.【解

析】【分析】先判断区间,1tt+与1x=的关系可得1t，再分析116s+时定义域与值域的关系，根据函数的单调性可确定定义域与值域的区间端点的不等式，进而求得s和t即可.最后分析当1s时，()11111,11,15116fxttss++++

−−−U，从而确定定义域与值域的关系，列不等式求解即可【详解】先判断区间,1tt+与1x=的关系，因为1A，故11t+或1t.因为当11t+，即0t时，由题意，当tA

时，01tAt−，故不成立；故1t.再分析区间1,6ss+与1x=的关系，因为1A，故116s+或1s.①当116s+，即56s时，因为()1xfxx=−在区间1,6ss+上为减函数，故当1,6xss+，()16,51

6ssfxss+−−，因为11ss−，而1t，故此时116,,5166ssssss++−−，即1161656ssssss+−+−，因为56s

，故2251661566ssssss−−+−即22111066111066ssss−−−−，故261110ss−−=，解得1114512s=，因为56s，故1114512s−=.此时区间1,6ss+在1x=左侧，[,1]tt+在1

x=右侧.故当[,1]xtt+时，()1,1ttfxtt+−，因为11tt+，故1,,11tttttt++−，所以111tttttt+−+，此时221010tttt−−−−，故210tt−−=，解得152t=，因为1t，故

152t+=；②当1s时，()111fxt=+−在区间1,[,1]6xsstt++U上单调递减，易得()11111,11,15116fxttss++++−−−U，故此时11

11116stst+++−且11561111tsts+−++−，即111156tsts−+−且115611tsts+−−，所以111156tsts=−

+=−，故111516stst=++=−，故151116tt+=+−，即1616ttt+=−，260tt−−=，因为1t，故3t=；综上所述，152t+=或3故答案为：512+

或3.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13.“2log(1)0x+”成立的一个必要而不充分条件是（

）A112x−−B.0x.C.10x−D.0x【答案】D【解析】【分析】先求解2log(1)0x+，再根据必要不充分条件的意义对比选项判断即可【详解】由2log(1)0x+有011x+，解得10x−，故“2log(1)0x+”成立的一个必要而不充分条件是“0

x”故选：D14.定义曲线：22221abxy+=为椭圆C：22221(0)xyabab+=的“倒曲线”，给出以下三个结论：①曲线有对称轴，②曲线有对称中心，③曲线与椭圆C有公共点．其中正确的结论个数．．为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解

析】【分析】曲线：22221abxy+=上取点(),xy，利用点的坐标证得对称性，从而判断出①②，利用x的范围可以判断出③，从而得出结论.【详解】曲线：22221abxy+=上取点(),xy，则该点关于x轴

对称的点(),xy−也在曲线，故曲线关于x轴对称，同理可证曲线关于y轴对称，则该点关于原点对称点(),xy−−也在曲线，故曲线关于原点对称，故①②正确；曲线：22221abxy+=，则xa，而椭圆C：22221(0)xyabab+=中，xa，故曲线

与椭圆C无公共点，③错误；综上，正确的有2个，故选：C.15.已知函数()sincosfxxx=+的定义域为,ab，值域为1,2−，则ba−的取值范围是（）A.3ππ,42B.π3π,24C.π3π,22D.3π3π,42

【答案】D【解析】【分析】根据正弦函数的图象特征和性质，结合定义域和值域，即可求解.【详解】π()sincos2sin()4fxxx=+=+，因为,xab，所以πππ,444xab+++，因为π12sin()24x−+，所以2πsin()

124x−+.正弦函数sinyx=在一个周期π3π,22−内，要满足上式，则ππ5π,444x+−，所以()()maxmin5ππ3π5ππ3π=,442424baba−=−−−=−=，所以ba−的取值范围是3π3π,42

.故选：D16.设各项均为正整数的无穷等差数列na，满足3382022a=，且存在正整数k，使1a、338a、ka成等比数列，则公差d的所有可能取值的个数．．为（）A.1B.4C.5D.无穷多【答案】B【解析】【分析】由

已知可得16337ad+=，分析可知Nd，则1a是337的倍数，且16337a，由已知222233832337a=，对1a的取值进行分类讨论，求出d的值，并求出对应的k的值，即可得出结论.【详解】根据题意可知，33813372022

aad=+=，化简可得16337ad+=，因为na各项均为正整数，则Nd，故1a是337的倍数，且16337a，因为1a、338a、ka成等比数列，则222223381202232337kaaa===，分以下情况讨论：①若1337a=，

则16d+=，可得5d=，()3375136337kak=+−=，解得2360k=，合乎题意；②若12337a=，则26d+=，可得4d=，()23374118337kak=+−=，解得1349k=，合乎题意；③若13337a=，则36d+=，可得3d=

，()33373112337kak=+−=，解得1012k=，不合乎题意；④若14337a=，则46d+=，可得2d=，()4337219337kak=+−=，解得16872k=，不合乎题意；⑤若16337a=，则66d

+=，可得0d=，此时，na是常数列，且每项均为2022，合乎题意.综上所述，公差d的所有可能取值的个数．．为4.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列基本量的计算，解题的关键时分析出222223381202232337kaaa===，然后

对1a的取值进行分类讨论，验证d的值是否满足题意，即可得解.三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.如图，已知圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，E是弧AD的中点．（1）求该圆柱的表面积

和体积；（2）求异面直线BE与AD所成角的大小．【答案】（1）表面积为6π，体积为2π.（2）6arccos6【解析】【分析】（1）根据圆柱的表面积公式和体积公式可求出结果；（2）根据//ADBC，得到EBC或其补角是直线BE与AD所成

角，取弧BC的中点F，连接EC、EF、BF，求出6BEEC==，进一步可得6arccos6EBC=.【小问1详解】由已知可得圆柱的底面半径1r=，高2h=，22π2π6πSSSrhr=+=+=表侧底

2π2πVShrh===柱底，【小问2详解】AD//BC，∴EBC或其补角是直线BE与AD所成角，取弧BC的中点F，连接EC、EF、BF，2222(2)26BEBFEFEC=+=+==，在EBC中，16cos66EBC==，∴6arccos6EBC=.所以异面直线BE与AD所成角的大小

为6arccos6.18.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos3sin0aCaCbc+−−=.（1）求A；（2）若a=2，ABC的面积为3，求b，c的值.【答案】（1）3A=（2）2bc==【解析】【分析】（1）先利用正弦定理将边变成角，然后利用()sinsinBAC=+

以及两角和的正弦公式代入计算即可；（2）先利用面积公式求出bc，再利用余弦定理求出22bc+，然后解方程组即可.【小问1详解】由cos3sin0aCaCbc+−−=及正弦定理得sincos3sinsinsinsin0ACACBC+−−=.因()()sinsinsinsinco

scossinBACACACAC=−−=+=+，所以3sinsincossinsin0ACACC−−=.由于sin0C，3sincos10AA−−=所以1sin62A−=.又0A，故3A=.【小问2详解】由题得ABC的面积1sin32SbcA==，故4bc=①

.而222abc=+−2cosbcA，且2a=，故228bc+=②，由①②得2bc==.19.治理垃圾是改善环境的重要举措．A地在未进行垃圾分类前每年需要焚烧垃圾量为200万吨，当地政府从2020年开始推进垃圾分类工作，通过对分类垃圾进行环保处理等一系列措施，预计从2020年开始

的连续5年，每年需要焚烧垃圾量比上一年减少20万吨，从第6年开始，每年需要焚烧垃圾量为上一年的75%（记2020年为第1年）.（1）写出A地每年需要焚烧垃圾量与治理年数()*nnN的表达式；（2）设nA为

从2020年开始n年内需要焚烧垃圾量的年平均值．．．．，证明数列nA为递减数列．【答案】（1）520020,15,3100(),6.4nnnnan−−=（2）证明见解析【解析】【分析

】（1）根据题意可知从2020年开始的连续5年，焚烧垃圾量成等差数列，从第6年开始，成等比数列，根据等差等比的基本量即可求.（2）根据年平均值的表达式，可得nnSAn=，然后根据,nnSa的关系即可得到111211()()()(1)nnnnnnaaaaaaAAnn+++

+−+−++−−=+，结合等差等比的单调性，即可得到数列nA的为单调性.【小问1详解】设治理n年后，A地每年的需要焚烧垃圾量构成数列na.当5n时，na是首项为120020180a=−=，公差为20−的等差数列，所以1(1)18020(

1)20020naandnn=+−=−−=−；当5n时，数列na是以5a为首项，公比为34的等比数列，所以553100()4nnnsaaq−−==，所以，治理n年后，A地每年的需要焚烧垃圾量的表达式为520020,15,3100(),6.4nnnnan−−=

【小问2详解】nS为数列na的前n项和，则nnSAn=．由于111(1)1(1)nnnnnnSSnSnSAAnnnn+++−+−=−=++1(1)nnnaSnn+−=+11121()()()(

1)nnnnaaaaaann+++−+−++−=+由（1）知，15n时，20020nan=−，所以na为递减数列，6n时，53100()4nna−=，所以na为递减数列，且65aa，所以na为递减数列，于是111

210,0,,0nnnnaaaaaa+++−−−，因此10nnAA+−，所以数列nA为递减数列．20.已知椭圆22:143xy+=的右焦点为F，过F的直线l交于,AB两点．（1）若直线l垂直于x轴，求线段AB的长；（2）若直线l与x轴不重合，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值；

（3）若椭圆上存在点C使得||||ACBC=，且△ABC的重心G在y轴上，求此时直线l的方程．【答案】（1）3（2）32（3）:1lx=、:0ly=或3:13lxy=+【解析】【分析】（1）根据直线垂

直x轴，可得,AB坐标，进而可求线段长度.（2）联立直线和椭圆方程，根据韦达定理，可得根与系数关系，进而根据三角形面积求表达式，进而根据函数最值进行求面积最大值.（3）联立直线和椭圆方程，根据韦达定理，可得根与系数关系，以及重心坐标公式，即可求解.【小问1详解】因为(1,0)F，令1

x=，得21143y+=，所以32y=，所以||3AB=【小问2详解】设直线:1(0)lxmym=+，1122(,),(,)AxyBxy，不妨设210,0yy，由221431xyxmy+==+得22(34)690mymy++−=，2144(1)m=+，12263

4myym−+=+，122934yym−=+，()2221122221221216943434434myyyyymmmmy−−−++−=+−==++，2212111212234AOBmSOFyym+=−=+令21mt+=，则1t，26613

13AOBtSttt==++△，记1()3httt=+，可得1()3httt=+在)1,+上单调递增所以211322AOBSOFyy=−当且仅当0m=时取到，即AOB面积的最大值为32；【小问3详解】①当直线l不

与x轴重合时，设直线:1lxmy=+，1122(,),(,)AxyBxy，AB中点为M．由221431xyxmy+==+得22(34)690mymy++−=，122634myym−+=+，122934yym−=+，因为A

BC的重心G在y轴上，所以120Cxxx++=，所以121228()234Cxxxmyym−=−−=−+−=+，又()12122242234Mmyyxxxm+++===+，1223234Myymym+−==+

，因为||||ACBC=，所以CMAB⊥,故直线:()MMCMyymxx−=−−，所以29()34CMCMmyymxxm=−−=+，从而2289,3434mCmm−++，代入22143xy+=得22(31)0mm−=，

所以30,3m=，:1lx=或3:13lxy=+．②当直线l与x轴重合时，点C位于椭圆的上、下顶点显然满足条件，此时:0ly=．综上，:1lx=，:0ly=或3:13lxy=+．21.设函数2()(

,)fxxpxqpqR=++，定义集合{|(()),}RfDxffxxx==，集合{|(())0,}RfExffxx==．（1）若0pq==，写出相应的集合fD和fE；（2）若集合{0}fD=，求出所有满足条件的,pq；（3）若集合fE只含有一个元素，求证

：0,0pq．【答案】（1）{0,1}fD=，{0}fE=（2）1,0pq==（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由4xx=、40x=解得x，可得fD，fE；（2）由(())0ffxx−=得2(1)10xpxpq+++++=或2(1)0x

pxq+−+=，然后由21(1)4(1)=+−++ppq，221(1)4=−−pq，方程(())0ffxx−=只有一个实数解0，得210,0=，转化为2(1)0xpxq+−+=有唯一实数解0，可得答案；（3）由条件，(())0ffx=有唯一解，得()0fx=有解，

分()0fx=有唯一解0x、()0fx=有两个解1212,()xxxx，结合()fx的图像和实数解的个数可得答案.【小问1详解】2()fxx=，4(())=ffxx，由4xx=解得0x=或1x=，由40x=解得0x=，所以{0,1}fD=，{0}fE=．【小问2详解】由22(())(

())()()()()()ffxxffxfxfxxfxpfxxpxfxx−=−+−=+−−+−=22(()1)(())((1)1)((1))0fxxpfxxxpxpqxpxq+++−=++++++−+=，得2(1)10

xpxpq+++++=或2(1)0xpxq+−+=，221(1)4(1)(1)44ppqpq=+−++=−−−，2221(1)4(1)4pqpq=−−=−−，而方程(())0ffxx−=只有一个实数解0，所以210,0=

，即只需2(1)0xpxq+−+=有唯一实数解0，所以1,0pq==．【小问3详解】由条件，(())0ffx=有唯一解，所以()0fx=有解，①若()0fx=有唯一解0x，则20()()fxxx=−，且0()fxx=有

唯一解，结合()fx图像可知00x=，所以2()fxx=，所以0pq==．②若()0fx=有两个解1212,()xxxx，则12()()()fxxxxx=−−，且两个方程1()fxx=，2()fxx=总共只有一个解，

结合()fx图像可知2()fxx=有唯一解，所以20x，10x，所以120qxx=，且()fx的对称轴02px=−，所以0p，所以0,0pq．综上，0,0pq．【点睛】本题主题考查了二次函数与二次方程之间的关系的相互转换，方程根与系数的应用，考查了系数对新定义的理解能力

及计算能力.